गणित में समरूपता

For other uses, see समरूपता (बहुविकल्पी) and द्विपक्षीय (बहुविकल्पी).

E के अर्ध-सरल लाई बीजगणित की जड़ प्रणाली₈. झूठ बोलने वाले समूहों में कई समानताएँ होती हैं।

समरूपता न केवल ज्यामिति में होती है, किंतु गणित की अन्य शाखाओं में भी होती है। समरूपता प्रकार का अपरिवर्तनीय (गणित) है: संपत्ति जो गणितीय वस्तु संचालक (गणित) या परिवर्तन (गणित) के समूह के तहत अपरिवर्तित रहती है।

किसी भी प्रकार की संरचित वस्तु X को देखते हुए, समरूपता वस्तु का मानचित्रण (गणित) है जो संरचना को संरक्षित करता है। यह कई तरह से हो सकता है; उदाहरण के लिए, यदि X बिना किसी अतिरिक्त संरचना के समूह है, तो समरूपता क्रमपरिवर्तन समूह देते हुए समूह से खुद का द्विभाजन मैप है। यदि वस्तु X अपनी मीट्रिक (गणित) संरचना या किसी अन्य मीट्रिक स्थान के साथ समतल में बिंदुओं का समूह है, तो समरूपता समूह का आक्षेप है जो बिंदुओं के प्रत्येक जोड़े (जिससे , आइसोमेट्री) के बीच की दूरी को संरक्षित करता है। .

सामान्यतः , गणित में हर तरह की संरचना की अपनी तरह की समरूपता होगी, जिनमें से कई ऊपर बताए गए बिंदुओं में सूचीबद्ध हैं।

ज्यामिति में समरूपता

Main article: समरूपता (ज्यामिति)

बुनियादी ज्यामिति में जिन समरूपता पर विचार किया जाता है, उनमें परावर्तन समरूपता, घूर्णी समरूपता, अनुवाद संबंधी समरूपता और सरकना प्रतिबिंब समरूपता सम्मिलित हैं, जिनका वर्णन मुख्य लेख समरूपता (ज्यामिति) में अधिक पूर्ण रूप से किया गया है।

कलन में समरूपता

सम और विषम कार्य

Main article: सम और विषम कार्य

यहां तक ​​कि कार्य

चलो f(x) एक वास्तविक चर का एक वास्तविक-मूल्यवान कार्य है, फिर f तब भी है जब निम्नलिखित समीकरण f के डोमेन में सभी x और -x के लिए है:

$f(x)=f(-x)$

ज्यामितीय रूप से बोलते हुए सम कार्य का ग्राफ़ चेहरा वाई-अक्ष के संबंध में समरूपता है, जिसका अर्थ है कि कार्य का ग्राफ़ वाई-अक्ष के बारे में प्रतिबिंब (गणित) के बाद अपरिवर्तित रहता है। सम कार्यों के उदाहरणों में |x|, x², x⁴, cos(x), and cosh(x). सम्मिलित हैं

विषम कार्य

फिर से, f को एक वास्तविक चर का वास्तविक-मूल्यवान कार्य होने दें फिर f विषम है यदि निम्न समीकरण f के डोमेन में सभी x और -x के लिए है:

$-f(x)=f(-x)$

वह है,

$f(x)+f(-x)=0\,.$

ज्यामितीय रूप से, एक विषम कार्य के ग्राफ़ में मूल के संबंध में घूर्णी समरूपता होती है, जिसका अर्थ है कि इसका ग्राफ़ मूल के बारे में 180 डिग्री के घूर्णन के बाद अपरिवर्तित रहता है। विषम कार्यों के उदाहरण x, x³, sin(x), sinh(x), and erf(x). हैं।

एकीकृत

−A से +A तक के विषम फलन का समाकल शून्य होता है, परंतु कि A परिमित हो और फलन समाकलनीय हो (उदाहरण के लिए, −A और A के बीच कोई उर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख नहीं है)।

−A से +A तक सम फलन का समाकल 0 से +A तक का समाकलन का दुगुना है, परंतु कि A परिमित हो और फलन समाकलनीय हो (उदाहरण के लिए, -A और A के बीच कोई उर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख नहीं है)। यह तब भी सत्य है जब A अनंत है, किंतु केवल तभी जब अभिन्न अभिसरण होता है।

श्रृंखला

• सम फलन की मैक्लॉरिन श्रृंखला में केवल सम शक्तियाँ सम्मिलित हैं।
• विषम फलन की मैक्लॉरिन श्रृंखला में केवल विषम घातें सम्मिलित हैं।
• किसी आवधिक फलन सम फलन की फूरियर श्रृंखला में केवल त्रिकोणमितीय फलन पद सम्मिलित होते हैं।
• किसी आवधिक विषम फलन की फूरियर श्रृंखला में केवल त्रिकोणमितीय फलन पद सम्मिलित होते हैं।

रैखिक बीजगणित में समरूपता

मैट्रिसेस में समरूपता

रैखिक बीजगणित में, सममित आव्यूह स्क्वायर आव्यूह है जो इसके स्थानान्तरण के समान है (जिससे , यह आव्यूह खिसकाना िशन के तहत अपरिवर्तनीय है)। औपचारिक रूप से, आव्यूह 'ए' सममित है अगर

$A=A^{T}.$

आव्यूह समानता की परिभाषा के अनुसार, जिसके लिए आवश्यक है कि सभी संबंधित पदों में प्रविष्टियाँ समान हों, समान आव्यूह के समान आयाम होने चाहिए (क्योंकि विभिन्न आकारों या आकृतियों के आव्यूह समान नहीं हो सकते)। नतीजतन, केवल वर्ग आव्यूह सममित हो सकते हैं।

एक सममित आव्यूह की प्रविष्टियाँ मुख्य विकर्ण के संबंध में सममित हैं। इसलिए यदि प्रविष्टियों को A = (a_ij), then a_ij = a_ji, सभी सूचकांकों i और j के लिए है।

उदाहरण के लिए, निम्न 3×3 आव्यूह सममित है:

${\begin{bmatrix}1&7&3\\7&4&-5\\3&-5&6\end{bmatrix}}$

प्रत्येक वर्ग विकर्ण आव्यूह सममित है, क्योंकि सभी ऑफ-विकर्ण प्रविष्टियाँ शून्य हैं। इसी तरह, तिरछा-सममित आव्यूह का प्रत्येक विकर्ण तत्व शून्य होना चाहिए, क्योंकि प्रत्येक का अपना ऋणात्मक है।

रैखिक बीजगणित में, वास्तविक संख्या सममित आव्यूह वास्तविक संख्या आंतरिक उत्पाद स्थान पर स्व-संबद्ध संचालिका का प्रतिनिधित्व करता है। जटिल संख्या आंतरिक उत्पाद स्थान के लिए संबंधित वस्तु जटिल-मूल्यवान प्रविष्टियों के साथ हर्मिटियन आव्यूह है, जो इसके संयुग्मित स्थानान्तरण के समान है। इसलिए, जटिल संख्याओं पर रैखिक बीजगणित में, यह प्रायः माना जाता है कि सममित आव्यूह को संदर्भित करता है जिसमें वास्तविक-मूल्यवान प्रविष्टियां होती हैं। सममित मैट्रिसेस विभिन्न प्रकार के अनुप्रयोगों में स्वाभाविक रूप से दिखाई देते हैं, और विशिष्ट संख्यात्मक रैखिक बीजगणित सॉफ्टवेयर उनके लिए विशेष स्थान बनाता है।

अमूर्त बीजगणित में समरूपता

सममित समूह

Main article: सममित समूह

सममित समूह S_n (एन प्रतीकों के परिमित समूह पर) समूह (गणित) है जिसके तत्व n प्रतीकों के सभी क्रमपरिवर्तन हैं, और जिसका समूह संचालन ऐसे क्रमपरिवर्तनों की कार्य संरचना है, जिन्हें प्रतीकों के समूह से ही आपत्ति के रूप में माना जाता है . चूंकि n हैं! (n कारख़ाने का ) n प्रतीकों के समूह के संभावित क्रमपरिवर्तन, यह इस प्रकार है कि सममित समूह S_n का क्रम (समूह सिद्धांत) (जिससे , तत्वों की संख्या) n है!.

सममित बहुपद

Main article: सममित बहुपद

एक सममित बहुपद बहुपद P(X₁, X₂, ..., X_n) है n चरों में, जैसे कि यदि किसी भी चर को आपस में बदल दिया जाए, तो ही बहुपद प्राप्त होता है। औपचारिक रूप से, P सममित बहुपद है यदि उपलेख 1, 2, ..., n के किसी क्रमचय σ के लिए, किसी के पास P(X_σ(1), X_σ(2), ..., X_σ(n)) = P(X₁, X₂, ..., X_n). है

सममित बहुपद स्वाभाविक रूप से चर और उसके गुणांक में बहुपद की जड़ों के बीच के संबंध के अध्ययन में उत्पन्न होते हैं, क्योंकि गुणांक जड़ों में बहुपद अभिव्यक्तियों द्वारा दिए जा सकते हैं, और सभी जड़ें इस सेटिंग में समान भूमिका निभाती हैं। इस दृष्टिकोण से, प्रारंभिक सममित बहुपद सबसे मौलिक सममित बहुपद हैं। प्राथमिक सममित बहुपद या सममित बहुपद के मौलिक प्रमेय में कहा गया है कि किसी भी सममित बहुपद को प्राथमिक सममित बहुपद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिसका तात्पर्य है कि मोनिक बहुपद की जड़ों में प्रत्येक सममित बहुपद अभिव्यक्ति को वैकल्पिक रूप से बहुपद के गुणांकों में बहुपद अभिव्यक्ति के रूप में दिया जा सकता है।

उदाहरण

दो चरों में X₁ और X₂, में सममित बहुपद होते हैं जैसे:

• $X_{1}^{3}+X_{2}^{3}-7$
• $4X_{1}^{2}X_{2}^{2}+X_{1}^{3}X_{2}+X_{1}X_{2}^{3}+(X_{1}+X_{2})^{4}$

और तीन चर X₁, X₂ और X₃, मे सममित बहुपद के रूप में है:

• $X_{1}X_{2}X_{3}-2X_{1}X_{2}-2X_{1}X_{3}-2X_{2}X_{3}\,$

सममित टेंसर

Main article: सममित टेंसर

गणित में, सममित टेन्सर वह टेंसर होता है जो अपने सदिश तर्कों के क्रमपरिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय होता है:

$T(v_{1},v_{2},\dots ,v_{r})=T(v_{\sigma 1},v_{\sigma 2},\dots ,v_{\sigma r})$

प्रतीकों {1,2,...,r} के प्रत्येक क्रमचय σ के लिए।

वैकल्पिक रूप से, r^वें आदेश सममित टेन्सर निर्देशांक में R सूचकांकों के साथ मात्रा के रूप में दर्शाया गया है जो संतुष्ट करता है

$T_{i_{1}i_{2}\dots i_{r}}=T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\dots i_{\sigma r}}.$

एक परिमित-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष पर पद R के सममित टेंसरों का स्थान वी पर डिग्री R के सजातीय बहुपद के स्थान के दोहरे के लिए प्राकृतिक समरूपता है। विशेषता शून्य के क्षेत्र (गणित) पर, सभी सममित टेंसरों का श्रेणीबद्ध सदिश स्थल V पर सममित बीजगणित के साथ स्वाभाविक रूप से पहचाना जा सकता है। संबंधित अवधारणा प्रतिसममित टेंसर या वैकल्पिक रूप है। अभियांत्रिकी, भौतिकी और गणित में सममित टेन्सर व्यापक रूप से पाए जाते हैं।

गैलोइस सिद्धांत

Main article: गाल्वा सिद्धांत

एक बहुपद दिया गया है, यह हो सकता है कि कुछ जड़ें विभिन्न बीजगणितीय समीकरण से जुड़ी हों। उदाहरण के लिए, यह हो सकता है कि दो जड़ों के लिए, A और B कहें A² + 5B³ = 7. गाल्वा सिद्धांत का केंद्रीय विचार जड़ों के उन क्रमपरिवर्तनों (या पुनर्व्यवस्था) पर विचार करना है, जिनकी संपत्ति है कि जड़ों द्वारा संतुष्ट किसी भी बीजगणितीय समीकरण को जड़ों के क्रमपरिवर्तन के बाद भी संतुष्ट किया जाता है। महत्वपूर्ण परन्तु यह है कि हम स्वयं को बीजगणितीय समीकरणों तक सीमित रखते हैं जिनके गुणांक परिमेय संख्याएँ हैं। इस प्रकार, गैलोज़ सिद्धांत बीजगणितीय समीकरणों में निहित सममितताओं का अध्ययन करता है।

बीजगणितीय वस्तुओं का स्वारूपण

Main article: ऑटोमोर्फिज्म

सार बीजगणित में, ऑटोमोर्फिज्म गणितीय वस्तु से स्वयं के लिए समरूपता है। यह, कुछ अर्थों में, वस्तु की समरूपता है, और मानचित्र (गणित) का विधि वस्तु को उसकी सभी संरचना को संरक्षित करते हुए स्वयं के लिए है। किसी वस्तु के सभी ऑटोमोर्फिज़्म का समूह समूह (गणित) बनाता है, जिसे ऑटोमोर्फिज़्म समूह कहा जाता है। यह शिथिल रूप से बोलना, वस्तु का समरूपता समूह है।

उदाहरण

• समुच्चय सिद्धांत में, समुच्चय X के तत्वों का इच्छानुसार क्रमचय ऑटोमोर्फिज्म है। X के ऑटोमोर्फिज्म समूह को X पर सममित समूह भी कहा जाता है।
• प्रारंभिक अंकगणित में, पूर्णांक के समुच्चय, 'Z', जिसे योग के तहत समूह के रूप में माना जाता है, में अद्वितीय गैर-तुच्छ ऑटोमोर्फिज्म है: निषेध। रिंग (गणित) के रूप में माना जाता है, चूँकि , इसमें केवल तुच्छ ऑटोमोर्फिज्म है। सामान्यतः बोलना, निषेध किसी भी एबेलियन समूह का ऑटोमोर्फिज्म है, किंतु रिंग या क्षेत्र का नहीं है।
• एक समूह ऑटोमोर्फिज्म समूह से स्वयं के लिए समूह समरूपता है। अनौपचारिक रूप से, यह समूह तत्वों का क्रमचय है जैसे कि संरचना अपरिवर्तित रहती है। प्रत्येक समूह G के लिए प्राकृतिक समूह समरूपता G → Aut(G) है जिसकी छवि (गणित) आंतरिक ऑटोमोर्फिज्म का समूह Inn(G) है और जिसका कर्नेल (बीजगणित) G का केंद्र (समूह सिद्धांत) है। इस प्रकार, यदि G का तुच्छ समूह केंद्र है इसे अपने स्वयं के ऑटोमोर्फिज्म समूह में एम्बेड किया जा सकता है।
• रैखिक बीजगणित में, सदिश स्थान V का एंडोमोर्फिज्म रैखिक परिवर्तन V → V है। ऑटोमोर्फिज्म V पर व्युत्क्रमणीय रैखिक संचालिका है। जब सदिश स्थान परिमित-आयामी होता है, तो V का ऑटोमोर्फिज्म समूह सामान्य रैखिक समूह GL(V) के समान होता है
• क्षेत्र ऑटोमोर्फिज्म क्षेत्र (गणित) से खुद तक द्विभाजन रिंग समरूपता है। परिमेय संख्याओं ('Q') और वास्तविक संख्याओं ('R') के स्थिति में कोई गैर-तुच्छ क्षेत्र ऑटोमोर्फिज़्म नहीं हैं। ' R ' के कुछ उपक्षेत्रों में तुच्छ क्षेत्र ऑटोमोर्फिज्म हैं, जो चूँकि ' R ' के सभी तक विस्तारित नहीं होते हैं (क्योंकि वे ' R ' में वर्गमूल वाली संख्या की संपत्ति को संरक्षित नहीं कर सकते हैं)। जटिल संख्याओं के स्थति में, 'C', अनोखा तुच्छ ऑटोमोर्फिज्म है जो ' R ' को ' R ' में भेजता है: जटिल संयुग्म, किंतु असीम रूप से (अगणनीय) कई जंगली ऑटोमोर्फिज्म हैं (पसंद के स्वयंसिद्ध मानते हैं)। क्षेत्र ऑटोमोर्फिज़्म क्षेत्र एक्सटेंशन के सिद्धांत के लिए महत्वपूर्ण हैं, विशेष रूप से गाल्वा विस्तार में गैलोइस विस्तार L/K, K स्थति में L स्थिर के सभी ऑटोमोर्फिज्म के उपसमूह को बिंदुवार विस्तार के गैलोज़ समूह कहा जाता है।

प्रतिनिधित्व सिद्धांत में समरूपता

क्वांटम यांत्रिकी में समरूपता: बोसोन और फ़र्मियन

क्वांटम यांत्रिकी में, बोसोन के प्रतिनिधि होते हैं जो क्रमपरिवर्तन संचालक के तहत सममित होते हैं, और फ़र्मियन में प्रतिसममित प्रतिनिधि होते हैं।

इसका तात्पर्य फर्मों के लिए पाउली अपवर्जन सिद्धांत से है। वास्तव में, एकल-मान वाले कई-कण तरंग के साथ पाउली बहिष्करण सिद्धांत, तरंग-क्रिया को प्रतिसममित होने की आवश्यकता के समान है। प्रतिसममित दो-कण अवस्था को सुपरपोजिशन सिद्धांत के रूप में दर्शाया जाता है जिसमें कण अवस्था $\scriptstyle |x\rangle$ में होता है और दूसरा अवस्था $\scriptstyle |y\rangle$ में होता है :

$|\psi \rangle =\sum _{x,y}A(x,y)|x,y\rangle$

और विनिमय के तहत प्रतिसममिति का अर्थ है A(x,y) = −A(y,x). इसका अर्थ यह है कि A(x,x) = 0, जो पाउली अपवर्जन है। यह किसी भी आधार पर सत्य है, क्योंकि आधार के एकात्मक परिवर्तन से प्रतिसममित आव्यूह प्रतिसममित रहते हैं, चूँकि सख्ती से बोलते हुए, मात्रा A(x,y) आव्यूह नहीं किंतु प्रतिसममित सीमा -दो टेंसर है।

इसके विपरीत, यदि विकर्ण मात्रा A(x,x) हर आधार पर शून्य हैं, तो तरंग क्रिया घटक:

$A(x,y)=\langle \psi |x,y\rangle =\langle \psi |(|x\rangle \otimes |y\rangle )$

अनिवार्य रूप से विषम है। इसे सिद्ध करने के लिए, आव्यूह तत्व पर विचार करें:

$\langle \psi |((|x\rangle +|y\rangle )\otimes (|x\rangle +|y\rangle ))\,$

यह शून्य है, क्योंकि दोनों कणों के अध्यारोपण अवस्था $\scriptstyle |x\rangle +|y\rangle$ में होने की संभावना शून्य है किंतु यह समान है

$\langle \psi |x,x\rangle +\langle \psi |x,y\rangle +\langle \psi |y,x\rangle +\langle \psi |y,y\rangle \,$

दाहिने हाथ की ओर पहला और अंतिम पद विकर्ण तत्व हैं और शून्य हैं, और संपूर्ण योग शून्य के समान है तो तरंग क्रिया आव्यूह तत्व पालन करते हैं:

$\langle \psi |x,y\rangle +\langle \psi |y,x\rangle =0\,$.

या

$A(x,y)=-A(y,x)\,$

समूह सिद्धांत में समरूपता

सममित संबंध

Main article: सममित संबंध

हम संबंध को सममित कहते हैं यदि हर बार संबंध A से B तक खड़ा होता है, तो यह B से A तक भी खड़ा होता है।

ध्यान दें कि सममिति प्रतिसममित संबंध के बिल्कुल विपरीत नहीं है।

मीट्रिक रिक्त स्थान में समरूपता

एक अंतरिक्ष की आइसोमेट्री

Main article: आइसोमेट्री

एक आइसोमेट्री मीट्रिक रिक्त स्थान के बीच दूरी-संरक्षण मानचित्र है। मीट्रिक स्थान, या समूह के तत्वों के बीच दूरी निर्दिष्ट करने के लिए समूह और योजना को देखते हुए, आइसोमेट्री परिवर्तन है जो तत्वों को किसी अन्य मीट्रिक स्थान पर मैप करता है जैसे कि नई मीट्रिक अंतरिक्ष में तत्वों के बीच की दूरी के बीच की दूरी के समान होती है मूल मीट्रिक अंतरिक्ष में तत्व द्वि-आयामी या त्रि-आयामी स्थान में, दो ज्यामितीय आंकड़े सर्वांगसम (ज्यामिति) होते हैं यदि वे समरूपता से संबंधित होते हैं: या तो कठोर निकाय कठोर गति से संबंधित होते हैं, या कठोर गति और प्रतिबिंब (गणित) की कार्य संरचना ). एक कठोर गति से संबंध तक वे समान होते हैं यदि एक यूक्लिडियन समूह या प्रत्यक्ष और अप्रत्यक्ष समरूपता प्रत्यक्ष समरूपता द्वारा संबंधित होते हैं।

आइसोमेट्रीज का उपयोग ज्यामिति में समरूपता की कार्य परिभाषा को एकीकृत करने और कार्यों, संभाव्यता वितरण, मैट्रिसेस, स्ट्रिंग्स, ग्राफ़ आदि के लिए किया गया है।

अंतर समीकरणों की समरूपता

एक अंतर समीकरण की समरूपता परिवर्तन है जो अंतर समीकरण को अपरिवर्तित छोड़ देता है। ऐसी सममितियों का ज्ञान अवकल समीकरण को हल करने में सहायता कर सकता है।

अवकल समीकरणों के निकाय की रेखा सममिति, अवकल समीकरणों के निकाय की सतत सममिति है। रेखा समरूपता के ज्ञान का उपयोग क्रम में कमी के माध्यम से साधारण अवकल समीकरण को सरल बनाने के लिए किया जा सकता है।

साधारण अवकल समीकरणों के लिए, लाई समरूपता के उपयुक्त समूह का ज्ञान किसी को एकीकरण के बिना पूर्ण समाधान प्रदान करते हुए, पहले अविभाज्य के समूह की स्पष्ट रूप से गणना करने की अनुमति देता है।

समरूपता साधारण अंतर समीकरणों के संबंधित समूह को हल करके पाई जा सकती है। मूल अंतर समीकरणों को हल करने की तुलना में इन समीकरणों को हल करना प्रायः बहुत आसान होता है।

प्रायिकता में समरूपता

संभावित परिणामों की सीमित संख्या के स्थति में क्रमपरिवर्तन (पुनः स्तर ) के संबंध में समरूपता समान वितरण (असतत) का अर्थ है।

संभावित परिणामों के वास्तविक अंतराल के स्थति में समान लंबाई के अंतर्विनिमय उप-अंतराल के संबंध में समरूपता समान वितरण (निरंतर) से मेल खाती है।

अन्य स्थिति में जैसे कि यादृच्छिक पूर्णांक लेना या यादृच्छिक वास्तविक संख्या लेना, रीस्तर के संबंध में या समान रूप से लंबे उप-अंतरालों के आदान-प्रदान के संबंध में सभी सममित पर कोई संभाव्यता वितरण नहीं हैं। अन्य उचित समरूपताएँ विशेष वितरण को अलग नहीं करती हैं, या दूसरे शब्दों में, अधिकतम समरूपता प्रदान करने वाला कोई अनूठा संभाव्यता वितरण नहीं है।

एक आयाम में प्रकार का समरूपता समूह होता है जो संभाव्यता वितरण को अपरिवर्तित छोड़ सकता है जो कि बिंदु में प्रतिबिंब है, उदाहरण के लिए शून्य है ।

सकारात्मक परिणामों के साथ यादृच्छिकता के लिए संभावित समरूपता यह है कि पूर्व लघुगणक के लिए प्रयुक्त होता है, अर्थात परिणाम और इसके पारस्परिक का समान वितरण होता है। चूँकि यह समरूपता किसी विशेष वितरण को विशिष्ट रूप से अलग नहीं करती है।

एक स्थान या अंतरिक्ष में यादृच्छिक बिंदु के लिए, कोई मूल चुन सकता है, और क्रमशः परिपत्र या गोलाकार समरूपता के साथ संभाव्यता वितरण पर विचार कर सकता है।

यह भी देखें

• एकाधिक समाकलन या समरूपता का उपयोग
• अपरिवर्तनीय (गणित)

ग्रन्थसूची

• Weyl, Hermann (1989) [1952]. Symmetry. Princeton Science Library. Princeton University Press. ISBN 0-691-02374-3.
• Ronan, Mark (2006). Symmetry and the Monster. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-280723-6. (Concise introduction for lay reader)
• du Sautoy, Marcus (2012). Finding Moonshine: A Mathematician's Journey Through Symmetry. Harper Collins. ISBN 978-0-00-738087-9.