रेडिकल्स में समाधान: Difference between revisions
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'''रेडिकल या बीजगणितीय समाधान''' में एक समाधान एक संवृत रूप से व्यंजक (गणित) होती है, और अधिक विशेष रूप से एक संवृत रूप बीजगणितीय व्यंजक (गणित) होती है, जो एक [[बहुपद समीकरण]] का समाधान करता है, और केवल जोड़, [[घटाव]], [[गुणा]], भाग (गणित) पर संफुल्लन करता है, पूर्णांक घात को बढ़ाता है, और nवें मूल (वर्गमूल, घनमूल, और अन्य पूर्णांक मूल) का निष्कर्षण करता है।। | '''रेडिकल या बीजगणितीय समाधान''' में एक समाधान एक संवृत रूप से व्यंजक (गणित) होती है, और अधिक विशेष रूप से एक संवृत रूप बीजगणितीय व्यंजक (गणित) होती है, जो एक [[बहुपद समीकरण]] का समाधान करता है, और केवल जोड़, [[घटाव]], [[गुणा]], भाग (गणित) पर संफुल्लन करता है, पूर्णांक घात को बढ़ाता है, और nवें मूल (वर्गमूल, घनमूल, और अन्य पूर्णांक मूल) का निष्कर्षण करता है।। | ||
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:<math>x=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}</math> | :<math>x=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}</math> | ||
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:<math>ax^2 + bx + c =0.</math> | :<math>ax^2 + bx + c =0.</math> | ||
[[घन समीकरण]] | [[घन समीकरण|घन समीकरणों]] <ref>Nickalls, R. W. D., "[http://img2.timg.co.il/forums/1_90809354.pdf A new approach to solving the cubic: Cardano's solution revealed]," ''Mathematical Gazette'' 77, November 1993, 354-359.</ref> और [[चतुर्थक समीकरण]]।<ref>Carpenter, William, "On the solution of the real quartic," ''Mathematics Magazine'' 39, 1966, 28-30.</ref> के लिए अधिक जटिल बीजगणितीय समाधान सम्मलित हैं,एबेल-रफ़िनी प्रमेय,<ref>Jacobson, Nathan (2009), Basic Algebra 1 (2nd ed.), Dover, {{ISBN|978-0-486-47189-1}}</ref>{{rp|211}} और, सामान्यतः गैलोज़ सिद्धांत, बताता है कि कुछ क्विंटिक समीकरण, जैसे | ||
:<math>x^5-x+1=0,</math> | :<math>x^5-x+1=0,</math> | ||
कोई बीजगणितीय हल नहीं है। हर उच्च डिग्री के लिए भी यही सच है। हालाँकि, किसी भी डिग्री के लिए कुछ बहुपद समीकरण होते हैं जिनका बीजगणितीय समाधान होता है; उदाहरण के लिए, समीकरण <math>x^{10} = 2</math> के रूप में हल किया जा सकता है <math>x=\pm\sqrt[10]2.</math> आठ अन्य समाधान अवास्तविक [[जटिल संख्या]]एं हैं, जो बीजगणितीय भी हैं और उनका रूप है <math>x=\pm r\sqrt[10]2,</math> कहाँ {{mvar|r}} एकता का पाँचवाँ मूल है, जिसे दो [[ नेस्टेड कट्टरपंथी ]] के साथ व्यक्त किया जा सकता है। यह सभी देखें {{slink|Quintic function|Other solvable quintics}} डिग्री 5 में कई अन्य उदाहरणों के लिए। | कोई बीजगणितीय हल नहीं है। हर उच्च डिग्री के लिए भी यही सच है। हालाँकि, किसी भी डिग्री के लिए कुछ बहुपद समीकरण होते हैं जिनका बीजगणितीय समाधान होता है; उदाहरण के लिए, समीकरण <math>x^{10} = 2</math> के रूप में हल किया जा सकता है <math>x=\pm\sqrt[10]2.</math> आठ अन्य समाधान अवास्तविक [[जटिल संख्या]]एं हैं, जो बीजगणितीय भी हैं और उनका रूप है <math>x=\pm r\sqrt[10]2,</math> कहाँ {{mvar|r}} एकता का पाँचवाँ मूल है, जिसे दो [[ नेस्टेड कट्टरपंथी ]] के साथ व्यक्त किया जा सकता है। यह सभी देखें {{slink|Quintic function|Other solvable quintics}} डिग्री 5 में कई अन्य उदाहरणों के लिए। | ||
Revision as of 15:59, 6 May 2023
रेडिकल या बीजगणितीय समाधान में एक समाधान एक संवृत रूप से व्यंजक (गणित) होती है, और अधिक विशेष रूप से एक संवृत रूप बीजगणितीय व्यंजक (गणित) होती है, जो एक बहुपद समीकरण का समाधान करता है, और केवल जोड़, घटाव, गुणा, भाग (गणित) पर संफुल्लन करता है, पूर्णांक घात को बढ़ाता है, और nवें मूल (वर्गमूल, घनमूल, और अन्य पूर्णांक मूल) का निष्कर्षण करता है।।
एक सर्ववदित उदाहरण समाधान है
घन समीकरणों [1] और चतुर्थक समीकरण।[2] के लिए अधिक जटिल बीजगणितीय समाधान सम्मलित हैं,एबेल-रफ़िनी प्रमेय,[3]: 211 और, सामान्यतः गैलोज़ सिद्धांत, बताता है कि कुछ क्विंटिक समीकरण, जैसे
कोई बीजगणितीय हल नहीं है। हर उच्च डिग्री के लिए भी यही सच है। हालाँकि, किसी भी डिग्री के लिए कुछ बहुपद समीकरण होते हैं जिनका बीजगणितीय समाधान होता है; उदाहरण के लिए, समीकरण के रूप में हल किया जा सकता है आठ अन्य समाधान अवास्तविक जटिल संख्याएं हैं, जो बीजगणितीय भी हैं और उनका रूप है कहाँ r एकता का पाँचवाँ मूल है, जिसे दो नेस्टेड कट्टरपंथी के साथ व्यक्त किया जा सकता है। यह सभी देखें Quintic function § Other solvable quintics डिग्री 5 में कई अन्य उदाहरणों के लिए।
इवरिस्ट गैलोइस ने एक कसौटी पेश की जिससे यह तय किया जा सके कि कौन से समीकरण रेडिकल में हल किए जा सकते हैं। उसके परिणाम के सटीक सूत्रीकरण के लिए कट्टरपंथी विस्तार देखें।
बीजगणितीय समाधान संवृत रूप अभिव्यक्तियों का एक सबसेट बनाते हैं, क्योंकि बाद वाले अनुवांशिक कार्यों (गैर-बीजीय कार्यों) जैसे घातीय कार्य, लघुगणक समारोह, और त्रिकोणमितीय कार्यों और उनके व्युत्क्रमों की अनुमति देते हैं।
यह भी देखें
- क्विंटिक इक्वेशन#सॉल्वेबल क्विंटिक्स
- सेक्सेटिक इक्वेशन # सॉल्वेबल सेक्सटिक्स
- सेप्टिक समीकरण#सॉल्वेबल सेप्टिक्स
संदर्भ
- ↑ Nickalls, R. W. D., "A new approach to solving the cubic: Cardano's solution revealed," Mathematical Gazette 77, November 1993, 354-359.
- ↑ Carpenter, William, "On the solution of the real quartic," Mathematics Magazine 39, 1966, 28-30.
- ↑ Jacobson, Nathan (2009), Basic Algebra 1 (2nd ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1
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