गणितीय समस्या: Difference between revisions
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गणितीय समस्या एक ऐसी समस्या है जिसे गणित के तरीकों के साथ प्रस्तुत, विश्लेषण और संभवतः हल किया जा सकता है। यह वास्तविक दुनिया की समस्या हो सकती है, जैसे कि सौर मंडल में ग्रहों की कक्षाओं की गणना करना, या हिल्बर्ट की समस्याओं जैसी अधिक सार प्रकृति की समस्या। यह स्वयं गणित की प्रकृति का संदर्भ देने वाली समस्या भी हो सकती है, जैसे कि रसेल का विरोधाभास है। | |||
== वास्तविक दुनिया की समस्याएं == | == वास्तविक दुनिया की समस्याएं == | ||
अनौपचारिक वास्तविक दुनिया | अनौपचारिक "वास्तविक दुनिया" गणितीय समस्याएं ठोस व्यवस्था से संबंधित प्रश्न हैं, जैसे "एडम के पास पाँच सेब हैं और उसने जॉन को तीन सेब दिए। उसके पास कितने बचे हैं?"। इस तरह के प्रश्न सामान्यतः "5 − 3" जैसे नियमित गणितीय अभ्यासों की तुलना में हल करने में अधिक कठिन होते हैं, भले ही कोई समस्या को हल करने के लिए आवश्यक गणित जानता हो। [[शब्द समस्या (गणित शिक्षा)|शब्द समस्या]] के रूप में जाने जाने वाले, इनका उपयोग [[गणित की शिक्षा|गणित]] शिक्षा में छात्रों को वास्तविक दुनिया की स्थितियों को गणित की अमूर्त भाषा से जोड़ने के लिए पढ़ाने के लिए किया जाता है। | ||
सामान्य तौर पर, वास्तविक दुनिया की समस्या को हल करने के लिए गणित का उपयोग करने के लिए, पहला कदम समस्या | सामान्य तौर पर, वास्तविक दुनिया की समस्या को हल करने के लिए गणित का उपयोग करने के लिए, पहला कदम समस्या का गणितीय मॉडल बनाना है। इसमें समस्या के विवरण से अमूर्तता सम्मिलित है, और मॉडेलर को सावधान रहना होगा कि मूल समस्या को गणितीय रूप में अनुवाद करने में आवश्यक पहलुओं को खोना नहीं है। गणित की दुनिया में समस्या का समाधान हो जाने के बाद, [[समाधान (गणित)|समाधान]] को मूल समस्या के संदर्भ में वापस अनुवादित किया जाना चाहिए। | ||
== सार समस्याएं == | == सार समस्याएं == | ||
गणित के सभी क्षेत्रों में | सार गणितीय समस्याएं गणित के सभी क्षेत्रों में उत्पन्न होती हैं। जबकि गणितज्ञ सामान्यतः अपने लिए उनका अध्ययन करते हैं, ऐसा करके ऐसे परिणाम प्राप्त किए जा सकते हैं जो गणित के दायरे से बाहर के अनुप्रयोग पाते हैं। [[सैद्धांतिक भौतिकी]] ऐतिहासिक रूप से प्रेरणा का समृद्ध स्रोत रही है। | ||
कुछ अमूर्त समस्याओं को कठोर रूप से अघुलनशील साबित किया गया है, जैसे कि वृत्त का वर्ग करना और शास्त्रीय ज्यामिति के केवल कम्पास और सीधे किनारे के निर्माण का उपयोग करके कोण को त्रिगुणित करना, और सामान्य | कुछ अमूर्त समस्याओं को कठोर रूप से अघुलनशील साबित किया गया है, जैसे कि वृत्त का वर्ग करना और शास्त्रीय ज्यामिति के केवल कम्पास और सीधे किनारे के निर्माण का उपयोग करके कोण को त्रिगुणित करना, और सामान्य पंचक समीकरण को बीजगणितीय रूप से हल करना। [[ट्यूरिंग मशीन]] के लिए हॉल्टिंग प्रॉब्लम जैसी तथाकथित [[अनिर्णीत समस्या|अनिर्णीत समस्याएं]] भी सिद्ध रूप से अघुलनशील हैं। | ||
कुछ प्रसिद्ध कठिन | कुछ प्रसिद्ध कठिन सार समस्याएँ जो अपेक्षाकृत हाल ही में हल की गई हैं वे हैं चार-रंग प्रमेय, फ़र्मेट की अंतिम प्रमेय और पॉइंकेयर अनुमान। | ||
[[कंप्यूटर]] को गणितज्ञों की प्रेरणाओं की | [[कंप्यूटर]] को गणितज्ञों की प्रेरणाओं को समझने की जरूरत नहीं है ताकि वे जो कर रहे हैं उसे कर सकें।<ref>{{harv|Newby|Newby|2008}}, "The second test is, that although such machines might execute many things with equal or perhaps greater perfection than any of us, they would, without doubt, fail in certain others from which it could be discovered that they did not act from [[awareness#Self-awareness|knowledge]], but solely from the disposition of their organs: for while [[reason]] is an universal instrument that is alike available on every occasion, these organs, on the contrary, need a particular arrangement for each particular action; whence it must be morally impossible that there should exist in any machine a diversity of organs sufficient to enable it to act in all the occurrences of life, in the way in which our reason enable us to act." translated from <br/>{{harv|Descartes|1637}}, page =[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b86069594/f61.image 57], "Et le second est que, bien qu'elles fissent plusieurs choses aussy bien, ou peutestre mieux qu'aucun de nois, ells manqueroient infalliblement en quelques autres, par lesquelles on découuriroit quelles n'agiroient pas par connoissance, mais seulement par la disposition de leurs organs. Car, au lieu que la raison est un instrument univeersel, qui peut seruir en toutes sortes de rencontres, ces organs ont besoin de quelque particliere disposition pour chaque action particuliere; d'oǜ vient qu'il est moralement impossible qu'il y en ait assez de diuers en une machine, pour la faire agir en toutes les occurrences de la vie, de mesme façon que nostre raison nous fait agir."</ref> औपचारिक परिभाषाएं और कंप्यूटर जांच योग्य परिणाम [[गणितीय विज्ञान]] के लिए बिल्कुल केंद्रीय हैं। | ||
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== अभ्यास करने के लिए समस्याओं का ह्रास == | == अभ्यास करने के लिए समस्याओं का ह्रास == | ||
मूल्यांकन के लिए समस्या समाधान का उपयोग करने वाले गणित के शिक्षकों के पास एलन एच. स्कोनफेल्ड द्वारा व्यक्त किया गया | मूल्यांकन के लिए समस्या-समाधान का उपयोग करने वाले गणित के शिक्षकों के पास समस्या है जैसा कि एलन एच. स्कोनफेल्ड द्वारा व्यक्त किया गया है: | ||
: जब बहुत | : जब बहुत भिन्न समस्याओं का उपयोग किया जाता है, तो साल-दर-साल टेस्ट स्कोर की तुलना कैसे कर सकते हैं? (यदि साल-दर-साल इसी तरह की समस्याओं का उपयोग किया जाता है, तो शिक्षक और छात्र सीखेंगे कि वे क्या हैं, और छात्र उनका अभ्यास करेंगे: समस्याएं अभ्यास बन जाती हैं, और परीक्षण अब समस्या-समाधान का आकलन नहीं करता है)।<ref>Alan H. Schoenfeld (editor) (2007) ''Assessing mathematical proficiency'', preface pages x,xi, Mathematical Sciences Research Institute, [[Cambridge University Press]] {{isbn|978-0-521-87492-2}}</ref> | ||
[[सिल्वेस्टर लैक्रोइक्स]] | :लगभग दो शताब्दियों पहले [[सिल्वेस्टर लैक्रोइक्स]] को भी इसी समस्या का सामना करना पड़ा था: | ||
:... उन प्रश्नों को बदलना आवश्यक है जो छात्र एक दूसरे के साथ संवाद कर सकते हैं I हालांकि वे परीक्षा में अनुत्तीर्ण हो सकते हैं, वे बाद में उत्तीर्ण हो सकते हैं। इस प्रकार प्रश्नों का वितरण, विषयों की विविधता, या उत्तर, सटीक रूप से, उम्मीदवारों की एक-दूसरे से तुलना करने का अवसर खो देने का जोखिम उठाते हैं।<ref>[[S. F. Lacroix]] (1816) ''Essais sur l’enseignement en general, et sur celui des mathematiques en particulier'', page 201</ref> | |||
समस्याओं का अभ्यासों में इस प्रकार निम्नीकरण इतिहास में गणित की विशेषता है। उदाहरण के लिए, 19वीं सदी में [[कैम्ब्रिज गणितीय ट्रिपोस|कैम्ब्रिज गणितीय]] ट्राइपोज़ की तैयारियों का वर्णन करते हुए, एंड्रयू वारविक ने लिखा: | |||
... उस समय की मानक समस्याओं के कई परिवारों ने मूल रूप से 18वीं शताब्दी के महानतम गणितज्ञों की क्षमताओं पर कर लगाया था।<ref>Andrew Warwick (2003) ''Masters of Theory: Cambridge and the Rise of Mathematical Physics'', page 145, [[University of Chicago Press]] {{isbn|0-226-87375-7}}</ref> | |||
== यह भी देखें == | == यह भी देखें == | ||
*[[गणित में अनसुलझी समस्याओं की सूची]] | * [[गणित में अनसुलझी समस्याओं की सूची]] | ||
*समस्या | * समस्या समाधान | ||
* [[गणितीय खेल]] | * [[गणितीय खेल]] | ||
Revision as of 13:07, 8 May 2023
गणितीय समस्या एक ऐसी समस्या है जिसे गणित के तरीकों के साथ प्रस्तुत, विश्लेषण और संभवतः हल किया जा सकता है। यह वास्तविक दुनिया की समस्या हो सकती है, जैसे कि सौर मंडल में ग्रहों की कक्षाओं की गणना करना, या हिल्बर्ट की समस्याओं जैसी अधिक सार प्रकृति की समस्या। यह स्वयं गणित की प्रकृति का संदर्भ देने वाली समस्या भी हो सकती है, जैसे कि रसेल का विरोधाभास है।
वास्तविक दुनिया की समस्याएं
अनौपचारिक "वास्तविक दुनिया" गणितीय समस्याएं ठोस व्यवस्था से संबंधित प्रश्न हैं, जैसे "एडम के पास पाँच सेब हैं और उसने जॉन को तीन सेब दिए। उसके पास कितने बचे हैं?"। इस तरह के प्रश्न सामान्यतः "5 − 3" जैसे नियमित गणितीय अभ्यासों की तुलना में हल करने में अधिक कठिन होते हैं, भले ही कोई समस्या को हल करने के लिए आवश्यक गणित जानता हो। शब्द समस्या के रूप में जाने जाने वाले, इनका उपयोग गणित शिक्षा में छात्रों को वास्तविक दुनिया की स्थितियों को गणित की अमूर्त भाषा से जोड़ने के लिए पढ़ाने के लिए किया जाता है।
सामान्य तौर पर, वास्तविक दुनिया की समस्या को हल करने के लिए गणित का उपयोग करने के लिए, पहला कदम समस्या का गणितीय मॉडल बनाना है। इसमें समस्या के विवरण से अमूर्तता सम्मिलित है, और मॉडेलर को सावधान रहना होगा कि मूल समस्या को गणितीय रूप में अनुवाद करने में आवश्यक पहलुओं को खोना नहीं है। गणित की दुनिया में समस्या का समाधान हो जाने के बाद, समाधान को मूल समस्या के संदर्भ में वापस अनुवादित किया जाना चाहिए।
सार समस्याएं
सार गणितीय समस्याएं गणित के सभी क्षेत्रों में उत्पन्न होती हैं। जबकि गणितज्ञ सामान्यतः अपने लिए उनका अध्ययन करते हैं, ऐसा करके ऐसे परिणाम प्राप्त किए जा सकते हैं जो गणित के दायरे से बाहर के अनुप्रयोग पाते हैं। सैद्धांतिक भौतिकी ऐतिहासिक रूप से प्रेरणा का समृद्ध स्रोत रही है।
कुछ अमूर्त समस्याओं को कठोर रूप से अघुलनशील साबित किया गया है, जैसे कि वृत्त का वर्ग करना और शास्त्रीय ज्यामिति के केवल कम्पास और सीधे किनारे के निर्माण का उपयोग करके कोण को त्रिगुणित करना, और सामान्य पंचक समीकरण को बीजगणितीय रूप से हल करना। ट्यूरिंग मशीन के लिए हॉल्टिंग प्रॉब्लम जैसी तथाकथित अनिर्णीत समस्याएं भी सिद्ध रूप से अघुलनशील हैं।
कुछ प्रसिद्ध कठिन सार समस्याएँ जो अपेक्षाकृत हाल ही में हल की गई हैं वे हैं चार-रंग प्रमेय, फ़र्मेट की अंतिम प्रमेय और पॉइंकेयर अनुमान।
कंप्यूटर को गणितज्ञों की प्रेरणाओं को समझने की जरूरत नहीं है ताकि वे जो कर रहे हैं उसे कर सकें।[1] औपचारिक परिभाषाएं और कंप्यूटर जांच योग्य परिणाम गणितीय विज्ञान के लिए बिल्कुल केंद्रीय हैं।
अभ्यास करने के लिए समस्याओं का ह्रास
मूल्यांकन के लिए समस्या-समाधान का उपयोग करने वाले गणित के शिक्षकों के पास समस्या है जैसा कि एलन एच. स्कोनफेल्ड द्वारा व्यक्त किया गया है:
- जब बहुत भिन्न समस्याओं का उपयोग किया जाता है, तो साल-दर-साल टेस्ट स्कोर की तुलना कैसे कर सकते हैं? (यदि साल-दर-साल इसी तरह की समस्याओं का उपयोग किया जाता है, तो शिक्षक और छात्र सीखेंगे कि वे क्या हैं, और छात्र उनका अभ्यास करेंगे: समस्याएं अभ्यास बन जाती हैं, और परीक्षण अब समस्या-समाधान का आकलन नहीं करता है)।[2]
- लगभग दो शताब्दियों पहले सिल्वेस्टर लैक्रोइक्स को भी इसी समस्या का सामना करना पड़ा था:
- ... उन प्रश्नों को बदलना आवश्यक है जो छात्र एक दूसरे के साथ संवाद कर सकते हैं I हालांकि वे परीक्षा में अनुत्तीर्ण हो सकते हैं, वे बाद में उत्तीर्ण हो सकते हैं। इस प्रकार प्रश्नों का वितरण, विषयों की विविधता, या उत्तर, सटीक रूप से, उम्मीदवारों की एक-दूसरे से तुलना करने का अवसर खो देने का जोखिम उठाते हैं।[3]
समस्याओं का अभ्यासों में इस प्रकार निम्नीकरण इतिहास में गणित की विशेषता है। उदाहरण के लिए, 19वीं सदी में कैम्ब्रिज गणितीय ट्राइपोज़ की तैयारियों का वर्णन करते हुए, एंड्रयू वारविक ने लिखा:
... उस समय की मानक समस्याओं के कई परिवारों ने मूल रूप से 18वीं शताब्दी के महानतम गणितज्ञों की क्षमताओं पर कर लगाया था।[4]
यह भी देखें
- गणित में अनसुलझी समस्याओं की सूची
- समस्या समाधान
- गणितीय खेल
संदर्भ
- ↑ (Newby & Newby 2008), "The second test is, that although such machines might execute many things with equal or perhaps greater perfection than any of us, they would, without doubt, fail in certain others from which it could be discovered that they did not act from knowledge, but solely from the disposition of their organs: for while reason is an universal instrument that is alike available on every occasion, these organs, on the contrary, need a particular arrangement for each particular action; whence it must be morally impossible that there should exist in any machine a diversity of organs sufficient to enable it to act in all the occurrences of life, in the way in which our reason enable us to act." translated from
(Descartes 1637), page =57, "Et le second est que, bien qu'elles fissent plusieurs choses aussy bien, ou peutestre mieux qu'aucun de nois, ells manqueroient infalliblement en quelques autres, par lesquelles on découuriroit quelles n'agiroient pas par connoissance, mais seulement par la disposition de leurs organs. Car, au lieu que la raison est un instrument univeersel, qui peut seruir en toutes sortes de rencontres, ces organs ont besoin de quelque particliere disposition pour chaque action particuliere; d'oǜ vient qu'il est moralement impossible qu'il y en ait assez de diuers en une machine, pour la faire agir en toutes les occurrences de la vie, de mesme façon que nostre raison nous fait agir." - ↑ Alan H. Schoenfeld (editor) (2007) Assessing mathematical proficiency, preface pages x,xi, Mathematical Sciences Research Institute, Cambridge University Press ISBN 978-0-521-87492-2
- ↑ S. F. Lacroix (1816) Essais sur l’enseignement en general, et sur celui des mathematiques en particulier, page 201
- ↑ Andrew Warwick (2003) Masters of Theory: Cambridge and the Rise of Mathematical Physics, page 145, University of Chicago Press ISBN 0-226-87375-7
- Newby, Ilana; Newby, Greg (2008-07-01). "Discourse on the Method of rightly conducting the reason, and seeking truth in the sciences by Rene Descartes". Project Gutenberg (in English). Retrieved 2019-02-13., translated from
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