तर्क सिद्धांत

सरल समोच्च C (काला), f का शून्य (नीला) और f का ध्रुव यहाँ है ${\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{f'(z) \over f(z)}\,dz=4-5.\,$

जटिल विश्लेषण में, तर्क सिद्धांत एक मेरोमोर्फिक फलन के शून्य और ध्रुवों की संख्या के मध्य अंतर को फलन के लॉगरिदमिक व्युत्पन्न के समोच्च अभिन्न अंग से संबंधित करता है।

विशेष रूप से, यदि f(z) अंदर और कुछ बंद समोच्च C पर एक मेरोमॉर्फिक फलन होता है, और f में C पर कोई शून्य या ध्रुव नहीं होता है, तो

${\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{f'(z) \over f(z)}\,dz=Z-P$

जहाँ Z और P क्रमशः समोच्च C के अंदर f (z) के शून्य और ध्रुवों की संख्या को दर्शाते हैं, प्रत्येक शून्य और ध्रुव को क्रमशः इसकी बहुलता और क्रम के रूप में गणना किया जाता है। प्रमेय यह कथन मानता है कि समोच्च C सरल है, अर्थात स्व-प्रतिच्छेदन के बिना यह वामावर्त उन्मुख होता है।

सामान्यतः, मान लीजिए कि f (z) जटिल विमान में खुले सेट Ω पर एक मेरोमोर्फिक फलन होता है और C Ω में एक वक्र बंद होते है जो f के सभी शून्यों और ध्रुवों से बचाता है और Ω के अंदर एक बिंदु के लिए अनुबंधित स्थान देता है। प्रत्येक बिंदु z ∈ Ω के लिए, n(C,z) को z के चारों ओर C की वाइंडिंग संख्या बनाया जाता है। तब

${\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=\sum _{a}n(C,a)-\sum _{b}n(C,b)\,$

जहां पहला योग f के सभी शून्यों से अधिक है, उनकी बहुलताओं के साथ गणना किया जाता है, और दूसरा योग उनके क्रम के साथ गणना किये गए f के खंभे b पर होता है।

समोच्च अभिन्न की व्याख्या

समोच्च अभिन्न $\oint _{C}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz$ प्रतिस्थापन w = f(z) का उपयोग करते हुए मूल के चारों ओर पथ f(C) की घुमावदार संख्या के 2πi गुना के रूप में व्याख्या की जा सकती है:

$\oint _{C}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=\oint _{f(C)}{\frac {1}{w}}\,dw$

अर्थात्, यह f(z) के तर्क में कुल परिवर्तन का i गुना होता है क्योंकि z प्रमेय के नाम की व्याख्या करते हुए, C के चारों ओर घूमता है; जो इस प्रकार है

${\frac {d}{dz}}\log(f(z))={\frac {f'(z)}{f(z)}}$ और तर्कों और लघुगणकों के मध्य संबंधित होता हैं।

तर्क सिद्धांत का प्रमाण

मान लीजिए z_Z f का एक शून्य होता हैं। हम f(z) = (z − z_Z)^kg(z) लिख सकते हैं जहां k शून्य की बहुलता होती है, और इस प्रकार g(z_Z) ≠ 0. हमें मिलता है,तो

$f'(z)=k(z-z_{Z})^{k-1}g(z)+(z-z_{Z})^{k}g'(z)\,\!$

और

${f'(z) \over f(z)}={k \over z-z_{Z}}+{g'(z) \over g(z)}.$

क्योंकी g (z_Z) ≠ 0, यह इस प्रकार होता है कि g' (z)/g(z) में z_Z कोई विलक्षणता नहीं है, और इस प्रकार z_Z पर विश्लेषणात्मक होता है, जिसका अर्थ है कि f′(z)/f(z) का अवशेष z_Z पर k होता है।

मान लीजिये z_P f का एक ध्रुव होता हैं। हम f(z) = (z − z_P)^−mh(z) लिख सकते हैं जहां m ध्रुव का क्रम होता है, और h (z_P) ≠ 0.तब,,

$f'(z)=-m(z-z_{P})^{-m-1}h(z)+(z-z_{P})^{-m}h'(z)\,\!.$

और

${f'(z) \over f(z)}={-m \over z-z_{P}}+{h'(z) \over h(z)}$

ऊपर दर्शाया गया हैं कि h'(z)/h(z) की z_P पर कोई विलक्षणता नहीं है क्योंकी h (z_P) ≠ 0 और इस प्रकार यह z_P पर विश्लेषणात्मक होता है. हम पाते हैं कि f'(z)/f(z) z_P का अवशेष -m होता है।

इन्हें एक साथ रखने पर, प्रत्येक शून्य z_Z f की बहुलता k के लिए एक सरल ध्रुव बनाता है f′(z)/f(z) अवशेषों के साथ k, और प्रत्येक पोल z_P एम के क्रम में f f′(z)/f(z) के लिए अवशेषों के साथ एक सरल ध्रुव बनाता है -m। इसके अतिरिक्त, यह दर्शाया जा सकता है कि f'(z)/f(z) में कोई अन्य ध्रुव नहीं है,और इसलिए कोई अन्य अवशेष नहीं मिलता हैं।

अवशिष्ट प्रमेय द्वारा यह हमारे पास होता है कि C के बारे में अभिन्न 2πi का उत्पाद है और अवशेषों का योग है। साथ में, प्रत्येक शून्य z_Z के लिए k का योग, और इसी प्रकार ध्रुवों के लिए भी होता हैं, इसलिए हमारे पास हमारा परिणाम होता है।

अनुप्रयोग और परिणाम

संगणक पर मेरोमोर्फिक कार्यों के शून्य या ध्रुवों को कुशलता से खोजने के लिए तर्क सिद्धांत का उपयोग किया जा सकता है। राउंडिंग त्रुटी के साथ भी, एक्सप्रेशन ${1 \over 2\pi i}\oint _{C}{f'(z) \over f(z)}\,dz$ एक पूर्णांक के समीप परिणाम देगा भिन्न-भिन्न समोच्च रेखाओं के लिए इन पूर्णांकों का निर्धारण करके शून्य और ध्रुवों के स्थान के बारे में जानकारी प्राप्त की जा सकती है। रीमैन परिकल्पना के संख्यात्मक परीक्षण इस तकनीक का उपयोग रीमैन शी फलन के शून्य की संख्या के लिए ऊपरी सीमा प्राप्त करने के लिए करते हैं| रीमैन का $\xi (s)$ महत्वपूर्ण रेखा को काटते हुए एक आयत के अंदर कार्य करता हैं।

एक पूर्णांक के समीप परिणाम देगा; तथा भिन्न-भिन्न समोच्च रेखाओं के लिए इन पूर्णांकों का निर्धारण करके शून्य और ध्रुवों के स्थान के बारे में जानकारी प्राप्त की जा सकती है। रीमैन परिकल्पना के संख्यात्मक परीक्षण इस तकनीक का उपयोग रीमैन के शून्य की संख्या के लिए ऊपरी सीमा प्राप्त करने के लिए करते हैं।

प्रतिक्रिया नियंत्रण सिद्धांत पर आधुनिक पुस्तकें निक्विस्ट स्थिरता मानदंड के सैद्धांतिक आधार के रूप में कार्य करने के लिए प्रायः तर्क सिद्धांत का उपयोग करती हैं।एक आयत के अन्दर कार्य करता है जो महत्वपूर्ण रेखा को काटता है।रीमैन परिकल्पना के प्रमेय का प्रमाण तर्क सिद्धांत का उपयोग करता है।

तर्क सिद्धांत के अधिक सामान्य सूत्रीकरण का एक परिणाम यह भी है कि, एक ही परिकल्पना के तहत, यदि जी Ω में एक विश्लेषणात्मक कार्य करता है, तो

${\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}g(z){\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=\sum _{a}n(C,a)g(a)-\sum _{b}n(C,b)g(b).$

उदाहरण के लिए, यदि f शून्य है तो z₁ ..., z_p के साथ एक साधारण समोच्च C के अंदर, और g(z) = z^k वाला बहुपद है^,, पुनः

${\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}z^{k}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=z_{1}^{k}+z_{2}^{k}+\cdots +z_{p}^{k},$

f के मूलों का घात योग सममित बहुपद होता है।

एक अन्य परिणाम यह है कि यदि हम जटिल समाकलन की गणना करते हैं:

$\oint _{C}f(z){g'(z) \over g(z)}\,dz$

g और f के उपयुक्त विकल्प के लिए हमारे पास एबेल-प्लाना सूत्र है:

$\sum _{n=0}^{\infty }f(n)-\int _{0}^{\infty }f(x)\,dx=f(0)/2+i\int _{0}^{\infty }{\frac {f(it)-f(-it)}{e^{2\pi t}-1}}\,dt\,$

जो असतत योग और उसके अभिन्न के मध्य संबंध को व्यक्त करता है।

सामान्यीकृत तर्क सिद्धांत

तर्क सिद्धांत का एक तत्काल सामान्यीकरण है। मान लीजिए कि क्षेत्र में g को विश्लेषणात्मक $\Omega$ करने के लिए है. तब

${\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{f'(z) \over f(z)}g(z)\,dz=\sum _{a}g(a)n(C,a)-\sum _{b}g(b)n(C,b)\,$

जहां पहला योग पुनः से सभी शून्यों के ऊपर होता है,तो जिसे उनकी बहुलताओं के साथ गणना किया जाता है, और दूसरा योग पुनः से उनके क्रम के साथ गणना किये गए f के खंभे b पर होटे है।

इतिहास

फ्रैंक स्मिथिस की पुस्तक के अनुसार, ऑगस्टिन-लुई कॉची ने 27 नवंबर 1831 को अपने स्व-निर्वासित निर्वासन के दौरान उपरोक्त के समान एक प्रमेय प्रस्तुत किया। फ्रांस से दूर ट्यूरिन में यद्यपि, इस पुस्तक के अनुसार, केवल शून्य का उल्लेख किया गया था, ध्रुवों का उल्लेख नहीं किया गया था। कॉची द्वारा यह प्रमेय केवल कई वर्षों उपरांत 1874 में हस्तलिखित रूप में प्रकाशित किया गया था और इसलिए इसे पढ़ना अत्यधिक कठिन है। कॉची ने अपनी मृत्यु के दो साल पहले 1855 में जीरो और पोल दोनों पर चर्चा के साथ एक पेपर प्रकाशित किया था।

यह भी देखें

• लघुगणक व्युत्पन्न
• निक्विस्ट स्थिरता मानदंड

संदर्भ

• Rudin, Walter (1986). Real and Complex Analysis (International Series in Pure and Applied Mathematics). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054234-1.
• Ahlfors, Lars (1979). Complex analysis: an introduction to the theory of analytic functions of one complex variable. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-000657-7.
• Churchill, Ruel Vance; Brown, James Ward (1989). Complex Variables and Applications. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-010905-6.
• Backlund, R.-J. (1914) Sur les zéros de la fonction zeta(s) de Riemann, C. R. Acad. Sci. Paris 158, 1979–1982.

बाहरी संबंध

• "Argument, principle of the", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]