कार्टेशियन संवृत श्रेणी

श्रेणी सिद्धांत में, एक श्रेणी (गणित) कार्टेशियन बंद है, यदि मोटे तौर पर बोलना, दो वस्तु (श्रेणी सिद्धांत) के उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत) पर परिभाषित किसी भी रूपवाद को स्वाभाविक रूप से कारकों में से एक पर परिभाषित आकारिकी के साथ पहचाना जा सकता है। ये श्रेणियां गणितीय तर्क और प्रोग्रामिंग के सिद्धांत में विशेष रूप से महत्वपूर्ण हैं, जिसमें उनकी आंतरिक भाषा सरल रूप से टाइप की गई लैम्ब्डा कैलकुलस है। वे बंद मोनोइडल श्रेणी द्वारा सामान्यीकृत हैं, जिनकी आंतरिक भाषा, रैखिक प्रकार की प्रणालियाँ, क्वांटम संगणना और शास्त्रीय संगणना दोनों के लिए उपयुक्त हैं।

श्रेणी सिद्धांत में, एक श्रेणी (गणित) काटीज़ियन बंद है, यदि मोटे तौर पर बोलना, दो वस्तु (श्रेणी सिद्धांत) के उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत) पर परिभाषित किसी भी आकृतिवाद को स्वाभाविक रूप से कारकों में से एक पर परिभाषित आकारिकी से पहचाना जा सकता है। ये श्रेणियां गणितीय तर्क और प्रोग्रामिंग के सिद्धांत में विशेष रूप से महत्वपूर्ण हैं, जिसमें उनकी आंतरिक भाषा सामान्य रूप से टाइप की गई लैम्ब्डा गणना है। वे बंद मोनोइडल श्रेणियों द्वारा सामान्यीकृत हैं, जिसकी आंतरिक भाषा, रैखिक प्रकार की प्रणालियाँ, क्वांटम और शास्त्रीय संगणना दोनों के लिए उपयुक्त हैं।

व्युत्पत्ति

नाम के बाद René Descartes (1596-1650), फ्रांसीसी दार्शनिक, गणितज्ञ और वैज्ञानिक, जिनके विश्लेषणात्मक ज्यामिति के निर्माण ने कार्तीय उत्पाद की अवधारणा को जन्म दिया, जिसे बाद में श्रेणीबद्ध उत्पाद की धारणा के लिए सामान्यीकृत किया गया।

परिभाषा

श्रेणी C को कार्टेशियन बंद कहा जाता है अगर और केवल अगर यह निम्नलिखित तीन गुणों को संतुष्ट करता है:

• इसमें एक टर्मिनल वस्तु है।
• C की किन्हीं दो वस्तुओं X और Y में C में एक उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत) X ×Y है।
• C की किन्हीं दो वस्तुओं Y और Z में एक घातीय वस्तु Z है^वाई सी में।

पहली दो स्थितियों को एकल आवश्यकता से जोड़ा जा सकता है कि C की वस्तुओं का कोई परिमित (संभवतः खाली) परिवार C में एक उत्पाद को स्वीकार करता है, क्योंकि श्रेणीगत उत्पाद की प्राकृतिक संबद्धता और क्योंकि एक श्रेणी में खाली उत्पाद टर्मिनल वस्तु है उस श्रेणी का।

तीसरी शर्त आवश्यकता के बराबर है कि ऑपरेटर - ×Y (अर्थात C से C तक फ़ैक्टर जो ऑब्जेक्ट X को X ×Y और morphisms φ से φ को मैप करता है × पहचान_Y) में एक सहायक कारक होता है, जिसे आमतौर पर निरूपित किया जाता है -^Y, C में सभी वस्तुओं Y के लिए। श्रेणी (गणित) # छोटी और बड़ी श्रेणियों के लिए, यह होम सेट के बीच एक आपत्ति के अस्तित्व द्वारा व्यक्त किया जा सकता है

$\mathrm {Hom} (X\times Y,Z)\cong \mathrm {Hom} (X,Z^{Y})$

जो X, Y और Z में प्राकृतिक परिवर्तन है। इस बात का ध्यान रखें कि एक कार्तीय बंद श्रेणी की परिमित सीमाएँ होने की आवश्यकता नहीं है; केवल सीमित उत्पादों की गारंटी है।

यदि किसी श्रेणी में संपत्ति है कि उसकी सभी अल्पविराम श्रेणी # ए पर वस्तुओं की श्रेणी कार्टेशियन बंद है, तो इसे स्थानीय रूप से कार्टेशियन बंद कहा जाता है। ध्यान दें कि यदि सी स्थानीय रूप से कार्टेशियन बंद है, तो इसे वास्तव में कार्टेशियन बंद होने की आवश्यकता नहीं है; ऐसा तब होता है जब और केवल तभी होता है जब सी में टर्मिनल ऑब्जेक्ट हो।

मूल निर्माण

मूल्यांकन

प्रत्येक वस्तु Y के लिए, घातीय संयोजन की गणना एक प्राकृतिक परिवर्तन है

$\mathrm {ev} _{Y,Z}:Z^{Y}\times Y\to Z$

(आंतरिक) मूल्यांकन मानचित्र कहा जाता है। अधिक सामान्यतः, हम आंशिक अनुप्रयोग मानचित्र को समग्र के रूप में बना सकते हैं

$\mathrm {papply} _{X,Y,Z}:Z^{X\times Y}\times X\cong (Z^{Y})^{X}\times X\xrightarrow {\mathrm {ev} _{X,Z^{Y}}} Z^{Y}.$

श्रेणी सेट के विशेष मामले में, ये सामान्य परिचालनों को कम करते हैं:

$\mathrm {ev} _{Y,Z}(f,y)=f(y).$

रचना

आकारिकी p : X → Y पर एक तर्क में घातांक का मूल्यांकन करने पर आकारिकी मिलती है

$p^{Z}:X^{Z}\to Y^{Z},$

$Z^{p}:Z^{Y}\to Z^{X},$

पी के साथ रचना के संचालन के अनुरूप। ऑपरेशन पी के लिए वैकल्पिक नोटेशन^Z में p शामिल है_* और p∘-. ऑपरेशन जेड के लिए वैकल्पिक नोटेशन^p p शामिल करें^* और -∘p.

मूल्यांकन मानचित्रों को इस रूप में श्रृंखलित किया जा सकता है

$Z^{Y}\times Y^{X}\times X\xrightarrow {\mathrm {id} \times \mathrm {ev} _{X,Y}} Z^{Y}\times Y\xrightarrow {\mathrm {ev} _{Y,Z}} Z$

घातीय संयोजन के तहत संबंधित तीर

$c_{X,Y,Z}:Z^{Y}\times Y^{X}\to Z^{X}$

(आंतरिक) रचना मानचित्र कहा जाता है।

श्रेणी सेट के विशेष मामले में, यह सामान्य रचना संक्रिया है:

$c_{X,Y,Z}(g,f)=g\circ f.$

खंड

आकृतिवाद p:X → Y के लिए, मान लें कि निम्न पुलबैक वर्ग मौजूद है, जो X के सबऑब्जेक्ट को परिभाषित करता है^Y उन नक्शों के अनुरूप है जिनका p के साथ सम्मिश्र पहचान है:

${\begin{array}{ccc}\Gamma _{Y}(p)&\to &X^{Y}\\\downarrow &&\downarrow \\1&\to &Y^{Y}\end{array}}$

जहाँ दाईं ओर का तीर p है^Y और नीचे का तीर Y पर पहचान के अनुरूप है। फिर Γ_Y(पी) को पी का 'अनुभाग (फाइबर बंडल)' कहा जाता है। इसे अक्सर Γ के रूप में संक्षिप्त किया जाता है_Y(एक्स)।

अगर जी_Y(पी) कोडोमेन वाई के साथ प्रत्येक मोर्फिज्म पी के लिए मौजूद है, फिर इसे एक मज़ेदार Γ में इकट्ठा किया जा सकता है_Y : सी/वाई → सी स्लाइस श्रेणी पर, जो उत्पाद फ़ैक्टर के एक संस्करण के ठीक बगल में है:

$\hom _{C/Y}(X\times Y\xrightarrow {\pi _{2}} Y,Z\xrightarrow {p} Y)\cong \hom _{C}(X,\Gamma _{Y}(p)).$

Y द्वारा घातीय वर्गों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है:

$Z^{Y}\cong \Gamma _{Y}(Z\times Y\xrightarrow {\pi _{2}} Y).$

उदाहरण

कार्तीय बंद श्रेणियों के उदाहरणों में शामिल हैं:

• आकारिकी के रूप में फलन (गणित) के साथ सभी समुच्चयों (गणित) की श्रेणी समुच्चय, कार्तीय बंद है। उत्पाद X×Y X और Y, और Z का कार्तीय उत्पाद है^Y Y से Z तक सभी कार्यों का सेट है। आसन्नता निम्नलिखित तथ्य द्वारा व्यक्त की जाती है: फ़ंक्शन f : X×Y → Z को करींग फ़ंक्शन g : X → Z के साथ स्वाभाविक रूप से पहचाना जाता है^Y को g(x)(y) = f(x,y) द्वारा X में सभी x और Y में y के लिए परिभाषित किया गया है।
• परिमित सेट सेट की श्रेणी, आकारिकी के रूप में कार्यों के साथ, कार्टेशियन उसी कारण से बंद है।
• यदि जी एक समूह (गणित) है, तो सभी समूह क्रिया (गणित) की श्रेणी | जी-सेट कार्टेशियन बंद है। यदि Y और Z दो G-सेट हैं, तो Z^Y, Y से Z तक सभी फ़ंक्शन का सेट है जिसमें G क्रिया परिभाषित है (g.F)(y) = F(g)⁻¹.y) G में सभी g के लिए, F:Y → Z और y Y में।
• परिमित जी-सेट की श्रेणी भी कार्तीय बंद है।
• सभी छोटी श्रेणियों की श्रेणी 'कैट' (मोर्फिज्म के रूप में फंक्शनलर्स के साथ) कार्टेशियन बंद है; घातीय सी^डी कार्यात्मक श्रेणी द्वारा दिया जाता है जिसमें डी से सी तक के सभी कारक शामिल होते हैं, प्राकृतिक परिवर्तनों के रूप में morphisms के साथ।
• यदि C एक छोटी श्रेणी है, तो फ़ंक्टर श्रेणी 'सेट'^C सेट की श्रेणी में C से सभी सहपरिवर्ती फलनकारियों से मिलकर बनता है, आकारिकी के रूप में प्राकृतिक परिवर्तनों के साथ, कार्टेशियन बंद है। यदि F और G, C से 'सेट' के दो कारक हैं, तो घातीय F^G वह फ़ंक्टर है जिसका मान C के ऑब्जेक्ट X पर सभी प्राकृतिक परिवर्तनों के सेट द्वारा दिया गया है (X,−) × G से एफ.
  • जी-सेट के पहले के उदाहरण को फ़ंक्टर श्रेणियों के एक विशेष मामले के रूप में देखा जा सकता है: प्रत्येक समूह को एक-ऑब्जेक्ट श्रेणी के रूप में माना जा सकता है, और जी-सेट इस श्रेणी से 'सेट' के फ़नकार के अलावा और कुछ नहीं हैं
  • सभी ग्राफ सिद्धांत की श्रेणी कार्तीय बंद है; यह एक फ़ंक्टर श्रेणी है जैसा कि फ़ैक्टर श्रेणी के अंतर्गत समझाया गया है।
  • विशेष रूप से, साधारण सेटों की श्रेणी (जो फ़ैक्टर X हैं: Δ^op → सेट) कार्तीय बंद है।
• इससे भी अधिक आम तौर पर, प्रत्येक प्राथमिक topos कार्टेशियन बंद होता है।
• बीजगणितीय टोपोलॉजी में, कार्तीय बंद श्रेणियों के साथ काम करना विशेष रूप से आसान है। न तो निरंतर कार्य (टोपोलॉजी) मानचित्रों के साथ टोपोलॉजिकल स्पेस स्थान की श्रेणी और न ही चिकने मानचित्रों के साथ कई गुना की श्रेणी कार्टेशियन बंद है। स्थानापन्न श्रेणियों पर इसलिए विचार किया गया है: सघन रूप से उत्पन्न हौसडॉर्फ रिक्त स्थान की श्रेणी कार्तीय बंद है, जैसा कि फ्रोलीचर रिक्त स्थान की श्रेणी है।
• आदेश सिद्धांत में, पूर्ण आंशिक आदेश (सीपीओ) में एक प्राकृतिक टोपोलॉजी है, स्कॉट टोपोलॉजी, जिसके निरंतर नक्शे एक कार्टेशियन बंद श्रेणी बनाते हैं (अर्थात, वस्तुएं cpos हैं, और आकारिकी स्कॉट हैं निरंतर मानचित्र)। स्कॉट टोपोलॉजी में करीइंग और लागू करें दोनों निरंतर कार्य हैं, और करींग, लागू करने के साथ, आसन्न प्रदान करते हैं। * एक हेटिंग बीजगणित एक कार्तीय बंद (परिबद्ध) जाली (क्रम) है। टोपोलॉजिकल स्पेस से एक महत्वपूर्ण उदाहरण सामने आता है। यदि X एक टोपोलॉजिकल स्पेस है, तो X में खुले सेट एक श्रेणी O (X) की वस्तुओं का निर्माण करते हैं, जिसके लिए U से V तक एक अद्वितीय आकारिकी है यदि U, V का एक उपसमुच्चय है और अन्यथा कोई आकारिकी नहीं है। यह poset एक कार्तीय बंद श्रेणी है: U और V का गुणनफल U और V का प्रतिच्छेदन है और चरघातांकी U^V का आंतरिक (टोपोलॉजी) है U∪(X\V).
• शून्य वस्तु वाली एक श्रेणी कार्टेशियन बंद है अगर और केवल अगर यह केवल एक वस्तु और एक पहचान रूपवाद वाली श्रेणी के बराबर है। दरअसल, अगर 0 प्रारंभिक वस्तु है और 1 अंतिम वस्तु है और हमारे पास है $0\cong 1$, तब $\mathrm {Hom} (X,Y)\cong \mathrm {Hom} (1,Y^{X})\cong \mathrm {Hom} (0,Y^{X})\cong 1$ जिसमें केवल एक ही तत्व हो।
  • विशेष रूप से, शून्य वस्तु वाली कोई गैर-तुच्छ श्रेणी, जैसे एबेलियन श्रेणी, कार्टेशियन बंद नहीं है। तो मॉड्यूल (गणित) की श्रेणी कार्टेशियन बंद नहीं है। हालांकि, functor टेंसर उत्पाद $-\otimes M$ एक निश्चित मॉड्यूल के साथ एक Tensor-hom adjunction होता है। टेंसर उत्पाद एक श्रेणीबद्ध उत्पाद नहीं है, इसलिए यह उपरोक्त का खंडन नहीं करता है। हम इसके बजाय प्राप्त करते हैं कि मॉड्यूल की श्रेणी मोनोइडल बंद श्रेणी है।

स्थानीय रूप से कार्तीय बंद श्रेणियों के उदाहरणों में शामिल हैं:

• हर प्राथमिक टोपोस स्थानीय रूप से कार्टेशियन बंद है। इस उदाहरण में सेट, फिनसेट, जी- समूह जी के लिए सेट, साथ ही सेट शामिल हैं^C छोटी श्रेणियों के लिए C.
• श्रेणी LH जिसकी वस्तुएँ टोपोलॉजिकल स्पेस हैं और जिनकी आकृतियाँ स्थानीय होमोमोर्फिज़्म हैं, स्थानीय रूप से कार्टेशियन बंद है, क्योंकि LH / X शीशों की श्रेणी के बराबर है $Sh(X)$. हालांकि, एलएच के पास टर्मिनल ऑब्जेक्ट नहीं है, और इस प्रकार कार्टेशियन बंद नहीं है।
• यदि C में पुलबैक है और प्रत्येक तीर के लिए p : X → Y, फ़ंक्टर p^* : C/Y → पुलबैक लेकर दिए गए C/X का दाहिना जोड़ है, तो C स्थानीय रूप से कार्टेशियन बंद है।
• यदि C स्थानीय रूप से कार्टेशियन बंद है, तो इसकी सभी स्लाइस श्रेणियां C/X भी स्थानीय रूप से कार्टेशियन बंद हैं।

स्थानीय रूप से कार्तीय बंद श्रेणियों के गैर-उदाहरणों में शामिल हैं:

• 'कैट' स्थानीय रूप से कार्टेशियन बंद नहीं है।

अनुप्रयोग

कार्तीय बंद श्रेणियों में, दो चरों का एक फलन (एक आकारिकी f : X×Y → Z) हमेशा एक चर के फलन के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है (आकृतिवाद λf : X → Z)^वाई). कंप्यूटर विज्ञान अनुप्रयोगों में, इसे करींग के रूप में जाना जाता है; इससे यह अहसास हुआ है कि सामान्य रूप से टाइप किए गए लैम्ब्डा कैलकुलस की व्याख्या किसी भी कार्टेशियन बंद श्रेणी में की जा सकती है।

करी-हावर्ड-लैम्बेक पत्राचार अंतर्ज्ञानवादी तर्क, सरल रूप से टाइप किए गए लैम्ब्डा कैलकुलस और कार्टेशियन बंद श्रेणियों के बीच एक गहरी समरूपता प्रदान करता है।

पारंपरिक सेट सिद्धांत के बजाय, कुछ कार्टेशियन बंद श्रेणियां, टोपो, को गणित के लिए एक सामान्य सेटिंग के रूप में प्रस्तावित किया गया है।

प्रसिद्ध कंप्यूटर वैज्ञानिक जॉन बैकस ने एक चर-मुक्त संकेतन, या फंक्शन-लेवल प्रोग्रामिंग की वकालत की है, जो पूर्वव्यापी रूप से कार्टेशियन बंद श्रेणियों की आंतरिक भाषा में कुछ समानता रखता है। श्रेणीबद्ध सार मशीन भाषा कार्टेशियन बंद श्रेणियों पर अधिक सचेत रूप से प्रतिरूपित है।

निर्भर राशि और उत्पाद

बता दें कि C स्थानीय रूप से कार्टेशियन बंद श्रेणी है। फिर C में सभी पुलबैक हैं, क्योंकि कोडोमेन Z के साथ दो तीरों का पुलबैक C/Z में उत्पाद द्वारा दिया गया है।

प्रत्येक तीर p : X → Y के लिए, मान लीजिए कि P, C/Y की संबंधित वस्तु को निरूपित करता है। पी के साथ पुलबैक लेने से एक फ़ैक्टर पी देता है^* : C/Y → C/X जिसमें बाएँ और दाएँ दोनों संलग्न हैं।

बायां जोड़ $\Sigma _{p}:C/X\to C/Y$ आश्रित योग कहा जाता है और रचना द्वारा दिया जाता है $p\circ (-)$.

दाहिना जोड़ $\Pi _{p}:C/X\to C/Y$ आश्रित उत्पाद कहा जाता है।

C/Y में P द्वारा एक्सपोनेंशियल को सूत्र द्वारा निर्भर उत्पाद के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है $Q^{P}\cong \Pi _{p}(p^{*}(Q))$.

इन नामों का कारण यह है कि जब P की व्याख्या एक आश्रित प्रकार के रूप में की जाती है $y:Y\vdash P(y):\mathrm {Type}$, कार्यकर्त्ता $\Sigma _{p}$ और $\Pi _{p}$ प्रकार के गठन के अनुरूप है $\Sigma _{x:P(y)}$ और $\Pi _{x:P(y)}$ क्रमश।

समतामूलक सिद्धांत

प्रत्येक कार्टेशियन बंद श्रेणी में (घातीय संकेतन का उपयोग करके), (X^वाई)^{जेड</सुप> और (एक्ससी)Y सभी वस्तुओं X, Y और Z के लिए तुल्याकारी हैं। हम इसे समीकरण के रूप में लिखते हैं}

(एक्स^और)^{जेड </सुप> = (एक्ससाथ)व.}

कोई यह पूछ सकता है कि ऐसे और कौन से समीकरण सभी कार्तीय संवृत्त श्रेणियों में मान्य हैं। यह पता चला है कि ये सभी निम्नलिखित स्वयंसिद्धों से तार्किक रूप से अनुसरण करते हैं:

• x×(y×z) = (x×y)×z
• x×y = y×x
• x×1 = x (यहाँ 1 C के टर्मिनल ऑब्जेक्ट को दर्शाता है)
• 1^{एक्स </सुप> = 1}
• एक्स^{1</सुप> = एक्स}
• (एक्स ×वाई)^{जेड </सुप> = एक्सजेड</सुप>×वाईजेड</सुप>}
• (एक्स^और)^{जेड </सुप> = एक्स(y×z)}

द्विकार्तीय बंद श्रेणियां

बायकार्टेशियन बंद श्रेणी बाइनरी सहउत्पाद और एक प्रारंभिक ऑब्जेक्ट के साथ कार्टेशियन क्लोज्ड कैटेगरी का विस्तार करती है, जिसमें प्रोडक्ट्स को कोप्रोडक्ट्स पर वितरित किया जाता है। उनके समीकरण सिद्धांत को निम्नलिखित स्वयंसिद्धों के साथ विस्तारित किया गया है, जो टार्स्की की हाई स्कूल बीजगणित समस्या के समान कुछ उत्पन्न करता है। टार्स्की के हाई स्कूल के स्वयंसिद्ध लेकिन एक शून्य के साथ:

• x + y = y + x
• (एक्स + वाई) + जेड = एक्स + (वाई + जेड)
• x×(y + z) = x×y + x×z
• एक्स^{(वाई + जेड) </सुप> = एक्सवाई×xजेड</सुप>}
• 0 + एक्स = एक्स
• x×0 = 0
• एक्स⁰ = 1

हालाँकि ध्यान दें कि उपरोक्त सूची पूर्ण नहीं है; मुक्त BCCC में टाइप आइसोमोर्फिज्म सूक्ष्म रूप से स्वयंसिद्ध नहीं है, और इसकी निर्णायकता अभी भी एक खुली समस्या है।

संदर्भ

• Seely, R. A. G. (1984). "Locally cartesian closed categories and type theory". Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society (in English). 95 (1): 33–48. doi:10.1017/S0305004100061284. ISSN 1469-8064. S2CID 15115721.

बाहरी संबंध

• Cartesian closed category at the nLab
• Baez, John (2006). "CCCs and the λ-calculus". The n-Category Café: A group blog on math, physics and philosophy. University of Texas.