श्रेणियों की समानता: Difference between revisions

Revision as of 23:09, 11 May 2023

श्रेणी सिद्धांत में, अमूर्त गणित की शाखा, श्रेणियों की समानता दो श्रेणी (गणित) के मध्य संबंध है जो यह स्थापित करती है कि यह श्रेणियां "अनिवार्य रूप से समान" हैं। गणित के अनेक क्षेत्रों से स्पष्ट तुल्यता के अनेक उदाहरण होते हैं। समानता स्थापित करने में संबंधित गणितीय संरचनाओं के मध्य मजबूत समानता प्रदर्शित करना सम्मिलित है। कुछ स्थितियों में, यह संरचनाएं सतही या सहज स्तर पर असंबंधित प्रतीत हो सकती हैं, जो धारणा को अधिक शक्तिशाली बनाती हैं। यह विभिन्न प्रकार की गणितीय संरचनाओं के मध्य प्रमेयों का "अनुवाद" करने का अवसर उत्पन्न करती है, यह जानते हुए कि उन प्रमेयों का आवश्यक अर्थ अनुवाद के माध्यम से संरक्षित है।

यदि कोई श्रेणी किसी अन्य श्रेणी के विपरीत (या दोहरी) के समान्तर है तब कोई श्रेणियों के द्वैत की बात करता है और कहता है कि दो श्रेणियां द्वैत समकक्ष हैं।

श्रेणियों की समानता में सम्मिलित श्रेणियों के मध्य ऑपरेटर होता है, जिसके लिए व्युत्क्रम समानता की आवश्यकता होती है। चूंकि, बीजगणितीय समूह में समरूपता के लिए सामान्य स्थिति के विपरीत, आकर्षक और इसके व्युत्क्रम का सम्मिश्रण अनिवार्य रूप से समानता मानचित्रण नहीं है। इसके अतिरिक्त यह पर्याप्त है कि प्रत्येक वस्तु इस रचना के अनुसार अपनी छवि के लिए स्वाभाविक रूप से 'प्राकृतिक परिवर्तन' होता है। इस प्रकार कोई भी फंक्शंस को समाकृतिकता के व्युत्क्रम के रूप में वर्णित कर सकता है। वास्तव में श्रेणियों के समरूपता की अवधारणा है जहां व्युत्क्रम समानता का सख्त रूप आवश्यक है, किन्तु यह 'समकक्ष' अवधारणा की तुलना में बहुत कम व्यावहारिक उपयोग होता है।

परिभाषा

औपचारिक रूप से, दो श्रेणियां सी और डी दी गई हैं, श्रेणियों की समानता में कारक एफ:सी → डी, कारक जी: डी →सी और दो प्राकृतिक समरूपता ε: एफजी→आई_डी और η: आई_सी→जीएफ सम्मिलित हैं। यहाँ एफजी: डी→डी और जीएफ:सी→सी, एफ और जी की संबंधित रचनाओं को दर्शाता है और आई_सी:सी→सी और आई_डी: डी → डी,सी और डी पर समानता को दर्शाता है, प्रत्येक वस्तु और आकारिकी को स्वयं निर्दिष्ट करता है। यदि एफ और जी प्रतिपरिवर्ती फलनकार हैं तब कोई इसके अतिरिक्त श्रेणियों के द्वैत की बात करता है।

उपरोक्त सभी डेटा को अधिकांशतः निर्दिष्ट नहीं किया जाता है। उदाहरण के लिए, हम कहते हैं कि श्रेणियां सी और डी समतुल्य हैं (क्रमशः द्वैत समतुल्य) यदि उनके मध्य तुल्यता (क्रमशः द्वैत) उपस्तिथ है। इसके अतिरिक्त, हम कह सकते हैं कि एफ "श्रेणियों की समानता" है यदि व्युत्क्रम कारक जी और उपरोक्त के रूप में प्राकृतिक समरूपताएं उपस्तिथ होती हैं। ध्यान दीजिए कि एफ का ज्ञान सामान्यतः जी और प्राकृतिक समरूपता के पुनर्निर्माण के लिए पर्याप्त नहीं है। इस प्रकार अनेक विकल्प हो सकते हैं (नीचे उदाहरण देखें)।

वैकल्पिक लक्षण वर्णन

रोचक एफ:सी → डी श्रेणियों के समानता उत्पन्न करता है और यदि यह साथ है।

पूर्ण कार्य करने वाला, अर्थात् सी की किन्‍हीं दो वस्तुओं सी₁ और सी₂ के लिए एफ द्वारा प्रेरित मानचित्र होम_सी(सी₁,सी₂) → होम_डी(एफसी₁,एफसी₂) आच्छादक है।
विश्वसनीय समानता, अर्थात् सी के किन्ही दो वस्तुओं सी₁ और सी₂ के लिए होम_सी(सी₁,सी₂) → होम_डी(एफसी₁,एफसी₂) एफ द्वारा प्रेरित अन्तःक्षेपण है और,
अनिवार्य रूप से विशेषण (सघन), अर्थात् डी में प्रत्येक वस्तु डी,सी में सी के लिए एफसी फॉर्म की वस्तु के लिए समरूप है।^[1]

यह अधिक उपयोगी और सामान्य रूप से प्रयुक्त मानदंड है जिससे कि किसी को स्पष्ट रूप से "व्युत्क्रम" जी और एफजी, जीएफ और समानता के मध्य प्राकृतिक समरूपता का निर्माण करने की आवश्यकता नहीं होती है। दूसरी ओर चूंकि उपरोक्त गुण स्पष्ट तुल्यता के अस्तित्व की जिम्मेदारी देते हैं (अंतर्निहित समूह सिद्धांत में पसंद के स्वयंसिद्ध का पर्याप्त रूप से मजबूत संस्करण दिया गया है), विलुप्त डेटा पूर्ण प्रकार से निर्दिष्ट नहीं है और अधिकांशतः अनेक विकल्प होते हैं। जब भी संभव हो विलुप्त निर्माणों को स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट करना उचित विचार है। इस परिस्थिति के कारण इन गुणों वाले कारक को कभी-कभी "श्रेणियों की कमजोर समानता कहा जाता है। (दुर्भाग्य से यह होमोटॉपी सिद्धांत से शब्दावली के साथ संघर्ष करता है।)

आसन्न समानता की अवधारणा से भी घनिष्ठ संबंध होते है $F\dashv G$ , जहां हम कह सकते हैं कि $F:C\rightarrow D$ का बायां आसन्न है $G:D\rightarrow C$ , या इसी प्रकार जी, एफ का दाहिना सन्निकटन है। फिर सी और डी समतुल्य हैं (जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है कि एफजी से आई_डी और आई_सी ,जीएफ तक प्राकृतिक समरूपताएं हैं) यदि $F\dashv G$ और एफ और जी दोनों पूर्ण और विश्वासयोग्य हैं।

जब सहायक कारक $F\dashv G$ दोनों पूर्ण और विश्वसनीय नहीं होते हैं, तब हम उनके आसन्न संबंध को श्रेणियों की "तुल्यता के कमजोर रूप" को व्यक्त करने के रूप में देख सकते हैं। यह मानते हुए कि संयोजनों के लिए प्राकृतिक परिवर्तन दिए गए हैं, यह सभी स्वरूप आवश्यक डेटा के स्पष्ट निर्माण की अनुमति देते हैं और कोई विकल्प सिद्धांतों की आवश्यकता नहीं होती है। इस प्रकार मुख्य संपत्ति जिसे यहां सिद्ध करना है वह यह है कि संयोजन का देश समरूपता है यदि सही आसन्न पूर्ण और विश्वसनीय समानता है।

उदाहरण

श्रेणी पर विचार करें $C$ में ही वस्तु है; $c$ और आकारिकी $1_{c}$ और श्रेणी $D$ दो वस्तुओं के साथ $d_{1}$ , $d_{2}$ और चार रूपवाद दो समानता रूपवाद $1_{d_{1}}$ , $1_{d_{2}}$ और दो समरूपताएं $\alpha \colon d_{1}\to d_{2}$ और $\beta \colon d_{2}\to d_{1}$ . श्रेणियां $C$ और $D$ समतुल्य हैं। हम (उदाहरण के लिए) कर सकते हैं $F$ मानचित्रण $c$ से $d_{1}$ और $G$ दोनों वस्तुओं का मानचित्र $D$ को $c$ और सभी रूपवाद करने के लिए $1_{c}$ होता है।
इसके विपरीत, श्रेणी $C$ वस्तु और आकारिकी के साथ श्रेणी के समतुल्य नहीं है अतः $E$ दो वस्तुओं के साथ और केवल दो समानता रूपों के साथ दो वस्तुओं में $E$ समरूपी नहीं हैं जिससे कि उनके मध्य कोई आकारिकी नहीं है। इस प्रकार कोई भी कार्यकर्ता $C$ से $E$ अनिवार्य रूप से विशेषण नहीं होता है।
श्रेणी पर विचार करें $C$ वस्तु के साथ $c$ और दो रूपवाद $1_{c},f\colon c\to c$ . के जाने $1_{c}$ पर समानता रूपवाद हो $c$ और समूह $f\circ f=1$ . बिल्कुल $C$ स्वयं के समतुल्य है, जिसे लेकर दिखाया जा सकता है $1_{c}$ कारक के मध्य आवश्यक प्राकृतिक समरूपता के स्थान पर $\mathbf {I} _{C}$ और स्वयं के लिये चूंकि यह भी सच है कि $f$ से प्राकृतिक समरूपता प्राप्त होती है $\mathbf {I} _{C}$ स्वयं को इसलिए यह जानकारी दी गई है कि समानता कारक श्रेणियों की समानता बनाते हैं, इस उदाहरण में कोई भी प्रत्येक दिशा के लिए दो प्राकृतिक समरूपताओं के मध्य चयन कर सकते हैं।
समुच्चयों और आंशिक कार्यों की श्रेणी नुकीले समुच्चयों और बिंदु-संरक्षण मानचित्रों की श्रेणी के समतुल्य है किन्तु समरूपी नहीं है।^[2]
श्रेणी पर विचार करें $C$ परिमित-आयामी की वास्तविक संख्या सदिश समष्टि और श्रेणी $D=\mathrm {Mat} (\mathbb {R} )$ सभी वास्तविक मैट्रिक्स (गणित) के (बाद की श्रेणी को योगात्मक श्रेणी पर लेख में समझाया गया है)। तब $C$ और $D$ समतुल्य हैं। इस प्रकार कारक $G\colon D\to C$ जो वस्तु को मानचित्र करता है अतः $A_{n}$ का $D$ सदिश अंतरिक्ष के लिए $\mathbb {R} ^{n}$ और मेट्रिसेस में $D$ संबंधित रेखीय मानचित्रों के लिए पूर्ण, विश्वसनीय और अनिवार्य रूप से विशेषण है।
बीजगणितीय ज्यामिति के केंद्रीय विषयों में से है एफ़ाइन योजनाओं की श्रेणी और क्रमविनिमेय वलयों की श्रेणी का द्वंद्व कार्य करने वाला $G$ प्रत्येक क्रमविनिमेय छल्ले को उसके वर्णक्रम से जोड़ता है, जो कि छल्ले के प्रमुख आदर्शों द्वारा परिभाषित योजना है। इसका जोड़ $F$ प्रत्येक एफ़िन योजना से संबद्ध वैश्विक वर्गों को अपने छल्ले से जोड़ता है।
कार्यात्मक विश्लेषण में समानता के साथ क्रमविनिमेय सी*-बीजगणित की श्रेणी कॉम्पैक्ट स्थान हौसडॉर्फ रिक्त स्थान की श्रेणी के विपरीत रूप से समतुल्य है। इस द्वैत के अनुसार, प्रत्येक कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ रिक्त स्थान $X$ निरंतर जटिल-मूल्यवान कार्यों के बीजगणित के साथ जुड़ा हुआ है। इस प्रकार $X$ और प्रत्येक क्रमविनिमेय सी*-बीजगणित इसके अधिकतम आदर्शों के स्थान से जुड़ा है। यह गेलफैंड प्रतिनिधित्व है।
जाली सिद्धांत में, प्रतिनिधित्व प्रमेयों के आधार पर अनेक द्वैत हैं, जो जाली के कुछ वर्गों को संस्थानिक रिक्त स्थान के वर्गों से जोड़ते हैं। संभवतः इस प्रकार का सबसे प्रसिद्ध प्रमेय बूलियन बीजगणित के लिए स्टोन का प्रतिनिधित्व प्रमेय है, जो स्टोन द्वैत की सामान्य योजना के अंदर विशेष उदाहरण है। प्रत्येक बूलियन बीजगणित (संरचना) $B$ के जाली सिद्धांत के समूह पर विशिष्ट सांस्थिति के लिए मानचित्र किया गया है । इस प्रकार $B$ इसके विपरीत, किसी भी सांस्थिति के लिए क्लोपेन (अर्थात् बंद और खुला) उपसमुच्चय बूलियन बीजगणित उत्पन्न करते हैं। बूलियन बीजगणित (उनके समरूपता के साथ) और स्टोन रिक्त स्थान (निरंतर मानचित्रण के साथ) की श्रेणी के मध्य द्वंद्व प्राप्त करता है। स्टोन द्वैत का अन्य स्थिति बिरखॉफ का प्रतिनिधित्व प्रमेय है जो परिमित आंशिक आदेश और परिमित वितरण जाल के मध्य द्वैत बताता है।
व्यर्थ सांस्थिति में स्थानिक स्थानों की श्रेणी को शांत स्थानों की श्रेणी के दोहरे के समान्तर जाना जाता है।
दो छल्ले (गणित) आर और एस के लिए, उत्पाद श्रेणी आर-'मॉड' × एस-'मॉड' (आर×एस)-'मॉड' के समान्तर है।
कोई भी वर्ग उसके सारांश (श्रेणी सिद्धांत) के समतुल्य होता है।

गुण

अंगूठे के नियम के रूप में, श्रेणियों की समानता सभी "श्रेणीबद्ध" अवधारणाओं और गुणों को संरक्षित करती है। यदि एफ :सी → डी तुल्यता है, तब निम्नलिखित कथन सभी सत्य हैं।

सी शून्य वस्तु सी प्रारंभिक वस्तु (या अंतिम वस्तु, या शून्य वस्तु) है, यदि एफसी, डी का प्रारंभिक वस्तु (या अंतिम वस्तु, या शून्य वस्तु) है।
सी में आकृतिवाद α एकरूपता (या अधिरूपता, या समाकृतिकता) है, यदि एफα, डी में एकरूपता (या अधिरूपता, या समाकृतिकता) है।
फलक H : आई →सी की सीमा (श्रेणी सिद्धांत) हैl यदि फलक एफH : आई → डी की सीमा (श्रेणी सिद्धांत) एफ है। यह दूसरों के मध्य तुल्यकारक (गणित), उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत) और सह-उत्पादों पर प्रयुक्त किया जा सकता है। इसे कर्नेल (श्रेणी सिद्धांत) और कोकर्नेल पर प्रयुक्त करते हुए, हम देखते हैं कि तुल्यता एफ नियमित श्रेणी त्रुटिहीन अनुक्रम और नियमित समानता है।
सी कार्तीय बंद श्रेणी (या शीर्ष) है यदि डी कार्तीय बंद (या शीर्ष) है।

द्वैत "सभी अवधारणाओं को चारों ओर घूर्णन करते हैं"। वह प्रारंभिक वस्तुओं को अंतिम वस्तुओं में परिवर्तित कर देते हैं। इस प्रकार एकरूपता को अधिरूपता में, तत्त्व को कर्नेल में, कोलिमिट्स में सीमित कर देते हैं आदि।

यदि एफ :सी → डी श्रेणियों की तुल्यता है और जी₁ और जी₂ एफ के दो व्युत्क्रम हैं, तब जी₁ और जी₂ स्वाभाविक रूप से समरूप हैं।

यदि एफ:सी → डी श्रेणियों का समकक्ष है और यदि सी पूर्ववर्ती श्रेणी (या योजक श्रेणी, या एबेलियन श्रेणी) है, तब डी को इस प्रकार के पूर्ववर्ती श्रेणी (या योजक श्रेणी, या एबेलियन श्रेणी) में परिवर्तित कर दिया जा सकता है। जिस प्रकार से एफ योगात्मक कारक बन जाता है। दूसरी ओर, योज्य श्रेणियों के मध्य कोई भी समानता आवश्यक रूप से योज्य है। (ध्यान दीजिए कि बाद वाला कथन पूर्ववर्ती श्रेणियों के मध्य समानता के लिए सही नहीं है।)

श्रेणी सी का 'स्वत: तुल्यता' समकक्ष एफ:सी →सी है। इस प्रकार सी की स्वतः तुल्यता संरचना के अंतर्गत समूह (गणित) बनाती है यदि हम दो स्वतः तुल्यताओं पर विचार करते हैं जो समान होने के लिए स्वाभाविक रूप से समरूप हैं। यह समूह सी की आवश्यक समरूपता को दर्शाता है।

यह भी देखें

गणितीय संरचनाओं की समतुल्य परिभाषाएँ

संदर्भ

↑ Mac Lane (1998), Theorem IV.4.1
↑ Lutz Schröder (2001). "Categories: a free tour". In Jürgen Koslowski and Austin Melton (ed.). श्रेणीबद्ध दृष्टिकोण. Springer Science & Business Media. p. 10. ISBN 978-0-8176-4186-3.

equivalence of categories at the nLab
"Equivalence of categories", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the working mathematician. New York: Springer. pp. xii+314. ISBN 0-387-98403-8.

[1] Mac Lane (1998), Theorem IV.4.1

[KoslowskiMelton2001-2] Lutz Schröder (2001). "Categories: a free tour". In Jürgen Koslowski and Austin Melton (ed.). श्रेणीबद्ध दृष्टिकोण. Springer Science & Business Media. p. 10. ISBN 978-0-8176-4186-3.

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 == परिभाषा ==
-औपचारिक रूप से, दो श्रेणियां सी और डी दी गई हैं, श्रेणियों की समानता में कारक एफ:सी → डी, कारक जी: डी →सी और दो प्राकृतिक समरूपता ε: एफजी→आई<sub>डी</sub> और η: आई<sub>सी</sub>→जीएफ सम्मिलित हैं। यहाँ एफजी: डी→डी और जीएफ:सी→सी, एफ और जी की संबंधित रचनाओं को दर्शाता है और आई<sub>सी</sub>:सी→सी और आई<sub>डी</sub>: डी → डी,सी और डी पर समानता समानताों को दर्शाता है, प्रत्येक वस्तु और आकारिकी को स्वयं निर्दिष्ट करता है। यदि एफ और जी प्रतिपरिवर्ती फलनकार हैं तब कोई इसके अतिरिक्त श्रेणियों के द्वैत की बात करता है।
+औपचारिक रूप से, दो श्रेणियां सी और डी दी गई हैं, श्रेणियों की समानता में कारक एफ:सी → डी, कारक जी: डी →सी और दो प्राकृतिक समरूपता ε: एफजी→आई<sub>डी</sub> और η: आई<sub>सी</sub>→जीएफ सम्मिलित हैं। यहाँ एफजी: डी→डी और जीएफ:सी→सी, एफ और जी की संबंधित रचनाओं को दर्शाता है और आई<sub>सी</sub>:सी→सी और आई<sub>डी</sub>: डी → डी,सी और डी पर समानता को दर्शाता है, प्रत्येक वस्तु और आकारिकी को स्वयं निर्दिष्ट करता है। यदि एफ और जी प्रतिपरिवर्ती फलनकार हैं तब कोई इसके अतिरिक्त श्रेणियों के द्वैत की बात करता है।
-उपरोक्त सभी डेटा को अधिकांशतः निर्दिष्ट नहीं किया जाता है। उदाहरण के लिए, हम कहते हैं कि श्रेणियां सी और डी समतुल्य हैं (क्रमशः द्वैत समतुल्य) यदि उनके मध्य तुल्यता (क्रमशः द्वैत) उपस्तिथ है। इसके अतिरिक्त, हम कह सकते हैं कि एफ "श्रेणियों की समानता" है यदि व्युत्क्रम कारक जी और उपरोक्त के रूप में प्राकृतिक समरूपताएं उपस्तिथ हैं। ध्यान दीजिए कि एफ का ज्ञान सामान्यतः जी और प्राकृतिक समरूपता के पुनर्निर्माण के लिए पर्याप्त नहीं है। इस प्रकार अनेक विकल्प हो सकते हैं (नीचे उदाहरण देखें)।
+उपरोक्त सभी डेटा को अधिकांशतः निर्दिष्ट नहीं किया जाता है। उदाहरण के लिए, हम कहते हैं कि श्रेणियां सी और डी समतुल्य हैं (क्रमशः द्वैत समतुल्य) यदि उनके मध्य तुल्यता (क्रमशः द्वैत) उपस्तिथ है। इसके अतिरिक्त, हम कह सकते हैं कि एफ "श्रेणियों की समानता" है यदि व्युत्क्रम कारक जी और उपरोक्त के रूप में प्राकृतिक समरूपताएं उपस्तिथ होती हैं। ध्यान दीजिए कि एफ का ज्ञान सामान्यतः जी और प्राकृतिक समरूपता के पुनर्निर्माण के लिए पर्याप्त नहीं है। इस प्रकार अनेक विकल्प हो सकते हैं (नीचे उदाहरण देखें)।
 == वैकल्पिक लक्षण वर्णन ==
-मज़ेदार एफ:सी → डी श्रेणियों के समानता उत्पन्न करता है और यदि यह साथ है।
+रोचक एफ:सी → डी श्रेणियों के समानता उत्पन्न करता है और यदि यह साथ है।
 * [[पूर्ण काम करनेवाला|पूर्ण कार्य करने वाला]], अर्थात् सी की किन्‍हीं दो वस्तुओं सी<sub>1</sub> और सी<sub>2</sub> के लिए एफ द्वारा प्रेरित मानचित्र होम<sub>सी</sub>(सी<sub>1</sub>,सी<sub>2</sub>) → होम<sub>डी</sub>(एफसी<sub>1</sub>,एफसी<sub>2</sub>) आच्छादक है।
-* विश्वसनीय समानता, अर्थात् सी के किन्ही दो वस्तुओं सी<sub>1</sub> और सी<sub>2</sub> के लिए होम<sub>सी</sub>(सी<sub>1</sub>,सी<sub>2</sub>) → होम<sub>डी</sub>(एफसी<sub>1</sub>,एफसी<sub>2</sub>) एफ द्वारा प्रेरित [[इंजेक्शन]] है और,
+* विश्वसनीय समानता, अर्थात् सी के किन्ही दो वस्तुओं सी<sub>1</sub> और सी<sub>2</sub> के लिए होम<sub>सी</sub>(सी<sub>1</sub>,सी<sub>2</sub>) → होम<sub>डी</sub>(एफसी<sub>1</sub>,एफसी<sub>2</sub>) एफ द्वारा प्रेरित [[इंजेक्शन|अन्तःक्षेपण]] है और,
 * अनिवार्य रूप से विशेषण (सघन), अर्थात् डी में प्रत्येक वस्तु डी,सी में सी के लिए एफसी फॉर्म की वस्तु के लिए समरूप है।<ref>Mac Lane (1998), Theorem IV.4.1</ref>
-यह अधिक उपयोगी और सामान्य रूप से प्रयुक्त मानदंड है जिससे कि किसी को स्पष्ट रूप से "व्युत्क्रम" जी और एफजी, जीएफ और समानता समानताों के मध्य प्राकृतिक समरूपता का निर्माण करने की आवश्यकता नहीं होती है। दूसरी ओर चूंकि उपरोक्त गुण स्पष्ट तुल्यता के अस्तित्व की गारंटी देते हैं (अंतर्निहित समूह सिद्धांत में पसंद के स्वयंसिद्ध का पर्याप्त रूप से मजबूत संस्करण दिया गया है), विलुप्त डेटा पूर्ण प्रकार से निर्दिष्ट नहीं है और अधिकांशतः अनेक विकल्प होते हैं। जब भी संभव हो विलुप्त निर्माणों को स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट करना अच्छा विचार है। इस परिस्थिति के कारण इन गुणों वाले कारक को कभी-कभी "श्रेणियों की कमजोर समानता कहा जाता है। (दुर्भाग्य से यह [[होमोटॉपी प्रकार सिद्धांत]] से शब्दावली के साथ संघर्ष करता है।)
+यह अधिक उपयोगी और सामान्य रूप से प्रयुक्त मानदंड है जिससे कि किसी को स्पष्ट रूप से "व्युत्क्रम" जी और एफजी, जीएफ और समानता के मध्य प्राकृतिक समरूपता का निर्माण करने की आवश्यकता नहीं होती है। दूसरी ओर चूंकि उपरोक्त गुण स्पष्ट तुल्यता के अस्तित्व की जिम्मेदारी देते हैं (अंतर्निहित समूह सिद्धांत में पसंद के स्वयंसिद्ध का पर्याप्त रूप से मजबूत संस्करण दिया गया है), विलुप्त डेटा पूर्ण प्रकार से निर्दिष्ट नहीं है और अधिकांशतः अनेक विकल्प होते हैं। जब भी संभव हो विलुप्त निर्माणों को स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट करना उचित विचार है। इस परिस्थिति के कारण इन गुणों वाले कारक को कभी-कभी "श्रेणियों की कमजोर समानता कहा जाता है। (दुर्भाग्य से यह [[होमोटॉपी प्रकार सिद्धांत|होमोटॉपी सिद्धांत]] से शब्दावली के साथ संघर्ष करता है।)
-आसन्न समानताों की अवधारणा से भी घनिष्ठ संबंध है <math>F\dashv G</math>, जहां हम कहते हैं कि <math>F:C\rightarrow D</math> का बायां आसन्न है <math>G:D\rightarrow C</math>, या इसी प्रकार जी, एफ का दाहिना सन्निकटन है। फिर सी और डी समतुल्य हैं (जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है कि एफजी से आई<sub>डी</sub> और आई<sub>सी</sub> ,जीएफ तक प्राकृतिक समरूपताएं हैं) यदि <math>F\dashv G</math> और एफ और जी दोनों पूर्ण और विश्वासयोग्य हैं।
+आसन्न समानता की अवधारणा से भी घनिष्ठ संबंध होते है <math>F\dashv G</math>, जहां हम कह सकते हैं कि <math>F:C\rightarrow D</math> का बायां आसन्न है <math>G:D\rightarrow C</math>, या इसी प्रकार जी, एफ का दाहिना सन्निकटन है। फिर सी और डी समतुल्य हैं (जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है कि एफजी से आई<sub>डी</sub> और आई<sub>सी</sub> ,जीएफ तक प्राकृतिक समरूपताएं हैं) यदि <math>F\dashv G</math> और एफ और जी दोनों पूर्ण और विश्वासयोग्य हैं।
-जब सहायक कारक <math>F\dashv G</math> दोनों पूर्ण और विश्वसनीय नहीं हैं, तब हम उनके आसन्न संबंध को श्रेणियों की "तुल्यता के कमजोर रूप" को व्यक्त करने के रूप में देख सकते हैं। यह मानते हुए कि संयोजनों के लिए प्राकृतिक परिवर्तन दिए गए हैं, यह सभी स्वरूप आवश्यक डेटा के स्पष्ट निर्माण की अनुमति देते हैं और कोई विकल्प सिद्धांतों की आवश्यकता नहीं होती है। इस प्रकार मुख्य संपत्ति जिसे यहां सिद्ध करना है वह यह है कि संयोजन का देश समरूपता है यदि सही आसन्न पूर्ण और विश्वसनीय समानता है।
+जब सहायक कारक <math>F\dashv G</math> दोनों पूर्ण और विश्वसनीय नहीं होते हैं, तब हम उनके आसन्न संबंध को श्रेणियों की "तुल्यता के कमजोर रूप" को व्यक्त करने के रूप में देख सकते हैं। यह मानते हुए कि संयोजनों के लिए प्राकृतिक परिवर्तन दिए गए हैं, यह सभी स्वरूप आवश्यक डेटा के स्पष्ट निर्माण की अनुमति देते हैं और कोई विकल्प सिद्धांतों की आवश्यकता नहीं होती है। इस प्रकार मुख्य संपत्ति जिसे यहां सिद्ध करना है वह यह है कि संयोजन का देश समरूपता है यदि सही आसन्न पूर्ण और विश्वसनीय समानता है।
 == उदाहरण ==
 * श्रेणी पर विचार करें <math>C</math> में ही वस्तु है; <math>c</math> और आकारिकी <math>1_{c}</math> और श्रेणी <math>D</math> दो वस्तुओं के साथ <math>d_{1}</math>, <math>d_{2}</math> और चार रूपवाद दो समानता रूपवाद <math>1_{d_{1}}</math>, <math>1_{d_{2}}</math> और दो समरूपताएं <math>\alpha \colon d_{1} \to d_{2}</math> और <math>\beta \colon d_{2} \to d_{1}</math>. श्रेणियां <math>C</math> और <math>D</math> समतुल्य हैं। हम (उदाहरण के लिए) कर सकते हैं <math>F</math> मानचित्रण <math>c</math> से <math>d_{1}</math> और <math>G</math> दोनों वस्तुओं का मानचित्र <math>D</math> को <math>c</math> और सभी रूपवाद करने के लिए <math>1_{c}</math> होता है।
 * इसके विपरीत, श्रेणी <math>C</math> वस्तु और आकारिकी के साथ श्रेणी के समतुल्य नहीं है अतः <math>E</math> दो वस्तुओं के साथ और केवल दो समानता रूपों के साथ दो वस्तुओं में <math>E</math> समरूपी नहीं हैं जिससे कि उनके मध्य कोई आकारिकी नहीं है। इस प्रकार कोई भी कार्यकर्ता <math>C</math> से <math>E</math> अनिवार्य रूप से विशेषण नहीं होता है।
-* श्रेणी पर विचार करें <math>C</math> वस्तु के साथ <math>c</math> और दो रूपवाद <math>1_{c}, f \colon c \to c</math>. के जाने <math>1_{c}</math> पर समानता रूपवाद हो <math>c</math> और समूह <math>f \circ f = 1</math>. बिल्कुल <math>C</math> स्वयं के समतुल्य है, जिसे लेकर दिखाया जा सकता है <math>1_{c}</math> कारक के मध्य आवश्यक प्राकृतिक समरूपता के स्थान पर <math>\mathbf{I}_{C}</math> और स्वयं। चूंकि, यह भी सच है कि <math>f</math> से प्राकृतिक समरूपता प्राप्त होती है <math>\mathbf{I}_{C}</math> स्वयं को इसलिए यह जानकारी दी गई है कि समानता कारक श्रेणियों की समानता बनाते हैं, इस उदाहरण में कोई भी प्रत्येक दिशा के लिए दो प्राकृतिक समरूपताओं के मध्य चयन कर सकते हैं।
+* श्रेणी पर विचार करें <math>C</math> वस्तु के साथ <math>c</math> और दो रूपवाद <math>1_{c}, f \colon c \to c</math>. के जाने <math>1_{c}</math> पर समानता रूपवाद हो <math>c</math> और समूह <math>f \circ f = 1</math>. बिल्कुल <math>C</math> स्वयं के समतुल्य है, जिसे लेकर दिखाया जा सकता है <math>1_{c}</math> कारक के मध्य आवश्यक प्राकृतिक समरूपता के स्थान पर <math>\mathbf{I}_{C}</math> और स्वयं के लिये चूंकि यह भी सच है कि <math>f</math> से प्राकृतिक समरूपता प्राप्त होती है <math>\mathbf{I}_{C}</math> स्वयं को इसलिए यह जानकारी दी गई है कि समानता कारक श्रेणियों की समानता बनाते हैं, इस उदाहरण में कोई भी प्रत्येक दिशा के लिए दो प्राकृतिक समरूपताओं के मध्य चयन कर सकते हैं।
 * समुच्चयों और आंशिक कार्यों की श्रेणी नुकीले समुच्चयों और बिंदु-संरक्षण मानचित्रों की श्रेणी के समतुल्य है किन्तु समरूपी नहीं है।<ref name="KoslowskiMelton2001">{{cite book|editor=Jürgen Koslowski and Austin Melton|title=श्रेणीबद्ध दृष्टिकोण|year=2001|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-8176-4186-3|page=10|author=Lutz Schröder|chapter=Categories: a free tour}}</ref>
 * श्रेणी पर विचार करें <math>C</math> परिमित-आयामी की [[वास्तविक संख्या]] सदिश समष्टि और श्रेणी <math>D = \mathrm{Mat}(\mathbb{R})</math> सभी वास्तविक [[मैट्रिक्स (गणित)]] के (बाद की श्रेणी को योगात्मक श्रेणी पर लेख में समझाया गया है)। तब <math>C</math> और <math>D</math> समतुल्य हैं। इस प्रकार कारक <math>G \colon D \to C</math> जो वस्तु को मानचित्र करता है अतः <math>A_{n}</math> का <math>D</math> सदिश अंतरिक्ष के लिए <math>\mathbb{R}^{n}</math> और मेट्रिसेस में <math>D</math> संबंधित रेखीय मानचित्रों के लिए पूर्ण, विश्वसनीय और अनिवार्य रूप से विशेषण है।
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 * सी कार्तीय बंद श्रेणी (या शीर्ष) है यदि डी कार्तीय बंद (या शीर्ष) है।
-द्वैत "सभी अवधारणाओं को चारों ओर घूर्णन करते हैं"। वह [[प्रारंभिक वस्तु|प्रारंभिक वस्तुओं]] को अंतिम वस्तुओं में परिवर्तित कर देते हैं। इस प्रकार एकरूपता को अधिरूपता में, गुठली को कर्नेल में, कोलिमिट्स में सीमित कर देते हैं आदि।
+द्वैत "सभी अवधारणाओं को चारों ओर घूर्णन करते हैं"। वह [[प्रारंभिक वस्तु|प्रारंभिक वस्तुओं]] को अंतिम वस्तुओं में परिवर्तित कर देते हैं। इस प्रकार एकरूपता को अधिरूपता में, तत्त्व को कर्नेल में, कोलिमिट्स में सीमित कर देते हैं आदि।
 यदि एफ :सी → डी श्रेणियों की तुल्यता है और जी<sub>1</sub> और जी<sub>2</sub> एफ के दो व्युत्क्रम हैं, तब जी<sub>1</sub> और जी<sub>2</sub> स्वाभाविक रूप से समरूप हैं।

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