स्मूथ कम्पलीशन

बीजगणितीय ज्यामिति में, एक सहज सजातीय बीजगणितीय वक्र X का सुचारू समापन (या सहज संहतीकरण) एक पूर्ण सहज बीजगणितीय वक्र होता है जिसमें X एक विवृत उपसमुच्चय के रूप में होता है। सुचारू समापन उपस्थित और एक संपूर्ण क्षेत्र में अद्वितीय हैं।

उदाहरण

हाइपरेलिप्टिक वक्र का एक सजातीय रूप $y^{2}=P(x)$ में प्रस्तुत किया जा सकता है जहां $(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}$ और P(x) वियोज्य बहुपद और जिसकी कम से कम 5 श्रेणियाँ है। $\mathbb {C} \mathbb {P} ^{2}$ में सजातीय वक्र का ज़ारिस्की संवरण जोड़े गए अद्वितीय अनंत बिंदु पर होना एक विलक्षण है। फिर भी, एफ़िन वक्र को एक अद्वितीय सघन रीमैन सतह में अंतःस्थापित किया जा सकता है जिसे इसकी सुचारू समापन कहा जाता है। यदि $P(x)$ डिग्री की सम अथवा एकैक फलन(लेकिन शाखाबद्ध) है, तो रीमैन सतह का प्रक्षेपण $\mathbb {C} \mathbb {P} ^{1}$अनंत पर एकल बिंदु पर 2-से-1 है।

यह सुचारू समापन निम्नानुसार भी प्राप्त की जा सकती है। x-निर्देशांक का उपयोग करके सजातीय वक्र को सजातीय रेखा पर प्रक्षेपण करें। सजातीय रेखा को प्रक्षेपीय रेखा में अंतःस्थापित करें, तत्पश्चात सजातीय वक्र के फलन क्षेत्र में प्रक्षेपीय रेखा का सामान्यीकरण करें।

अनुप्रयोग

एक बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र पर एक सहज रूप जुड़े हुए वक्र को अतिपरवलीय कहा जाता है यदि $2g-2+r>0$ जहां g सुचारू पूर्णता का वर्ग और r जोड़े गए बिंदुओं की संख्या है।

यदि r>0 है तो विशेषता 0 एक बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र पर X का मूलभूत समूह $2g+r-1$ जनित्र के साथ मुक्त है।

(डिरिचलेट की इकाई प्रमेय का सदृश रूप) मान लीजिए X एक परिमित क्षेत्र पर एक सुचारू रूप से जुड़ा हुआ वक्र है। फिर X पर नियमित कार्यों O(X) की वलय की इकाइयां श्रेणी r -1 का एक अंतिम रूप से उत्पन्न एबेलियन समूह है।

निर्माण

मान लीजिए कि आधार क्षेत्र परिपूर्ण है। कोई भी सजातीय वक्र X एक अभिन्न प्रक्षेपी (इसलिए पूर्ण) वक्र के एक विवृत उपसमुच्चय के लिए समरूपी है। प्रक्षेपी वक्र का सामान्यीकरण करने से (या विशिष्टताओ का धमन करते हुए) X की एक सहज पूर्णता प्राप्त होती है। उनके अंक एक बीजगणितीय विविधता के कार्य क्षेत्र के असतत मूल्यांकन के अनुरूप आधार क्षेत्र पर क्षुद्र होते हैं।

निर्माण के द्वारा सुचारू समापन एक प्रक्षेप्य वक्र है जिसमें दिए गए वक्र को प्रत्येक स्थान पर सघन विवृत उपसमुच्चय के रूप में सम्मिलित किया गया है और जोड़े गए नए बिंदु सहज हैं। ऐसा (प्रक्षेपी) पूर्णता सदैव उपस्थित और अद्वितीय है।

यदि आधार क्षेत्र सही नहीं है, तो एक सहज सजातीय वक्र का एक सुचारू समापन सदैव उपस्थित नहीं होता है। किन्तु उपरोक्त प्रक्रिया सदैव एक नियमित पूर्णता उत्पन्न करती है यदि हम एक नियमित सजातीय वक्र के साथ प्रारम्भ करते हैं (सहज किस्में नियमित हैं और इसके विपरीत परिशुद्ध क्षेत्रों पर सही है)। एक नियमित समापन अद्वितीय है और उचितता के मूल्यवान मानदंड से किसी भी आकृतिवाद को सजातीय वक्र से पूर्ण बीजगणितीय विविधता तक नियमित रूप से पूरा करने के लिए विशिष्ट रूप से विस्तारित किया जाता है।

सामान्यीकरण

यदि X एक अलग बीजगणितीय विविधता है तथा नागाटा की एक प्रमेय दर्शाती हैकि X को पूर्ण बीजगणितीय विविधता के विवृत उपसमुच्चय के रूप में अंतःस्थापित किया जा सकता है। यदि X अधिक समतल है और आधारित क्षेत्र में विशेषता 0 है, तो हिरोनाका के प्रमेय द्वारा X को सीमा के साथ एक सामान्य पारण विभाजक के साथ एक पूर्ण सहज बीजगणितीय विविधता के विवृत उपसमुच्चय के रूप में अंतःस्थापित किया जा सकता है। यदि X अर्ध-प्रक्षेपी है, तो सुचारू समापन को प्रक्षेपीय होने के लिए चुना जा सकता है।

हालांकि एक विमीय स्थिति के विपरीत सुचारू समापन की कोई विशिष्टता नहीं है, न ही यह विहित (कैनानिकल) है।

यह भी देखें

• हाइपरेलिप्टिक वक्र
• बोल्ज़ा सतह

ग्रन्थसूची

• Griffiths, Phillip A. (1972). "Function theory of finite order on algebraic varieties. I(A)". Journal of Differential Geometry. 6 (3): 285–306. MR 0325999. Zbl 0269.14003.
• Hartshorne, Robin (1977). Algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 52. New York, Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 0387902449. (see chapter 4).