योज्य संख्या सिद्धांत: Difference between revisions
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'''[[संख्या सिद्धांत|योज्य संख्या सिद्धांत]]''' संख्या सिद्धांत का उपक्षेत्र है जो पूर्णांकों के उपसमुच्चय और योग के अंतर्गत उनके व्यवहार के अध्ययन से संबंधित है। अधिक सारगर्भित रूप से, योज्य संख्या सिद्धांत के क्षेत्र में [[एबेलियन समूह|विनिमेय समूहों]] का अध्ययन और जोड़ के संचालन के साथ [[ क्रमविनिमेय अर्धसमूह |क्रमविनिमेय अर्धसमूह]] सम्मिलित हैं। योज्य संख्या सिद्धांत का संयोजक संख्या सिद्धांत और [[संख्याओं की ज्यामिति]] के साथ घनिष्ठ संबंध है। अध्ययन की दो प्रमुख वस्तुएँ विनिमेय समूह G के तत्वों के दो उपसमुच्चय A और B का योग हैं, | |||
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क्षेत्र मुख्य रूप से (आमतौर पर) पूर्णांकों पर प्रत्यक्ष समस्याओं पर विचार करने के लिए समर्पित है, अर्थात, A की संरचना से hA की संरचना का निर्धारण करना: उदाहरण के लिए, यह निर्धारित करना कि किन तत्वों को hA से योग के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहाँ A एक है निश्चित उपसमुच्चय।<ref>Nathanson (1996) II:1</ref> इस प्रकार की दो शास्त्रीय समस्याएँ हैं [[गोल्डबैक अनुमान]] (जो अनुमान है कि 2P में दो से अधिक सभी सम संख्याएँ हैं, जहाँ P [[अभाज्य संख्या]]ओं का समुच्चय है) और वारिंग की समस्या (जो पूछती है कि hAk में सभी सम्मिलित हैं की गारंटी के लिए h कितना बड़ा होना चाहिए धनात्मक पूर्णांक, जहाँ | |||
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k-वें घातों का समुच्चय है)। इनमें से कई समस्याओं का अध्ययन [[हार्डी-लिटिलवुड सर्कल विधि]] और [[चलनी सिद्धांत|चलनी]] विधियों से उपकरणों का उपयोग करके किया जाता है। उदाहरण के लिए, विनोग्रादोव ने साबित किया कि प्रत्येक पर्याप्त रूप से बड़ी विषम संख्या तीन अभाज्य संख्याओं का योग है, और इसलिए प्रत्येक पर्याप्त रूप से बड़ा सम पूर्णांक चार अभाज्य संख्याओं का योग है। [[डेविड हिल्बर्ट]] ने सिद्ध किया कि, प्रत्येक पूर्णांक k > 1 के लिए, प्रत्येक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक k-वें घातों की एक सीमित संख्या का योग होता है। सामान्यतः, गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के एक समुच्चय को ऑर्डर h का आधार कहा जाता है यदि hA में सभी धनात्मक पूर्णांक होते हैं, और इसे अनंतस्पर्शी आधार कहा जाता है यदि hA में पर्याप्त रूप से बड़े पूर्णांक होते हैं। इस क्षेत्र में बहुत से वर्तमान शोध परिमित क्रम के सामान्य स्पर्शोन्मुख आधारों के गुणों से संबंधित हैं। उदाहरण के लिए, एक समुच्चय ए को ऑर्डर एच का न्यूनतम अनंतस्पर्शी आधार कहा जाता है यदि ए ऑर्डर एच का एक अनंतस्पर्शी आधार है, लेकिन ए का कोई उचित उपसमुच्चय ऑर्डर एच का एक अनंतस्पर्शी आधार नहीं है। यह साबित हो गया है कि सभी एच के लिए ऑर्डर h के न्यूनतम अनंतस्पर्शी आधार सम्मिलित हैं, और ऑर्डर एच के अनंतस्पर्शी आधार भी सम्मिलित हैं जिनमें ऑर्डर एच के कोई न्यूनतम अनंतस्पर्शी आधार नहीं हैं। विचार करने के लिए एक अन्य प्रश्न यह है कि स्पर्शोन्मुख आधार में h तत्वों के योग के रूप में n के निरूपण की संख्या कितनी कम हो सकती है। यह योज्य आधारों पर एर्डोस-तुरान अनुमान की सामग्री है। | |||
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Revision as of 17:38, 9 May 2023
योज्य संख्या सिद्धांत संख्या सिद्धांत का उपक्षेत्र है जो पूर्णांकों के उपसमुच्चय और योग के अंतर्गत उनके व्यवहार के अध्ययन से संबंधित है। अधिक सारगर्भित रूप से, योज्य संख्या सिद्धांत के क्षेत्र में विनिमेय समूहों का अध्ययन और जोड़ के संचालन के साथ क्रमविनिमेय अर्धसमूह सम्मिलित हैं। योज्य संख्या सिद्धांत का संयोजक संख्या सिद्धांत और संख्याओं की ज्यामिति के साथ घनिष्ठ संबंध है। अध्ययन की दो प्रमुख वस्तुएँ विनिमेय समूह G के तत्वों के दो उपसमुच्चय A और B का योग हैं,
और A का h-गुना योग,
योज्य संख्या सिद्धांत
क्षेत्र मुख्य रूप से (आमतौर पर) पूर्णांकों पर प्रत्यक्ष समस्याओं पर विचार करने के लिए समर्पित है, अर्थात, A की संरचना से hA की संरचना का निर्धारण करना: उदाहरण के लिए, यह निर्धारित करना कि किन तत्वों को hA से योग के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहाँ A एक है निश्चित उपसमुच्चय।[1] इस प्रकार की दो शास्त्रीय समस्याएँ हैं गोल्डबैक अनुमान (जो अनुमान है कि 2P में दो से अधिक सभी सम संख्याएँ हैं, जहाँ P अभाज्य संख्याओं का समुच्चय है) और वारिंग की समस्या (जो पूछती है कि hAk में सभी सम्मिलित हैं की गारंटी के लिए h कितना बड़ा होना चाहिए धनात्मक पूर्णांक, जहाँ
k-वें घातों का समुच्चय है)। इनमें से कई समस्याओं का अध्ययन हार्डी-लिटिलवुड सर्कल विधि और चलनी विधियों से उपकरणों का उपयोग करके किया जाता है। उदाहरण के लिए, विनोग्रादोव ने साबित किया कि प्रत्येक पर्याप्त रूप से बड़ी विषम संख्या तीन अभाज्य संख्याओं का योग है, और इसलिए प्रत्येक पर्याप्त रूप से बड़ा सम पूर्णांक चार अभाज्य संख्याओं का योग है। डेविड हिल्बर्ट ने सिद्ध किया कि, प्रत्येक पूर्णांक k > 1 के लिए, प्रत्येक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक k-वें घातों की एक सीमित संख्या का योग होता है। सामान्यतः, गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के एक समुच्चय को ऑर्डर h का आधार कहा जाता है यदि hA में सभी धनात्मक पूर्णांक होते हैं, और इसे अनंतस्पर्शी आधार कहा जाता है यदि hA में पर्याप्त रूप से बड़े पूर्णांक होते हैं। इस क्षेत्र में बहुत से वर्तमान शोध परिमित क्रम के सामान्य स्पर्शोन्मुख आधारों के गुणों से संबंधित हैं। उदाहरण के लिए, एक समुच्चय ए को ऑर्डर एच का न्यूनतम अनंतस्पर्शी आधार कहा जाता है यदि ए ऑर्डर एच का एक अनंतस्पर्शी आधार है, लेकिन ए का कोई उचित उपसमुच्चय ऑर्डर एच का एक अनंतस्पर्शी आधार नहीं है। यह साबित हो गया है कि सभी एच के लिए ऑर्डर h के न्यूनतम अनंतस्पर्शी आधार सम्मिलित हैं, और ऑर्डर एच के अनंतस्पर्शी आधार भी सम्मिलित हैं जिनमें ऑर्डर एच के कोई न्यूनतम अनंतस्पर्शी आधार नहीं हैं। विचार करने के लिए एक अन्य प्रश्न यह है कि स्पर्शोन्मुख आधार में h तत्वों के योग के रूप में n के निरूपण की संख्या कितनी कम हो सकती है। यह योज्य आधारों पर एर्डोस-तुरान अनुमान की सामग्री है।
यह भी देखें
- शैप्ली-फोकमैन लेम्मा
- गुणक संख्या सिद्धांत
संदर्भ
- ↑ Nathanson (1996) II:1
- Henry Mann (1976). Addition Theorems: The Addition Theorems of Group Theory and Number Theory (Corrected reprint of 1965 Wiley ed.). Huntington, New York: Robert E. Krieger Publishing Company. ISBN 0-88275-418-1.
- Nathanson, Melvyn B. (1996). Additive Number Theory: The Classical Bases. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 164. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94656-X. Zbl 0859.11002.
- Nathanson, Melvyn B. (1996). Additive Number Theory: Inverse Problems and the Geometry of Sumsets. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 165. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94655-1. Zbl 0859.11003.
- Tao, Terence; Vu, Van (2006). Additive Combinatorics. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 105. Cambridge University Press.
