बीजगणितीय ज्यामिति और विश्लेषणात्मक ज्यामिति: Difference between revisions

Revision as of 00:38, 2 May 2023

गणित में, बीजगणितीय ज्यामिति और विश्लेषणात्मक ज्यामिति को दो निकट के विषयों से संबंधित किया जाता हैं। जबकि बीजगणितीय ज्यामिति बीजगणितीय विविधता का अध्ययन करती है, इस प्रकार विश्लेषणात्मक ज्यामिति कई जटिल चर के विश्लेषणात्मक कार्य के विलुप्त होने से स्थानीय रूप से परिभाषित जटिलता को कई गुना और अधिक सामान्य विश्लेषणात्मक रिक्त स्थान से संबंधित कर देता हैं। इन विषयों के बीच गहरे संबंध में कई अनुप्रयोग हैं जिनमें बीजगणितीय विधियों को विश्लेषणात्मक स्थानों और विश्लेषणात्मक विधियों को बीजगणितीय प्रकारों पर लागू किया जाता है।

मुख्य कथन

यहाँ पर बता दें कि X प्रक्षेपी जटिल बीजगणितीय प्रकार है। क्योंकि X जटिल प्रकार का एक तत्व है, इसके जटिल बिंदुओं के समूह X('C') को कॉम्पैक्ट जटिल विश्लेषणात्मक स्थान की संरचना दी जा सकती है। इस विश्लेषणात्मक स्थान को X¹ दर्शाया गया है, इसी प्रकार यदि ${\mathcal {F}}$ X पर यह इसका प्रारूप है, तो संबंधित प्रारूप ${\mathcal {F}}^{\text{an}}$ X¹ है। इसके अनुसार बीजगणितीय वस्तु के लिए विश्लेषणात्मक वस्तु का यह संयोजन रोचक है। इस प्रकार X और X^a से संबंधित प्रोटोटाइपिकल प्रमेय कहती है कि किन्हीं दो सुसंगत समूहों के लिए ${\mathcal {F}}$ और ${\mathcal {G}}$ X पर प्राकृतिक समरूपता को इस प्रकार प्रकट करते हैं:

{\text{Hom}}_{{\mathcal {O}}_{X}}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})\rightarrow {\text{Hom}}_{{\mathcal {O}}_{X}^{\text{an}}}({\mathcal {F}}^{\text{an}},{\mathcal {G}}^{\text{an}})

एक समरूपता है। यहाँ ${\mathcal {O}}_{X}$ बीजगणितीय प्रकार X और की संरचना शीफ ${\mathcal {O}}_{X}^{\text{an}}$ है, जो विश्लेषणात्मक प्रकार X¹ से संरचना शीफ के कारण प्रकट होता है, दूसरे शब्दों में, बीजगणितीय प्रकार X पर सुसंगत समूहों की श्रेणी विश्लेषणात्मक विविधता X^an पर विश्लेषणात्मक सुसंगत समूहों की श्रेणी के समान है, और समानता मानचित्रण द्वारा वस्तुओं पर ${\mathcal {F}}$ को ${\mathcal {F}}^{\text{an}}$ का मान दिया गया है। (इसके फलस्वरूप विशेष रूप से ध्यान दें कि ${\mathcal {O}}_{X}^{\text{an}}$ स्वयं सुसंगत है, परिणाम जिसे ओका जुटना प्रमेय के रूप में जाना जाता है,^[1] और साथ ही यह "सुसंगत बीजगणितीय बीम्स" में सिद्ध हुआ था (सेर्रे (1955)) कि बीजगणितीय प्रकार की संरचना शीफ ${\mathcal {O}}_{X}$ सुसंगत है।^[2])

एक अन्य महत्वपूर्ण कथन इस प्रकार है: किसी सुसंगत शीफ के लिए ${\mathcal {F}}$ बीजगणितीय प्रकार X समरूपता पर

\varepsilon _{q}\ :\ H^{q}(X,{\mathcal {F}})\rightarrow H^{q}(X^{an},{\mathcal {F}}^{an})

सभी q के लिए तुल्याकारिताएँ हैं। इसका मतलब यह है कि X पर q-th कोहोलॉजी समूह, X¹ पर कोहोलॉजी समूह के लिए आइसोमोर्फिक कहा जाता है।

इस प्रमेय के अनुसार ऊपर वर्णित प्रमेय की तुलना में सामान्यतः अधिक लागू होता है (नीचे मौलिक कथन देखें)। इसके और इसके प्रमाण के कई परिणाम हैं, जैसे चाउ की प्रमेय या| चाउ की प्रमेय, द लेफ्शेत्ज़ सिद्धांत और कोडैरा लुप्त प्रमेय को प्रकट करता हैं।

पृष्ठभूमि

बीजगणितीय प्रकारों को स्थानीय रूप से बहुपदों के सामान्य शून्य समूह के रूप में परिभाषित किया जाता है और चूंकि जटिल संख्याओं पर बहुपद होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन होते हैं, सी से अधिक बीजगणितीय प्रकारों को विश्लेषणात्मक रिक्त स्थान के रूप में व्याख्या किया जा सकता है। इसी तरह, प्रकारों के बीच नियमित माॅर्फिज्म को विश्लेषणात्मक रिक्त स्थान के बीच होलोमोर्फिक मैपिंग के रूप में व्याख्या किया जाता है। कुछ आश्चर्य की बात है, बीजगणितीय तरीके से विश्लेषणात्मक वस्तुओं की व्याख्या करने के लिए अधिकांशतः दूसरी विधि से जाना संभव होता है।

उदाहरण के लिए, यह प्रमाणित करना सरल है कि रीमैन स्फीयर से लेकर स्वयं तक के विश्लेषणात्मक कार्य या तो हैं, इसके अनुसार तर्कसंगत कार्य या समान रूप से अनंत कार्य (लिउविले के प्रमेय का विस्तार (जटिल विश्लेषण) का कल्याण हैं | इस प्रकार लिउविल का प्रमेय के अनुसार यदि ऐसा कोई फ़ंक्शन f गैर-स्थिर है, तो z के समूह के पश्चात जहाँ f(z) अनंत है और रीमैन क्षेत्र कॉम्पैक्ट है, वहाँ बहुत सारे z' हैं के साथ f(z) अनंत के बराबर है। ऐसे सभी 'z' पर लॉरेंट विस्तार पर विचार करें और एकवचन भाग को घटाया जाता हैं: हमारे पास सी में मानों के साथ रीमैन क्षेत्र पर फ़ंक्शन के साथ छोड़ दिया जाता है, जो लिउविल के प्रमेय द्वारा स्थिर है। इस प्रकार 'एफ' तर्कसंगत कार्य है। इस तथ्य से पता चलता है कि बीजगणितीय विविधता के रूप में या रीमैन क्षेत्र के रूप में जटिल प्रक्षेपी रेखा के बीच कोई आवश्यक अंतर नहीं है।

महत्वपूर्ण परिणाम

बीजगणितीय ज्यामिति और विश्लेषणात्मक ज्यामिति के बीच तुलनात्मक परिणामों का लंबा इतिहास है, जो उन्नीसवीं शताब्दी में प्रारंभ हुआ था। कालानुक्रमिक क्रम में कुछ अधिक महत्वपूर्ण प्रगति यहाँ सूचीबद्ध हैं।

रीमैन का अस्तित्व प्रमेय

रीमैन सतह सिद्धांत से पता चलता है कि कॉम्पैक्ट जगह रीमैन की सतह पर पर्याप्त मेरोमॉर्फिक फ़ंक्शन होते हैं, जिससे यह बीजगणितीय वक्र बन जाता है। इस प्रकार रीमैन के अस्तित्व प्रमेय के नाम से^[3]^[4]^[5] कॉम्पैक्ट रीमैन सतह के रेमीफाइड आवरण पर गहरा परिणाम ज्ञात था: टोपोलॉजिकल स्थान के रूप में इस प्रकार के परिमित आवरण को रेमिफिकेशन (गणित) के पूरक के मौलिक समूह के क्रमपरिवर्तन अभ्यावेदन द्वारा वर्गीकृत किया गया है। चूंकि रीमैन सतह की संपत्ति स्थानीय है, ऐसे आवरण को जटिल-विश्लेषणात्मक अर्थों में आवरण के रूप में सरली से देखा जा सकता है। तब यह निष्कर्ष निकालना संभव है कि वे बीजगणितीय वक्रों के मानचित्रों को कवर करने से आते हैं - अर्थात, ऐसे आवरण बीजगणितीय विविधता के कार्य क्षेत्र के परिमित विस्तार से आते हैं।

लेफ्शेट्ज़ सिद्धांत

बीसवीं शताब्दी में, सोलोमन लेफशेट्ज़ के नाम पर लेफशेट्ज़ सिद्धांत को बीजगणितीय ज्यामिति में उद्धृत किया गया था ताकि किसी भी बीजगणितीय रूप से विवृत फ़ील्ड 'के' की विशेषता (बीजगणित) 0 पर बीजगणितीय ज्यामिति के लिए टोपोलॉजिकल तकनीकों के उपयोग को उचित ठहराया जा सकता हैं। इस कारण K के लिए यदि मानो तो यह सम्मिश्र संख्या का क्षेत्र हैं। इस प्रकार इसका प्राथमिक रूप यह प्रमाण करता है कि सी के बारे में क्षेत्रों के पहले क्रम के सिद्धांत के सच्चे बयान किसी भी बीजगणितीय रूप से विवृत फ़ील्ड के की विशेषता शून्य के लिए सही हैं। इस प्रकार सटीक सिद्धांत और इसका प्रमाण अल्फ्रेड टार्स्की के कारण हैं और गणितीय तर्क पर आधारित हैं।^[6]^[7]

यह सिद्धांत बीजगणितीय प्रकारों के लिए विश्लेषणात्मक या सामयिक विधियों का उपयोग करके प्राप्त किए गए कुछ परिणामों को C से अन्य बीजगणितीय रूप से विवृत क्षेत्रों में ले जाने की अनुमति देता है।

चाउ की प्रमेय

चाऊ (1949), वी-एल इयान जीसी कैसे द्वारा सिद्ध किया गया, उपलब्ध तुलना के सबसे तत्काल उपयोगी प्रकार का उदाहरण है। इसमें यह कथन हैं कि जटिल प्रक्षेपण स्थान का विश्लेषणात्मक उप-स्थान जो विवृत है (साधारण टोपोलॉजिकल अर्थ में) बीजगणितीय उपप्रकार है।^[8] इस प्रकार इसे जटिल प्रोजेक्टिव स्थान के किसी भी विश्लेषणात्मक उप-स्थान के रूप में दोहराया जा सकता है जो इस प्रकार मजबूत टोपोलॉजी में विवृत है, जरिस्की टोपोलॉजी में विवृत है। यह बीजगणितीय ज्यामिति के शास्त्रीय भागों के भीतर जटिल-विश्लेषणात्मक विधियों के मुक्त उपयोग की अनुमति देता है।

गागा

1950 के दशक के प्रारंभिक भाग के समय दो सिद्धांतों के बीच कई संबंधों की नींव रखी गई थी, उदाहरण के लिए, हॉज सिद्धांत से तकनीकों को सम्मिलित करने के लिए बीजगणितीय ज्यामिति की नींव रखने के व्यवसाय के हिस्से के रूप में। सिद्धांत को मजबूत करने वाला प्रमुख पेपर जियोमेट्री अल्जेब्रिक एट जियोमेट्री एनालिटिक था। इस प्रकार सेर्रे (1956) जीन पियरे सेरे द्वारा, अब सामान्यतः गागा के रूप में जाना जाता है। यह सामान्य परिणाम प्रमाणित करता है जो विश्लेषणात्मक रिक्त स्थान, होलोमोर्फिक मैपिंग और शेवों के वर्गों के साथ बीजगणितीय प्रकारों, नियमित संरचना और शीफ (गणित) के वर्गों से संबंधित है। यह इन सभी को समूहों की श्रेणियों की तुलना में कम कर देता है।

आजकल तुलना के किसी भी प्रमेय के लिए गागा-शैली परिणाम वाक्यांश का उपयोग किया जाता है, जो बीजगणितीय ज्यामिति से वस्तुओं की श्रेणी और उनके संरचना के बीच विश्लेषणात्मक ज्यामिति वस्तुओं और होलोमोर्फिक मैपिंग की अच्छी तरह से इस प्रकार परिभाषित उपश्रेणी के बीच पारित होने की अनुमति देता है।

गागा का औपचारिक बयान

इस प्रकार $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ C पर परिमित प्रकार की योजना बनाते हैं। फिर स्थलीय स्थान X^an है जो समूह के रूप में निरंतर समावेशन मानचित्र λ के साथ X_X के विवृत बिंदु होते हैं: X^an → X. X^a पर टोपोलॉजी को जटिल टोपोलॉजी कहा जाता है (और यह सबस्थान टोपोलॉजी से बहुत अलग है)।
मान लीजिए φ: X → Y 'C' पर स्थानीय रूप से परिमित प्रकार की योजनाओं का आकार है। इस प्रकार पुनः सतत प्रारूप φ^A में इसे सम्मिलित किया जाता है: X^A → Y^A ऐसा λ_Y ° ^A = φ ° λ_X
यह एक वक्र है जिसमे ${\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }$ X^A पर ऐसा कि $(X^{\mathrm {an} },{\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} })$ चक्राकार स्थान है और λ_X: X^an → X चक्राकार स्थानों का मानचित्र बन जाता है। इस प्रकार इस समतल को $(X^{\mathrm {an} },{\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} })$ का विश्लेषण कहा जाता है और $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ विश्लेषणात्मक स्थान है। इस प्रकार सभी φ के लिए: X → Y प्रारूप φ^a ऊपर परिभाषित विश्लेषणात्मक रिक्त स्थान का मानचित्रण है। इसके अतिरिक्त, प्रारूप φ ↦ φ^a मानचित्र संवृत्त विसर्जन से संवृत्त विसर्जन में परिवर्तित कर देते हैं। इस प्रकार यदि X = स्पेक ('C' [X₁,...,X_n]) का रूप प्रकट होता हैं तो इस स्थिति में X^{A = C^{n और ${\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }(U)$ को प्रत्येक पॉलीडिस्क U के लिए U पर होलोमोर्फिक कार्यों के स्थान का उपयुक्त भागफल है।}}
इस प्रकार इस प्रारूप के लिए ${\mathcal {F}}$ X पर (बीजगणितीय शीफ कहा जाता है) शीफ होता है, जहाँ पर ${\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }$ X^a पर (विश्लेषणात्मक शीफ कहा जाता है) और इसके समूहों का प्रारूप ${\mathcal {O}}_{X}$ -मॉड्यूल $\lambda _{X}^{*}:{\mathcal {F}}\rightarrow (\lambda _{X})_{*}{\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }$ पर ${\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }$ के रूप में परिभाषित किया जाता है। इस प्रकार $\lambda _{X}^{-1}{\mathcal {F}}\otimes _{\lambda _{X}^{-1}{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }$ के लिए पत्राचार ${\mathcal {F}}\mapsto {\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }$ समूहों की श्रेणी से सटीक फ़ैक्टर को परिभाषित करता है $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ के समूहों की श्रेणी में $(X^{\mathrm {an} },{\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} })$ इस प्रकार हैं।
निम्नलिखित दो कथन सेरे के गागा प्रमेय के हृदय हैं^[5]^[9] (अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक, अम्नोन नामान और अन्य द्वारा विस्तारित किया जाता हैं।)
यदि f: X → Y 'C' और पर परिमित प्रकार की योजनाओं का स्वरूप है तो ${\mathcal {F}}$ सुसंगत मान को प्रकट करता है इस क्रम में प्राकृतिक मानचित्र $(f_{*}{\mathcal {F}})^{\mathrm {an} }\rightarrow f_{*}^{\mathrm {an} }{\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }$ इंजेक्शन के रूप में उपयोग किया जाता है। यदि f उचित है तो यह मानचित्र तुल्याकारिता है। इसमें सभी उच्च प्रत्यक्ष छवियों को समूहों की समरूपता जो इस स्थिति में $(R^{i}f_{*}{\mathcal {F}})^{\mathrm {an} }\cong R^{i}f_{*}^{\mathrm {an} }{\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }$ के समान रहती हैं।
अब मान लीजिए कि X^an हॉसडॉर्फ और कॉम्पैक्ट है। जिसमें यदि ${\mathcal {F}},{\mathcal {G}}$ दो सुसंगत बीजगणितीय समूहों के समान हैं, इस स्थिति में $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ और यदि $f\colon {\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }\rightarrow {\mathcal {G}}^{\mathrm {an} }$ के समूहों का प्रारूप है। जहाँ ${\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }$ -मॉड्यूल तो वहीं इन समूहों का अनूठा प्रारूप ${\mathcal {O}}_{X}$ -मॉड्यूल $\varphi :{\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ साथ $f=\varphi ^{\mathrm {an} }$ सम्मिलित है। इस स्थिति में यदि ${\mathcal {R}}$ का सुसंगत विश्लेषणात्मक शीफ ${\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }$ -मॉड्यूल X^a है तो सुसंगत बीजगणितीय शीफ ${\mathcal {F}}$ का ${\mathcal {O}}_{X}$ -मॉड्यूल और समरूपता ${\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }\cong {\mathcal {R}}$ सम्मिलित है।

थोड़ी कम व्यापकता में, गागा प्रमेय का प्रमाण यह है कि सुसंगत बीजगणितीय समूहों की श्रेणी जटिल प्रक्षेपी प्रकार X पर और संगत विश्लेषणात्मक स्थान X^a पर सुसंगत विश्लेषणात्मक समूहों की श्रेणी समतुल्य हैं। विश्लेषणात्मक स्थान X^a को मुख्यतः 'C' से जटिल संरचना Xⁿ पर वापस खींचकर प्राप्त किया जाता है। इस निर्देशांक के चार्ट के माध्यम से इसे प्रकट करते हैं। इस प्रकार मुख्यतः इस प्रमेय को वाक्यांश देने के लिए इसे किसी पेपर की भावना के समीप माना जाता हैं, यह देखते हुए कि कैसे पूर्ण योजना-सैद्धांतिक भाषा जिसका उपरोक्त औपचारिक कथन पर भारी उपयोग करता है, अभी तक गागा के प्रकाशन के समय तक आविष्कार नहीं किया गया था।

↑ (Hall 2018)
↑ (Remmert 1994)
↑ (Grauert & Remmert 1958)
↑ (Harbater 2003)
↑ ^5.0 ^5.1 (Grothendieck & Raynaud 2002)
↑ For discussions see Seidenberg (1958), Comments on Lefschetz's Principle; Frey & Rück (1986), The strong Lefschetz principle in algebraic geometry.
↑ (Kuhlmann 2001)
↑ (Hartshorne 1970)
↑ (Neeman 2007)

संदर्भ

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Grauert, Hans; Remmert, Reinhold (1958). "Komplexe Räume". Mathematische Annalen. 136 (3): 245–318. doi:10.1007/BF01362011. S2CID 121348794.
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बाहरी संबंध

Kiran Kedlaya. 18.726 Algebraic Geometry (LEC # 30 - 33 गागा)Spring 2009. Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare Creative Commons BY-NC-SA

[1] (Hall 2018)

[2] (Remmert 1994)

[3] (Grauert & Remmert 1958)

[4] (Harbater 2003)

[SGA1GAGA-5] 5.0 ^5.1 (Grothendieck & Raynaud 2002)

[6] For discussions see Seidenberg (1958), Comments on Lefschetz's Principle; Frey & Rück (1986), The strong Lefschetz principle in algebraic geometry.

[7] (Kuhlmann 2001)

[8] (Hartshorne 1970)

[9] (Neeman 2007)

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 {{Short description|Two closely related mathematical subjects}}
-गणित में, [[बीजगणितीय ज्यामिति]] और विश्लेषणात्मक ज्यामिति दो निकट से संबंधित विषय हैं। जबकि बीजगणितीय ज्यामिति बीजगणितीय विविधता का अध्ययन करती है, विश्लेषणात्मक ज्यामिति [[कई जटिल चर]]ों के [[विश्लेषणात्मक कार्य]]ों के गायब होने से स्थानीय रूप से परिभाषित [[जटिल कई गुना]] और अधिक सामान्य विश्लेषणात्मक रिक्त स्थान से संबंधित है। इन विषयों के बीच गहरे संबंध में कई अनुप्रयोग हैं जिनमें बीजगणितीय तकनीकों को [[विश्लेषणात्मक स्थान]]ों और विश्लेषणात्मक तकनीकों को [[बीजगणितीय किस्म]]ों पर लागू किया जाता है।
+गणित में, [[बीजगणितीय ज्यामिति]] और विश्लेषणात्मक ज्यामिति को दो निकट के विषयों से संबंधित किया जाता हैं। जबकि बीजगणितीय ज्यामिति बीजगणितीय विविधता का अध्ययन करती है, इस प्रकार विश्लेषणात्मक ज्यामिति [[कई जटिल चर]] के [[विश्लेषणात्मक कार्य]] के विलुप्त होने से स्थानीय रूप से परिभाषित [[जटिल कई गुना|जटिलता को कई गुना]] और अधिक सामान्य विश्लेषणात्मक रिक्त स्थान से संबंधित कर देता हैं। इन विषयों के बीच गहरे संबंध में कई अनुप्रयोग हैं जिनमें बीजगणितीय विधियों को [[विश्लेषणात्मक स्थान|विश्लेषणात्मक स्थानों]] और विश्लेषणात्मक विधियों को [[बीजगणितीय किस्म|बीजगणितीय प्रकारों]] पर लागू किया जाता है।
 == मुख्य कथन ==
-बता दें कि X प्रक्षेपी जटिल बीजगणितीय किस्म है। क्योंकि X जटिल किस्म है, इसके जटिल बिंदुओं के सेट X('C') को कॉम्पैक्ट [[जटिल विश्लेषणात्मक स्थान]] की संरचना दी जा सकती है। इस विश्लेषणात्मक स्थान को X दर्शाया गया है<sup>एक</sup>. इसी प्रकार यदि <math>\mathcal{F}</math> X पर पूला है, तो संबंधित पूला है <math>\mathcal{F}^\text{an}</math> एक्स पर<sup>एक</sup>. बीजगणितीय वस्तु के लिए विश्लेषणात्मक वस्तु का यह जुड़ाव मज़ेदार है। X और X से संबंधित प्रोटोटाइपिकल प्रमेय<sup>a</sup> कहता है कि किन्हीं दो [[सुसंगत ढेर]]ों के लिए <math>\mathcal{F}</math> और <math>\mathcal{G}</math> एक्स पर, प्राकृतिक समरूपता:
+यहाँ पर बता दें कि X प्रक्षेपी जटिल बीजगणितीय प्रकार है। क्योंकि X जटिल प्रकार का एक तत्व है, इसके जटिल बिंदुओं के समूह X('C') को कॉम्पैक्ट [[जटिल विश्लेषणात्मक स्थान]] की संरचना दी जा सकती है। इस विश्लेषणात्मक स्थान को X<sup>1</sup> दर्शाया गया है, इसी प्रकार यदि <math>\mathcal{F}</math> X पर यह इसका प्रारूप है, तो संबंधित प्रारूप <math>\mathcal{F}^\text{an}</math> X<sup>1</sup> है। इसके अनुसार बीजगणितीय वस्तु के लिए विश्लेषणात्मक वस्तु का यह संयोजन रोचक है। इस प्रकार X और X<sup>a</sup> से संबंधित प्रोटोटाइपिकल प्रमेय कहती है कि किन्हीं दो [[सुसंगत ढेर|सुसंगत]] समूहों के लिए <math>\mathcal{F}</math> और <math>\mathcal{G}</math> X पर प्राकृतिक समरूपता को इस प्रकार प्रकट करते हैं:
 :<math>\text{Hom}_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F},\mathcal{G})\rightarrow\text{Hom}_{\mathcal{O}^{\text{an}}_X}(\mathcal{F}^{\text{an}},\mathcal{G}^{\text{an}})</math>
-एक समरूपता है। यहाँ <math>\mathcal{O}_X</math> बीजगणितीय किस्म X और की [[संरचना शीफ]] है <math>\mathcal{O}_X^{\text{an}}</math> विश्लेषणात्मक किस्म X का संरचना शीफ है<sup>एक</sup>. दूसरे शब्दों में, बीजगणितीय किस्म X पर सुसंगत ढेरों की श्रेणी विश्लेषणात्मक विविधता X पर विश्लेषणात्मक सुसंगत ढेरों की श्रेणी के बराबर है<sup>an</sup>, और समानता मानचित्रण द्वारा वस्तुओं पर दी गई है <math>\mathcal{F}</math> को <math>\mathcal{F}^\text{an}</math>. (विशेष रूप से ध्यान दें कि <math>\mathcal{O}^{\text{an}}_X</math> स्वयं सुसंगत है, परिणाम जिसे ओका जुटना प्रमेय के रूप में जाना जाता है,<ref>{{harv|Hall|2018}}</ref> और साथ ही, यह "सुसंगत बीजगणितीय बीम्स" में सिद्ध हुआ था ({{harvtxt|Serre|1955}}) कि बीजगणितीय किस्म की संरचना शीफ <math>\mathcal{O}_X</math> सुसंगत है।<ref>{{harv|Remmert|1994}}</ref>)
+एक समरूपता है। यहाँ <math>\mathcal{O}_X</math> बीजगणितीय प्रकार X और की [[संरचना शीफ]]  <math>\mathcal{O}_X^{\text{an}}</math> है, जो विश्लेषणात्मक प्रकार X<sup>1</sup> से संरचना शीफ के कारण प्रकट होता है, दूसरे शब्दों में, बीजगणितीय प्रकार X पर सुसंगत समूहों की श्रेणी विश्लेषणात्मक विविधता X<sup>an</sup> पर विश्लेषणात्मक सुसंगत समूहों की श्रेणी के समान है, और समानता मानचित्रण द्वारा वस्तुओं पर  <math>\mathcal{F}</math> को <math>\mathcal{F}^\text{an}</math>का मान दिया गया है। (इसके फलस्वरूप विशेष रूप से ध्यान दें कि <math>\mathcal{O}^{\text{an}}_X</math> स्वयं सुसंगत है, परिणाम जिसे ओका जुटना प्रमेय के रूप में जाना जाता है,<ref>{{harv|Hall|2018}}</ref> और साथ ही यह "सुसंगत बीजगणितीय बीम्स" में सिद्ध हुआ था ({{harvtxt|सेर्रे|1955}}) कि बीजगणितीय प्रकार की संरचना शीफ <math>\mathcal{O}_X</math> सुसंगत है।<ref>{{harv|Remmert|1994}}</ref>)
-एक अन्य महत्वपूर्ण कथन इस प्रकार है: किसी सुसंगत शीफ के लिए <math>\mathcal{F}</math> बीजगणितीय किस्म X समरूपता पर
+एक अन्य महत्वपूर्ण कथन इस प्रकार है: किसी सुसंगत शीफ के लिए <math>\mathcal{F}</math> बीजगणितीय प्रकार X समरूपता पर
 :<math>\varepsilon_q\ :\ H^q(X,\mathcal{F}) \rightarrow H^q(X^{an},\mathcal{F}^{an})</math>
-सभी q के लिए तुल्याकारिताएँ हैं। इसका मतलब यह है कि X पर q-th कोहोलॉजी समूह, X पर कोहोलॉजी समूह के लिए आइसोमोर्फिक है<sup>एक</sup>.
+सभी q के लिए तुल्याकारिताएँ हैं। इसका मतलब यह है कि X पर q-th कोहोलॉजी समूह, X<sup>1</sup> पर कोहोलॉजी समूह के लिए आइसोमोर्फिक कहा जाता है।
-प्रमेय ऊपर वर्णित की तुलना में आम तौर पर अधिक लागू होता है (नीचे #formal कथन देखें)। इसके और इसके प्रमाण के कई परिणाम हैं, जैसे #Chow's theorem|Chow's theorem, The Lefschetz theory और Kodaira लुप्त प्रमेय।
+इस प्रमेय के अनुसार ऊपर वर्णित प्रमेय की तुलना में सामान्यतः अधिक लागू होता है (नीचे मौलिक कथन देखें)। इसके और इसके प्रमाण के कई परिणाम हैं, जैसे चाउ की प्रमेय या| चाउ की प्रमेय, द लेफ्शेत्ज़ सिद्धांत और कोडैरा लुप्त प्रमेय को प्रकट करता हैं।
 == पृष्ठभूमि ==
-बीजगणितीय किस्मों को स्थानीय रूप से बहुपदों के सामान्य शून्य सेट के रूप में परिभाषित किया जाता है और चूंकि जटिल संख्याओं पर बहुपद [[होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन]] होते हैं, सी से अधिक बीजगणितीय किस्मों को विश्लेषणात्मक रिक्त स्थान के रूप में व्याख्या किया जा सकता है। इसी तरह, किस्मों के बीच नियमित morphisms को विश्लेषणात्मक रिक्त स्थान के बीच होलोमोर्फिक मैपिंग के रूप में व्याख्या किया जाता है। कुछ आश्चर्य की बात है, बीजगणितीय तरीके से विश्लेषणात्मक वस्तुओं की व्याख्या करने के लिए अक्सर दूसरे तरीके से जाना संभव होता है।
+बीजगणितीय प्रकारों को स्थानीय रूप से बहुपदों के सामान्य शून्य समूह के रूप में परिभाषित किया जाता है और चूंकि जटिल संख्याओं पर बहुपद [[होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन]] होते हैं, सी से अधिक बीजगणितीय प्रकारों को विश्लेषणात्मक रिक्त स्थान के रूप में व्याख्या किया जा सकता है। इसी तरह, प्रकारों के बीच नियमित माॅर्फिज्म को विश्लेषणात्मक रिक्त स्थान के बीच होलोमोर्फिक मैपिंग के रूप में व्याख्या किया जाता है। कुछ आश्चर्य की बात है, बीजगणितीय तरीके से विश्लेषणात्मक वस्तुओं की व्याख्या करने के लिए अधिकांशतः दूसरी विधि से जाना संभव होता है।
-उदाहरण के लिए, यह साबित करना आसान है कि रीमैन स्फीयर से लेकर स्वयं तक के विश्लेषणात्मक कार्य या तो हैं
+उदाहरण के लिए, यह प्रमाणित करना सरल है कि रीमैन स्फीयर से लेकर स्वयं तक के विश्लेषणात्मक कार्य या तो हैं, इसके अनुसार तर्कसंगत कार्य या समान रूप से अनंत कार्य (लिउविले के प्रमेय का विस्तार (जटिल विश्लेषण) का कल्याण हैं | इस प्रकार लिउविल का प्रमेय के अनुसार यदि ऐसा कोई फ़ंक्शन ''f'' गैर-स्थिर है, तो ''z'' के समूह के पश्चात जहाँ ''f(z)'' अनंत है और [[रीमैन क्षेत्र]] कॉम्पैक्ट है, वहाँ बहुत सारे ''z' हैं'' के साथ ''f(z)'' अनंत के बराबर है। ऐसे सभी 'z' पर [[लॉरेंट विस्तार]] पर विचार करें और एकवचन भाग को घटाया जाता हैं: हमारे पास सी में मानों के साथ रीमैन क्षेत्र पर फ़ंक्शन के साथ छोड़ दिया जाता है, जो लिउविल के प्रमेय द्वारा स्थिर है। इस प्रकार 'एफ' तर्कसंगत कार्य है। इस तथ्य से पता चलता है कि बीजगणितीय विविधता के रूप में या रीमैन क्षेत्र के रूप में जटिल प्रक्षेपी रेखा के बीच कोई आवश्यक अंतर नहीं है।
-तर्कसंगत कार्य या समान रूप से अनंत कार्य (लिउविले के प्रमेय का विस्तार (जटिल विश्लेषण) | लिउविल का प्रमेय)। यदि ऐसा कोई फ़ंक्शन ''f'' गैर-स्थिर है, तो ''z'' के सेट के बाद से जहां ''f(z)'' अनंत है और [[रीमैन क्षेत्र]] कॉम्पैक्ट है, वहाँ बहुत सारे ''z' हैं'' के साथ ''f(z)'' अनंत के बराबर है। ऐसे सभी 'z' पर [[लॉरेंट विस्तार]] पर विचार करें और एकवचन भाग को घटाएं: हमारे पास सी में मानों के साथ रीमैन क्षेत्र पर फ़ंक्शन के साथ छोड़ दिया जाता है, जो लिउविल के प्रमेय द्वारा स्थिर है। इस प्रकार 'एफ' तर्कसंगत कार्य है। इस तथ्य से पता चलता है कि बीजगणितीय विविधता के रूप में या रीमैन क्षेत्र के रूप में जटिल प्रक्षेपी रेखा के बीच कोई आवश्यक अंतर नहीं है।
 == महत्वपूर्ण परिणाम ==
-बीजगणितीय ज्यामिति और विश्लेषणात्मक ज्यामिति के बीच तुलनात्मक परिणामों का लंबा इतिहास है, जो उन्नीसवीं शताब्दी में शुरू हुआ था। कालानुक्रमिक क्रम में कुछ अधिक महत्वपूर्ण प्रगति यहाँ सूचीबद्ध हैं।
+बीजगणितीय ज्यामिति और विश्लेषणात्मक ज्यामिति के बीच तुलनात्मक परिणामों का लंबा इतिहास है, जो उन्नीसवीं शताब्दी में प्रारंभ हुआ था। कालानुक्रमिक क्रम में कुछ अधिक महत्वपूर्ण प्रगति यहाँ सूचीबद्ध हैं।
 === रीमैन का अस्तित्व प्रमेय ===
-[[रीमैन सतह]] सिद्धांत से पता चलता है कि [[ कॉम्पैक्ट जगह |कॉम्पैक्ट जगह]] रीमैन की सतह पर पर्याप्त [[मेरोमॉर्फिक फ़ंक्शन]] होते हैं, जिससे यह [[बीजगणितीय वक्र]] बन जाता है। रीमैन के अस्तित्व प्रमेय के नाम से<ref>{{harv|Grauert|Remmert|1958}}</ref><ref>{{harv|Harbater|2003}}</ref><ref name=SGA1GAGA>{{harv|Grothendieck|Raynaud|2002}}</ref> कॉम्पैक्ट रीमैन सतह के रेमीफाइड कवरिंग पर गहरा परिणाम ज्ञात था: [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] के रूप में इस तरह के परिमित कवरिंग को रेमिफिकेशन (गणित) के पूरक के [[मौलिक समूह]] के क्रमपरिवर्तन अभ्यावेदन द्वारा वर्गीकृत किया गया है। चूंकि रीमैन सतह की संपत्ति स्थानीय है, ऐसे कवरिंग को जटिल-विश्लेषणात्मक अर्थों में कवरिंग के रूप में आसानी से देखा जा सकता है। तब यह निष्कर्ष निकालना संभव है कि वे बीजगणितीय वक्रों के मानचित्रों को कवर करने से आते हैं - अर्थात, ऐसे आवरण बीजगणितीय विविधता के कार्य क्षेत्र के [[परिमित विस्तार]] से आते हैं।
+[[रीमैन सतह]] सिद्धांत से पता चलता है कि [[ कॉम्पैक्ट जगह |कॉम्पैक्ट जगह]] रीमैन की सतह पर पर्याप्त [[मेरोमॉर्फिक फ़ंक्शन]] होते हैं, जिससे यह [[बीजगणितीय वक्र]] बन जाता है। इस प्रकार रीमैन के अस्तित्व प्रमेय के नाम से<ref>{{harv|Grauert|Remmert|1958}}</ref><ref>{{harv|Harbater|2003}}</ref><ref name=SGA1GAGA>{{harv|Grothendieck|Raynaud|2002}}</ref> कॉम्पैक्ट रीमैन सतह के रेमीफाइड आवरण पर गहरा परिणाम ज्ञात था: [[टोपोलॉजिकल स्पेस|टोपोलॉजिकल स्थान]] के रूप में इस प्रकार के परिमित आवरण को रेमिफिकेशन (गणित) के पूरक के [[मौलिक समूह]] के क्रमपरिवर्तन अभ्यावेदन द्वारा वर्गीकृत किया गया है। चूंकि रीमैन सतह की संपत्ति स्थानीय है, ऐसे आवरण को जटिल-विश्लेषणात्मक अर्थों में आवरण के रूप में सरली से देखा जा सकता है। तब यह निष्कर्ष निकालना संभव है कि वे बीजगणितीय वक्रों के मानचित्रों को कवर करने से आते हैं - अर्थात, ऐसे आवरण बीजगणितीय विविधता के कार्य क्षेत्र के [[परिमित विस्तार]] से आते हैं।
 === लेफ्शेट्ज़ सिद्धांत ===
-बीसवीं शताब्दी में, [[सोलोमन लेफशेट्ज़]] के नाम पर लेफशेट्ज़ सिद्धांत को बीजगणितीय ज्यामिति में उद्धृत किया गया था ताकि किसी भी बीजगणितीय रूप से बंद फ़ील्ड 'के' की [[विशेषता (बीजगणित)]] 0 पर बीजगणितीय ज्यामिति के लिए टोपोलॉजिकल तकनीकों के उपयोग को उचित ठहराया जा सके। K'' मानो यह सम्मिश्र संख्या क्षेत्र हो। इसका प्राथमिक रूप यह दावा करता है कि सी के बारे में क्षेत्रों के पहले क्रम के सिद्धांत के सच्चे बयान किसी भी बीजगणितीय रूप से बंद फ़ील्ड'' के ''की विशेषता शून्य के लिए सही हैं। सटीक सिद्धांत और इसका प्रमाण [[अल्फ्रेड टार्स्की]] के कारण हैं और [[गणितीय तर्क]] पर आधारित हैं।<ref>For discussions see {{harvtxt|Seidenberg|1958}}, ''Comments on Lefschetz's Principle''; {{harvtxt|Frey|Rück|1986}}, ''The strong Lefschetz principle in algebraic geometry''.</ref><ref>{{harv|Kuhlmann|2001}}</ref>''
+बीसवीं शताब्दी में, [[सोलोमन लेफशेट्ज़]] के नाम पर लेफशेट्ज़ सिद्धांत को बीजगणितीय ज्यामिति में उद्धृत किया गया था ताकि किसी भी बीजगणितीय रूप से विवृत फ़ील्ड 'के' की [[विशेषता (बीजगणित)]] 0 पर बीजगणितीय ज्यामिति के लिए टोपोलॉजिकल तकनीकों के उपयोग को उचित ठहराया जा सकता हैं। इस कारण K के लिए यदि'' मानो तो यह सम्मिश्र संख्या का क्षेत्र हैं। इस प्रकार इसका प्राथमिक रूप यह प्रमाण करता है कि सी के बारे में क्षेत्रों के पहले क्रम के सिद्धांत के सच्चे बयान किसी भी बीजगणितीय रूप से विवृत फ़ील्ड'' के ''की विशेषता शून्य के लिए सही हैं। इस प्रकार सटीक सिद्धांत और इसका प्रमाण [[अल्फ्रेड टार्स्की]] के कारण हैं और [[गणितीय तर्क]] पर आधारित हैं।<ref>For discussions see {{harvtxt|Seidenberg|1958}}, ''Comments on Lefschetz's Principle''; {{harvtxt|Frey|Rück|1986}}, ''The strong Lefschetz principle in algebraic geometry''.</ref><ref>{{harv|Kuhlmann|2001}}</ref>''
-यह सिद्धांत बीजगणितीय किस्मों के लिए विश्लेषणात्मक या सामयिक विधियों का उपयोग करके प्राप्त किए गए कुछ परिणामों को C से अन्य बीजगणितीय रूप से बंद जमीनी क्षेत्रों में ले जाने की अनुमति देता है।
+यह सिद्धांत बीजगणितीय प्रकारों के लिए विश्लेषणात्मक या सामयिक विधियों का उपयोग करके प्राप्त किए गए कुछ परिणामों को C से अन्य बीजगणितीय रूप से विवृत क्षेत्रों में ले जाने की अनुमति देता है।
 === चाउ की प्रमेय ===
-{{harvtxt|Chow|1949}}, [[वी-एल इयान जीसी कैसे]] द्वारा सिद्ध किया गया, उपलब्ध तुलना के सबसे तत्काल उपयोगी प्रकार का उदाहरण है। इसमें कहा गया है कि जटिल [[ प्रक्षेपण स्थान |प्रक्षेपण स्थान]] का विश्लेषणात्मक उप-स्थान जो बंद है (साधारण टोपोलॉजिकल अर्थ में) बीजगणितीय उपप्रकार है।<ref>{{harv|Hartshorne|1970}}</ref> इसे जटिल प्रोजेक्टिव स्पेस के किसी भी विश्लेषणात्मक उप-स्थान के रूप में दोहराया जा सकता है जो [[मजबूत टोपोलॉजी]] में बंद है, [[जरिस्की टोपोलॉजी]] में बंद है। यह बीजगणितीय ज्यामिति के शास्त्रीय भागों के भीतर जटिल-विश्लेषणात्मक विधियों के मुक्त उपयोग की अनुमति देता है।
+{{harvtxt|चाऊ|1949}}, [[वी-एल इयान जीसी कैसे]] द्वारा सिद्ध किया गया, उपलब्ध तुलना के सबसे तत्काल उपयोगी प्रकार का उदाहरण है। इसमें यह कथन हैं कि जटिल [[ प्रक्षेपण स्थान |प्रक्षेपण स्थान]] का विश्लेषणात्मक उप-स्थान जो विवृत है (साधारण टोपोलॉजिकल अर्थ में) बीजगणितीय उपप्रकार है।<ref>{{harv|Hartshorne|1970}}</ref> इस प्रकार इसे जटिल प्रोजेक्टिव स्थान के किसी भी विश्लेषणात्मक उप-स्थान के रूप में दोहराया जा सकता है जो इस प्रकार [[मजबूत टोपोलॉजी]] में विवृत है, [[जरिस्की टोपोलॉजी]] में विवृत है। यह बीजगणितीय ज्यामिति के शास्त्रीय भागों के भीतर जटिल-विश्लेषणात्मक विधियों के मुक्त उपयोग की अनुमति देता है।
 === गागा ===
-के दशक के शुरुआती भाग के दौरान दो सिद्धांतों के बीच कई संबंधों की नींव रखी गई थी, उदाहरण के लिए, [[हॉज सिद्धांत]] से तकनीकों को शामिल करने के लिए बीजगणितीय ज्यामिति की नींव रखने के व्यवसाय के हिस्से के रूप में। सिद्धांत को मजबूत करने वाला प्रमुख पेपर जियोमेट्री अल्जेब्रिक एट जियोमेट्री एनालिटिक था {{harvtxt|Serre|1956}} [[ जीन पियरे सेरे |जीन पियरे सेरे]] द्वारा, अब आमतौर पर गागा के रूप में जाना जाता है। यह सामान्य परिणाम साबित करता है जो विश्लेषणात्मक रिक्त स्थान, होलोमोर्फिक मैपिंग और शेवों के वर्गों के साथ बीजगणितीय किस्मों, नियमित आकारिकी और शीफ (गणित) के वर्गों से संबंधित है। यह इन सभी को ढेरों की श्रेणियों की तुलना में कम कर देता है।
+के दशक के प्रारंभिक भाग के समय दो सिद्धांतों के बीच कई संबंधों की नींव रखी गई थी, उदाहरण के लिए, [[हॉज सिद्धांत]] से तकनीकों को सम्मिलित करने के लिए बीजगणितीय ज्यामिति की नींव रखने के व्यवसाय के हिस्से के रूप में। सिद्धांत को मजबूत करने वाला प्रमुख पेपर जियोमेट्री अल्जेब्रिक एट जियोमेट्री एनालिटिक था। इस प्रकार {{harvtxt|सेर्रे|1956}} [[ जीन पियरे सेरे |जीन पियरे सेरे]] द्वारा, अब सामान्यतः गागा के रूप में जाना जाता है। यह सामान्य परिणाम प्रमाणित करता है जो विश्लेषणात्मक रिक्त स्थान, होलोमोर्फिक मैपिंग और शेवों के वर्गों के साथ बीजगणितीय प्रकारों, नियमित संरचना और शीफ (गणित) के वर्गों से संबंधित है। यह इन सभी को समूहों की श्रेणियों की तुलना में कम कर देता है।
-आजकल तुलना के किसी भी प्रमेय के लिए ''गागा-शैली परिणाम'' वाक्यांश का उपयोग किया जाता है, जो बीजगणितीय ज्यामिति से वस्तुओं की श्रेणी और उनके आकारिकी के बीच विश्लेषणात्मक ज्यामिति वस्तुओं और होलोमोर्फिक मैपिंग की अच्छी तरह से परिभाषित उपश्रेणी के बीच पारित होने की अनुमति देता है।
+आजकल तुलना के किसी भी प्रमेय के लिए ''गागा-शैली परिणाम'' वाक्यांश का उपयोग किया जाता है, जो बीजगणितीय ज्यामिति से वस्तुओं की श्रेणी और उनके संरचना के बीच विश्लेषणात्मक ज्यामिति वस्तुओं और होलोमोर्फिक मैपिंग की अच्छी तरह से इस प्रकार परिभाषित उपश्रेणी के बीच पारित होने की अनुमति देता है।
 === गागा का औपचारिक बयान ===
-# होने देना <math> (X,\mathcal O_X) </math> सी पर परिमित प्रकार की योजना बनें। फिर स्थलीय स्थान ''एक्स'' है<sup>an</sup> जो सेट के रूप में निरंतर समावेशन मानचित्र λ के साथ X के बंद बिंदु होते हैं<sub>X</sub>: एक्स<sup>an</sup> → X. X पर टोपोलॉजी<sup>a</sup> को जटिल टोपोलॉजी कहा जाता है (और यह सबस्पेस टोपोलॉजी से बहुत अलग है)।
+# इस प्रकार <math> (X,\mathcal O_X) </math> C पर परिमित प्रकार की योजना बनाते हैं। फिर स्थलीय स्थान ''X<sup>an</sup>'' है जो समूह के रूप में निरंतर समावेशन मानचित्र λ के साथ X<sub>X</sub> के विवृत बिंदु होते हैं: X<sup>an</sup> → X. X<sup>a</sup> पर टोपोलॉजी को जटिल टोपोलॉजी कहा जाता है (और यह सबस्थान टोपोलॉजी से बहुत अलग है)।
-# मान लीजिए φ: X → Y 'C' पर स्थानीय रूप से परिमित प्रकार की योजनाओं का आकार है। फिर सतत नक्शा φ मौजूद है<sup>ए</sup>: एक्स<sup>एक</sup> → वाई<sup>एक</sup> ऐसा λ<sub>''Y''</sub> ° एफ<sup>एक</sup> = φ ° λ<sub>X</sub>.
+# मान लीजिए φ: X → Y 'C' पर स्थानीय रूप से परिमित प्रकार की योजनाओं का आकार है। इस प्रकार पुनः सतत प्रारूप φ<sup>A</sup> में इसे सम्मिलित किया जाता है: X<sup>A</sup> →  Y<sup>A</sup> ऐसा λ<sub>''Y''</sub> ° <sup>A</sup> = φ ° λ<sub>X</sub>
-# एक पुलिया है <math> \mathcal O_X^\mathrm{an} </math> एक्स पर<sup>एक</sup> ऐसा कि <math> (X^\mathrm{an}, \mathcal O_X^\mathrm{an}) </math> चक्राकार स्थान है और λ<sub>X</sub>: एक्स<sup>an</sup> → X चक्राकार स्थानों का मानचित्र बन जाता है। अंतरिक्ष <math> (X^\mathrm{an}, \mathcal O_X^\mathrm{an}) </math> का विश्लेषण कहा जाता है <math> (X,\mathcal O_X) </math> और विश्लेषणात्मक स्थान है। हर φ के लिए: X → Y नक्शा φ<sup>a</sup> ऊपर परिभाषित विश्लेषणात्मक रिक्त स्थान का मानचित्रण है। इसके अलावा, नक्शा φ ↦ φ<sup>a</sup> मानचित्र खुले विसर्जन से खुले विसर्जन में बदलते हैं। अगर एक्स = स्पेक ('सी' [एक्स<sub>1</sub>,...,एक्स<sub>n</sub>]) फिर एक्स<sup>एक </सुप> = सी<sup>एन</sup> और <math> \mathcal O_X^\mathrm{an}(U) </math> प्रत्येक पॉलीडिस्क यू के लिए यू पर होलोमोर्फिक कार्यों के स्थान का उपयुक्त भागफल है।
+# यह एक वक्र है जिसमे <math> \mathcal O_X^\mathrm{an} </math> X<sup>A</sup> पर ऐसा कि <math> (X^\mathrm{an}, \mathcal O_X^\mathrm{an}) </math> चक्राकार स्थान है और λ<sub>X</sub>: X<sup>an</sup> → X चक्राकार स्थानों का मानचित्र बन जाता है। इस प्रकार इस समतल को <math> (X^\mathrm{an}, \mathcal O_X^\mathrm{an}) </math> का विश्लेषण कहा जाता है और <math> (X,\mathcal O_X) </math> विश्लेषणात्मक स्थान है। इस प्रकार सभी φ के लिए: X → Y प्रारूप φ<sup>a</sup> ऊपर परिभाषित विश्लेषणात्मक रिक्त स्थान का मानचित्रण है। इसके अतिरिक्त, प्रारूप φ ↦ φ<sup>a</sup> मानचित्र संवृत्त विसर्जन से संवृत्त विसर्जन में परिवर्तित कर देते हैं। इस प्रकार यदि X = स्पेक ('C' [X<sub>1</sub>,...,X<sub>n</sub>]) का रूप प्रकट होता हैं तो इस स्थिति में X<sup>A  = C<sup>n और <math> \mathcal O_X^\mathrm{an}(U) </math> को प्रत्येक पॉलीडिस्क U के लिए U पर होलोमोर्फिक कार्यों के स्थान का उपयुक्त भागफल है।
-# हर पूले के लिए <math> \mathcal F </math> X पर (बीजगणितीय शीफ कहा जाता है) शीफ होता है <math> \mathcal F^\mathrm{an} </math> एक्स पर<sup>a</sup> (विश्लेषणात्मक शीफ कहा जाता है) और इसके ढेरों का नक्शा <math> \mathcal O_X </math>-मॉड्यूल <math> \lambda_X^*: \mathcal F\rightarrow (\lambda_X)_* \mathcal F^\mathrm{an} </math>. पुलिया <math> \mathcal F^\mathrm{an} </math> परिभाषित किया जाता है <math> \lambda_X^{-1} \mathcal F \otimes_{\lambda_X^{-1} \mathcal O_X} \mathcal O_X^\mathrm{an} </math>. पत्राचार <math> \mathcal F \mapsto \mathcal F^\mathrm{an} </math> ढेरों की श्रेणी से सटीक फ़ैक्टर को परिभाषित करता है <math> (X, \mathcal O_X) </math> के ढेरों की श्रेणी में <math> (X^\mathrm{an}, \mathcal O_X^\mathrm{an}) </math>.<br>निम्नलिखित दो कथन सेरे के गागा प्रमेय के हृदय हैं{{R|SGA1GAGA}}<ref>{{harv|Neeman|2007}}</ref> ([[अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक]], [[अम्नोन नामान]] और अन्य द्वारा विस्तारित।)
+# इस प्रकार इस प्रारूप के लिए <math> \mathcal F </math> X पर (बीजगणितीय शीफ कहा जाता है) शीफ होता है, जहाँ पर <math> \mathcal F^\mathrm{an} </math> X<sup>a</sup> पर (विश्लेषणात्मक शीफ कहा जाता है) और इसके समूहों का प्रारूप <math> \mathcal O_X </math>-मॉड्यूल <math> \lambda_X^*: \mathcal F\rightarrow (\lambda_X)_* \mathcal F^\mathrm{an} </math> पर <math> \mathcal F^\mathrm{an} </math> के रूप में परिभाषित किया जाता है। इस प्रकार <math> \lambda_X^{-1} \mathcal F \otimes_{\lambda_X^{-1} \mathcal O_X} \mathcal O_X^\mathrm{an} </math> के लिए पत्राचार <math> \mathcal F \mapsto \mathcal F^\mathrm{an} </math> समूहों की श्रेणी से सटीक फ़ैक्टर को परिभाषित करता है <math> (X, \mathcal O_X) </math> के समूहों की श्रेणी में <math> (X^\mathrm{an}, \mathcal O_X^\mathrm{an}) </math> इस प्रकार हैं।<br>निम्नलिखित दो कथन सेरे के गागा प्रमेय के हृदय हैं{{R|SGA1GAGA}}<ref>{{harv|Neeman|2007}}</ref> ([[अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक]], [[अम्नोन नामान]] और अन्य द्वारा विस्तारित किया जाता हैं।)
-# यदि f: X → Y 'C' और पर परिमित प्रकार की योजनाओं का मनमाना रूप है <math> \mathcal F </math> सुसंगत है तो प्राकृतिक मानचित्र <math> (f_* \mathcal F)^\mathrm{an}\rightarrow f_*^\mathrm{an} \mathcal F^\mathrm{an} </math> इंजेक्शन है। यदि f उचित है तो यह मानचित्र तुल्याकारिता है। में सभी उच्च प्रत्यक्ष छवि ढेरों के समरूपता भी हैं <math> (R^i f_* \mathcal F)^\mathrm{an} \cong R^i f_*^\mathrm{an} \mathcal F^\mathrm{an} </math> इस मामले में।
+# यदि f: X → Y 'C' और पर परिमित प्रकार की योजनाओं का स्वरूप है तो <math> \mathcal F </math> सुसंगत मान को प्रकट करता है इस क्रम में प्राकृतिक मानचित्र <math> (f_* \mathcal F)^\mathrm{an}\rightarrow f_*^\mathrm{an} \mathcal F^\mathrm{an} </math> इंजेक्शन के रूप में उपयोग किया जाता है। यदि f उचित है तो यह मानचित्र तुल्याकारिता है। इसमें सभी उच्च प्रत्यक्ष छवियों को समूहों की समरूपता जो इस स्थिति में <math> (R^i f_* \mathcal F)^\mathrm{an} \cong R^i f_*^\mathrm{an} \mathcal F^\mathrm{an} </math> के समान रहती हैं।
-# अब मान लीजिए कि X<sup>an</sup> हॉसडॉर्फ और कॉम्पैक्ट है। अगर <math> \mathcal F, \mathcal G </math> दो सुसंगत बीजगणितीय ढेर हैं <math> (X, \mathcal O_X) </math> और अगर <math> f\colon \mathcal F^\mathrm{an} \rightarrow \mathcal G^\mathrm{an} </math> के ढेरों का नक्शा है <math> \mathcal O_X^\mathrm{an} </math>-मॉड्यूल तो वहाँ ढेरों का अनूठा नक्शा मौजूद है <math> \mathcal O_X </math>-मॉड्यूल <math> \varphi: \mathcal F\rightarrow \mathcal G </math> साथ <math>
+# अब मान लीजिए कि X<sup>an</sup> हॉसडॉर्फ और कॉम्पैक्ट है। जिसमें यदि <math> \mathcal F, \mathcal G </math> दो सुसंगत बीजगणितीय समूहों के समान हैं, इस स्थिति में <math> (X, \mathcal O_X) </math> और यदि <math> f\colon \mathcal F^\mathrm{an} \rightarrow \mathcal G^\mathrm{an} </math> के समूहों का प्रारूप है। जहाँ <math> \mathcal O_X^\mathrm{an} </math>-मॉड्यूल तो वहीं इन समूहों का अनूठा प्रारूप <math> \mathcal O_X </math>-मॉड्यूल <math> \varphi: \mathcal F\rightarrow \mathcal G </math> साथ <math>
-f =\varphi^\mathrm{an} </math>. अगर <math> \mathcal R </math> का सुसंगत विश्लेषणात्मक शीफ है <math> \mathcal O_X^\mathrm{an} </math>-मॉड्यूल X पर<sup>a</sup> तो सुसंगत बीजगणितीय शीफ मौजूद है <math> \mathcal F </math> का <math> \mathcal O_X </math>-मॉड्यूल और समरूपता <math> \mathcal F^\mathrm{an} \cong \mathcal R </math>.
+f =\varphi^\mathrm{an} </math> सम्मिलित है। इस स्थिति में यदि <math> \mathcal R </math> का सुसंगत विश्लेषणात्मक शीफ <math> \mathcal O_X^\mathrm{an} </math>-मॉड्यूल X<sup>a</sup> है तो सुसंगत बीजगणितीय शीफ  <math> \mathcal F </math> का <math> \mathcal O_X </math>-मॉड्यूल और समरूपता <math> \mathcal F^\mathrm{an} \cong \mathcal R </math> सम्मिलित है।
-थोड़ी कम व्यापकता में, GAGA प्रमेय का दावा है कि सुसंगत बीजगणितीय ढेरों की श्रेणी जटिल प्रक्षेपी किस्म X पर और संगत विश्लेषणात्मक स्थान X पर सुसंगत विश्लेषणात्मक ढेरों की श्रेणी<sup>a</sup> समतुल्य हैं। विश्लेषणात्मक स्थान X<sup>an</sup> मोटे तौर पर 'C' से जटिल संरचना X पर वापस खींचकर प्राप्त किया जाता है<sup>n</sup> निर्देशांक चार्ट के माध्यम से। दरअसल, इस तरह से प्रमेय को वाक्यांश देना सेरे के पेपर की भावना के करीब है, यह देखते हुए कि कैसे पूर्ण योजना-सैद्धांतिक भाषा जिसका उपरोक्त औपचारिक बयान भारी उपयोग करता है, अभी तक GAGA के प्रकाशन के समय तक आविष्कार नहीं किया गया था।
+थोड़ी कम व्यापकता में, गागा प्रमेय का प्रमाण यह है कि सुसंगत बीजगणितीय समूहों की श्रेणी जटिल प्रक्षेपी प्रकार X पर और संगत विश्लेषणात्मक स्थान X<sup>a</sup> पर सुसंगत विश्लेषणात्मक समूहों की श्रेणी समतुल्य हैं। विश्लेषणात्मक स्थान X<sup>a</sup> को मुख्यतः 'C' से जटिल संरचना X<sup>n</sup> पर वापस खींचकर प्राप्त किया जाता है। इस निर्देशांक के चार्ट के माध्यम से इसे प्रकट करते हैं। इस प्रकार मुख्यतः इस प्रमेय को वाक्यांश देने के लिए इसे किसी पेपर की भावना के समीप माना जाता हैं, यह देखते हुए कि कैसे पूर्ण योजना-सैद्धांतिक भाषा जिसका उपरोक्त औपचारिक कथन पर भारी उपयोग करता है, अभी तक गागा के प्रकाशन के समय तक आविष्कार नहीं किया गया था।
 ==टिप्पणियाँ==
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 ==बाहरी संबंध==
-* Kiran Kedlaya. 18.726 [https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-726-algebraic-geometry-spring-2009/lecture-notes Algebraic Geometry] ([https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-726-algebraic-geometry-spring-2009/lecture-notes/MIT18_726s09_lec22_gaga.pdf LEC # 30 - 33 GAGA])Spring 2009. Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare Creative Commons [[BY-NC-SA]]
+* Kiran Kedlaya. 18.726 [https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-726-algebraic-geometry-spring-2009/lecture-notes Algebraic Geometry] ([https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-726-algebraic-geometry-spring-2009/lecture-notes/MIT18_726s09_lec22_gaga.pdf LEC # 30 - 33 गागा])Spring 2009. Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare Creative Commons [[BY-NC-SA]]
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