कार्टन अपघटन: Difference between revisions

Revision as of 10:37, 5 May 2023

गणित में, कार्टन अपघटन एक सेमीसिम्पल लाई बीजगणित लाई समूह या लाई बीजगणित का अपघटन है, जो उनके संरचना सिद्धांत और प्रतिनिधित्व सिद्धांत में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। यह मेट्रिसेस के ध्रुवीय अपघटन या एकवचन मान अपघटन को सामान्य करता है। इसका इतिहास एली कार्टन और विल्हेम हत्या के 1880 के दशक के काम का पता लगाया जा सकता है।^[1]

लाई बीजगणित पर कार्टन का निवेश

मान लीजिए ${\mathfrak {g}}$ एक वास्तविक अर्धसरल लाई बीजगणित है और $B(\cdot ,\cdot )$ इसका घातक रूप है। ${\mathfrak {g}}$ पर एक जुड़ाव ${\mathfrak {g}}$ का झूठा बीजगणित ऑटोमोर्फिज्म $\theta$ है जिसका वर्ग पहचान के समान है। यदि $B_{\theta }(X,Y):=-B(X,\theta Y)$ एक सकारात्मक निश्चित बिलिनियर रूप है, तो इस तरह के एक समावेशन को ${\mathfrak {g}}$ पर एक कार्टन समावेशन कहा जाता है।

दो इन्वोल्यूशन $\theta _{1}$ और $\theta _{2}$ समतुल्य माने जाते हैं यदि वे केवल एक आंतरिक ऑटोमोर्फिज्म से भिन्न होते हैं।

किसी भी वास्तविक अर्धसरल लाई बीजगणित में एक कार्टन का समावेश होता है, और कोई भी दो कार्टन का समावेशन समतुल्य होता है।

उदाहरण

${\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {R} )$ पर एक कार्टन निवेश $\theta (X)=-X^{T}$ द्वारा परिभाषित किया गया है, जहाँ $X^{T}$ ट्रांसपोज़ आव्यूह को $X$ दर्शाता है
${\mathfrak {g}}$ पर पहचान मानचित्र एक अंतर्वलन है। यह ${\mathfrak {g}}$ का अनोखा कार्टन समावेश है यदि और केवल यदि ${\mathfrak {g}}$ का किलिंग रूप नकारात्मक निश्चित है या, समकक्ष, यदि और केवल यदि ${\mathfrak {g}}$ लाई है कॉम्पैक्ट सेमीसिंपल लाई समूह का बीजगणित है ।
मान लीजिए कि ${\mathfrak {g}}$ एक वास्तविक अर्ध-सरल लाई बीजगणित ${\mathfrak {g}}_{0}$ का जटिलीकरण है, तो ${\mathfrak {g}}$ का जटिल संयुग्मन ${\mathfrak {g}}$ का एक अंतर्वलन है। यह ${\mathfrak {g}}$ पर कार्टन समावेश है यदि और केवल यदि ${\mathfrak {g}}_{0}$ कॉम्पैक्ट लाइ समूह का लाई बीजगणित है।
निम्नलिखित मानचित्र विशेष एकात्मक समूह SU(n) का:लाई बीजगणित ${\mathfrak {su}}(n)$ ${\mathfrak {su}}(n)$ के अंतर्वलन हैं
1. पहचान का समावेश $\theta _{1}(X)=X$ , जो इस स्थिति में अनोखा कार्टन समावेश है।
2. जटिल संयुग्मन, के रूप में अभिव्यक्त $\theta _{2}(X)=-X^{T}$ पर ${\mathfrak {su}}(2)$ .
3. यदि $n=p+q$ विचित्र है, $\theta _{3}(X)={\begin{pmatrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{pmatrix}}X{\begin{pmatrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{pmatrix}}$ . समावेश (1), (2) और (3) समतुल्य हैं, किंतु पहचान के समतुल्य नहीं हैं ${\begin{pmatrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{pmatrix}}\notin {\mathfrak {su}}(n)$ .
4. यदि $n=2m$ सम है, वहाँ $\theta _{4}(X)={\begin{pmatrix}0&I_{m}\\-I_{m}&0\end{pmatrix}}X^{T}{\begin{pmatrix}0&I_{m}\\-I_{m}&0\end{pmatrix}}$ .भी है

कार्टन जोड़े

मान लीजिए $\theta$ लाई बीजगणित ${\mathfrak {g}}$ पर एक अंतर्वलन है। चूँकि $\theta ^{2}=1$ , रेखीय मानचित्र $\theta$ में दो ईजेनमान $\pm 1$ हैं।यदि ${\mathfrak {k}}$ और ${\mathfrak {p}}$ क्रमशः +1 और -1 के अनुरूप ईजेनस्पेस को निरूपित करें, फिर ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}$ . तब से $\theta$ एक लाई बीजगणित ऑटोमोर्फिज्म है, इसके दो आइगेनस्पेस का लाई ब्रैकेट उनके आइगेनवैल्यू के उत्पाद के अनुरूप आइगेनस्पेस में समाहित है। यह इस प्रकार है कि

[{\mathfrak {k}},{\mathfrak {k}}]\subseteq {\mathfrak {k}}

,

[{\mathfrak {k}},{\mathfrak {p}}]\subseteq {\mathfrak {p}}

, और

[{\mathfrak {p}},{\mathfrak {p}}]\subseteq {\mathfrak {k}}

.

इस प्रकार ${\mathfrak {k}}$ एक लाई उपबीजगणित है, जबकि किसी भी उपबीजगणित का ${\mathfrak {p}}$ क्रमविनिमेय है।

इसके विपरीत, एक अपघटन ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}$ इन अतिरिक्त गुणों के साथ ${\mathfrak {g}}$ पर एक समावेश $\theta$ निर्धारित करता है ${\mathfrak {k}}$ पर $+1$ और ${\mathfrak {p}}$ पर $-1$ है।

ऐसी जोड़ी $({\mathfrak {k}},{\mathfrak {p}})$ को ${\mathfrak {g}}$ , और $({\mathfrak {g}},{\mathfrak {k}})$ की कार्टन जोड़ी भी कहा जाता है एक सममित जोड़ी कहा जाता है। यहाँ एक कार्टन जोड़ी की इस धारणा को अलग-अलग धारणा के साथ भ्रमित नहीं होना है जिसमें सापेक्ष लाई बीजगणित कोहोलॉजी $H^{*}({\mathfrak {g}},{\mathfrak {k}})$ सम्मिलित है।

अपघटन { ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}$ कार्टन के समावेश से जुड़ा होता है जिसे ${\mathfrak {g}}$ का कार्टन अपघटन कहा जाता है। कार्टन अपघटन की विशेष विशेषता यह है कि किलिंग फॉर्म ${\mathfrak {k}}$ पर नकारात्मक निश्चित और ${\mathfrak {p}}$ पर सकारात्मक निश्चित है। इसके अतिरिक्त , ${\mathfrak {k}}$ और ${\mathfrak {p}}$ , ${\mathfrak {g}}$ पर किलिंग फॉर्म के संबंध में एक दूसरे के ऑर्थोगोनल पूरक हैं।

लाई समूह स्तर पर कार्टन अपघटन

चलो $G$ एक गैर-कॉम्पैक्ट सेमीसिम्पल लाइ समूह और ${\mathfrak {g}}$ इसका झूठा बीजगणित है। $\theta$ को ${\mathfrak {g}}$ पर एक कार्टन समावेश होने दें और $({\mathfrak {k}},{\mathfrak {p}})$ परिणामी कार्टन जोड़ी बनें। चलो $K$ लाई बीजगणित ${\mathfrak {k}}$ के साथ $G$ का विश्लेषणात्मक उपसमूह है। तब:

$\Theta ^{2}=1$ को संतुष्ट करने वाली पहचान पर विभेदक $\theta$ के साथ एक लाइ ग्रुप ऑटोमोर्फिज्म $\Theta$ है।
$\Theta$ द्वारा निर्धारित तत्वों का उपसमूह $K$ है ; विशेष रूप से, $K$ एक बंद उपसमूह है।
$(k,X)\mapsto k\cdot \mathrm {exp} (X)$ द्वारा दिया गया मानचित्रण $K\times {\mathfrak {p}}\rightarrow G$ एक भिन्नता है।
उपसमूह $K$ , $G$ का एक अधिकतम कॉम्पैक्ट उपसमूह है , जब भी G का केंद्र परिमित हो।

ऑटोमोर्फिज्म $\Theta$ को ग्लोबल कार्टन समावेश भी कहा जाता है, और डिफियोमोर्फिज्म $K\times {\mathfrak {p}}\rightarrow G$ को ग्लोबल कार्टन अपघटन कहा जाता है। यदि हम $P=\mathrm {exp} ({\mathfrak {p}})\subset G$ लिखते हैं तो यह कहता है कि उत्पाद मानचित्र $K\times P\rightarrow G$ एक भिन्नता है इसलिए $G=KP$ ।

सामान्य रैखिक समूह $X\mapsto (X^{-1})^{T}$ के लिए, एक कार्टन समावेश है।^{[clarification needed]}

कॉम्पैक्ट या गैर-कॉम्पैक्ट प्रकार के सममित स्थानों के लिए कार्टन अपघटन का शोधन बताता है कि ${\mathfrak {p}}$ में अधिकतम एबेलियन सबलगेब्रस ${\mathfrak {a}}$ $K$ द्वारा संयुग्मन तक अद्वितीय हैं। इसके अतिरिक्त,

\displaystyle {{\mathfrak {p}}=\bigcup _{k\in K}\mathrm {Ad} \,k\cdot {\mathfrak {a}}.}\qquad {\text{and}}\qquad \displaystyle {P=\bigcup _{k\in K}\mathrm {Ad} \,k\cdot A.}

कहाँ

A=e^{\mathfrak {a}}

.

इस प्रकार कॉम्पैक्ट और नॉनकॉम्पैक्ट स्थिति में वैश्विक कार्टन अपघटन का तात्पर्य है

G=KP=KAK,

ज्यामितीय रूप से उपसमूह की छवि $A$ में $G/K$ एक पूरी तरह से जियोडेसिक उपमनीफोल्ड है।

ध्रुवीय अपघटन से संबंध

${\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {R} )$ पर कार्टन इनवोल्यूशन $\theta (X)=-X^{T}$ के साथ विचार करें। फिर ${\mathfrak {k}}={\mathfrak {so}}_{n}(\mathbb {R} )$ तिरछा-सममित आव्यूहों का वास्तविक लाई बीजगणित है, जिससे $K=\mathrm {SO} (n)$ , जबकि ${\mathfrak {p}}$ सममित आव्यूहों की उपसमष्टि है। इस प्रकार घातीय नक्शा ${\mathfrak {p}}$ से सकारात्मक निश्चित मैट्रिसेस के स्थान पर एक भिन्नता है। इस घातीय मानचित्र तक, वैश्विक कार्टन अपघटन एक मैट्रिक्स का ध्रुवीय अपघटन है। व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स का ध्रुवीय अपघटन अद्वितीय है।

यह भी देखें

लाई समूह अपघटन

संदर्भ

Helgason, Sigurdur (1978), Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces, Pure and Applied Mathematics, vol. 80, Academic Press, ISBN 0-8218-2848-7, MR 0514561
Kleiner, Israel (2007). Kleiner, Israel (ed.). A History of Abstract Algebra. Boston, MA: Birkhäuser. doi:10.1007/978-0-8176-4685-1. ISBN 978-0817646844. MR 2347309.
Knapp, Anthony W. (2005) [1996]. Bass, Hyman; Oesterlé, Joseph; Alan, Weinstein (eds.). Lie groups beyond an introduction. Progress in Mathematics. Vol. 140 (2nd ed.). Boston, MA: Birkhäuser. ISBN 0-8176-4259-5. MR 1920389.

[1] Kleiner 2007

[1]

@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Short description|Generalized matrix decomposition for Lie groups and Lie algebras}}
-गणित में, कार्टन अपघटन एक सेमीसिम्पल लाई बीजगणित लाई समूह या लाई बीजगणित का अपघटन है, जो उनके संरचना सिद्धांत और [[प्रतिनिधित्व सिद्धांत]] में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। यह मेट्रिसेस के [[ध्रुवीय अपघटन]] या एकवचन मूल्य अपघटन को सामान्य करता है। इसका इतिहास एली कार्टन और [[ विल्हेम हत्या ]] के 1880 के दशक के काम का पता लगाया जा सकता है।<ref>{{harvnb|Kleiner|2007}}</ref>
+गणित में, कार्टन अपघटन एक सेमीसिम्पल लाई बीजगणित लाई समूह या लाई बीजगणित का अपघटन है, जो उनके संरचना सिद्धांत और [[प्रतिनिधित्व सिद्धांत]] में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। यह मेट्रिसेस के [[ध्रुवीय अपघटन]] या एकवचन मान अपघटन को सामान्य करता है। इसका इतिहास एली कार्टन और [[ विल्हेम हत्या ]] के 1880 के दशक के काम का पता लगाया जा सकता है।<ref>{{harvnb|Kleiner|2007}}</ref>
+== लाई बीजगणित पर कार्टन का निवेश ==
-== लाई बीजगणित == पर कार्टन का निवेश
+मान लीजिए <math>\mathfrak{g}</math> एक वास्तविक अर्धसरल लाई बीजगणित है और <math>B(\cdot,\cdot)</math> इसका घातक रूप है। <math>\mathfrak{g}</math> पर एक जुड़ाव <math>\mathfrak{g}</math> का झूठा बीजगणित ऑटोमोर्फिज्म <math>\theta</math> है जिसका वर्ग पहचान के समान है। यदि <math>B_\theta(X,Y) := -B(X,\theta Y)</math> एक सकारात्मक निश्चित बिलिनियर रूप है, तो इस तरह के एक समावेशन को <math>\mathfrak{g}</math> पर एक कार्टन समावेशन कहा जाता है।
-होने देना <math>\mathfrak{g}</math> एक वास्तविक अर्धसरल झूठ बीजगणित और चलो <math>B(\cdot,\cdot)</math> उसका संहार रूप हो। एक [[इन्वोल्यूशन (गणित)]] पर <math>\mathfrak{g}</math> एक झूठ बीजगणित [[ automorphism ]] है <math>\theta</math> का <math>\mathfrak{g}</math> जिसका वर्ग सर्वसमिका के बराबर है। इस तरह के शामिल होने को कार्टन इनवोल्यूशन ऑन कहा जाता है <math>\mathfrak{g}</math> अगर <math>B_\theta(X,Y) := -B(X,\theta Y)</math> एक [[सकारात्मक निश्चित द्विरेखीय रूप]] है।
 दो इन्वोल्यूशन <math>\theta_1</math> और <math>\theta_2</math> समतुल्य माने जाते हैं यदि वे केवल एक [[आंतरिक ऑटोमोर्फिज्म]] से भिन्न होते हैं।
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 === उदाहरण ===
-* एक कार्टन इनवोल्यूशन चालू <math>\mathfrak{sl}_n(\mathbb{R})</math> द्वारा परिभाषित किया गया है <math>\theta(X)=-X^T</math>, कहाँ <math>X^T</math> के स्थानान्तरण मैट्रिक्स को दर्शाता है <math>X</math>.
+*<math>\mathfrak{sl}_n(\mathbb{R})</math> पर एक कार्टन निवेश <math>\theta(X)=-X^T</math> द्वारा परिभाषित किया गया है, जहाँ <math>X^T</math> ट्रांसपोज़ आव्यूह को <math>X</math> दर्शाता है
-* पहचान मानचित्र पर <math>\mathfrak{g}</math> एक अंतर्विरोध है। यह कार्टन का अनूठा समावेश है <math>\mathfrak{g}</math> अगर और केवल अगर की हत्या का रूप <math>\mathfrak{g}</math> नकारात्मक निश्चित है या, समकक्ष, अगर और केवल अगर <math>\mathfrak{g}</math> एक [[कॉम्पैक्ट झूठ समूह]] सेमीसिंपल लाइ ग्रुप का लाई बीजगणित है।
+*<math>\mathfrak{g}</math> पर पहचान मानचित्र एक अंतर्वलन है। यह <math>\mathfrak{g}</math> का अनोखा कार्टन समावेश है यदि और केवल यदि <math>\mathfrak{g}</math> का किलिंग रूप नकारात्मक निश्चित है या, समकक्ष, यदि और केवल यदि <math>\mathfrak{g}</math> लाई है कॉम्पैक्ट सेमीसिंपल लाई समूह का बीजगणित है ।
-* होने देना <math>\mathfrak{g}</math> एक वास्तविक अर्धसरल लाई बीजगणित की [[जटिलता]] हो <math>\mathfrak{g}_0</math>, फिर जटिल संयुग्मन चालू करें <math>\mathfrak{g}</math> पर संलिप्तता है <math>\mathfrak{g}</math>. यह कार्टन इन्वोल्यूशन चालू है <math>\mathfrak{g}</math> अगर और केवल अगर <math>\mathfrak{g}_0</math> कॉम्पैक्ट लाइ समूह का झूठ बीजगणित है।
+*मान लीजिए कि <math>\mathfrak{g}</math> एक वास्तविक अर्ध-सरल लाई बीजगणित <math>\mathfrak{g}_0</math> का जटिलीकरण है, तो <math>\mathfrak{g}</math> का जटिल संयुग्मन <math>\mathfrak{g}</math> का एक अंतर्वलन है। यह <math>\mathfrak{g}</math> पर कार्टन समावेश   है यदि और केवल यदि <math>\mathfrak{g}_0</math> कॉम्पैक्ट लाइ समूह का लाई बीजगणित है।
-* निम्नलिखित मानचित्र लाई बीजगणित के अंतर्वलन हैं <math>\mathfrak{su}(n)</math> [[विशेष एकात्मक समूह]] [[SU(n)]] का:
+* निम्नलिखित मानचित्र  [[विशेष एकात्मक समूह]] [[SU(n)]] का:लाई बीजगणित  <math>\mathfrak{su}(n)</math>के अंतर्वलन हैं
-*#पहचान का समावेश <math>\theta_1(X) = X</math>, जो इस मामले में अनोखा कार्टन इनवोल्यूशन है।
+*#पहचान का समावेश <math>\theta_1(X) = X</math>, जो इस स्थिति में अनोखा कार्टन समावेश है।
 *# [[जटिल संयुग्मन]], के रूप में अभिव्यक्त <math>\theta_2 (X) = - X^T</math> पर <math>\mathfrak{su}(2)</math>.
-*# अगर <math>n = p+q</math> अजीब है, <math>\theta_3 (X) = \begin{pmatrix} I_p & 0 \\ 0 & -I_q \end{pmatrix} X \begin{pmatrix} I_p & 0 \\ 0 & -I_q \end{pmatrix}</math>. इनवॉल्यूशन (1), (2) और (3) समतुल्य हैं, लेकिन पहचान के समतुल्य नहीं हैं <math>\begin{pmatrix} I_p & 0 \\ 0 & -I_q \end{pmatrix} \notin \mathfrak {{su}}(n)</math>.
+*# यदि <math>n = p+q</math> विचित्र है, <math>\theta_3 (X) = \begin{pmatrix} I_p & 0 \\ 0 & -I_q \end{pmatrix} X \begin{pmatrix} I_p & 0 \\ 0 & -I_q \end{pmatrix}</math>. समावेश (1), (2) और (3) समतुल्य हैं, किंतु पहचान के समतुल्य नहीं हैं <math>\begin{pmatrix} I_p & 0 \\ 0 & -I_q \end{pmatrix} \notin \mathfrak {{su}}(n)</math>.
-*# अगर <math>n = 2m</math> सम है, वहाँ भी है <math>\theta_4 (X) = \begin{pmatrix} 0 & I_m \\ -I_m & 0 \end{pmatrix} X^T \begin{pmatrix} 0 & I_m \\ -I_m & 0 \end{pmatrix}</math>.
+*# यदि <math>n = 2m</math> सम है, वहाँ  <math>\theta_4 (X) = \begin{pmatrix} 0 & I_m \\ -I_m & 0 \end{pmatrix} X^T \begin{pmatrix} 0 & I_m \\ -I_m & 0 \end{pmatrix}</math>.भी है
 == कार्टन जोड़े ==
-होने देना <math>\theta</math> झूठ बीजगणित पर एक समावेशन बनें <math>\mathfrak{g}</math>. तब से <math>\theta^2=1</math>, रैखिक नक्शा <math>\theta</math> दो eigenvalues हैं <math>\pm1</math>. अगर <math>\mathfrak{k}</math> और <math>\mathfrak{p}</math> क्रमशः +1 और -1 के अनुरूप ईजेनस्पेस को निरूपित करें, फिर <math>\mathfrak{g} = \mathfrak{k}\oplus\mathfrak{p}</math>. तब से <math>\theta</math> एक लाई बीजगणित ऑटोमोर्फिज्म है, इसके दो आइगेनस्पेस का लाई ब्रैकेट उनके आइगेनवैल्यू के उत्पाद के अनुरूप आइगेनस्पेस में समाहित है। यह इस प्रकार है कि
+मान लीजिए<math>\theta</math> लाई बीजगणित <math>\mathfrak{g}</math> पर एक अंतर्वलन है। चूँकि <math>\theta^2=1</math>, रेखीय मानचित्र <math>\theta</math> में दो ईजेनमान <math>\pm1</math>  हैं।यदि <math>\mathfrak{k}</math> और <math>\mathfrak{p}</math> क्रमशः +1 और -1 के अनुरूप ईजेनस्पेस को निरूपित करें, फिर <math>\mathfrak{g} = \mathfrak{k}\oplus\mathfrak{p}</math>. तब से <math>\theta</math> एक लाई बीजगणित ऑटोमोर्फिज्म है, इसके दो आइगेनस्पेस का लाई ब्रैकेट उनके आइगेनवैल्यू के उत्पाद के अनुरूप आइगेनस्पेस में समाहित है। यह इस प्रकार है कि
 : <math>[\mathfrak{k}, \mathfrak{k}] \subseteq \mathfrak{k}</math>, <math>[\mathfrak{k}, \mathfrak{p}] \subseteq \mathfrak{p}</math>, और <math>[\mathfrak{p}, \mathfrak{p}] \subseteq \mathfrak{k}</math>.
-इस प्रकार <math>\mathfrak{k}</math> एक लेट सबलजेब्रा है, जबकि किसी भी सबलजेब्रा का <math>\mathfrak{p}</math> क्रमविनिमेय है।
+इस प्रकार <math>\mathfrak{k}</math> एक लाई  उपबीजगणित  है, जबकि किसी भी उपबीजगणित  का <math>\mathfrak{p}</math> क्रमविनिमेय है।
-इसके विपरीत, अपघटन <math>\mathfrak{g} = \mathfrak{k}\oplus\mathfrak{p}</math> इन अतिरिक्त गुणों के साथ एक जुड़ाव निर्धारित करता है <math>\theta</math> पर <math>\mathfrak{g}</math> वह है <math>+1</math> पर <math>\mathfrak{k}</math> और <math>-1</math> पर <math>\mathfrak{p}</math>.
-ऐसी जोड़ी <math>(\mathfrak{k}, \mathfrak{p})</math> कार्टन जोड़ी भी कहा जाता है <math>\mathfrak{g}</math>,
+इसके विपरीत, एक अपघटन <math>\mathfrak{g} = \mathfrak{k}\oplus\mathfrak{p}</math> इन अतिरिक्त गुणों के साथ <math>\mathfrak{g}</math> पर एक समावेश <math>\theta</math> निर्धारित करता है <math>\mathfrak{k}</math>  पर <math>+1</math> और <math>\mathfrak{p}</math> पर <math>-1</math> है।
-और <math>(\mathfrak{g},\mathfrak{k})</math> सममित युग्म कहलाता है। कार्टन जोड़ी की इस धारणा को कार्टन जोड़ी के साथ भ्रमित नहीं होना है, जिसमें सापेक्ष लाई बीजगणित कोहोलॉजी शामिल है <math>H^*(\mathfrak{g},\mathfrak{k})</math>.
-अपघटन <math>\mathfrak{g} = \mathfrak{k}\oplus\mathfrak{p}</math> कार्टन के इनवोल्यूशन से जुड़े होने को कार्टन अपघटन कहा जाता है <math>\mathfrak{g}</math>. कार्टन अपघटन की विशेष विशेषता यह है कि किलिंग फॉर्म नकारात्मक निश्चित है <math>\mathfrak{k}</math> और सकारात्मक निश्चित पर <math>\mathfrak{p}</math>. आगे, <math>\mathfrak{k}</math> और <math>\mathfrak{p}</math> किलिंग फॉर्म के संबंध में एक दूसरे के ऑर्थोगोनल पूरक हैं <math>\mathfrak{g}</math>.
+ऐसी जोड़ी <math>(\mathfrak{k}, \mathfrak{p})</math> को <math>\mathfrak{g}</math>, और <math>(\mathfrak{g},\mathfrak{k})</math> की कार्टन जोड़ी भी कहा जाता है  एक सममित जोड़ी कहा जाता है। यहाँ एक कार्टन जोड़ी की इस धारणा को अलग-अलग धारणा के साथ भ्रमित नहीं होना है जिसमें सापेक्ष लाई बीजगणित कोहोलॉजी <math>H^*(\mathfrak{g},\mathfrak{k})</math> सम्मिलित है।
-== झूठ समूह स्तर == पर कार्टन अपघटन
+अपघटन {<math>\mathfrak{g} = \mathfrak{k}\oplus\mathfrak{p}</math> कार्टन के समावेश से जुड़ा होता है जिसे <math>\mathfrak{g}</math> का कार्टन अपघटन कहा जाता है। कार्टन अपघटन की विशेष विशेषता यह है कि किलिंग फॉर्म <math>\mathfrak{k}</math> पर नकारात्मक निश्चित और <math>\mathfrak{p}</math> पर सकारात्मक निश्चित है। इसके अतिरिक्त , <math>\mathfrak{k}</math> और <math>\mathfrak{p}</math>, <math>\mathfrak{g}</math> पर किलिंग फॉर्म के संबंध में एक दूसरे के ऑर्थोगोनल पूरक हैं।
-होने देना <math>G</math> एक गैर-कॉम्पैक्ट सेमीसिंपल लाइ ग्रुप बनें और <math>\mathfrak{g}</math> इसका झूठ बीजगणित। होने देना <math>\theta</math> एक कार्टन शामिल हो <math>\mathfrak{g}</math> और जाने <math>(\mathfrak{k},\mathfrak{p})</math> परिणामी कार्टन जोड़ी बनें। होने देना <math>K</math> का [[विश्लेषणात्मक उपसमूह]] हो <math>G</math> झूठ बीजगणित के साथ <math>\mathfrak{k}</math>. तब:
+== लाई समूह स्तर पर कार्टन अपघटन ==
-* एक झूठ समूह ऑटोमोर्फिज्म है <math>\Theta</math> अंतर के साथ <math>\theta</math> उस पहचान पर जो संतुष्ट करती है <math>\Theta^2=1</math>.
+चलो <math>G</math> एक गैर-कॉम्पैक्ट सेमीसिम्पल लाइ समूह और <math>\mathfrak{g}</math> इसका झूठा बीजगणित है। <math>\theta</math> को <math>\mathfrak{g}</math> पर एक कार्टन समावेश होने दें और <math>(\mathfrak{k},\mathfrak{p})</math> परिणामी कार्टन जोड़ी बनें। चलो <math>K</math> लाई बीजगणित <math>\mathfrak{k}</math> के साथ <math>G</math> का विश्लेषणात्मक उपसमूह है। तब:
-* द्वारा निर्धारित तत्वों का उपसमूह <math>\Theta</math> है <math>K</math>; विशेष रूप से, <math>K</math> एक बंद उपसमूह है।
+* <math>\Theta^2=1</math> को संतुष्ट करने वाली पहचान पर विभेदक <math>\theta</math> के साथ एक लाइ ग्रुप ऑटोमोर्फिज्म <math>\Theta</math> है।
-* मैपिंग <math>K\times\mathfrak{p} \rightarrow G</math> द्वारा दिए गए <math>(k,X) \mapsto k\cdot \mathrm{exp}(X)</math> [[ डिफियोमॉर्फिज्म ]] है।
+* <math>\Theta</math> द्वारा निर्धारित तत्वों का उपसमूह <math>K</math> है ; विशेष रूप से, <math>K</math> एक बंद उपसमूह है।
-* उपसमूह <math>K</math> का एक अधिकतम कॉम्पैक्ट उपसमूह है <math>G</math>, जब भी G का केंद्र परिमित हो।
+*<math>(k,X) \mapsto k\cdot \mathrm{exp}(X)</math> द्वारा दिया गया मानचित्रण <math>K\times\mathfrak{p} \rightarrow G</math> एक भिन्नता है।
+* उपसमूह <math>K</math> , <math>G</math> का एक अधिकतम कॉम्पैक्ट उपसमूह है , जब भी G का केंद्र परिमित हो।
-ऑटोमोर्फिज्म <math>\Theta</math> इसे ग्लोबल कार्टन इनवोल्यूशन और डिफियोमोर्फिज्म भी कहा जाता है <math>K\times\mathfrak{p} \rightarrow G</math> वैश्विक कार्टन अपघटन कहा जाता है। अगर हम लिखते हैं <math>P=\mathrm{exp}(\mathfrak{p})\subset G</math>
+ऑटोमोर्फिज्म <math>\Theta</math> को ग्लोबल कार्टन समावेश भी कहा जाता है, और डिफियोमोर्फिज्म <math>K\times\mathfrak{p} \rightarrow G</math> को ग्लोबल कार्टन अपघटन कहा जाता है। यदि हम <math>P=\mathrm{exp}(\mathfrak{p})\subset G</math> लिखते हैं तो यह कहता है कि उत्पाद मानचित्र<math>K\times P \rightarrow G</math>एक भिन्नता है इसलिए <math>G=KP</math>।
-यह कहता है कि उत्पाद मानचित्र <math>K\times P \rightarrow G</math> एक भिन्नता है <math>G=KP</math>.
-सामान्य रैखिक समूह के लिए, <math> X \mapsto (X^{-1})^T </math> एक कार्टन इनवोल्यूशन है।{{clarify|reason=Very first talk page section points out that the Killing-form definition won't work for GL(n). A later talk-page section (titled "is this true?") points out that the transpose won't work for the analytic-subgroup claims above. So, for GL(n), is "any old involution" a Cartan involution? See "Inconsistency!" on talk page.|date=October 2020}}
+सामान्य रैखिक समूह <math> X \mapsto (X^{-1})^T </math> के लिए,  एक कार्टन समावेश है।{{clarify|reason=Very first talk page section points out that the Killing-form definition won't work for GL(n). A later talk-page section (titled "is this true?") points out that the transpose won't work for the analytic-subgroup claims above. So, for GL(n), is "any old involution" a Cartan involution? See "Inconsistency!" on talk page.|date=October 2020}}
-कॉम्पैक्ट या गैर-कॉम्पैक्ट प्रकार के सममित रिक्त स्थान के लिए कार्टन अपघटन का परिशोधन बताता है कि अधिकतम एबेलियन सबलगेब्रस <math>\mathfrak{a}</math> में <math>\mathfrak{p}</math> द्वारा संयुग्मन तक अद्वितीय हैं <math>K</math>. इसके अतिरिक्त,
+कॉम्पैक्ट या गैर-कॉम्पैक्ट प्रकार के सममित स्थानों के लिए कार्टन अपघटन का शोधन बताता है कि <math>\mathfrak{p}</math> में अधिकतम एबेलियन सबलगेब्रस<math>\mathfrak{a}</math> <math>K</math> द्वारा संयुग्मन तक अद्वितीय हैं। इसके अतिरिक्त,
 :<math>\displaystyle{\mathfrak{p}= \bigcup_{k\in K} \mathrm{Ad}\, k \cdot \mathfrak{a}.}
@@ Line 57: / Line 52: @@
 </math> कहाँ <math>A = e^\mathfrak{a}</math>.
-इस प्रकार कॉम्पैक्ट और नॉनकॉम्पैक्ट मामले में वैश्विक कार्टन अपघटन का तात्पर्य है
+इस प्रकार कॉम्पैक्ट और नॉनकॉम्पैक्ट स्थिति में वैश्विक कार्टन अपघटन का तात्पर्य है
 :<math>G = KP = KAK,</math>
-ज्यामितीय रूप से उपसमूह की छवि <math>A</math> में <math>G/K</math> एक [[पूरी तरह से जियोडेसिक]] सबमनीफोल्ड है।
+ज्यामितीय रूप से उपसमूह की छवि <math>A</math> में <math>G/K</math> एक [[पूरी तरह से जियोडेसिक]] उपमनीफोल्ड है।
 == ध्रुवीय अपघटन से संबंध ==
-विचार करना <math>\mathfrak{gl}_n(\mathbb{R})</math> कार्टन के शामिल होने के साथ <math>\theta(X)=-X^T</math>.{{clarify|reason=The very first comment on the talk page points out that the Killing form definition of the Cartan involution doesn't work for gl(n), so what is going on, here? How'd you get this? This is also inconsistent with the analytic-group comment on the talk page (see the "is this true?" section) |date=October 2020}} तब <math>\mathfrak{k}=\mathfrak{so}_n(\mathbb{R})</math> तिरछा-सममित आव्यूहों का वास्तविक झूठ बीजगणित है, ताकि <math>K=\mathrm{SO}(n)</math>, जबकि <math>\mathfrak{p}</math> सममित आव्यूहों की उपसमष्टि है। इस प्रकार घातीय मानचित्र एक भिन्नता है <math>\mathfrak{p}</math> सकारात्मक निश्चित मैट्रिक्स के स्थान पर। इस घातीय मानचित्र तक, वैश्विक कार्टन अपघटन एक मैट्रिक्स का ध्रुवीय अपघटन है। व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स का ध्रुवीय अपघटन अद्वितीय है।
+<math>\mathfrak{gl}_n(\mathbb{R})</math> पर कार्टन इनवोल्यूशन <math>\theta(X)=-X^T</math> के साथ विचार करें। फिर<math>\mathfrak{k}=\mathfrak{so}_n(\mathbb{R})</math>तिरछा-सममित आव्यूहों का वास्तविक लाई बीजगणित है, जिससे <math>K=\mathrm{SO}(n)</math>, जबकि <math>\mathfrak{p}</math> सममित आव्यूहों की उपसमष्टि है। इस प्रकार घातीय नक्शा <math>\mathfrak{p}</math> से सकारात्मक निश्चित मैट्रिसेस के स्थान पर एक भिन्नता है। इस घातीय मानचित्र तक, वैश्विक कार्टन अपघटन एक मैट्रिक्स का ध्रुवीय अपघटन है। व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स का ध्रुवीय अपघटन अद्वितीय है।
 == यह भी देखें ==
-* [[झूठ समूह अपघटन]]
+* [[झूठ समूह अपघटन|लाई समूह अपघटन]]
 == टिप्पणियाँ ==

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लाई बीजगणित पर कार्टन का निवेश

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ध्रुवीय अपघटन से संबंध

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