अनुक्रम समष्टि

For विकासवादी जीव विज्ञान में उपयोग, see अनुक्रम स्थान (विकास). For अनुक्रम संख्या पर गणितीय संचालन, see क्रम संख्या अंकगणित.

फलनिक विश्लेषण और गणित के संबंधित क्षेत्रों में, अनुक्रम समष्टि एक सदिश समष्टि है जिसका तत्व वास्तविक संख्या या समिश्र संख्या के अनुक्रम हैं। समतुल्य रूप से, यह फलन समष्‍टि है जिसके तत्व प्राकृतिक संख्याओं से लेकर वास्तविक या समिश्र संख्या के क्षेत्र (गणित) K तक के फलन हैं। ऐसे सभी फलन का समुच्चय स्वाभाविक रूप से K में तत्वों के साथ सभी संभावित अनंत अनुक्रमों के समुच्चय के साथ पहचाना जाता है, और फलन के बिंदुवार जोड़ और बिंदुवार अदिश गुणन के संचालन के तहत सदिश समष्टि में परिवर्तित किया जा सकता है। सभी अनुक्रम समष्टि इस समष्टि के रैखिक उप-समष्टि हैं। अनुक्रम समष्टि आमतौर पर मानदंड (गणित) या कम से कम स्थलीय सदिश समष्टि की संरचना से लैस होते हैं।

विश्लेषण में सबसे महत्वपूर्ण अनुक्रम समष्टि ℓ^p समष्टि हैं, जिसमें p-मानदंड के साथ p-पॉवर संकलन योग्य अनुक्रम शामिल हैं। ये प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय पर गिनती के उपाय के लिए L^p समष्टि के विशेष मामले हैं | अनुक्रमों के अन्य महत्वपूर्ण वर्ग जैसे अभिसरण अनुक्रम या अशक्त अनुक्रम समष्टि बनाते हैं, क्रमशः c और c₀ को सर्वोच्च मानदंड के साथ निरूपित करते हैं। किसी भी अनुक्रम समष्टि को बिंदुवार अभिसरण की टोपोलॉजी से भी सुसज्जित किया जा सकता है, जिसके तहत यह विशेष प्रकार का फ्रेचेट समष्टि बन जाता है जिसे FK-समष्टि कहा जाता है।

परिभाषा

अनुक्रम $x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ समुच्चय $X$ में बस $X$-मान मैप है $x_{\bullet }:\mathbb {N} \to X$ जिसका मान $n\in \mathbb {N}$ पर $x_{n}$ द्वारा सामान्य कोष्ठक संकेतन के बजाय $x(n).$ निरूपित किया जाता है

सभी अनुक्रमों का समष्टि

$\mathbb {K}$ वास्तविक या सम्मिश्र संख्याओं के क्षेत्र को निरूपित करता है। समुच्चय $\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }$ के तत्वों के सभी अनुक्रम (गणित) के $\mathbb {K}$ घटकवार संचालन जोड़ के लिए सदिश समष्टि है

$\left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }+\left(y_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }=\left(x_{n}+y_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} },$

और घटकवार अदिश गुणन

$\alpha \left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }=\left(\alpha x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }.$

अनुक्रम समष्टि का कोई रैखिक उप-समष्टि $\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }.$ है, टोपोलॉजिकल समष्टि के रूप में, $\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }$ स्वाभाविक रूप से उत्पाद टोपोलॉजी से संपन्न है। इस टोपोलॉजी के तहत $\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }$ फ्रेचेट समष्टि है। फ्रेचेट, जिसका अर्थ है कि यह पूर्ण टोपोलॉजिकल सदिश समष्टि है, मेट्रिजेबल टोपोलॉजिकल सदिश समष्टि, स्थानत: उत्तल टोपोलॉजिकल सदिश समष्टि है। हालाँकि, यह टोपोलॉजी बल्कि व्याधित है: इसमें कोई निरंतर फलन मानदंड नहीं हैं $\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }$(और इस प्रकार उत्पाद टोपोलॉजी को किसी भी मानक द्वारा परिभाषित नहीं किया जा सकता है)। फ्रीचेट रिक्त समष्टि के बीच, $\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }$ न्यूनतम है क्योंकि इसमें कोई निरंतर मानक नहीं है:

Theorem — Let $X$ be a Fréchet space over $\mathbb {K} .$ Then the following are equivalent:

1. $X$ admits no continuous norm (that is, any continuous seminorm on $X$ has a nontrivial null space).
2. $X$ contains a vector subspace TVS-isomorphic to $\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }$.
3. $X$ contains a complemented vector subspace TVS-isomorphic to $\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }$.

लेकिन उत्पाद टोपोलॉजी भी अपरिहार्य है: $\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }$ स्थानत: उत्तल टोपोलॉजी हॉसडॉर्फ टोपोलॉजी की तुलना को स्वीकार नहीं करता है। इस कारण से, अनुक्रमों का अध्ययन रुचि के एक सख्त रैखिक उप-समष्टि को खोजने से शुरू होता है, और इसे उप-समष्टि टोपोलॉजी से अलग एक टोपोलॉजी के साथ संपन्न करता है।

ℓ^p रिक्त समष्टि

See also: L^p समष्टि and L-अनंत

$0<p<\infty ,$ के लिए $\ell ^{p}$ का उपक्षेत्र $\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }$ है सभी अनुक्रमों से मिलकर $x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ संतुष्टि देने वाला

$$\sum _{n}|x_{n}|^{p}<\infty .$$

अगर $p\geq 1,$ फिर वास्तविक-मान फलन $\|\cdot \|_{p}$ पर $\ell ^{p}$ द्वारा परिभाषित

$$\|x\|_{p}~=~\left(\sum _{n}|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}\qquad {\text{ for all }}x\in \ell ^{p}$$

मानदंड (गणित) $\ell ^{p}.$ को परिभाषित करता है वास्तव में, $\ell ^{p}$ इस मानदंड के संबंध में पूर्ण मीट्रिक समष्टि है, और इसलिए यह बनच समष्टि है।

अगर $p=2$ तब $\ell ^{2}$ हिल्बर्ट समष्टि भी है जब इसके विहित आंतरिक उत्पाद के साथ संपन्न होता है, जिसे कहा जाता है यूक्लिडियन आंतरिक उत्पाद, सभी के लिए परिभाषित $x_{\bullet },y_{\bullet }\in \ell ^{p}$ द्वारा

$$\langle x_{\bullet },y_{\bullet }\rangle ~=~\sum _{n}{\overline {x_{n}}}y_{n}.$$

इस आंतरिक उत्पाद द्वारा प्रेरित विहित मानदंड सामान्य है $\ell ^{2}$-मानदंड, जिसका अर्थ है $\|\mathbf {x} \|_{2}={\sqrt {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle }}$ सभी के लिए $\mathbf {x} \in \ell ^{p}.$ अगर $p=\infty ,$ तब $\ell ^{\infty }$ मानदंड से संपन्न सभी बंधे हुए अनुक्रमों के समष्टि के रूप में परिभाषित किया गया है

$$\|x\|_{\infty }~=~\sup _{n}|x_{n}|,$$

$\ell ^{\infty }$ बनच समष्टि भी है।

अगर $0<p<1,$ तब $\ell ^{p}$ मानदंड नहीं रखता है, बल्कि इसके द्वारा परिभाषित मीट्रिक समष्टि है

$$d(x,y)~=~\sum _{n}\left|x_{n}-y_{n}\right|^{p}.\,$$

c, c₀ और c₀₀

See also: c समष्टि

अभिसारी अनुक्रम कोई अनुक्रम है $x_{\bullet }\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }$ ऐसा है कि $\lim _{n\to \infty }x_{n}$ मौजूद है। समुच्चय c सभी अभिसरण अनुक्रमों की सदिश उपसमष्टि है $\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }$ को अभिसरण अनुक्रमों का समष्टि कहा जाता है | चूँकि प्रत्येक अभिसारी क्रम परिबद्ध है, $c$ की रेखीय उपसमष्टि है $\ell ^{\infty }.$ इसके अलावा, यह अनुक्रम समष्टि बंद उप-समष्टि है $\ell ^{\infty }$ सर्वोच्च मानदंड के संबंध में, और इसलिए यह इस मानदंड के संबंध में बानाच समष्टि है।

एक अनुक्रम जो अभिसरण करता है $0$ को अशक्त अनुक्रम और कहा जाता है कि गायब हो जाता है। अभिसरण करने वाले सभी अनुक्रमों का समुच्चय $0$ की बंद सदिश उपसमष्टि है $c$ कि जब सर्वोच्च मानदंड के साथ संपन्न किया जाता है, तो वह बनच समष्टि बन जाता है जिसे निरूपित किया जाता है $c_{0}$और शून्य अनुक्रमों का समष्टि या गायब होने वाले अनुक्रमों का समष्टि कहा जाता है।

अंततः शून्य अनुक्रमों का समष्टि, $c_{00},$ की उपसमष्टि है $c_{0}$ उन सभी अनुक्रमों से मिलकर बनता है जिनमें केवल बहुत से अशून्य तत्व होते हैं। यह एक बंद उप-समष्टि नहीं है और इसलिए अनंत मानक के संबंध में बैनच समष्टि नहीं है। उदाहरण के लिए, अनुक्रम $\left(x_{nk}\right)_{k\in \mathbb {N} }$ जहां $x_{nk}=1/k$ पहले के लिए $n$ प्रविष्टियां (के लिए $k=1,\ldots ,n$) और हर जगह शून्य है (अर्थात, $\left(x_{nk}\right)_{k\in \mathbb {N} }=\left(1,1/2,\ldots ,1/(n-1),1/n,0,0,\ldots \right)$ कॉची अनुक्रम है लेकिन यह अनुक्रम में अभिसरण नहीं करता है $c_{00}.$

सभी परिमित अनुक्रमों का समष्टि

$\mathbb {K} ^{\infty }=\left\{\left(x_{1},x_{2},\ldots \right)\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }:{\text{all but finitely many }}x_{i}{\text{ equal }}0\right\}$,

परिमित अनुक्रमों के समष्टि $\mathbb {K}$ को निरूपित करें, सदिश समष्टि के रूप में, $\mathbb {K} ^{\infty }$ के बराबर $c_{00}$ है, लेकिन $\mathbb {K} ^{\infty }$ अलग टोपोलॉजी है।

प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के लिए $n\in \mathbb {N}$, होने देना $\mathbb {K} ^{n}$ यूक्लिडियन टोपोलॉजी के साथ संपन्न सामान्य यूक्लिडियन समष्टि को निरूपित करें और जाने दें $\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}:\mathbb {K} ^{n}\to \mathbb {K} ^{\infty }$ विहितसमावेशन को निरूपित करें

$\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)=\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,\ldots \right)$.

प्रत्येक समावेशन की छवि (गणित) है

$\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right)=\left\{\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,\ldots \right):x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {K} \right\}=\mathbb {K} ^{n}\times \left\{(0,0,\ldots )\right\}$

और इसके परिणामस्वरूप,

$\mathbb {K} ^{\infty }=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right).$ समावेशन का यह वर्ग देता है $\mathbb {K} ^{\infty }$अंतिम टोपोलॉजी $\tau ^{\infty }$, पर टोपोलॉजी की तुलना के रूप में परिभाषित किया गया $\mathbb {K} ^{\infty }$ जैसे कि सभी समावेशन निरंतर हैं (सुसंगत टोपोलॉजी का उदाहरण)। इस टोपोलॉजी के साथ, $\mathbb {K} ^{\infty }$ पूर्ण, हॉसडॉर्फ समष्टि, स्थानत: उत्तल टोपोलॉजिकल सदिश समष्टि, अनुक्रमिक समष्टि, टोपोलॉजिकल सदिश समष्टि बन जाता है जो फ्रेचेट-उरीसोन नहीं है। टोपोलॉजी $\tau ^{\infty }$पर प्रेरित सबस्पेस टोपोलॉजी की तुलना में पूर्णतः बेहतर है $\mathbb {K} ^{\infty }$, $\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }$.

$\tau ^{\infty }$ में अभिसरण प्राकृतिक विवरण है: यदि $v\in \mathbb {K} ^{\infty }$ और $v_{\bullet }$ में क्रम है $\mathbb {K} ^{\infty }$ तब $v_{\bullet }\to v$ में $\tau ^{\infty }$ अगर और केवल $v_{\bullet }$ अंततः छवि में समाहित है $\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right)$ और $v_{\bullet }\to v$ उस छवि की प्राकृतिक टोपोलॉजी के तहत है।

अक्सर, प्रत्येक छवि $\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right)$ अनुरूप से पहचाना जाता है $\mathbb {K} ^{n}$; स्पष्ट रूप से, तत्व $\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\in \mathbb {K} ^{n}$ और $\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,0,\ldots \right)$ पहचाने जाते हैं। यह इस तथ्य से सुगम है कि उप-समष्टि टोपोलॉजी चालू है $\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right)$, मानचित्र से भागफल टोपोलॉजी $\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}$, और यूक्लिडियन टोपोलॉजी चालू $\mathbb {K} ^{n}$ सभी मेल खाते हैं। इस पहचान से, $\left(\left(\mathbb {K} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right),\left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }\right)$ निर्देशित प्रणाली की प्रत्यक्ष सीमा है $\left(\left(\mathbb {K} ^{n}\right)_{n\in \mathbb {N} },\left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{m}\to \mathbb {K} ^{n}}\right)_{m\leq n\in \mathbb {N} },\mathbb {N} \right),$ जहां हर समावेशन अनुगामी शून्य जोड़ता है:

$\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{m}\to \mathbb {K} ^{n}}\left(x_{1},\ldots ,x_{m}\right)=\left(x_{1},\ldots ,x_{m},0,\ldots ,0\right)$.

यह दर्शाता है कि $\left(\mathbb {K} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right)$ LB-समष्टि है।

अन्य अनुक्रम रिक्त समष्टि

बंधी हुई श्रृंखला (गणित) का समष्टि, Bs समष्टि द्वारा निरूपित, अनुक्रमों का समष्टि है $x$ जिसके लिए

$\sup _{n}\left\vert \sum _{i=0}^{n}x_{i}\right\vert <\infty .$

यह समष्टि, जब मानदंड से सुसज्जित है

$\|x\|_{bs}=\sup _{n}\left\vert \sum _{i=0}^{n}x_{i}\right\vert ,$

बनच समष्टि सममित रूप से समरूपी है $\ell ^{\infty },$ रेखीय मानचित्रण के माध्यम से

$(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\mapsto \left(\sum _{i=0}^{n}x_{i}\right)_{n\in \mathbb {N} }.$

सभी अभिसरण श्रृंखलाओं से युक्त उपसमष्टि cs उपसमष्टि है जो इस तुल्याकारिता के अंतर्गत समष्टि c में जाती है।

समष्टिΦ या $c_{00}$ को सभी अनंत अनुक्रमों के समष्टि के रूप में परिभाषित किया गया है जिसमें केवल गैर-शून्य शब्दों की सीमित संख्या (सीमित समर्थन वाले अनुक्रम) हैं। यह समुच्चय कई अनुक्रम समष्टि में सघन समुच्चय है।

ℓ^p समष्टि और समष्टि c₀ के गुण

See also: c समष्टि

समष्टि ℓ² केवल ℓ^p समष्टि है जो हिल्बर्ट समष्टि है, क्योंकि किसी आंतरिक उत्पाद द्वारा प्रेरित किसी भी मानक को समांतर चतुर्भुज नियम को पूरा करना चाहिए

$\|x+y\|_{p}^{2}+\|x-y\|_{p}^{2}=2\|x\|_{p}^{2}+2\|y\|_{p}^{2}.$

x और y के लिए दो अलग-अलग मात्रक सदिश को प्रतिस्थापित करने से सीधे पता चलता है कि पहचान तब तक सत्य नहीं है जब तक कि p = 2।

प्रत्येक ℓ^p अलग है, उसमें ℓ^p का सख्त उपसमुच्चय है ℓ^s जब भी p < s; आगे, ℓ^p रैखिक रूप से समरूप नहीं है ℓ^s जब p ≠ s है वास्तव में, पिट के प्रमेय द्वारा (Pitt 1936), प्रत्येक परिबद्ध रैखिक संचालिका से ℓ^s को ℓ^p कॉम्पैक्ट ऑपरेटर है जब p < s है ऐसा कोई संकारक तुल्याकारिता नहीं हो सकता; और आगे, यह किसी अनंत-आयामी उपसमष्टि पर तुल्याकारिता नहीं हो सकता ℓ^s, और इस प्रकार इसे पूर्णतः अद्वितीय ऑपरेटर कहा जाता है।

अगर 1 < p < ∞, ℓ^p का (निरंतर) द्वैतसमष्‍टि ℓ^q के लिए सममितीय रूप से समरूपी है^,जहाँ q, p: 1/p + 1/q = 1 का होल्डर संयुग्मी है। विशिष्ट समरूपतावाद तत्व x से संबद्ध है ℓ^q फलनिक

$$L_{x}(y)=\sum _{n}x_{n}y_{n}$$

में y के लिए ℓ^p होल्डर की असमानता का अर्थ है कि L_x परिबद्ध रेखीय फलनिक है ℓ^p, और वास्तव में

$$|L_{x}(y)|\leq \|x\|_{q}\,\|y\|_{p}$$

ताकि ऑपरेटर मानदंड पूर्ति हो

$\|L_{x}\|_{(\ell ^{p})^{*}}{\stackrel {\rm {def}}{=}}\sup _{y\in \ell ^{p},y\not =0}{\frac {|L_{x}(y)|}{\|y\|_{p}}}\leq \|x\|_{q}.$

वास्तव में, y का ℓ^p के साथ अवयव लेना

$y_{n}={\begin{cases}0&{\text{if}}\ x_{n}=0\\x_{n}^{-1}|x_{n}|^{q}&{\text{if}}~x_{n}\neq 0\end{cases}}$

L_x(y) = ||x||_q, देता है ताकि वास्तव में

$\|L_{x}\|_{(\ell ^{p})^{*}}=\|x\|_{q}.$

इसके विपरीत, परिबद्ध रैखिक फलनिक L पर ℓ^p दिया गया है, द्वारा परिभाषित अनुक्रम x_n = L(e_n) ℓ^q में स्थित है, इस प्रकार मानचित्रण $x\mapsto L_{x}$ समदूरीकता देता है

$$\kappa _{q}:\ell ^{q}\to (\ell ^{p})^{*}.$$

वो मैप

$\ell ^{q}\xrightarrow {\kappa _{q}} (\ell ^{p})^{*}\xrightarrow {(\kappa _{q}^{*})^{-1}}$

इसके परिवर्त के व्युत्क्रम के साथ κ_p की रचना करके प्राप्त किया, जो ℓ^q के विहित इंजेक्शन के साथ इसके दोहरे द्वैध में मेल खाता है। परिणामस्वरूप ℓ^q प्रतिवर्त समष्टि है। अंकन के दुरुपयोग से, ℓ^q को ℓ^p: (ℓ^p)^* = ℓ^q के द्वैध के साथ पहचानना विशिष्ट है। फिर रिफ्लेक्सिविटी को पहचान के अनुक्रम ^{(ℓp)** = (ℓq)* = ℓp. से समझा जाता है।}

समष्टि c₀ को सभी अनुक्रमों के समष्टि के रूप में परिभाषित किया गया है, जो शून्य में परिवर्तित हो रहा है, जिसका मानक ||x||_∞ के समान है, यह ℓ^∞की बंद उपसमष्टि है, इसलिए बनच समष्टि है। c₀ की द्वैत जगह₀ ℓ¹ है; ℓ¹ का दोहरा ℓ^∞ है। प्राकृतिक संख्या सूचकांक समुच्चय के मामले में, ℓ^∞ के एकमात्र अपवाद के साथ, ℓ^p और c₀ वियोज्य समष्टि हैं। ℓ^∞ का द्वैत बा समष्टि है।

रिक्त समष्टि c₀ और ℓ^p (1 ≤ p < ∞ के लिए) में एक विहित बिना शर्त शाउडर आधार है {e_i| i = 1, 2,...}, जहां e_i अनुक्रम है जो शून्य है लेकिन i वें प्रविष्टि में 1 के लिए है।

समष्टि ℓ¹ में शूर गुण है: ℓ¹ कोई भी अनुक्रम जो अदृढ़ अभिसरण (हिल्बर्ट समष्टि) है वह भी दृढ़ता से अभिसारी है (शूर 1921)। हालांकि, अनंत-आयामी रिक्त समष्टि पर अदृढ़ टोपोलॉजी दृढ़ टोपोलॉजी से पूर्णतः अदृढ़ है, ℓ¹ में जाल हैं जो अदृढ़ अभिसरण हैं लेकिन दृढ़ अभिसरण नहीं हैं।

ℓ^p समष्टि को कई बैनच समष्टि में एम्बेड किया जा सकता है। इस सवाल का कि क्या हर अनंत-आयामी बैनच समष्टि में कुछ ℓ^p या c₀ का आइसोमोर्फ होता है, इसका उत्तर 1974 में एस. त्सिरेलसन द्वारा त्सिरेलसन समष्टिका निर्माण द्वारा नकारात्मक रूप से दिया गया था। ℓ¹ बानाच & मजूर (1933) द्वारा पुष्टि में उत्तर दिया गया था। यही है, प्रत्येक वियोज्य बनच स्थान X के लिए, भागफल समष्टि (रैखिक बीजगणित) मानचित्र मौजूद है $Q:\ell ^{1}\to X$, ताकि X इसके लिए समरूपी हो $\ell ^{1}/\ker Q$. सामान्य तौर पर, ker Q को ℓ¹ में पूरक नहीं किया जाता है, अर्थात, ℓ¹ की उपसमष्टि Y का अस्तित्व नहीं होता है जैसे कि $\ell ^{1}=Y\oplus \ker Q$. वास्तव में, ℓ¹ में अनगिनत रूप से कई अपूर्ण उपसमष्टियाँ हैं जो एक दूसरे के लिए समरूपी नहीं हैं (उदाहरण के लिए, लें $X=\ell ^{p}$; कि इस तरह के कई X हैं, और चूंकि कोई भी ℓ^p किसी अन्य के लिए समरूपी नहीं है, इस प्रकार अनगिनत रूप से कई ker Q हैं)।

तुच्छ परिमित-आयामी मामले को छोड़कर, ℓ^p की असामान्य विशेषता यह है कि यह बहुपद रूप से प्रतिवर्ती समष्टि नहीं है।

ℓ^p रिक्त समष्टि p में बढ़ रहे हैं

$p\in [1,\infty ]$ के लिए, रिक्त समष्टि $\ell ^{p}$ में $p$ बढ़ रहे हैं, समावेशन ऑपरेटर निरंतर होने के साथ: $1\leq p<q\leq \infty$ , एक के पास है $\|x\|_{q}\leq \|x\|_{p}$ वास्तव में, असमानता सजातीय है $x_{i}$, इसलिए यह इस धारणा के तहत साबित करने के लिए पर्याप्त है कि $\|x\|_{p}=1$ इस मामले में, हमें केवल यह दिखाने की जरूरत है $\textstyle \sum |x_{i}|^{q}\leq 1$ के लिए $q>p$. लेकिन अगर $\|x\|_{p}=1$, फिर $|x_{i}|\leq 1$ सभी के लिए $i$, और फिर$\textstyle \sum |x_{i}|^{q}\leq \textstyle \sum |x_{i}|^{p}=1$.

=== ℓ² सभी वियोज्य, अनंत आयामी हिल्बर्ट रिक्त समष्टि === के लिए समरूप है H को एक हिल्बर्ट समष्टि # वियोज्य समष्टि होने दें। एच में प्रत्येक ऑर्थोगोनल समुच्चय सबसे अधिक गणना योग्य है (यानी सीमित हिल्बर्ट समष्टि # हिल्बर्ट आयाम है या $\,\aleph _{0}\,$). निम्नलिखित दो आइटम संबंधित हैं:

• यदि H अनंत विमीय है, तो यह ℓ के समतुल्य है^2</उप>
• अगर dim(H) = N, तो H तुल्याकारी है $\mathbb {C} ^{N}$

ℓ के गुण¹ समष्टि

ℓ में तत्वों का एक क्रम¹ जटिल अनुक्रम ℓ के समष्टि में अभिसरित होता है¹ यदि और केवल यदि यह इस समष्टि में अदृढ़ रूप से अभिसरित होता है। यदि K इस समष्टि का उपसमुच्चय है, तो निम्नलिखित समतुल्य हैं:

1. के कॉम्पैक्ट है;
2. के अदृढ़ रूप से कॉम्पैक्ट है;
3. K अनंत पर परिबद्ध, बंद और समसूक्ष्म है।

यहाँ K के 'इक्विस्मॉल एट इनफिनिटी' होने का अर्थ है कि प्रत्येक के लिए $\varepsilon >0$, एक प्राकृतिक संख्या मौजूद है $n_{\varepsilon }\geq 0$ ऐसा है कि ${\textstyle \sum _{n=n_{\epsilon }}^{\infty }|s_{n}|<\varepsilon }$ सभी के लिए $s=\left(s_{n}\right)_{n=1}^{\infty }\in K$.

यह भी देखें

• एलपी समष्टि|एल^{पी </सुप> समष्टि}
• त्सिरेलसन समष्टि
• बीटा-डुअल समष्टि
• ऑरलिज़ अनुक्रम समष्टि
• हिल्बर्ट समष्टि

ग्रन्थसूची

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