गैर रेखीय सिग्मा मॉडल: Difference between revisions

Revision as of 10:13, 3 May 2023

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में, एक अरैखिक σ प्रारूप एक अदिश क्षेत्र का वर्णन करता है, $Σ$ जो लक्ष्य बहुविध T कहे जाने वाले अरेखीय बहुविध में मान लेता है। गैर-रैखिक σ-प्रारूप गेल-मैन & लेवी (1960, खंड 6) द्वारा प्रस्तुत किया गया था , जिन्होंने इसे अपने प्रारूप में स्पिनलेस मेसॉन के लिए एक क्षेत्र सिद्धांत सिद्ध किया था, और उसे σ नाम दिया था।^[1] यह लेख मुख्य रूप से गैर-रैखिक सिग्मा प्रारूप के परिमाणीकरण से संबंधित है; कृपया सामान्य परिभाषाओं और पारम्परिक (गैर-क्वांटम) योगों और परिणामों के लिए सिग्मा प्रारूप पर आधार लेख देखें।

विवरण

लक्ष्य बहुविध टी एक रिमेंनियन मीट्रिक जी से सुसज्जित है। $Σ$ मिंकोवस्की स्थान एम (या कोई अन्य स्पेस) से टी तक का अलग करने योग्य मानचित्र है।

समकालीन चिराल रूप में लैग्रेंजियन घनत्व द्वारा दिया गया है:

{\mathcal {L}}={1 \over 2}g(\partial ^{\mu }\Sigma ,\partial _{\mu }\Sigma )-V(\Sigma )

जहां हमने एक + − − − मीट्रिक हस्ताक्षर और आंशिक व्युत्पन्न का उपयोग किया है, $\partialΣ$ T× M के जेट बंडल के एक खंड द्वारा दिया गया है, और $V$ क्षमता है।

निर्देशांक अंकन में, निर्देशांक के साथ $Σ a$ , a = 1, ..., n जहां n, T का आयाम है,

{\mathcal {L}}={1 \over 2}g_{ab}(\Sigma )(\partial ^{\mu }\Sigma ^{a})(\partial _{\mu }\Sigma ^{b})-V(\Sigma ).

दो से अधिक आयामों में, गैर-रैखिक σ प्रारूप में एक आयामपूर्ण युग्मन स्थिरांक होता है, और इस प्रकार यह अनुत्पादक रूप से पुन: सामान्य नहीं होता है। इसके पश्चात भी, वे जाली निर्माण में दोनों के पुनर्संरचना समूह के एक असतहीय पराबैंगनी निश्चित बिंदु को प्रदर्शित करते हैं,^[2]^[3] और मूल रूप से केनेथ जी. विल्सन द्वारा प्रस्तावित दोहरे विस्तार में प्रदर्शित है।^[4]

दोनों दृष्टिकोणों में, एन-वेक्टर प्रारूप के लिए पाया गया असतहीय पुन: सामान्यीकरण-समूह निश्चित बिंदु ओ (एन) -सममित प्रारूप को केवल वर्णन करने के लिए देखा जाता है, एवं दो से अधिक आयामों में महत्वपूर्ण बिंदु अव्यवस्थित चरण से आदेश को अलग करता है . इसके अतिरिक्त, उत्कृष्ट जाली या क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत पूर्वानुमान की तुलना महत्वपूर्ण घटनाओं पर प्रयोगशाला में प्रयोगों से की जा सकती है, क्योंकि ओ (एन) प्रारूप भौतिक हाइजेनबर्ग फेरोमैग्नेटस और संबंधित प्रणालियों का वर्णन करता है। उपरोक्त परिणाम दो आयामों के ऊपर ओ (एन) -सममित प्रारूप के भौतिक व्यवहार का सही विधि से वर्णन करने में और जाली नियमन जैसे अधिक परिष्कृत गैर-क्षुब्द करने वाले विधियों की आवश्यकता के लिए छोटी-मोटी गड़बड़ी सिद्धांत की विफलता की ओर इंगित करते हैं।

इसका तात्पर्य है, कि वे केवल प्रभावी क्षेत्र सिद्धांत के रूप में उत्पन्न हो सकते हैं। दूरी के पैमाने पर नई भौतिकी की आवश्यकता होती है, जहां दो बिंदुओं से जुड़ा सहसंबंध कार्य उसी क्रम का होता है, जैसा कि लक्ष्य की वक्रता कई गुना होती है। इसे सिद्धांत की यूवी पूर्णता कहा जाता है। आंतरिक सममिति समूह G * के साथ अरैखिक σ प्रारूप का एक विशेष वर्ग है। यदि G एक लाइ समूह है, और H एक लाइ उपसमूह है, तो भागफल स्थान (टोपोलॉजी) G/H कई गुना है (कुछ तकनीकी प्रतिबंधों के अधीन जैसे H एक बंद उपसमुच्चय है) और G या अन्य में एक सजातीय स्थान भी शब्द, जी का एक गैर-रैखिक अहसास है। कई विषयों में, G/H को रिमेंनियन मीट्रिक से सुसज्जित किया जा सकता है, जो G-अपरिवर्तनीय है। यह सदैव होता है, उदाहरण के लिए, यदि G सघन समूह है। G/H के साथ एक गैर-रैखिक σ प्रारूप एक G-अपरिवर्तनीय रिमेंनियन मीट्रिक के साथ कई गुना लक्ष्य के रूप में और एक शून्य क्षमता को भागफल स्थान (या कोसेट स्थान) गैर-रैखिक कहा जाता है, $σ$ नमूना।

कार्यात्मक एकीकरण की गणना करते समय, कार्यात्मक माप को g के निर्धारक के वर्गमूल द्वारा भारित करने की आवश्यकता होती है,

{\sqrt {\det g}}{\mathcal {D}}\Sigma .

पुनर्सामान्यीकरण

यह प्रारूप श्रृंखला सिद्धांत में प्रासंगिक सिद्ध हुआ जिसे द्वि-आयामी बहुविध को वर्डशीट नाम दिया गया है। इसकी सामान्यीकृत पुनर्सामान्यीकरण की सराहना डेनियल फ्राइडन द्वारा प्रदान की गई थी।^[5] उन्होंने प्रदर्शित किया कि सिद्धांत रूप में गड़बड़ी सिद्धांत के प्रमुख क्रम में एक पुनर्सामान्यीकरण समूह समीकरण को स्वीकार करता है:

\lambda {\frac {\partial g_{ab}}{\partial \lambda }}=\beta _{ab}(T^{-1}g)=R_{ab}+O(T^{2})~,

$R ab$ नियत बहुविध का रिक्की टेंसर होना।

यह एक निश्चित बिंदु के रूप में कई गुना लक्ष्य के लिए आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों का पालन करते हुए, रिक्की प्रवाह का प्रतिनिधित्व करता है। इस प्रकार के एक निश्चित बिंदु का अस्तित्व प्रासंगिक है, जैसा कि यह अनुदान देता है, गड़बड़ी सिद्धांत के इस क्रम में, क्वांटम सुधार के कारण अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत खो नहीं जाता है, जिससे इस प्रारूप का क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत समझने में सरल हो।

फ्लेवर-चिराल विसंगतियों का प्रतिनिधित्व करने वाले नॉनलाइनियर इंटरैक्शन को जोड़ने से वेस-जुमिनो-विटन प्रारूप में परिणाम मिलता है,^[6] कौन टेलीपेराल्लेलिस्म के कारण मरोड़ टेंसरको सम्मिलित करने के लिए प्रवाह की ज्यामिति को बढ़ाता है, पुनर्सामान्यता को संरक्षित करता है, और एक अवरक्त निश्चित बिंदु तक ले जाता है।^[7]

ओ (3) गैर रेखीय सिग्मा प्रारूप

इसके सामयिक गुणों के कारण विशेष रुचि का एक प्रसिद्ध उदाहरण, O(3) अरैखिक है $σ$ -प्रारूप 1 +1 आयामों में, लाग्रंगियन घनत्व के साथ-

{\mathcal {L}}={\tfrac {1}{2}}\ \partial ^{\mu }{\hat {n}}\cdot \partial _{\mu }{\hat {n}}

जहां एन = (n₁, n₂, n₃) बाधा के साथ n̂⋅n̂=1 और $μ$ =1,2।

यह प्रारूप संस्थानिक परिमित क्रिया समाधान के लिए अनुमति देता है, क्योंकि अनंत स्थान-समय पर लैग्रैंगियन घनत्व अदृश्य हो जाना चाहिए, जिसका अर्थ है n̂ = अनंत पर स्थिर। इसलिए, परिमित-क्रिया समाधान के वर्ग में, एक बिंदु के रूप में अनंत पर बिंदुओं की पहचान की जा सकती है, अर्थात स्थान -समय को रीमैन क्षेत्र के साथ पहचाना जा सकता है।

चूँकि n̂-क्षेत्र एक गोले पर भी रहता है, मानचित्रण $S 2 \to S 2$ साक्ष्य के रूप में है, जिसके समाधानों को 2-गोले के दूसरे समस्थेयता समूह द्वारा वर्गीकृत किया गया है: इन समाधानों को O(3) इंस्टेंटन कहा जाता है।

इस प्रारूप को 1+2 आयामों में भी माना जा सकता है, जहां सांस्थिति अब केवल स्थानिक अंश से आती है। इन्हें अनंत पर एक बिंदु के साथ R^2 के रूप में प्रस्तुत किया गया है, और इसलिए 1+1 आयामों में O(3) इंस्टेंटॉन के समान सांस्थिति है। उन्हें सिग्मा प्रारूप गांठ कहा जाता है।

यह भी देखें

सिग्मा प्रारूप
चिराल प्रारूप
लिटिल हिग्स
स्किर्मियन, गैर-रैखिक सिग्मा प्रारूप में एक सॉलिटॉन
पॉलाकोव क्रिया
WZW प्रारूप
फ़ुबिनी-अध्ययन मीट्रिक, एक मीट्रिक जिसका उपयोग अक्सर गैर-रैखिक सिग्मा प्रारूप के साथ किया जाता है
रिक्की प्रवाह
स्केल इनवेरियन

संदर्भ

↑ Gell-Mann, M.; Lévy, M. (1960), "The axial vector current in beta decay", Il Nuovo Cimento, Italian Physical Society, 16 (4): 705–726, Bibcode:1960NCim...16..705G, doi:10.1007/BF02859738, ISSN 1827-6121, S2CID 122945049
↑ Zinn-Justin, Jean (2002). क्वांटम फील्ड थ्योरी और क्रिटिकल फेनोमेना. Oxford University Press.
↑ Cardy, John L. (1997). स्केलिंग और सांख्यिकीय भौतिकी में पुनर्सामान्यीकरण समूह. Cambridge University Press.
↑ Brezin, Eduard; Zinn-Justin, Jean (1976). "Renormalization of the nonlinear sigma model in 2 + epsilon dimensions". Physical Review Letters. 36 (13): 691–693. Bibcode:1976PhRvL..36..691B. doi:10.1103/PhysRevLett.36.691.
↑ Friedan, D. (1980). "Nonlinear models in 2+ε dimensions". Physical Review Letters. 45 (13): 1057–1060. Bibcode:1980PhRvL..45.1057F. doi:10.1103/PhysRevLett.45.1057.
↑ Witten, E. (1984). "दो आयामों में गैर-अबेलियन बोसोनाइजेशन". Communications in Mathematical Physics. 92 (4): 455–472. Bibcode:1984CMaPh..92..455W. doi:10.1007/BF01215276. S2CID 122018499.
↑ Braaten, E.; Curtright, T. L.; Zachos, C. K. (1985). "नॉनलाइनियर सिग्मा मॉडल में मरोड़ और जियोमेट्रोस्टेसिस". Nuclear Physics B. 260 (3–4): 630. Bibcode:1985NuPhB.260..630B. doi:10.1016/0550-3213(85)90053-7.

बाहरी संबंध

Ketov, Sergei (2009). "Nonlinear Sigma model". Scholarpedia. 4 (1): 8508. Bibcode:2009SchpJ...4.8508K. doi:10.4249/scholarpedia.8508.
Kulshreshtha, U.; Kulshreshtha, D. S. (2002). "Front-Form Hamiltonian, Path Integral, and BRST Formulations of the Nonlinear Sigma Model". International Journal of Theoretical Physics. 41 (10): 1941–1956. doi:10.1023/A:1021009008129. S2CID 115710780.

[1] Gell-Mann, M.; Lévy, M. (1960), "The axial vector current in beta decay", Il Nuovo Cimento, Italian Physical Society, 16 (4): 705–726, Bibcode:1960NCim...16..705G, doi:10.1007/BF02859738, ISSN 1827-6121, S2CID 122945049

[2] Zinn-Justin, Jean (2002). क्वांटम फील्ड थ्योरी और क्रिटिकल फेनोमेना. Oxford University Press.

[3] Cardy, John L. (1997). स्केलिंग और सांख्यिकीय भौतिकी में पुनर्सामान्यीकरण समूह. Cambridge University Press.

[4] Brezin, Eduard; Zinn-Justin, Jean (1976). "Renormalization of the nonlinear sigma model in 2 + epsilon dimensions". Physical Review Letters. 36 (13): 691–693. Bibcode:1976PhRvL..36..691B. doi:10.1103/PhysRevLett.36.691.

[Frie80-5] Friedan, D. (1980). "Nonlinear models in 2+ε dimensions". Physical Review Letters. 45 (13): 1057–1060. Bibcode:1980PhRvL..45.1057F. doi:10.1103/PhysRevLett.45.1057.

[6] Witten, E. (1984). "दो आयामों में गैर-अबेलियन बोसोनाइजेशन". Communications in Mathematical Physics. 92 (4): 455–472. Bibcode:1984CMaPh..92..455W. doi:10.1007/BF01215276. S2CID 122018499.

[7] Braaten, E.; Curtright, T. L.; Zachos, C. K. (1985). "नॉनलाइनियर सिग्मा मॉडल में मरोड़ और जियोमेट्रोस्टेसिस". Nuclear Physics B. 260 (3–4): 630. Bibcode:1985NuPhB.260..630B. doi:10.1016/0550-3213(85)90053-7.

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 {{Short description|Class of quantum field theory models}}
-[[क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] में, एक अरैखिक ''σ'' मॉडल एक [[अदिश क्षेत्र]] का वर्णन करता है {{mvar|Σ}} जो लक्ष्य मैनिफोल्ड  ''T'' कहे जाने वाले अरेखीय मैनिफोल्ड में मान लेता है। गैर-रैखिक ''σ''-मॉडल किसके द्वारा पेश किया गया था {{harvtxt|Gell-Mann|Lévy|1960|loc=section 6}}, जिन्होंने इसे अपने मॉडल में σ नामक एक स्पिनलेस मेसन के अनुरूप क्षेत्र के नाम पर रखा।<ref>{{Citation | last2=Lévy | first1=M. | last1=Gell-Mann | first2=M. | s2cid=122945049 | title=The axial vector current in beta decay | publisher=Italian Physical Society | doi=10.1007/BF02859738 | year=1960 | journal=Il Nuovo Cimento | issn=1827-6121 | volume=16 | issue=4 | pages=705–726| bibcode=1960NCim...16..705G }}</ref> यह लेख मुख्य रूप से गैर-रैखिक [[सिग्मा मॉडल]] के परिमाणीकरण से संबंधित है; कृपया सामान्य परिभाषाओं और शास्त्रीय (गैर-क्वांटम) योगों और परिणामों के लिए सिग्मा मॉडल पर आधार लेख देखें।
+[[क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] में, एक अरैखिक ''σ'' प्रारूप एक [[अदिश क्षेत्र]] का वर्णन करता है, {{mvar|Σ}} जो लक्ष्य बहुविध ''T'' कहे जाने वाले अरेखीय बहुविध में मान लेता है। गैर-रैखिक ''σ''-प्रारूप {{harvtxt|
+गेल-मैन|लेवी|1960|loc=खंड 6}} द्वारा प्रस्तुत किया गया था , जिन्होंने इसे अपने प्रारूप में स्पिनलेस मेसॉन के लिए एक क्षेत्र सिद्धांत सिद्ध किया था, और उसे σ नाम दिया था।<ref>{{Citation | last2=Lévy | first1=M. | last1=Gell-Mann | first2=M. | s2cid=122945049 | title=The axial vector current in beta decay | publisher=Italian Physical Society | doi=10.1007/BF02859738 | year=1960 | journal=Il Nuovo Cimento | issn=1827-6121 | volume=16 | issue=4 | pages=705–726| bibcode=1960NCim...16..705G }}</ref> यह लेख मुख्य रूप से गैर-रैखिक [[सिग्मा मॉडल|सिग्मा प्रारूप]] के परिमाणीकरण से संबंधित है; कृपया सामान्य परिभाषाओं और पारम्परिक (गैर-क्वांटम) योगों और परिणामों के लिए सिग्मा प्रारूप पर आधार लेख देखें।
 == विवरण ==
-लक्ष्य मैनिफोल्ड टी एक [[रिमेंनियन मीट्रिक]] जी से लैस है। {{mvar|Σ}} Minkowski स्पेस M (या कोई अन्य स्पेस) से T तक का अलग करने योग्य मैप है।
+लक्ष्य बहुविध टी एक [[रिमेंनियन मीट्रिक]] जी से सुसज्जित है। {{mvar|Σ}} मिंकोवस्की स्थान एम (या कोई अन्य स्पेस) से टी तक का अलग करने योग्य मानचित्र है।
-लैग्रेंजियन घनत्व समकालीन चिराल रूप में<ref>{{Cite journal | last1 = Gürsey | first1 = F. | s2cid = 122270607 | title = मजबूत और कमजोर अंतःक्रियाओं की समरूपता पर| doi = 10.1007/BF02860276 | journal = Il Nuovo Cimento | volume = 16 | issue = 2 | pages = 230–240 | year = 1960 | bibcode = 1960NCim...16..230G }}</ref> द्वारा दिया गया है
+समकालीन चिराल रूप में लैग्रेंजियन घनत्व द्वारा दिया गया है:
 :<math>\mathcal{L}={1\over 2}g(\partial^\mu\Sigma,\partial_\mu\Sigma)-V(\Sigma)</math>
-जहां हमने एक + − − − [[मीट्रिक हस्ताक्षर]] और आंशिक डेरिवेटिव का उपयोग किया है {{math| ''∂Σ''}} टी × एम के [[जेट बंडल]] के एक खंड द्वारा दिया गया है और {{mvar|V}} क्षमता है।
+जहां हमने एक + − − − [[मीट्रिक हस्ताक्षर]] और आंशिक व्युत्पन्न का उपयोग किया है,{{math| ''∂Σ''}} T× M के [[जेट बंडल]] के एक खंड द्वारा दिया गया है, और {{mvar|V}} क्षमता है।
 निर्देशांक अंकन में, निर्देशांक के साथ {{math|''Σ<sup>a</sup>''}}, a = 1, ..., n जहां n, T का आयाम है,
 :<math>\mathcal{L}={1\over 2}g_{ab}(\Sigma) (\partial^\mu \Sigma^a) (\partial_\mu \Sigma^b) - V(\Sigma).</math>
-दो से अधिक आयामों में, गैर-रैखिक σ मॉडल में एक आयामपूर्ण युग्मन स्थिरांक होता है और इस प्रकार यह अनुत्पादक रूप से पुन: सामान्य नहीं होता है।
+दो से अधिक आयामों में, गैर-रैखिक σ प्रारूप में एक आयामपूर्ण युग्मन स्थिरांक होता है, और इस प्रकार यह अनुत्पादक रूप से पुन: सामान्य नहीं होता है। इसके पश्चात भी, वे जाली निर्माण में दोनों के पुनर्संरचना समूह के एक असतहीय पराबैंगनी निश्चित बिंदु को प्रदर्शित करते हैं,<ref>{{cite book | last = Zinn-Justin | first= Jean | title= क्वांटम फील्ड थ्योरी और क्रिटिकल फेनोमेना| publisher = Oxford University Press | date = 2002 }}</ref><ref>{{ cite book | last= Cardy | first= John L. | title = स्केलिंग और सांख्यिकीय भौतिकी में पुनर्सामान्यीकरण समूह| publisher = Cambridge University Press | date = 1997 }}</ref> और मूल रूप से केनेथ जी. विल्सन द्वारा प्रस्तावित दोहरे विस्तार में प्रदर्शित है।<ref>{{cite journal|last=Brezin|first=Eduard|year=1976|title=Renormalization of the nonlinear sigma model in 2 + epsilon dimensions|journal=Physical Review Letters|volume=36|issue=13|pages=691–693|bibcode=1976PhRvL..36..691B|doi=10.1103/PhysRevLett.36.691|author2=Zinn-Justin, Jean}}</ref>
-फिर भी, वे जाली निर्माण में दोनों के पुनर्संरचना समूह के एक गैर-तुच्छ पराबैंगनी निश्चित बिंदु को प्रदर्शित करते हैं<ref>{{cite book | last = Zinn-Justin | first= Jean | title= क्वांटम फील्ड थ्योरी और क्रिटिकल फेनोमेना| publisher = Oxford University Press | date = 2002 }}</ref><ref>{{ cite book | last= Cardy | first= John L. | title = स्केलिंग और सांख्यिकीय भौतिकी में पुनर्सामान्यीकरण समूह| publisher = Cambridge University Press | date = 1997 }}</ref> और मूल रूप से केनेथ जी. विल्सन द्वारा प्रस्तावित दोहरे विस्तार में।<ref>{{cite journal|last=Brezin|first=Eduard|year=1976|title=Renormalization of the nonlinear sigma model in 2 + epsilon dimensions|journal=Physical Review Letters|volume=36|issue=13|pages=691–693|bibcode=1976PhRvL..36..691B|doi=10.1103/PhysRevLett.36.691|author2=Zinn-Justin, Jean}}</ref> दोनों दृष्टिकोणों में, एन-वेक्टर मॉडल के लिए पाया गया गैर-तुच्छ पुन: सामान्यीकरण-समूह निश्चित बिंदु। ओ (एन) -सममित मॉडल को केवल वर्णन करने के लिए देखा जाता है, दो से अधिक आयामों में, महत्वपूर्ण बिंदु अव्यवस्थित चरण से आदेश को अलग करता है . इसके अलावा, बेहतर जाली या क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत भविष्यवाणियों की तुलना महत्वपूर्ण घटनाओं पर प्रयोगशाला प्रयोगों से की जा सकती है, क्योंकि ओ (एन) मॉडल भौतिक [[हाइजेनबर्ग फेरोमैग्नेट]]्स और संबंधित प्रणालियों का वर्णन करता है। उपरोक्त परिणाम दो आयामों के ऊपर ओ (एन) -सिमेट्रिक मॉडल के भौतिक व्यवहार का सही ढंग से वर्णन करने में और जाली फॉर्मूलेशन जैसे अधिक परिष्कृत गैर-परेशान करने वाले तरीकों की आवश्यकता के लिए भोले-भाले गड़बड़ी सिद्धांत की विफलता की ओर इशारा करते हैं।
-इसका मतलब है कि वे केवल [[प्रभावी क्षेत्र सिद्धांत]] के रूप में उत्पन्न हो सकते हैं। दूरी के पैमाने पर नई भौतिकी की आवश्यकता होती है, जहां दो बिंदुओं से जुड़ा सहसंबंध कार्य उसी क्रम का होता है, जैसा कि लक्ष्य की वक्रता कई गुना होती है। इसे सिद्धांत की [[यूवी पूर्णता]] कहा जाता है। आंतरिक सममिति समूह G * के साथ अरैखिक σ मॉडल का एक विशेष वर्ग है। यदि G एक लाइ समूह है और H एक लाइ उपसमूह है, तो [[भागफल स्थान (टोपोलॉजी)]] G/H कई गुना है (कुछ तकनीकी प्रतिबंधों के अधीन जैसे H एक बंद उपसमुच्चय है) और G या अन्य में एक [[सजातीय स्थान]] भी है शब्द, जी का एक गैर-रैखिक अहसास। कई मामलों में, जी/एच को रिमेंनियन मीट्रिक से लैस किया जा सकता है जो जी-इनवेरिएंट है। यह हमेशा होता है, उदाहरण के लिए, यदि G [[कॉम्पैक्ट समूह]] है। G/H के साथ एक गैर-रैखिक σ मॉडल एक G-इनवेरिएंट रिमेंनियन मीट्रिक के साथ कई गुना लक्ष्य के रूप में और एक शून्य क्षमता को भागफल स्थान (या कोसेट स्थान) गैर-रैखिक कहा जाता है {{mvar|σ}} नमूना।
+दोनों दृष्टिकोणों में, एन-वेक्टर प्रारूप के लिए पाया गया असतहीय पुन: सामान्यीकरण-समूह निश्चित बिंदु ओ (एन) -सममित प्रारूप को केवल वर्णन करने के लिए देखा जाता है, एवं दो से अधिक आयामों में महत्वपूर्ण बिंदु अव्यवस्थित चरण से आदेश को अलग करता है . इसके अतिरिक्त, उत्कृष्ट जाली या क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत पूर्वानुमान की तुलना महत्वपूर्ण घटनाओं पर प्रयोगशाला में प्रयोगों से की जा सकती है, क्योंकि ओ (एन) प्रारूप भौतिक [[Index.php?title=हाइजेनबर्ग फेरोमैग्नेट्स|हाइजेनबर्ग फेरोमैग्नेटस]] और संबंधित प्रणालियों का वर्णन करता है। उपरोक्त परिणाम दो आयामों के ऊपर ओ (एन) -सममित प्रारूप के भौतिक व्यवहार का सही विधि से वर्णन करने में और जाली नियमन जैसे अधिक परिष्कृत गैर-क्षुब्द करने वाले विधियों की आवश्यकता के लिए छोटी-मोटी गड़बड़ी सिद्धांत की विफलता की ओर इंगित करते हैं।
+इसका तात्पर्य है, कि वे केवल [[प्रभावी क्षेत्र सिद्धांत]] के रूप में उत्पन्न हो सकते हैं। दूरी के पैमाने पर नई भौतिकी की आवश्यकता होती है, जहां दो बिंदुओं से जुड़ा सहसंबंध कार्य उसी क्रम का होता है, जैसा कि लक्ष्य की वक्रता कई गुना होती है। इसे सिद्धांत की [[यूवी पूर्णता]] कहा जाता है। आंतरिक सममिति समूह G * के साथ अरैखिक σ प्रारूप का एक विशेष वर्ग है। यदि G एक लाइ समूह है, और H एक लाइ उपसमूह है, तो [[भागफल स्थान (टोपोलॉजी)]] G/H कई गुना है (कुछ तकनीकी प्रतिबंधों के अधीन जैसे H एक बंद उपसमुच्चय है) और G या अन्य में एक [[सजातीय स्थान]] भी शब्द, जी का एक गैर-रैखिक अहसास है। कई विषयों में, G/H को रिमेंनियन मीट्रिक से सुसज्जित किया जा सकता है, जो G-अपरिवर्तनीय है। यह सदैव होता है, उदाहरण के लिए, यदि G [[कॉम्पैक्ट समूह|सघन समूह]] है। G/H के साथ एक गैर-रैखिक σ प्रारूप एक G-अपरिवर्तनीय रिमेंनियन मीट्रिक के साथ कई गुना लक्ष्य के रूप में और एक शून्य क्षमता को भागफल स्थान (या कोसेट स्थान) गैर-रैखिक कहा जाता है, {{mvar|σ}} नमूना।
 [[कार्यात्मक एकीकरण]] की गणना करते समय, कार्यात्मक माप को g के निर्धारक के वर्गमूल द्वारा भारित करने की आवश्यकता होती है,
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-== नवीनीकरण ==
+== पुनर्सामान्यीकरण ==
-यह मॉडल स्ट्रिंग थ्योरी में प्रासंगिक साबित हुआ जहां द्वि-आयामी मैनिफोल्ड को [[ worldsheet ]] नाम दिया गया है। इसकी सामान्यीकृत पुनर्सामान्यीकरण की सराहना [[डेनियल फ्राइडन]] द्वारा प्रदान की गई थी।<ref name="Frie80">
+यह प्रारूप श्रृंखला सिद्धांत में प्रासंगिक सिद्ध हुआ जिसे द्वि-आयामी बहुविध को [[Index.php?title=वर्डशीट|वर्डशीट]] नाम दिया गया है। इसकी सामान्यीकृत पुनर्सामान्यीकरण की सराहना [[डेनियल फ्राइडन]] द्वारा प्रदान की गई थी।<ref name="Frie80">
-{{cite journal|last=Friedan|first=D.|author-link=Daniel Friedan|title=Nonlinear models in 2+ε dimensions | journal =  Physical Review Letters| volume = 45 | issue = 13| pages = 1057–1060 | year = 1980 |doi= 10.1103/PhysRevLett.45.1057 | bibcode=1980PhRvL..45.1057F|url=https://digital.library.unt.edu/ark:/67531/metadc841801/}}</ref> उन्होंने दिखाया कि सिद्धांत रूप में गड़बड़ी सिद्धांत के प्रमुख क्रम में एक पुनर्सामान्यीकरण समूह समीकरण को स्वीकार करता है
+{{cite journal|last=Friedan|first=D.|author-link=Daniel Friedan|title=Nonlinear models in 2+ε dimensions | journal =  Physical Review Letters| volume = 45 | issue = 13| pages = 1057–1060 | year = 1980 |doi= 10.1103/PhysRevLett.45.1057 | bibcode=1980PhRvL..45.1057F|url=https://digital.library.unt.edu/ark:/67531/metadc841801/}}</ref> उन्होंने प्रदर्शित किया कि सिद्धांत रूप में गड़बड़ी सिद्धांत के प्रमुख क्रम में एक पुनर्सामान्यीकरण समूह समीकरण को स्वीकार करता है:
 :<math>\lambda\frac{\partial g_{ab}}{\partial\lambda}=\beta_{ab}(T^{-1}g)=R_{ab}+O(T^2)~,</math>
-{{math|''R<sub>ab</sub>''}} टारगेट मैनिफोल्ड का [[रिक्की टेंसर]] होना।
+{{math|''R<sub>ab</sub>''}} नियत बहुविध का [[रिक्की टेंसर]] होना।
-यह एक निश्चित बिंदु के रूप में कई गुना लक्ष्य के लिए आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों का पालन करते हुए, [[रिक्की प्रवाह]] का प्रतिनिधित्व करता है। इस तरह के एक निश्चित बिंदु का अस्तित्व प्रासंगिक है, जैसा कि यह अनुदान देता है, गड़बड़ी सिद्धांत के इस क्रम में, क्वांटम सुधार के कारण [[अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत]] खो नहीं जाता है, ताकि इस मॉडल का क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत समझदार (असामान्य) हो।
-फ्लेवर-चिराल विसंगतियों का प्रतिनिधित्व करने वाले नॉनलाइनियर इंटरैक्शन को जोड़ने से वेस-जुमिनो-विटन मॉडल में परिणाम मिलता है,<ref>{{cite journal |first=E. |last=Witten |s2cid=122018499 |title=दो आयामों में गैर-अबेलियन बोसोनाइजेशन|journal=[[Communications in Mathematical Physics]] |volume= 92| issue= 4 |year=1984 | pages= 455–472 | doi= 10.1007/BF01215276|bibcode = 1984CMaPh..92..455W |url=http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1103940923 }}</ref> कौन
+यह एक निश्चित बिंदु के रूप में कई गुना लक्ष्य के लिए आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों का पालन करते हुए, [[रिक्की प्रवाह]] का प्रतिनिधित्व करता है। इस प्रकार के एक निश्चित बिंदु का अस्तित्व प्रासंगिक है, जैसा कि यह अनुदान देता है, गड़बड़ी सिद्धांत के इस क्रम में, क्वांटम सुधार के कारण [[अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत]] खो नहीं जाता है, जिससे इस प्रारूप का क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत समझने में सरल हो।
-[[teleparallelism]] (जियोमेट्रोस्टेसिस) के कारण [[मरोड़ टेंसर]] को शामिल करने के लिए प्रवाह की ज्यामिति को बढ़ाता है, पुनर्सामान्यता को संरक्षित करता है और एक इन्फ्रारेड निश्चित बिंदु तक ले जाता है।<ref>{{Cite journal | last1 = Braaten | first1 = E. | last2 = Curtright | first2 = T. L. | last3 = Zachos | first3 = C. K. | doi = 10.1016/0550-3213(85)90053-7 | title = नॉनलाइनियर सिग्मा मॉडल में मरोड़ और जियोमेट्रोस्टेसिस| journal = Nuclear Physics B | volume = 260 | issue = 3–4 | pages = 630 | year = 1985 |bibcode = 1985NuPhB.260..630B }}</ref>
-{{further|Ricci flow}}
-== ओ (3) गैर रेखीय सिग्मा मॉडल ==
+फ्लेवर-चिराल विसंगतियों का प्रतिनिधित्व करने वाले नॉनलाइनियर इंटरैक्शन को जोड़ने से वेस-जुमिनो-विटन प्रारूप में परिणाम मिलता है,<ref>{{cite journal |first=E. |last=Witten |s2cid=122018499 |title=दो आयामों में गैर-अबेलियन बोसोनाइजेशन|journal=[[Communications in Mathematical Physics]] |volume= 92| issue= 4 |year=1984 | pages= 455–472 | doi= 10.1007/BF01215276|bibcode = 1984CMaPh..92..455W |url=http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1103940923 }}</ref> कौन
-इसके सामयिक गुणों के कारण विशेष रुचि का एक प्रसिद्ध उदाहरण, O(3) अरैखिक है {{mvar|σ}}-मॉडल 1 +1 आयामों में, Lagrangian घनत्व के साथ
+[[Index.php?title=टेलीपेराल्लेलिस्म|टेलीपेराल्लेलिस्म]] के कारण [[मरोड़ टेंसर]]को सम्मिलित करने के लिए प्रवाह की ज्यामिति को बढ़ाता है, पुनर्सामान्यता को संरक्षित करता है, और एक अवरक्त निश्चित बिंदु तक ले जाता है।<ref>{{Cite journal | last1 = Braaten | first1 = E. | last2 = Curtright | first2 = T. L. | last3 = Zachos | first3 = C. K. | doi = 10.1016/0550-3213(85)90053-7 | title = नॉनलाइनियर सिग्मा मॉडल में मरोड़ और जियोमेट्रोस्टेसिस| journal = Nuclear Physics B | volume = 260 | issue = 3–4 | pages = 630 | year = 1985 |bibcode = 1985NuPhB.260..630B }}</ref>
+== ओ (3) गैर रेखीय सिग्मा प्रारूप ==
+इसके सामयिक गुणों के कारण विशेष रुचि का एक प्रसिद्ध उदाहरण, O(3) अरैखिक है {{mvar|σ}}-प्रारूप 1 +1 आयामों में, लाग्रंगियन घनत्व के साथ-
 :<math>\mathcal L= \tfrac{1}{2}\ \partial^\mu \hat n \cdot\partial_\mu \hat n </math>
-जहां एन = (एन<sub>1</sub>, एन<sub>2</sub>, एन<sub>3</sub>) बाधा के साथ n̂⋅n̂=1 और {{mvar|μ}}=1,2।
+जहां एन = (n<sub>1</sub>, n<sub>2</sub>, n<sub>3</sub>) बाधा के साथ n̂⋅n̂=1 और {{mvar|μ}}=1,2।
-यह मॉडल टोपोलॉजिकल परिमित क्रिया समाधान के लिए अनुमति देता है, क्योंकि अनंत स्थान-समय पर लैग्रैंगियन घनत्व गायब हो जाना चाहिए, जिसका अर्थ है n̂ = अनंत पर स्थिर। इसलिए, परिमित-क्रिया समाधान के वर्ग में, एक बिंदु के रूप में अनंत पर बिंदुओं की पहचान की जा सकती है, अर्थात अंतरिक्ष-समय को [[रीमैन क्षेत्र]] के साथ पहचाना जा सकता है।
+यह प्रारूप संस्थानिक परिमित क्रिया समाधान के लिए अनुमति देता है, क्योंकि अनंत स्थान-समय पर लैग्रैंगियन घनत्व अदृश्य हो जाना चाहिए, जिसका अर्थ है n̂ = अनंत पर स्थिर। इसलिए, परिमित-क्रिया समाधान के वर्ग में, एक बिंदु के रूप में अनंत पर बिंदुओं की पहचान की जा सकती है, अर्थात स्थान -समय को [[रीमैन क्षेत्र]] के साथ पहचाना जा सकता है।
-चूँकि n̂-क्षेत्र एक गोले पर भी रहता है, मानचित्रण  {{math|''S<sup>2</sup>→ S<sup>2</sup>''}} साक्ष्य के रूप में है, जिसके समाधानों को 2-गोले के दूसरे [[होमोटॉपी समूह]] द्वारा वर्गीकृत किया गया है: इन समाधानों को O(3) [[इंस्टेंटन]] कहा जाता है।
+चूँकि n̂-क्षेत्र एक गोले पर भी रहता है, मानचित्रण  {{math|''S<sup>2</sup>→ S<sup>2</sup>''}} साक्ष्य के रूप में है, जिसके समाधानों को 2-गोले के दूसरे [[होमोटॉपी समूह|समस्थेयता समूह]] द्वारा वर्गीकृत किया गया है: इन समाधानों को O(3) [[इंस्टेंटन]] कहा जाता है।
-इस मॉडल को 1+2 आयामों में भी माना जा सकता है, जहां टोपोलॉजी अब केवल स्थानिक स्लाइस से आती है। इन्हें अनंत पर एक बिंदु के साथ R^2 के रूप में तैयार किया गया है, और इसलिए 1+1 आयामों में O(3) इंस्टेंटॉन के समान टोपोलॉजी है। उन्हें सिग्मा मॉडल गांठ कहा जाता है।
+इस प्रारूप को 1+2 आयामों में भी माना जा सकता है, जहां सांस्थिति अब केवल स्थानिक अंश से आती है। इन्हें अनंत पर एक बिंदु के साथ R^2 के रूप में प्रस्तुत किया गया है, और इसलिए 1+1 आयामों में O(3) इंस्टेंटॉन के समान सांस्थिति है। उन्हें सिग्मा प्रारूप गांठ कहा जाता है।
 == यह भी देखें ==
-* सिग्मा मॉडल
+* सिग्मा प्रारूप
-* [[चिराल मॉडल]]
+* [[चिराल मॉडल|चिराल प्रारूप]]
 * [[लिटिल हिग्स]]
-* [[स्किर्मियन]], गैर-रैखिक सिग्मा मॉडल में एक सॉलिटॉन
+* [[स्किर्मियन]], गैर-रैखिक सिग्मा प्रारूप में एक सॉलिटॉन
 * पॉलाकोव क्रिया
-* WZW मॉडल
+* WZW प्रारूप
-* फ़ुबिनी-अध्ययन मीट्रिक, एक मीट्रिक जिसका उपयोग अक्सर गैर-रैखिक सिग्मा मॉडल के साथ किया जाता है
+* फ़ुबिनी-अध्ययन मीट्रिक, एक मीट्रिक जिसका उपयोग अक्सर गैर-रैखिक सिग्मा प्रारूप के साथ किया जाता है
 * रिक्की प्रवाह
 * [[स्केल इनवेरियन]]

v t e String theory
Background	Strings Cosmic strings History of string theory First superstring revolution Second superstring revolution String theory landscape
Theory	Nambu–Goto action Polyakov action Bosonic string theory Superstring theory Type I string Type II string Type IIA string Type IIB string Heterotic string N=2 superstring F-theory String field theory Matrix string theory Non-critical string theory Non-linear sigma model Tachyon condensation RNS formalism GS formalism
String duality	T-duality S-duality U-duality Montonen–Olive duality
Particles and fields	Graviton Dilaton Tachyon Ramond–Ramond field Kalb–Ramond field Magnetic monopole Dual graviton Dual photon
Branes	D-brane NS5-brane M2-brane M5-brane S-brane Black brane Black holes Black string Brane cosmology Quiver diagram Hanany–Witten transition
Conformal field theory	Virasoro algebra Mirror symmetry Conformal anomaly Conformal algebra Superconformal algebra Vertex operator algebra Loop algebra Kac–Moody algebra Wess–Zumino–Witten model
Gauge theory	Anomalies Instantons Chern–Simons form Bogomol'nyi–Prasad–Sommerfield bound Exceptional Lie groups (G₂, F₄, E₆, E₇, E₈) ADE classification Dirac string p-form electrodynamics
Geometry	Worldsheet Kaluza–Klein theory Compactification Why 10 dimensions? Kähler manifold Ricci-flat manifold Calabi–Yau manifold Hyperkähler manifold K3 surface G₂ manifold Spin(7)-manifold Generalized complex manifold Orbifold Conifold Orientifold Moduli space Hořava–Witten theory K-theory (physics) Twisted K-theory
Supersymmetry	Supergravity Superspace Lie superalgebra Lie supergroup
Holography	Holographic principle AdS/CFT correspondence
M-theory	Matrix theory Introduction to M-theory
String theorists	Aganagić Arkani-Hamed Atiyah Banks Berenstein Bousso Cleaver Curtright Dijkgraaf Distler Douglas Duff Dvali Ferrara Fischler Friedan Gates Gliozzi Gopakumar Green Greene Gross Gubser Gukov Guth Hanson Harvey 't Hooft Hořava Gibbons Kachru Kaku Kallosh Kaluza Kapustin Klebanov Knizhnik Kontsevich Klein Linde Maldacena Mandelstam Marolf Martinec Minwalla Moore Motl Mukhi Myers Nanopoulos Năstase Nekrasov Neveu Nielsen van Nieuwenhuizen Novikov Olive Ooguri Ovrut Polchinski Polyakov Rajaraman Ramond Randall Randjbar-Daemi Roček Rohm Sagnotti Scherk Schwarz Seiberg Sen Shenker Siegel Silverstein Sơn Staudacher Steinhardt Strominger Sundrum Susskind Townsend Trivedi Turok Vafa Veneziano Verlinde Verlinde Wess Witten Yau Yoneya Zamolodchikov Zamolodchikov Zaslow Zumino Zwiebach

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