परिमेय फलन

For ऑटोमेटा सिद्धांत में उपयोग, see परिमित-ट्रांसड्यूसर स्थिति. For मोनोइड सिद्धांत में उपयोग, see परिमेय फलन (मोनॉयड).

गणित में, एक परिमेय फलन कोई भी फलन है जिसे परिमेय भिन्न द्वारा परिभाषित किया जा सकता है, जो एक बीजीय भिन्न इस प्रकार है कि अंश और हर दोनों बहुपद हैं। बहुपदों के गुणांकों का परिमेय संख्या होना आवश्यक नहीं है; उन्हें किसी भी क्षेत्र (गणित) K में लिया जा सकता है। इस मामले में, हम K के ऊपर एक परिमेय फलन और एक परिमेय भिन्न की बात करते हैं। चरों के मान K वाले किसी भी क्षेत्र L में लिए जा सकते हैं। तब डोमेन (फ़ंक्शन) का प्रांत चरों के मानों का समुच्चय होता है जिसके लिए हर शून्य नहीं है, और कोडोमेन L है।

एक क्षेत्र K पर परिमेय फलनों का समुच्चय एक क्षेत्र है, जो K के ऊपर बहुपद फलनों के वलय (गणित) के भिन्नों का क्षेत्र है।

परिभाषाएं

एक फलन $f(x)$ को परिमेय फलन हम तभी कह सकते है जब इसे इस रूप में लिखा जाता है

$f(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}$

जहाँ $P\,$ और $Q\,$ के बहुपद फलन हैं, $x\,$ और $Q\,$ शून्य फलन नहीं है। $f\,$ का प्रांत $x\,$ के सभी मानों का समुच्चय है, जिसके लिए हर $Q(x)\,$ शून्य नहीं है।

हालाँकि, यदि $\textstyle P$ और $\textstyle Q$ में एक गैर-स्थिर बहुपद सबसे बड़ा सामान्य भाजक $\textstyle R$ है, तब $\textstyle P=P_{1}R$ और $\textstyle Q=Q_{1}R$ को सेट करने से एक परिमेय फलन उत्पन्न होता है

$f_{1}(x)={\frac {P_{1}(x)}{Q_{1}(x)}},$

जिसका डोमेन $f(x)$ से बड़ा हो सकता है और यह $f(x)$ के प्रांत पर $f(x).$ के बराबर है। यह $f(x)$ और $f_{1}(x)$ की पहचान करने के लिए एक सामान्य उपयोग है, यानी $f(x)$ के डोमेन को "निरंतरता से" $f_{1}(x).$ के डोमेन तक विस्तारित करना है। उसके इस मान के लिए वास्तव में, एक परिमेय भिन्न को बहुपदों के भिन्नों के तुल्यता वर्ग के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जहाँ दो भिन्न ${\frac {A(x)}{B(x)}}$ तथा ${\frac {C(x)}{D(x)}}$ को यदि $A(x)D(x)=B(x)C(x)$ हो तब इन्हें समकक्ष माना जाता है। इस मामले में ${\frac {P(x)}{Q(x)}}$ के बराबर है ${\frac {P_{1}(x)}{Q_{1}(x)}}$.

एक उचित परिमेय फलन एक परिमेय फलन है जिसमें के बहुपद की घात $P(x)$ की डिग्री से कम है $Q(x)$ और दोनों वास्तविक बहुपद हैं, जिन्हें एक भिन्न के सादृश्य द्वारा नामित किया गया है जिसमें उचित और अनुचित भिन्न $\mathbb {Q}$ है।

डिग्री

एक तर्कसंगत कार्य की डिग्री के बारे में कई गैर समकक्ष परिभाषाएं हैं।

सामान्यतः, एक परिमेय फलन की घात उसके संघटक बहुपदों P और Q की घातों का अधिकतम होता है। जब भिन्न को निम्नतम पदों पर घटाया जाता है। यदि f की घात d है, तो समीकरण कुछ इस प्रकार होगा-

$f(z)=w\,$

w के कुछ मानों को छोड़कर z में d विशिष्ट समाधान हैं, जिसे हम महत्वपूर्ण मूल्य कहते हैं, जहां दो या दो से अधिक समाधान मेल खाते हैं या जहां कुछ समाधान अनंत पर बिंदु को खारिज कर दिया जाता है (अर्थात, जब हर को साफ करने के बाद समीकरण की डिग्री घट जाती है)।

जटिल संख्या के मामले में डिग्री एक के साथ एक तर्कसंगत कार्य एक मोबियस परिवर्तन है।

एक परिमेय फलन के ग्राफ की डिग्री वह डिग्री नहीं है जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है, यह अंश की डिग्री का अधिकतम और हर की डिग्री का एक प्लस है।

कुछ संदर्भों में, जैसे कि स्पर्शोन्मुख विश्लेषण में, एक तर्कसंगत कार्य की डिग्री अंश और हर की डिग्री के बीच का अंतर है। नेटवर्क संश्लेषण और नेटवर्क विश्लेषण (विद्युत सर्किट) में, डिग्री दो का एक तर्कसंगत कार्य (अर्थात, घात के दो बहुपदों का अनुपात अधिकतम दो) को अक्सर द्विघात फलन कहा जाता है।

उदाहरण

Examples of rational functions

Rational function of degree 3, with a graph of degree 3: $y={\frac {x^{3}-2x}{2(x^{2}-5)}}$

Rational function of degree 2, with a graph of degree 3: $y={\frac {x^{2}-3x-2}{x^{2}-4}}$

तर्कसंगत कार्य

$f(x)={\frac {x^{3}-2x}{2(x^{2}-5)}}$

पर परिभाषित नहीं है

$x^{2}=5\Leftrightarrow x=\pm {\sqrt {5}}.$

यह स्पर्शोन्मुख है ${\tfrac {x}{2}}$ जैसा $x\to \infty .$ तर्कसंगत कार्य

$f(x)={\frac {x^{2}+2}{x^{2}+1}}$

सभी वास्तविक संख्या ओं के लिए परिभाषित किया गया है, लेकिन सभी जटिल संख्याओं के लिए नहीं, क्योंकि यदि x का वर्गमूल $-1$ था (अर्थात काल्पनिक इकाई या नकारात्मक इकाई), तो औपचारिक मूल्यांकन शून्य से विभाजन की ओर ले जाएगा:

$f(i)={\frac {i^{2}+2}{i^{2}+1}}={\frac {-1+2}{-1+1}}={\frac {1}{0}},$

जो कि अपरिभाषित है।

एक स्थिर फलन जैसे f(x) =π एक परिमेय फलन है क्योंकि अचर बहुपद होते हैं। फलन स्वयं परिमेय है, भले ही f(x) का मान सभी x के लिए अपरिमेय हो।

प्रत्येक बहुपद फलन$f(x)=P(x)$, $Q(x)=1.$ के साथ एक परिमेय फलन है। एक फ़ंक्शन जिसे इस रूप में नहीं लिखा जा सकता है, जैसे $f(x)=\sin(x),$ एक परिमेय फलन नहीं है।

हालांकि, विशेषण "तर्कहीन" आमतौर पर कार्यों के लिए उपयोग नहीं किया जाता है।

परिमेय फलन $f(x)={\tfrac {x}{x}}$ 0 को छोड़कर सभी x के लिए 1 के बराबर है, जहां हटाने योग्य विलक्षणता है। दो परिमेय फलनों का योग, गुणनफल या भागफल (शून्य बहुपद द्वारा भाग को छोड़कर) अपने आप में एक परिमेय फलन है। हालांकि, मानक रूप में कमी की प्रक्रिया अनजाने में ऐसी विलक्षणताओं को हटाने में परिणत हो सकती है जब तक कि सावधानी न बरती जाए। परिमेय फलन की परिभाषा का उपयोग करते हुए तुल्यता वर्ग इसके आसपास हो जाता है, क्योंकि x/x, 1/1 के बराबर है।

टेलर श्रृंखला

किसी भी परिमेय फलन की टेलर श्रेणी के गुणांक एक रेखीय पुनरावर्तन संबंध को संतुष्ट करते हैं, जो कि परिमेय फलन को एक टेलर श्रृंखला के अनिश्चित गुणांकों के साथ जोड़कर और हर के मान को खत्म करने के बाद समान पदों को एकत्रित करके पाया जा सकता है।

उदाहरण के लिए,

${\frac {1}{x^{2}-x+2}}=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}.$

हर से गुणा करना और बांटना,

$1=(x^{2}-x+2)\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}$

$1=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k+2}-\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k+1}+2\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}.$

x की घात को समान करने के लिए योगों के सूचकांकों को समायोजित किया जाता हैं जैसे-

$1=\sum _{k=2}^{\infty }a_{k-2}x^{k}-\sum _{k=1}^{\infty }a_{k-1}x^{k}+2\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}.$

समान पदों का संयोजन देता है

$1=2a_{0}+(2a_{1}-a_{0})x+\sum _{k=2}^{\infty }(a_{k-2}-a_{k-1}+2a_{k})x^{k}.$

चूंकि यह मूल टेलर श्रृंखला के अभिसरण की त्रिज्या में सभी मान x के लिए उपयुक्त है, इस प्रकार हम निम्नानुसार इसकी गणना कर सकते हैं। इस प्रकार बायीं ओर का अचर पद दायीं ओर के अचर पद के बराबर होना चाहिए, जो कि इस प्रकार है

$a_{0}={\frac {1}{2}}.$

इस प्रकार बाईं ओर x की कोई घात नहीं है इसलिए दाईं ओर के सभी गुणांक शून्य होने चाहिए, इसे हम इस प्रकार प्रदर्शित कर सकते हैं-

$a_{1}={\frac {1}{4}}$

$a_{k}={\frac {1}{2}}(a_{k-1}-a_{k-2})\quad {\text{for}}\ k\geq 2.$

इसके विपरीत, कोई भी अनुक्रम जो एक रैखिक पुनरावृत्ति को संतुष्ट करता है, एक टेलर श्रृंखला के गुणांक के रूप में उपयोग किए जाने पर एक तर्कसंगत कार्य निर्धारित करता है। यह ऐसी पुनरावृत्तियों को हल करने में उपयोगी है, चूंकि आंशिक अंश अपघटन का उपयोग करके हम किसी भी उचित परिमेय फलन को 1 / (ax + b) के रूप के गुणनखंडों के योग के रूप में लिख सकते हैं। और हम इनका विस्तार ज्यामितीय श्रृंखला के रूप में भी कर सकते हैं, जो टेलर गुणांकों के लिए एक स्पष्ट सूत्र देता है; यह कार्यों को उत्पन्न करने की विधि है।

सार बीजगणित और ज्यामितीय धारणा

अमूर्त बीजगणित में औपचारिक अभिव्यक्तियों को शामिल करने के लिए बहुपद की अवधारणा का विस्तार किया जाता है जिसमें बहुपद के गुणांक किसी भी क्षेत्र से लिए जा सकते हैं। जिसमें बहुपद के गुणांक किसी भी क्षेत्र से लिए जा सकते हैं। इस सेटिंग में एक फ़ील्ड F और कुछ अनिश्चित X दिया गया है,एक परिमेय व्यंजक बहुपद वलय F[X] के भिन्नों के क्षेत्र का कोई भी अवयव है। किसी भी परिमेय व्यंजक को Q 0 वाले दो बहुपद P/Q के भागफल के रूप में लिखा जा सकता है, हालाँकि यह निरूपण अद्वितीय नहीं है।

P/Q बहुपदों P, Q, R, और S के लिए R/S के समतुल्य है, जब PS = QR है। हालाँकि, चूँकि F[X] एक अद्वितीय गुणनखंडन डोमेन है, किसी भी तर्कसंगत अभिव्यक्ति P/Q के लिए एक अद्वितीय प्रतिनिधित्व है जिसमें P और Q सबसे कम डिग्री के बहुपद हैं और Q को मोनिक बहुपद चुना गया है। यह उसी तरह है जैसे पूर्णांकों का एक अंश (गणित) हमेशा सामान्य कारकों को रद्द करके सबसे कम शब्दों में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है।

परिमेय व्यंजकों के क्षेत्र को F(X) से दर्शाया जाता है। कहा जाता है कि यह क्षेत्र एफ पर (एक अधिक प्रवीण तत्व) एक्स द्वारा उत्पन्न (एक क्षेत्र के रूप में) उत्पन्न होता है, क्योंकि F(X) में कोई उचित उपक्षेत्र नहीं है जिसमें F और तत्व X दोनों हों।

जटिल तर्कसंगत कार्य

जूलिया सेट तर्कसंगत नक्शे के लिए सेट करता है

f(z)=1 over az5+z3+bz.png| ${\frac {1}{az^{5}+z^{3}+bz}}$ जूलिया सेट f(z)=1 over z3+z*(-3-3*I).png|${\frac {1}{z^{3}+z(-3-3i)}}$ जूलिया के लिए f(z)=(z2+a) over (z2+b) a=-0.2+0.7i , b=0.917.png|${\frac {z^{2}-0.2+0.7i}{z^{2}+0.917}}$ जूलिया f(z)= . के लिए सेटz2 over (z9-z+0.025).png| ${\frac {z^{2}}{z^{9}-z+0.025}}$ </गैलरी>

जटिल विश्लेषण में, एक तर्कसंगत फलन

$f(z)={\frac {P(z)}{Q(z)}}$

जटिल गुणांक वाले दो बहुपदों का अनुपात है, जहाँ Q शून्य बहुपद नहीं है और P और Q का कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है (यह f को अनिश्चित मान 0/0 लेने से बचाता है)।

f का प्रांत सम्मिश्र संख्याओं का समुच्चय है

जैसे कि $Q(z)\neq 0$

प्रत्येक परिमेय फलन को स्वाभाविक रूप से एक फलन तक बढ़ाया जा सकता है जिसका डोमेन और रेंज संपूर्ण रीमैन क्षेत्र ( जटिल प्रक्षेप्य रेखा ) है। परिमेय फलन मेरोमॉर्फिक फ़ंक्शन के प्रतिनिधि उदाहरण हैं। रीमैन क्षेत्र पर तर्कसंगत कार्यों (नक्शे) का पुनरावृत्ति असतत गतिशील प्रणाली बनाता है।

एक बीजीय विविधता पर एक परिमेय फलन की धारणा

Main article: बीजीय किस्म का कार्य क्षेत्र

बहुपदों की तरह, परिमेय व्यंजकों को भी n अनिश्चित X₁,..., X_n, के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। F[X₁,..., X_n] के भिन्नों का क्षेत्र लेकर, जिसे F(X₁,..., X_n) द्वारा दर्शाया जाता है। बीजगणितीय ज्यामिति में परिमेय फलन के अमूर्त विचार का एक विस्तारित संस्करण प्रयोग किया जाता है। वहां एक बीजीय किस्म वी का कार्य क्षेत्र वी के समन्वय रिंग के अंशों के क्षेत्र के रूप में बनता है (अधिक सटीक रूप से कहा जाता है, एक ज़रिस्की-घने ​​एफ़िन ओपन सेट वी में)। इसके तत्वों f को नियमित कार्य माना जाता है जो गैर-रिक्त खुले सेट यू पर बीजगणितीय ज्यामिति के अर्थ में है, और इसे प्रक्षेप्य रेखा के रूपवाद के रूप में भी देखा जा सकता है।

आवेदन

परिमेय कार्यों का उपयोग संख्यात्मक विश्लेषण में कार्यों के प्रक्षेप और सन्निकटन के लिए किया जाता है, उदाहरण के लिए हेनरी पाडे द्वारा पेश किए गए पाडे सन्निकटन। तर्कसंगत कार्यों के संदर्भ में अनुमान कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियों और अन्य संख्यात्मक सॉफ़्टवेयर के लिए उपयुक्त हैं। बहुपदों की तरह, उनका सीधा मूल्यांकन किया जा सकता है, और साथ ही वे बहुपदों की तुलना में अधिक विविध व्यवहार व्यक्त करते हैं। विज्ञान और अभियंत्रिकी में अधिक जटिल समीकरणों को अनुमानित या मॉडल करने के लिए तर्कसंगत कार्यों का उपयोग किया जाता है जिसमें भौतिकी में क्षेत्र और बल, विश्लेषणात्मक रसायन विज्ञान में स्पेक्ट्रोस्कोपी, जैव रसायन में एंजाइम ऊष्मागतिकी, इलेक्ट्रॉनिक परिपथ, वायुगतिकी, विवो में दवा सांद्रता, परमाणुओं और अणुओं के लिए तरंग कार्य, छवि संकल्प में सुधार के लिए प्रकाशिकी और फोटोग्राफी, और ध्वनिकी और ध्वनि शामिल हैं।

सिग्नल प्रोसेसिंग में, लाप्लास ट्रांसफॉर्म (निरंतर सिस्टम के लिए) या z-परिणत (असतत समय सिस्टम के लिए) आमतौर पर इस्तेमाल किए जाने वाले रैखिक समय अपरिवर्तनीय सिस्टम (फिल्टर) के आवेग प्रतिक्रिया के साथ अनंत आवेग प्रतिक्रिया जटिल संख्याओं पर तर्कसंगत कार्य हैं।

यह भी देखें

• भिन्नों का क्षेत्र
• आंशिक अंश अपघटन
• एकीकरण में आंशिक अंश
• एक बीजीय किस्म का कार्य क्षेत्र
• बीजीय भिन्न – तर्कसंगत कार्यों का एक सामान्यीकरण जो पूर्णांक जड़ों को लेने की अनुमति देता है

संदर्भ

• "Rational function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Press, W.H.; Teukolsky, S.A.; Vetterling, W.T.; Flannery, B.P. (2007), "Section 3.4. Rational Function Interpolation and Extrapolation", Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8

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• माइक्रोस्कोप
• इंजीनियरिंग के चित्र
• रेखापुंज छवि
• नक्शा
• हार्डवेयर एक्सिलरेशन
• अंधेरा
• गैर-समान तर्कसंगत बी-तख़्ता
• नक्शा टक्कर
• चुम्बकीय अनुनाद इमेजिंग
• नमूनाकरण (सिग्नल प्रोसेसिंग)
• sculpting
• आधुनिक कला का संग्रहालय
• गेम डेवलपर्स कांफ्रेंस
• शैक्षिक
• आपूर्ती बंद करने की आवृत्ति
• प्रतिक्रिया (इलेक्ट्रॉनिक्स)
• अण्डाकार फिल्टर
• सीरिज़ सर्किट)
• मिलान जेड-ट्रांसफॉर्म विधि
• कंघी फ़िल्टर
• समूह देरी
• सप्टक
• दूसरों से अलग
• लो पास फिल्टर
• निर्देश प्रति सेकंड
• अंकगणित अतिप्रवाह
• चरण (लहरें)
• हस्तक्षेप (लहर प्रसार)
• बीट (ध्वनिक)
• अण्डाकार तर्कसंगत कार्य
• जैकोबी अण्डाकार कार्य
• क्यू कारक
• यूनिट सर्कल
• फी (पत्र)
• सुनहरा अनुपात
• मोनोटोनिक
• Immittance
• ऑप एंप
• आवेग invariance
• बेसेल फ़ंक्शन
• जटिल सन्युग्म
• संकेत प्रतिबिंब
• विद्युतीय ऊर्जा
• इनपुट उपस्थिति
• एकदिश धारा
• जटिल संख्या
• भार प्रतिबाधा
• विद्युतचुंबकीय व्यवधान
• बिजली की आपूर्ति
• आम-कैथोड
• अवमन्दन कारक
• ध्वनिरोधन
• गूंज (घटना)
• फ्रेस्नेल समीकरण
• रोड़ी
• लोडिंग कॉइल
• आर एस होयतो
• लोड हो रहा है कॉइल
• चेबीशेव बहुपद
• एक बंदरगाह
• सकारात्मक-वास्तविक कार्य
• आपूर्ती बंद करने की आवृत्ति
• उच्च मार्ग
• रैखिक फ़िल्टर
• प्रतिक दर
• घेरा
• नॉन-रिटर्न-टू-जीरो
• अनियमित चर
• संघ बाध्य
• एकाधिक आवृत्ति-शिफ्ट कुंजीयन
• COMPARATOR
• द्विआधारी जोड़
• असंबद्ध संचरण
• त्रुटि समारोह
• आपसी जानकारी
• बिखरा हुआ1
• डिजिटल मॉडुलन
• डिमॉड्युलेटर
• कंघा
• खड़ी तरंगें
• नमूना दर
• प्रक्षेप
• ऑडियो सिग्नल प्रोसेसिंग
• खगोल-कंघी
• खास समय
• पोल (जटिल विश्लेषण)
• दुर्लभ
• आरसी सर्किट
• अवरोध
• स्थिर समय
• एक घोड़ा
• पुनरावृत्ति संबंध
• निष्क्रिय फिल्टर
• श्रव्य सीमा
• मिक्सिंग कंसोल
• एसी कपलिंग
• क्यूएससी ऑडियो
• संकट
• दूसरों से अलग
• डीएसएल मॉडम
• फाइबर ऑप्टिक संचार
• व्यावर्तित जोड़ी
• बातचीत का माध्यम
• समाक्षीय तार
• लंबी दूरी का टेलीफोन कनेक्शन
• डाउनस्ट्रीम (कंप्यूटर विज्ञान)
• आवृत्ति द्वैध
• आवृत्ति प्रतिक्रिया
• आकड़ों की योग्यता
• परीक्षण के अंतर्गत उपकरण
• कंघी फिल्टर
• निष्क्रियता (इंजीनियरिंग)
• लाभ (इलेक्ट्रॉनिक्स)
• कोने की आवृत्ति
• फील्ड इफ़ेक्ट ट्रांजिस्टर
• कम आवृत्ति दोलन
• एकीकृत परिपथ
• निरंतर-प्रतिरोध नेटवर्क
• यूनिट सर्कल
• अधिकतम प्रयोग करने योग्य आवृत्ति
• विशेषता समीकरण (कलन)
• लहर संख्या
• वेवगाइड (प्रकाशिकी)
• लाप्लासियान
• वेवनंबर
• अपवर्तन तरंग
• एकतरफा बहुपद
• एकपदी की डिग्री
• एक बहुपद का क्रम (बहुविकल्पी)
• रैखिक प्रकार्य
• कामुक समीकरण
• चतुर्थक कार्य
• क्रमसूचक अंक
• त्रिनाम
• इंटीग्रल डोमेन
• सदिश स्थल
• फील्ड (गणित)
• सेट (गणित)
• अंगूठी (गणित)
• पूर्णांक मॉड्यूल n
• लोगारित्म
• घातांक प्रकार्य
• एल्गोरिदम का विश्लेषण
• बीजगणित का मौलिक प्रमेय
• डिजिटल डाटा
• प्रारंभ करनेवाला
• ध्वनि दाब स्तर
• साधारण सेल
• निरंतर संकेत
• व्यावर्तित जोड़ी
• आवृत्ति स्पेक्ट्रम
• जुड़वां सीसा
• नेटवर्क विश्लेषण (विद्युत सर्किट)
• सैटेलाइट टेलीविज़न
• एक बहुपद की घात
• क्यू कारक
• निविष्टी की हानि
• खड़ी लहर
• गांठदार घटक
• गांठदार तत्व मॉडल
• विरोधी गूंज
• वितरित तत्व फ़िल्टर
• मिटटी तेल
• बहुपथ हस्तक्षेप
• पहली पीढ़ी का कंप्यूटर
• ऊर्जा परिवर्तन
• उपकरण को मापना
• ऊर्जा का रूप
• repeatability
• प्रतिक्रिया (इंजीनियरिंग)
• बिजली का शोर
• संचार प्रणाली
• चुंबकीय कारतूस
• स्पर्श संवेदक
• ध्वनि परावर्तन
• उज्ज्वल दीपक
• द्वितीय विश्व युद्ध के दौरान प्रौद्योगिकी
• शोर (इलेक्ट्रॉनिक्स)
• फिल्टर सिद्धांत
• डिप्लेक्सर
• हार्मोनिक विकृति
• आस्पेक्ट अनुपात
• लॉर्ड रेले
• हंस बेथे
• संतुलित जोड़ी
• असंतुलित रेखा
• भिन्नात्मक बैंडविड्थ
• स्वतंत्रता की डिग्री (भौतिकी और रसायन विज्ञान)
• देरी बराबरी
• अधिष्ठापन
• लाइनों के संचालन पर संकेतों का प्रतिबिंब
• परावर्तन गुणांक
• कसने वाला नट
• कम तापमान सह-निकाल दिया सिरेमिक
• हवाई जहाज
• परावैद्युतांक
• ऊष्मीय चालकता
• वैफ़ल आयरन
• नकारात्मक प्रतिरोध एम्पलीफायर
• आधार मिलान
• इस्पात मिश्र धातु
• लाउडस्पीकर बाड़े
• ताकत
• दोहरी प्रतिबाधा
• गांठदार-तत्व मॉडल
• गैरपेशेवर रेडियो
• भंवर धारा
• चीनी मिट्टी
• विद्युत यांत्रिक युग्मन गुणांक
• भाग प्रति अरब
• आपसी अधिष्ठापन
• शिखर से शिखर तक
• वारैक्टर
• पीस (अपघर्षक काटने)
• स्पंदित लेजर बयान
• ध्रुव (जटिल विश्लेषण)
• कम उत्तीर्ण
• ऑपरेशनल एंप्लीफायर
• YIG क्षेत्र
• अनुरूप संकेत
• सभा की भाषा
• घुमाव
• निश्चित बिंदु अंकगणित
• डेटा पथ
• पता पीढ़ी इकाई
• बुंदाडा इटाकुरा
• मोशन वेक्टर
• SE444
• गति मुआवजा
• भाषा संकलन
• पीएमओएस तर्क
• तंग पाश
• अंकगणितीय तर्क इकाई
• ट्राईमीडिया (मीडिया प्रोसेसर)
• कृत्रिम होशियारी
• एक चिप पर सिस्टम
• पुनर्निर्माण फिल्टर
• नमूनाकरण (सिग्नल प्रोसेसिंग)
• तेजी से अनुमानित एंटी-अलियासिंग
• नमूनाचयन आवृत्ति
• डिजीटल
• फ़िल्टर बैंक
• स्थानीय थरथरानवाला
• सुपरहेटरोडाइन रिसीवर
• यव (रोटेशन)
• चूरा लहर
• पीजोइलेक्ट्रिक सामग्री की सूची
• स्कैनिंग जांच माइक्रोस्कोपी
• पिकअप (संगीत प्रौद्योगिकी)
• विद्युतीय संभाव्यता
• टोपाज़
• पहला विश्व युद्ध
• गूंज (घटना)
• गन्ना की चीनी
• वेक्टर क्षेत्र
• चार्ज का घनत्व
• खिसकाना
• वोइगट नोटेशन
• मैडेलुंग स्थिरांक
• लिथियम टैंटलेट
• पीतल
• काल्कोजन
• ध्रुवीय अर्धचालकों में गैर रेखीय पीजोइलेक्ट्रिक प्रभाव
• पैरीलीन
• फोजी
• संपर्क माइक्रोफ़ोन
• गैर विनाशकारी परीक्षण
• उठाओ (संगीत प्रौद्योगिकी)
• स्कैनिंग टनलिंग माइक्रोस्कोप
• रॉबर्ट बॉश GmbH
• चुम्बकीय अनुनाद इमेजिंग
• सार्वजनिक रेल
• गुहिकायन
• उच्च तीव्रता केंद्रित अल्ट्रासाउंड
• थरथरानवाला
• घड़ी की नाड़ी
• टकराव
• तार की रस्सी
• अत्यंत सहनशक्ति
• उपज (इंजीनियरिंग)
• लोहे के अपरूप
• समुंद्री जहाज
• क्रिस्टल लैटिस
• हथियार, शस्त्र
• आधारभूत संरचना
• रॉकेट्स
• अस्थिभंग बेरहमी
• एनीलिंग (धातु विज्ञान)
• तड़के (धातु विज्ञान)
• औजार
• ग्रीनहाउस गैस का उत्सर्जन
• बोरान
• अलॉय स्टील
• ताँबा
• नरम लोहा
• क्रस्ट (भूविज्ञान)
• लकड़ी का कोयला
• धातु थकान
• निष्क्रियता (रसायन विज्ञान)
• उच्च गति स्टील
• प्रमुख
• कमरे का तापमान
• शरीर केंद्रित घन
• चेहरा केंद्रित घन
• अनाज सीमाएं
• तलछट
• शरीर केंद्रित चतुष्कोणीय
• अपरूपण तनाव
• काम सख्त
• शारीरिक संपीड़न
• अनाज के आकार में वृद्धि
• वसूली (धातु विज्ञान)
• उष्मा उपचार
• निरंतर ढलाई
• इनगट
• कास्टिंग (धातु का काम)
• हॉट रोलिंग
• इबेरिआ का प्रायद्वीप
• श्री लंका
• युद्धरत राज्यों की अवधि
• हान साम्राज्य
• क्लासिकल एंटिक्विटी
• Tissamaharama तमिल ब्राह्मी शिलालेख
• चेरा डायनेस्टी
• पैगोपोलिस के ज़ोसिमोस
• तत्व का पता लगाएं
• कम कार्बन अर्थव्यवस्था
• गीत राजवंश
• फाइनरी फोर्ज
• तुलसी ब्रुक (धातुकर्मी)
• मामले को मजबूत बनाना
• लौह अयस्क
• खुली चूल्हा भट्टी
• उत्थान और पतन
• इस्पात उत्पादकों की सूची
• कम मिश्र धातु स्टील
• एचएसएलए स्टील
• दोहरे चरण स्टील
• हॉट डिप गल्वनाइजिंग
• तेजी से सख्त होना
• बढ़ने की योग्यता
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• नाखून (इंजीनियरिंग)
• हाथ - या
• खुदाई
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• सफेद वस्तुओं
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• मशीन की
• ताप विस्तार प्रसार गुणांक
• नकारात्मक प्रतिपुष्टि
• गर्म करने वाला तत्व
• घड़ी
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• अरेखीय प्रकाशिकी
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• खरोंच कठोरता
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• पारदर्शिता और पारदर्शिता
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• कैल्सेडनी
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• नीला रंग)
• खनिज कठोरता का मोह पैमाना
• क्षुद्रग्रह (रत्न विज्ञान)
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• रूपांतरित चट्टान
• धरती
• परिपक्वता (तलछट विज्ञान)
• नस (भूविज्ञान)
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• पाषाण प्रौद्योगिकी
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• पियर्स थरथरानवाला
• पतली फिल्म मोटाई मॉनिटर
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• एलसी थरथरानवाला
• सामरिक सामग्री
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• प्रति-चुंबकीय
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• वर्गमूल औसत का वर्ग
• वर्गमूल औसत का वर्ग
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• रॉयल सिग्नल और रडार स्थापना
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• लोंगिट्युडिनल वेव
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• विकिरण स्वरुप
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• क्षेत्र रेखा
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• क्रिस्टलोग्राफिक दोष
• एनिस्ट्रोपिक
• अपवित्रता
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• किरोपोलोस विधि
• वर्न्यूइल विधि
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• अतिसंतृप्ति
• इलेक्ट्रिकल कंडक्टीविटी
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• क्रिस्टल की संरचना
• कम ऊर्जा इलेक्ट्रॉन विवर्तन
• कोण-समाधानित प्रकाश उत्सर्जन स्पेक्ट्रोस्कोपी
• आंशिक क्रिस्टलीकरण (रसायन विज्ञान)
• अलकाली धातु
• सीज़ियम-133
• नापाक
• दूसरा
• रेडियोआइसोटोप
• उत्सर्जन चित्र
• लचीलापन
• चमक (खनिज)
• प्रकाश द्वारा सहज प्रभावित
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• काल्कोजन
• लुईस बेस
• सीज़ियम फ्लोराइड
• आदिम कोशिका
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• नाभिकीय चुबकीय अनुनाद
• परमाणु समावयवी
• विखंडन उत्पाद उपज
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• आयोडीन के समस्थानिक
• पृथ्वी का वातावरण
• परमाणु नतीजा
• भाग प्रति दस लाख
• फिटकिरी
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• माध्यमिक आयन मास स्पेक्ट्रोमेट्री
• तौल और माप पर सामान्य सम्मेलन
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• डिफरेंशियल सेंट्रीफ्यूजेशन
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• सीज़ियम के समस्थानिक
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• प्रेरित उत्सर्जन
• ईसा पूर्व
• उत्तर सिल्क रोड
• पुराना वसीयतनामा
• नीतिवचन की किताब
• पलायन की किताब
• रवि
• एनीओलाइट
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• संगति (भौतिकी)
• भौतिकी में नोबेल पुरस्कार
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• कट्टरपंथी (रसायन विज्ञान)
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• सितारा
• सक्रिय गांगेय नाभिक
• दृश्य प्रकाश
• उपनाम (सीजन 3)
• काइजु
• उपनाम (टीवी श्रृंखला)
• गुणक
• मीटर
• शून्य समारोह
• फ़ंक्शन का डोमेन
• कम शर्तें
• समाशोधन भाजक
• एक बीजीय किस्म की डिग्री
• मूल्य (गणित)
• निरंतर कार्य
• समान शब्द
• पुनरावृत्ति संबंध
• स्थायी अवधि
• आंशिक अंश
• जियोमीट्रिक श्रंखला
• निर्माण कार्य
• अद्वितीय गुणनखंड डोमेन
• अपरिवर्तनीय अंश
• सार बीजगणित
• समन्वय की अंगूठी
• एक बीजीय किस्म का कार्य क्षेत्र
• कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली

बाहरी संबंध

• Dynamic visualization of rational functions with JSXGraph