शुबर्ट कैलकुलस: Difference between revisions

Revision as of 19:27, 15 May 2023

गणित में, शुबर्ट गणना (कैलकुलस) बीजगणितीय ज्यामिति की एक शाखा है, जिसे उन्नीसवीं शताब्दी में हर्मन शूबर्ट द्वारा प्रस्तुत किया गया था, ताकि प्रक्षेपी ज्यामिति (गणना ज्यामिति का भाग) की विभिन्न गणना की समस्याओं को संशोधन किया जा सके। यह कई और आधुनिक सिद्धांतों का प्रणेता था, उदाहरण के लिए विशेषता वर्ग, और विशेष रूप से इसके एल्गोरिथम स्वरूप अभी भी वर्तमान रुचि के हैं। वाक्यांश "शुबर्ट गणना" का उपयोग कभी-कभी रैखिक उप-समष्टि की गणनात्मक ज्यामिति के अर्थ के लिए किया जाता है, जो सामान्य रूप से ग्रासमैनियन की कोहोलॉजी वलय का वर्णन करने के बराबर होता है, और कभी-कभी गैर-रैखिक किस्मों के अधिक सामान्य गणनात्मक ज्यामिति का अर्थ होता है। इससे भी अधिक सामान्य रूप से, "श्यूबर्ट गणना" को प्रायः सामान्यीकृत कोहोलॉजी सिद्धांतों में समान प्रश्नों के अध्ययन को सम्मिलित करने के लिए समझा जाता है।

शुबर्ट द्वारा प्रस्तुत की गई वस्तुएँ शुबर्ट कोशिकाएँ हैं, जो किसी दिए गए चिन्ह (रैखिक बीजगणित) के साथ प्रक्षेपीय समष्टि में एक रेखीय उप-समष्टि की विस्तार (ज्यामिति) की स्थितियों द्वारा परिभाषित ग्रासमैनियन में स्थानीय रूप से संवृत समुच्चय हैं। अधिक जानकारी के लिए शुबर्ट किस्म देखें।

इन कोशिकाओं का प्रतिच्छेदन सिद्धांत, जिसे संबंधित कोहोलॉजी वर्गो के ग्रासमैनियन के कोहोलॉजी वलय में गुणनफल संरचना के रूप में देखा जा सकता है, सिद्धांत रूप में उन स्थितियों की भविष्यवाणी की स्वीकृति देता है जहां कोशिकाओं के प्रतिच्छेदन के परिणामस्वरूप बिंदुओं का एक परिमित समुच्चय होता है, जो गणनात्मक प्रश्नों के संभावित मूर्त उत्तर होते हैं। एक सहायक सैद्धांतिक परिणाम यह है कि शुबर्ट कोशिकाएं (या बल्कि, उनकी कक्षाएं) पूरे कोहोलॉजी वलय का विस्तार करती हैं।

जैसे ही कोशिकाओं को अनुक्रमित किया जाना है, विस्तृत गणनाओं में संयोजी स्वरूपों को दर्ज किया जाता है। ग्रासमानियन से उत्थापन मे, जो एक सजातीय समष्टि है, उस पर कार्य करने वाले सामान्य रैखिक समूह के लिए, इसी तरह के प्रश्न ब्रुहाट विघटन और परवलयिक उपसमूहो (ब्लॉक आव्यूह द्वारा) के वर्गीकरण में सम्मिलित हैं।

हिल्बर्ट की पन्द्रहवीं समस्या शुबर्ट की प्रणाली को एक दृढ़ आधार पर स्थापित करना है।

निर्माण

शूबर्ट गणना का निर्माण ग्रासमानियन के चाउ वलय का उपयोग करके किया जा सकता है जहां ज्यामितीय रूप से सार्थक डेटा द्वारा उत्पन्न चक्रों का प्रतिनिधित्व किया जाता है।^[1] $G(k,V)$ को निश्चित $n$ -आयामी सदिश समष्टि $V$ मे k-तलों के ग्रासमानियन के रूप में निरूपित करें, और $A^{*}(G(k,V))$ इसकी चाउ वलय पर ध्यान दें कि कभी-कभी ग्रासमानियन को इस रूप $G(k,n)$ में दर्शाया जाता है। यदि सदिश समष्टि स्पष्ट रूप से नहीं दिया गया है। यादृच्छिक रूप से पूर्ण ध्वज ${\mathcal {V}}$ से संबद्ध

$0\subset V_{1}\subset \cdots \subset V_{n-1}\subset V_{n}=V$

और एक घटता हुआ $k$ -पूर्णांकों का समूह $\mathbf {a} =(a_{1},\ldots ,a_{k})$ जहां

$n-k\geq a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{k}\geq 0$

च्यूबर्ट चक्र (जिन्हें चाउ वलय के अतिरिक्त कोशिकीय समरूपता पर विचार करते समय शुबर्ट कोशिका कहा जाता है) हैं जिसे $\Sigma _{\mathbf {a} }({\mathcal {V}})\subset G(k,V)$ के रूप में परिभाषित किया गया है

$\Sigma _{\mathbf {a} }({\mathcal {V}})=\{\Lambda \in G(k,V):\dim(V_{n-k+i-a_{i}}\cap \Lambda )\geq i{\text{ for all }}i\geq 1\}$

चूंकि वर्ग $[\Sigma _{\mathbb {a} }({\mathcal {V}})]\in A^{*}(G(k,V))$ पूर्ण चिन्ह पर निर्भर नहीं करता है, जिसे वर्ग के रूप में लिखा जा सकता है

$\sigma _{\mathbb {a} }:=[\Sigma _{\mathbb {a} }]\in A^{*}(G(k,V))$

जिन्हें शूबर्ट वर्ग कहा जाता है। यह दिखाया जा सकता है कि ये वर्ग चाउ वलय उत्पन्न करते हैं, और संबद्ध प्रतिच्छेदन सिद्धांत को शूबर्ट गणना कहा जाता है। दिए गए अनुक्रम पर ध्यान दें $\mathbb {a} =(a_{1},\ldots ,a_{j},0,\ldots ,0)$ शुबर्ट वर्ग $\sigma _{(a_{1},\ldots ,a_{j},0,\ldots ,0)}$ सामान्य रूप से सिर्फ $\sigma _{(a_{1},\ldots ,a_{j})}$ के रूप में दर्शाया जाता है। साथ ही, एक पूर्णांक $\sigma _{a_{1}}$ द्वारा दिए गए शूबर्ट वर्ग को विशेष वर्ग कहा जाता है। नीचे गिआम्बेली सूत्र का उपयोग करके इन विशेष वर्गों से सभी शुबर्ट वर्ग उत्पन्न किए जा सकते हैं।

स्पष्टीकरण

परिभाषा की व्याख्या करने के लिए, एक सामान्य $k$ -तल $\Lambda \subset V$ पर विचार करें: इसमें $V_{j}$ के लिए $j\leq n-k$ के साथ केवल एक शून्य प्रतिच्छेदन होगा, जबकि $\dim(V_{j}\cap \Lambda )=i$ के लिए $j=n-k+i\geq n-k$ का प्रतिच्छेदन होगा। उदाहरण के लिए, $G(4,9)$ में $4$ -तल $\Lambda$ पांच स्वतंत्र सजातीय रैखिक समीकरणों की प्रणाली का समाधान समष्टि है। उप-समष्टि $V_{j}$ तक सीमित $j=\dim V_{j}\leq 5=9-4$ ये समीकरण सामान्य रूप से विस्तारित होंगे, जिस स्थिति में समाधान समष्टि ( $V_{j}$ का प्रतिच्छेदन $\Lambda$ ) में केवल शून्य सदिश सम्मिलित होगा। हालाँकि, एक बार $\dim(V_{j})+\dim(\Lambda )>n=9$ , तब $V_{j}$ और $\Lambda$ आवश्यक रूप से अशून्य प्रतिच्छेदन होगा। उदाहरण के लिए $V_{6}$ और $\Lambda$ के प्रतिच्छेदन का अपेक्षित आयाम $1$ है, तब $V_{7}$ और $\Lambda$ के प्रतिच्छेदन का अपेक्षित आयाम $2$ है और इसी तरह आगे भी होगा।

शुबर्ट चक्र की परिभाषा बताती है कि $\dim(V_{j}\cap \Lambda )\geq i$ के साथ j का पहला मान सामान्य रूप से अपेक्षित मान $n-k+i$ से छोटा पैरामीटर $a_{i}$ है। $k$ -तल $\Lambda \subset V$ इन बाधाओं द्वारा दिए गए तब $G(k,n)$ की विशेष उप-किस्मों को परिभाषित करते हैं।^[1]

गुण

समावेशन

सभी $k$ -टपल पर एक आंशिक क्रम है जहाँ $\mathbb {a} \geq \mathbb {b}$ यदि $a_{i}\geq b_{i}$ प्रत्येक $i$ के लिए है। यह शुबर्ट चक्रों को सम्मिलित करता है

$\Sigma _{\mathbb {a} }\subset \Sigma _{\mathbb {b} }\iff a\geq b$

सूचकांकों में वृद्धि दिखाना उप-किस्मों के और भी अधिक विशेषज्ञता के अनुरूप है।

सह-आयाम सूत्र

शूबर्ट चक्र $\Sigma _{\mathbb {a} }$ का सह-आयाम है

$\sum a_{i}$

जो ग्रासमानियन के समावेशन के अंतर्गत स्थिर है। अर्थात समावेशन

$i:G(k,n)\hookrightarrow G(k+1,n+1)$

प्रत्येक $k$ -तल में अतिरिक्त आधार तत्व $e_{n+1}$ जोड़कर दिया जाता है, एक $(k+1)$ -तल देते हुए, गुण है

$i^{*}(\sigma _{\mathbb {a} })=\sigma _{\mathbb {a} }$

इसके अतिरिक्त, समावेशन

$j:G(k,n)\hookrightarrow G(k,n+1)$

$k$ -तल को सम्मिलित करने से दिया गया समान पुलबैक गुण है।

प्रतिच्छेदन गुणनफल

प्रतिच्छेदन गुणनफल को सबसे पहले पियरी और गियाम्बेली सूत्रों का उपयोग करके स्थापित किया गया था।

पियरी सूत्र

विशेष स्थिति में $\mathbb {b} =(b,0,\ldots ,0)$ के गुणनफल का एक स्पष्ट सूत्र $\sigma _{b}$ है, यादृच्छिक शुबर्ट वर्ग $\sigma _{a_{1},\ldots ,a_{k}}$ के द्वारा दिया गया

$\sigma _{b}\cdot \sigma _{a_{1},\ldots ,a_{k}}=\sum _{\begin{matrix}|c|=|a|+b\\a_{i}\leq c_{i}\leq a_{i-1}\end{matrix}}\sigma _{\mathbb {c} }$

$|\mathbb {a} |=a_{1}+\cdots +a_{k}$ पर ध्यान दें, इस सूत्र को पियरी सूत्र कहा जाता है और गिआम्बेली सूत्र के साथ संयुक्त होने पर किसी भी दो शूबर्ट वर्गों के प्रतिच्छेदन गुणनफल को निर्धारित करने के लिए उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए

$\sigma _{1}\cdot \sigma _{4,2,1}=\sigma _{5,2,1}+\sigma _{4,3,1}+\sigma _{4,2,1,1}$

और

$\sigma _{2}\cdot \sigma _{4,3}=\sigma _{4,3,2}+\sigma _{4,4,1}+\sigma _{5,3,1}+\sigma _{5,4}+\sigma _{6,3}$

गिआम्बेली सूत्र

दो या दो से अधिक लंबाई वाले टुपल्स वाले शुबर्ट वर्गों को केवल एक टपल के वर्गों का उपयोग करके एक निर्धारक समीकरण के रूप में वर्णित किया जा सकता है। गियाम्बेली सूत्र समीकरण के रूप में पढ़ता है

$\sigma _{(a_{1},\ldots ,a_{k})}={\begin{vmatrix}\sigma _{a_{1}}&\sigma _{a_{1}+1}&\sigma _{a_{1}+2}&\cdots &\sigma _{a_{1}+k-1}\\\sigma _{a_{2}-1}&\sigma _{a_{2}}&\sigma _{a_{2}+1}&\cdots &\sigma _{a_{2}+k-2}\\\sigma _{a_{3}-2}&\sigma _{a_{3}-1}&\sigma _{a_{3}}&\cdots &\sigma _{a_{3}+k-3}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\sigma _{a_{k}-k+1}&\sigma _{a_{k}-k+2}&\sigma _{a_{k}-k+3}&\cdots &\sigma _{a_{k}}\end{vmatrix}}$

$(k,k)$ -आव्यूह के निर्धारक द्वारा दिया जाता है। उदाहरण के लिए,

$\sigma _{2,2}={\begin{vmatrix}\sigma _{2}&\sigma _{3}\\\sigma _{1}&\sigma _{2}\end{vmatrix}}=\sigma _{2}^{2}-\sigma _{1}\cdot \sigma _{3}$

और

$\sigma _{2,1,1}={\begin{vmatrix}\sigma _{2}&\sigma _{3}&\sigma _{4}\\\sigma _{0}&\sigma _{1}&\sigma _{2}\\0&\sigma _{0}&\sigma _{1}\end{vmatrix}}$

चेर्न वर्गों के साथ संबंध

ग्रासमेनियन $G(k,n)$ पर दो प्राकृतिक वेक्टर बंडलों के चेर्न वर्गों का उपयोग करते हुए ग्रासमैनियन के कोहोलॉजी वलय, या चाउ वलय का एक आसान विवरण है। वेक्टर बंडलों का एक क्रम है $0\to T\to {\underline {V}}\to Q\to 0$

जहाँ ${\underline {V}}$ पद $n$ का तुच्छ सदिश बंडल $\Lambda \in G(k,n)$ पर $T$ का सूत्र उपसमष्टि $\Lambda \subset V$ है, और $Q$ भागफल सदिश बंडल है जो प्रत्येक सूत्रों पर पद स्थिर होने के बाद से सम्मिलित है। इन दो संबद्ध बंडलों के चेर्न वर्ग हैं

$c_{i}(T)=(-1)^{i}\sigma _{(1,\ldots ,1)}$

जहाँ $(1,\ldots ,1)$ एक $i$ -टुपल और

$c_{i}(Q)=\sigma _{i}$

पुनरुक्तात्मक अनुक्रम तब चाउ वलय की प्रस्तुति के रूप में देता है

$A^{*}(G(k,n))={\frac {\mathbb {Z} [c_{1}(T),\ldots ,c_{k}(T),c_{1}(Q),\ldots ,c_{n-k}(Q)]}{(c(T)c(Q)-1)}}$

G(2,4)

विश्लेषण किए गए उत्कृष्ट उदाहरणों में से एक ग्रासमैनियन $G(2,4)$ है क्योंकि यह $\mathbb {P} ^{3}$ में रेखाओ को पैरामीटर करता है। घनीय सतह पर रेखाओं की संख्या ज्ञात करने के लिए शूबर्ट गणना का उपयोग किया जा सकता है।

चाउ वलय

चाउ वलय में प्रस्तुति है

$A^{*}(G(2,4))={\frac {\mathbb {Z} [\sigma _{1},\sigma _{1,1},\sigma _{2}]}{((1-\sigma _{1}+\sigma _{1,1})(1+\sigma _{1}+\sigma _{2})-1)}}$

और एक श्रेणीबद्ध एबेलियन समूह के रूप में में यह दिया जाता है

${\begin{aligned}A^{0}(G(2,4))&=\mathbb {Z} \cdot 1\\A^{2}(G(2,4))&=\mathbb {Z} \cdot \sigma _{1}\\A^{4}(G(2,4))&=\mathbb {Z} \cdot \sigma _{2}\oplus \mathbb {Z} \cdot \sigma _{1,1}\\A^{6}(G(2,4))&=\mathbb {Z} \cdot \sigma _{2,1}\\A^{8}(G(2,4))&=\mathbb {Z} \cdot \sigma _{2,2}\\\end{aligned}}$ ^[2]

घन सतह पर रेखाएं

इस चाउ वलय का उपयोग घनीय सतह पर रेखाओ की संख्या की गणना करने के लिए किया जा सकता है।^[1] और $\mathbb {P} ^{3}$ मे एक रेखा का खंडन करे जो $\mathbb {A} ^{4}$ की दो उपसमष्टि को एक आयाम $\mathbb {G} (1,3)\cong G(2,4)$ देती है, इस तरह, एक रेखा के समीकरण को एक खंड $\Gamma (\mathbb {G} (1,3),T^{*})$ के रूप में दिया जा सकता है। एक घन सतह के बाद से $X$ एक सामान्य सजातीय घन बहुपद $s\in \Gamma (\mathbb {G} (1,3),{\text{Sym}}^{3}(T^{*}))$ के रूप में दिया जाता है, यह एक सामान्य खंड के रूप में दिया जाता है फिर, एक रेखा $L\subset \mathbb {P} ^{3}$ की एक उप-प्रजाति $X$ है यदि और केवल यदि खंड $[L]\in \mathbb {G} (1,3)$ नष्ट हो जाता है इसलिए, ${\text{Sym}}^{3}(T^{*})$ का यूलर वर्ग $\mathbb {G} (1,3)$ पर एकीकृत किया जा सकता है। उन बिंदुओं की संख्या प्राप्त करने के लिए जहां सामान्य खंड $\mathbb {G} (1,3)$ नष्ट हो जाता है यूलर वर्ग प्राप्त करने के लिए, चेर्न का कुल वर्ग $T^{*}$ गणना की जानी चाहिए, जिसे $c(T^{*})=1+\sigma _{1}+\sigma _{1,1}$ के रूप में दिया गया है।

तब, विभाजन सूत्र को औपचारिक समीकरण के रूप में पढ़ा जाता है

${\begin{aligned}c(T^{*})&=(1+\alpha )(1+\beta )\\&=1+\alpha +\beta +\alpha \cdot \beta \end{aligned}}$

जहाँ $c({\mathcal {L}})=1+\alpha$ और $c({\mathcal {M}})=1+\beta$ औपचारिक रेखा बंडलों के लिए ${\mathcal {L}},{\mathcal {M}}$ है। बंटन का समीकरण संबंध $\sigma _{1}=\alpha +\beta$ और $\sigma _{1,1}=\alpha \cdot \beta$ से प्राप्त होता है। चूंकि ${\text{Sym}}^{3}(T^{*})$ औपचारिक सदिश बंडलों के प्रत्यक्ष योग के रूप में पढ़ा जा सकता है

${\text{Sym}}^{3}(T^{*})={\mathcal {L}}^{\otimes 3}\oplus ({\mathcal {L}}^{\otimes 2}\otimes {\mathcal {M}})\oplus ({\mathcal {L}}\otimes {\mathcal {M}}^{\otimes 2})\oplus {\mathcal {M}}^{\otimes 3}$

जिसकी कुल चेर्न वर्ग है

$c({\text{Sym}}^{3}(T^{*}))=(1+3\alpha )(1+2\alpha +\beta )(1+\alpha +2\beta )(1+3\beta )$

इसलिए

${\begin{aligned}c_{4}({\text{Sym}}^{3}(T^{*}))&=3\alpha (2\alpha +\beta )(\alpha +2\beta )3\beta \\&=9\alpha \beta (2(\alpha +\beta )^{2}+\alpha \beta )\\&=9\sigma _{1,1}(2\sigma _{1}^{2}+\sigma _{1,1})\\&=27\sigma _{2,2}\end{aligned}}$

तथ्य का उपयोग

$\sigma _{1,1}\cdot \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2,1}\sigma _{1}=\sigma _{2,2}$ और $\sigma _{1,1}\cdot \sigma _{1,1}=\sigma _{2,2}$

फिर, समाकलन है

$\int _{\mathbb {G} (1,3)}27\sigma _{2,2}=27$

चूंकि $\sigma _{2,2}$ शीर्ष वर्ग है। इसलिए $27$ एक घन सतह पर रेखाएँ हैं।

यह भी देखें

संख्यात्मक ज्यामिति
चाउ वलय
प्रतिच्छेदन सिद्धांत
ग्रासमैनियन
गियाम्बेली का सूत्र
पियरी का सूत्र
चेर्न वर्ग
वृत्त तिगुना
दर्पण समरूपता अनुमान

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 ^1.2 3264 and All That (PDF). pp. 132, section 4.1, 200, section 6.2.1.
↑ Katz, Sheldon. गणनात्मक ज्यामिति और स्ट्रिंग थ्योरी. p. 96.

Summer school notes http://homepages.math.uic.edu/~coskun/poland.html
Phillip Griffiths and Joseph Harris (1978), Principles of Algebraic Geometry, Chapter 1.5
Kleiman, Steven (1976). "Rigorous foundations of Schubert's enumerative calculus". In Felix E. Browder (ed.). Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. Vol. XXVIII.2. American Mathematical Society. pp. 445–482. ISBN 0-8218-1428-1.
Steven Kleiman and Dan Laksov (1972). "Schubert calculus" (PDF). American Mathematical Monthly. 79: 1061–1082. doi:10.2307/2317421.
Sottile, Frank (2001) [1994], "शुबर्ट कैलकुलस", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
David Eisenbud and Joseph Harris (2016), "3264 and All That: A Second Course in Algebraic Geometry".

[:0-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 3264 and All That (PDF). pp. 132, section 4.1, 200, section 6.2.1.

[2] Katz, Sheldon. गणनात्मक ज्यामिति और स्ट्रिंग थ्योरी. p. 96.

[1]

[2]

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-{{more footnotes|date=October 2016}}
+गणित में, '''शुबर्ट गणना''' ('''कैलकुलस''') बीजगणितीय ज्यामिति की एक शाखा है, जिसे उन्नीसवीं शताब्दी में हर्मन शूबर्ट द्वारा प्रस्तुत किया गया था, ताकि प्रक्षेपी ज्यामिति (गणना ज्यामिति का भाग) की विभिन्न गणना की समस्याओं को संशोधन किया जा सके। यह कई और आधुनिक सिद्धांतों का प्रणेता था, उदाहरण के लिए विशेषता वर्ग, और विशेष रूप से इसके एल्गोरिथम स्वरूप अभी भी वर्तमान रुचि के हैं। वाक्यांश "शुबर्ट गणना" का उपयोग कभी-कभी रैखिक उप-समष्टि की गणनात्मक ज्यामिति के अर्थ के लिए किया जाता है, जो सामान्य रूप से ग्रासमैनियन की कोहोलॉजी वलय का वर्णन करने के बराबर होता है, और कभी-कभी गैर-रैखिक किस्मों के अधिक सामान्य गणनात्मक ज्यामिति का अर्थ होता है। इससे भी अधिक सामान्य रूप से, "श्यूबर्ट गणना" को प्रायः सामान्यीकृत कोहोलॉजी सिद्धांतों में समान प्रश्नों के अध्ययन को सम्मिलित करने के लिए समझा जाता है।
-गणित में, शुबर्ट कैलकुलस [[बीजगणितीय ज्यामिति]] की एक शाखा है, जिसे उन्नीसवीं शताब्दी में [[हरमन शुबर्ट]] द्वारा पेश किया गया था, ताकि [[प्रक्षेपी ज्यामिति]] (गणना ज्यामिति का हिस्सा) की विभिन्न गिनती की समस्याओं को हल किया जा सके। यह कई और आधुनिक सिद्धांतों का अग्रदूत था, उदाहरण के लिए [[विशेषता वर्ग]], और विशेष रूप से इसके एल्गोरिथम पहलू अभी भी वर्तमान रुचि के हैं। शूबर्ट कैलकुलस वाक्यांश का प्रयोग कभी-कभी रेखीय उप-स्थानों की [[गणनात्मक ज्यामिति]] के अर्थ के लिए किया जाता है, जो मोटे तौर पर ग्रासमैनियनों की [[कोहोलॉजी रिंग]] का वर्णन करने के बराबर होता है, और कभी-कभी गैर-रैखिक किस्मों के अधिक सामान्य गणनात्मक ज्यामिति का अर्थ होता है। इससे भी अधिक आम तौर पर, शूबर्ट कैलकुलस को अक्सर [[सामान्यीकृत कोहोलॉजी सिद्धांत]]ों में समान प्रश्नों के अध्ययन को शामिल करने के लिए समझा जाता है।
+शुबर्ट द्वारा प्रस्तुत की गई वस्तुएँ शुबर्ट कोशिकाएँ हैं, जो किसी दिए गए चिन्ह (रैखिक बीजगणित) के साथ प्रक्षेपीय समष्टि में एक रेखीय उप-समष्टि की [[घटना (ज्यामिति)|विस्तार (ज्यामिति)]] की स्थितियों द्वारा परिभाषित ग्रासमैनियन में [[स्थानीय रूप से बंद|स्थानीय रूप से]] संवृत समुच्चय हैं। अधिक जानकारी के लिए शुबर्ट किस्म देखें।
-Schubert द्वारा पेश की गई वस्तुएँ Schubert कोशिकाएँ हैं, जो किसी दिए गए फ़्लैग (रैखिक बीजगणित) के साथ प्रोजेक्टिव स्पेस में एक रेखीय उप-स्थान की [[घटना (ज्यामिति)]] की स्थितियों द्वारा परिभाषित ग्रासमैनियन में [[स्थानीय रूप से बंद]] सेट हैं। विवरण के लिए [[शुबर्ट किस्म]] देखें।
+इन कोशिकाओं का [[प्रतिच्छेदन सिद्धांत]], जिसे संबंधित [[कोहोलॉजी वर्ग|कोहोलॉजी वर्गो]] के ग्रासमैनियन के कोहोलॉजी वलय में गुणनफल संरचना के रूप में देखा जा सकता है, सिद्धांत रूप में उन स्थितियों की भविष्यवाणी की स्वीकृति देता है जहां कोशिकाओं के प्रतिच्छेदन के परिणामस्वरूप बिंदुओं का एक परिमित समुच्चय होता है, जो गणनात्मक प्रश्नों के संभावित मूर्त उत्तर होते हैं। एक सहायक सैद्धांतिक परिणाम यह है कि शुबर्ट कोशिकाएं (या बल्कि, उनकी कक्षाएं) पूरे कोहोलॉजी वलय का विस्तार करती हैं।
-इन कोशिकाओं का [[प्रतिच्छेदन सिद्धांत]], जिसे संबंधित [[कोहोलॉजी वर्ग]]ों के ग्रासमैनियन के कोहोलॉजी रिंग में उत्पाद संरचना के रूप में देखा जा सकता है, सिद्धांत रूप में उन मामलों की भविष्यवाणी की अनुमति देता है जहां कोशिकाओं के प्रतिच्छेदन के परिणामस्वरूप बिंदुओं का एक परिमित सेट होता है, जो संभावित रूप से गणनात्मक प्रश्नों के ठोस उत्तर। एक सहायक सैद्धांतिक परिणाम यह है कि शुबर्ट कोशिकाएं (या बल्कि, उनकी कक्षाएं) पूरे कोहोलॉजी रिंग को फैलाती हैं।
+जैसे ही कोशिकाओं को अनुक्रमित किया जाना है, विस्तृत गणनाओं में संयोजी स्वरूपों को दर्ज किया जाता है। [[ग्रासमानियन]] से उत्थापन मे, जो एक [[सजातीय स्थान|सजातीय समष्टि]] है, उस पर कार्य करने वाले [[सामान्य रैखिक समूह]] के लिए, इसी तरह के प्रश्न ब्रुहाट विघटन और [[परवलयिक उपसमूह|परवलयिक उपसमूहो]] ([[ब्लॉक मैट्रिक्स|ब्लॉक आव्यूह]] द्वारा) के वर्गीकरण में सम्मिलित हैं।
-जैसे ही कोशिकाओं को अनुक्रमित किया जाना है, विस्तृत गणनाओं में संयोजी पहलुओं को दर्ज किया जाता है। [[ग्रासमानियन]] से उठाया गया, जो एक [[सजातीय स्थान]] है, उस पर कार्य करने वाले [[सामान्य रैखिक समूह]] के लिए, इसी तरह के प्रश्न ब्रुहाट अपघटन और [[परवलयिक उपसमूह]]ों ([[ब्लॉक मैट्रिक्स]] द्वारा) के वर्गीकरण में शामिल हैं।
+हिल्बर्ट की पन्द्रहवीं समस्या शुबर्ट की प्रणाली को एक दृढ़ आधार पर स्थापित करना है।
-हिल्बर्ट की पन्द्रहवीं समस्या शुबर्ट की प्रणाली को एक कठोर आधार पर स्थापित करना है।
 == निर्माण ==
-शूबर्ट कैलकुलस का निर्माण ग्रासमानियन के [[चाउ रिंग]] का उपयोग करके किया जा सकता है जहां ज्यामितीय रूप से सार्थक डेटा द्वारा उत्पन्न चक्रों का प्रतिनिधित्व किया जाता है।<ref name=":0">{{Cite book|url=https://scholar.harvard.edu/files/joeharris/files/000-final-3264.pdf|title=3264 and All That|pages=132, section 4.1; 200, section 6.2.1}}</ref> निरूपित <math>G(k,V)</math> ग्रासमैनियन के रूप में <math>k</math>-एक निश्चित में विमान <math>n</math>-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष <math>V</math>, और <math>A^*(G(k,V)) </math> इसकी चाउ रिंग; ध्यान दें कि कभी-कभी ग्रासमानियन को इस रूप में दर्शाया जाता है <math>G(k,n)</math> यदि सदिश स्थान स्पष्ट रूप से नहीं दिया गया है। मनमाने ढंग से पूर्ण ध्वज से संबद्ध <math>\mathcal{V}</math><ब्लॉककोट><math>0 \subset V_1 \subset \cdots \subset V_{n-1} \subset V_n = V</math></blockquote>और एक घटता हुआ <math>k</math>-पूर्णांकों का समूह <math>\mathbf{a} = (a_1,\ldots, a_k)</math> जहां <ब्लॉककोट><math>n-k \geq a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_k \geq 0</math></blockquote>च्यूबर्ट चक्र हैं (जिन्हें चाउ रिंग के बजाय सेलुलर होमोलॉजी पर विचार करते समय शुबर्ट सेल कहा जाता है) <math>\Sigma_{\mathbf{a}}(\mathcal{V}) \subset G(k,V)</math> <ब्लॉककोट> के रूप में परिभाषित किया गया है<math>\Sigma_{\mathbf{a}}(\mathcal{V}) = \{ \Lambda \in G(k,V) : \dim (V_{n-k +i - a_i} \cap \Lambda) \geq i \text{ for all } i \geq 1   \}</math></blockquote>कक्षा के बाद से <math>[\Sigma_{\mathbb{a}}(\mathcal{V})] \in A^*(G(k,V))</math> पूर्ण ध्वज पर निर्भर नहीं है, वर्ग को <ब्लॉककोट> के रूप में लिखा जा सकता है<math>\sigma_{\mathbb{a}} := [\Sigma_{\mathbb{a}}] \in A^*(G(k,V)) </math></blockquote>जिन्हें शूबर्ट क्लास कहा जाता है। यह दिखाया जा सकता है कि ये वर्ग चाउ रिंग उत्पन्न करते हैं, और संबद्ध प्रतिच्छेदन सिद्धांत को शूबर्ट कैलकुलस कहा जाता है। नोट एक क्रम दिया <math>\mathbb{a} = (a_1,\ldots, a_j, 0, \ldots, 0)</math> शुबर्ट वर्ग <math>\sigma_{(a_1,\ldots, a_j,0,\ldots,0)}</math> सामान्य रूप से न्यायसंगत के रूप में निरूपित किया जाता है <math>\sigma_{(a_1,\ldots, a_j)}</math>. साथ ही, एक पूर्णांक द्वारा दी गई शुबर्ट कक्षाएं, <math>\sigma_{a_1}</math>, विशेष वर्ग कहलाते हैं। नीचे गिआम्बेली सूत्र का उपयोग करके, इन विशेष वर्गों से सभी शुबर्ट वर्ग उत्पन्न किए जा सकते हैं।
+शूबर्ट गणना का निर्माण ग्रासमानियन के [[चाउ रिंग|चाउ वलय]] का उपयोग करके किया जा सकता है जहां ज्यामितीय रूप से सार्थक डेटा द्वारा उत्पन्न चक्रों का प्रतिनिधित्व किया जाता है।<ref name=":0">{{Cite book|url=https://scholar.harvard.edu/files/joeharris/files/000-final-3264.pdf|title=3264 and All That|pages=132, section 4.1; 200, section 6.2.1}}</ref> <math>G(k,V)</math> को निश्चित <math>n</math>-आयामी सदिश समष्टि <math>V</math> मे k-तलों के ग्रासमानियन के रूप में निरूपित करें, और <math>A^*(G(k,V)) </math> इसकी चाउ वलय पर ध्यान दें कि कभी-कभी ग्रासमानियन को इस रूप <math>G(k,n)</math> में दर्शाया जाता है। यदि सदिश समष्टि स्पष्ट रूप से नहीं दिया गया है। यादृच्छिक रूप से पूर्ण ध्वज <math>\mathcal{V}</math> से संबद्ध<blockquote>
+<math>0 \subset V_1 \subset \cdots \subset V_{n-1} \subset V_n = V</math></blockquote>
+और एक घटता हुआ <math>k</math>-पूर्णांकों का समूह <math>\mathbf{a} = (a_1,\ldots, a_k)</math> जहां <blockquote>
+<math>n-k \geq a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_k \geq 0</math></blockquote>
+च्यूबर्ट चक्र (जिन्हें चाउ वलय के अतिरिक्त कोशिकीय समरूपता पर विचार करते समय शुबर्ट कोशिका कहा जाता है) हैं जिसे <math>\Sigma_{\mathbf{a}}(\mathcal{V}) \subset G(k,V)</math> के रूप में परिभाषित किया गया है<blockquote>
+<math>\Sigma_{\mathbf{a}}(\mathcal{V}) = \{ \Lambda \in G(k,V) : \dim (V_{n-k +i - a_i} \cap \Lambda) \geq i \text{ for all } i \geq 1   \}</math></blockquote>
+चूंकि वर्ग <math>[\Sigma_{\mathbb{a}}(\mathcal{V})] \in A^*(G(k,V))</math> पूर्ण चिन्ह पर निर्भर नहीं करता है, जिसे वर्ग के रूप में लिखा जा सकता है<blockquote>
+<math>\sigma_{\mathbb{a}} := [\Sigma_{\mathbb{a}}] \in A^*(G(k,V)) </math></blockquote>
+जिन्हें शूबर्ट वर्ग कहा जाता है। यह दिखाया जा सकता है कि ये वर्ग चाउ वलय उत्पन्न करते हैं, और संबद्ध प्रतिच्छेदन सिद्धांत को शूबर्ट गणना कहा जाता है। दिए गए अनुक्रम पर ध्यान दें <math>\mathbb{a} = (a_1,\ldots, a_j, 0, \ldots, 0)</math> शुबर्ट वर्ग <math>\sigma_{(a_1,\ldots, a_j,0,\ldots,0)}</math> सामान्य रूप से सिर्फ <math>\sigma_{(a_1,\ldots, a_j)}</math> के रूप में दर्शाया जाता है। साथ ही, एक पूर्णांक <math>\sigma_{a_1}</math> द्वारा दिए गए शूबर्ट वर्ग को विशेष वर्ग कहा जाता है। नीचे गिआम्बेली सूत्र का उपयोग करके इन विशेष वर्गों से सभी शुबर्ट वर्ग उत्पन्न किए जा सकते हैं।
 === स्पष्टीकरण ===
-परिभाषा की व्याख्या करने के लिए, एक सामान्य पर विचार करें <math>k</math>-विमान <math>\Lambda \subset V</math>: इसके साथ केवल एक शून्य चौराहा होगा <math>V_j</math> के लिए <math>j \leq n-k</math>, जबकि <math>\dim(V_{j} \cap \Lambda) = i</math> के लिए <math>j = n-k +i \geq n-k</math>. उदाहरण के लिए, में <math>G(4,9)</math>, ए <math>4</math>-विमान <math>\Lambda</math> पांच स्वतंत्र सजातीय रैखिक समीकरणों की प्रणाली का समाधान स्थान है। उप-स्थान तक सीमित होने पर ये समीकरण सामान्य रूप से विस्तारित होंगे <math>V_j</math> साथ <math> j=\dim V_j \leq 5=9-4</math>, जिस स्थिति में समाधान स्थान (का प्रतिच्छेदन  <math>V_j</math> साथ  <math>\Lambda</math>) में केवल शून्य वेक्टर शामिल होगा। हालाँकि, एक बार <math>\dim(V_j) + \dim(\Lambda) > n=9</math>, तब <math>V_j</math> और <math>\Lambda</math> आवश्यक रूप से अशून्य चौराहा होगा। उदाहरण के लिए, प्रतिच्छेदन का अपेक्षित आयाम <math>V_6</math> और <math>\Lambda</math> है <math>1</math>, का चौराहा <math>V_7</math> और <math>\Lambda</math> अपेक्षित आयाम है <math>2</math>, और इसी तरह।
+परिभाषा की व्याख्या करने के लिए, एक सामान्य <math>k</math>-तल <math>\Lambda \subset V</math> पर विचार करें: इसमें <math>V_j</math> के लिए <math>j \leq n-k</math> के साथ केवल एक शून्य प्रतिच्छेदन होगा, जबकि <math>\dim(V_{j} \cap \Lambda) = i</math> के लिए <math>j = n-k +i \geq n-k</math> का प्रतिच्छेदन होगा। उदाहरण के लिए, <math>G(4,9)</math> में <math>4</math>-तल <math>\Lambda</math> पांच स्वतंत्र सजातीय रैखिक समीकरणों की प्रणाली का समाधान समष्टि है। उप-समष्टि <math>V_j</math> तक सीमित <math> j=\dim V_j \leq 5=9-4</math> ये समीकरण सामान्य रूप से विस्तारित होंगे, जिस स्थिति में समाधान समष्टि ( <math>V_j</math> का प्रतिच्छेदन <math>\Lambda</math>) में केवल शून्य सदिश सम्मिलित होगा। हालाँकि, एक बार <math>\dim(V_j) + \dim(\Lambda) > n=9</math>, तब <math>V_j</math> और <math>\Lambda</math> आवश्यक रूप से अशून्य प्रतिच्छेदन होगा। उदाहरण के लिए <math>V_6</math> और <math>\Lambda</math> के प्रतिच्छेदन का अपेक्षित आयाम <math>1</math> है, तब <math>V_7</math> और <math>\Lambda</math> के प्रतिच्छेदन का अपेक्षित आयाम <math>2</math> है और इसी तरह आगे भी होगा।
-शूबर्ट चक्र की परिभाषा बताती है कि का पहला मान <math>j</math> साथ <math>\dim(V_{j} \cap \Lambda) \geq  i</math> अपेक्षित मूल्य से सामान्य रूप से छोटा है <math>n-k +i </math> पैरामीटर द्वारा <math> a_i </math>. <math>k</math>वें>-विमान <math>\Lambda \subset V</math> इन बाधाओं द्वारा दिए गए तो की विशेष उप-किस्मों को परिभाषित करें <math>G(k,n)</math>.<ref name=":0"></ref>
+शुबर्ट चक्र की परिभाषा बताती है कि <math>\dim(V_{j} \cap \Lambda) \geq  i</math> के साथ j का पहला मान सामान्य रूप से अपेक्षित मान <math>n-k +i </math> से छोटा पैरामीटर <math> a_i </math> है। <math>k</math>-तल <math>\Lambda \subset V</math> इन बाधाओं द्वारा दिए गए तब <math>G(k,n)</math> की विशेष उप-किस्मों को परिभाषित करते हैं।<ref name=":0"></ref>
@@ Line 23: / Line 29: @@
 ==== समावेशन ====
-सभी पर आंशिक आदेश है <math>k</math>-tuples कहाँ <math>\mathbb{a} \geq \mathbb{b}</math> अगर <math>a_i \geq b_i</math> हरएक के लिए <math>i</math>. यह Schubert cycles<blockquote> का समावेश देता है<math>\Sigma_{\mathbb{a}} \subset \Sigma_{\mathbb{b}} \iff a \geq b</math></blockquote>सूचकांकों में वृद्धि दिखाना उप-किस्मों के और भी अधिक विशेषज्ञता के अनुरूप है।
+सभी <math>k</math>-टपल पर एक आंशिक क्रम है जहाँ <math>\mathbb{a} \geq \mathbb{b}</math> यदि <math>a_i \geq b_i</math> प्रत्येक <math>i</math> के लिए है। यह शुबर्ट चक्रों को सम्मिलित करता है<blockquote> <math>\Sigma_{\mathbb{a}} \subset \Sigma_{\mathbb{b}} \iff a \geq b</math></blockquote>सूचकांकों में वृद्धि दिखाना उप-किस्मों के और भी अधिक विशेषज्ञता के अनुरूप है।
-==== कोडिमेंशन फॉर्मूला ====
+==== सह-आयाम सूत्र ====
-शुबर्ट चक्र <math>\Sigma_{\mathbb{a}}</math> कोडिमेंशन <ब्लॉककोट> है<math>\sum a_i</math></blockquote>जो ग्रासमानियन के समावेशन के तहत स्थिर है। यानी समावेशन <ब्लॉककोट><math>i: G(k,n) \hookrightarrow G(k+1,n+1)</math></blockquote>अतिरिक्त आधार तत्व जोड़कर दिया गया है <math>e_{n+1}</math> प्रत्येक के लिए <math>k</math>-विमान, दे रहा है <math>(k+1)</math>-प्लेन, के पास <ब्लॉकक्वोट> का गुण होता है<math>i^*(\sigma_{\mathbb{a}}) = \sigma_{\mathbb{a}}</math></blockquote>इसके अलावा, समावेशन<blockquote><math>j:G(k,n) \hookrightarrow G(k,n+1)</math></blockquote> को शामिल करके दिया गया है <math>k</math>-प्लेन में एक ही पुलबैक गुण होता है।
+शूबर्ट चक्र <math>\Sigma_{\mathbb{a}}</math> का सह-आयाम है<blockquote>
+<math>\sum a_i</math> </blockquote>
+जो ग्रासमानियन के समावेशन के अंतर्गत स्थिर है। अर्थात समावेशन <blockquote>
+<math>i: G(k,n) \hookrightarrow G(k+1,n+1)</math></blockquote>
+प्रत्येक <math>k</math>-तल में अतिरिक्त आधार तत्व <math>e_{n+1}</math> जोड़कर दिया जाता है, एक <math>(k+1)</math>-तल देते हुए, गुण है <blockquote>
+<math>i^*(\sigma_{\mathbb{a}}) = \sigma_{\mathbb{a}}</math></blockquote>
+इसके अतिरिक्त, समावेशन<blockquote><math>j:G(k,n) \hookrightarrow G(k,n+1)</math></blockquote> <math>k</math>-तल को सम्मिलित करने से दिया गया समान पुलबैक गुण है।
-=== चौराहा उत्पाद ===
+=== प्रतिच्छेदन गुणनफल ===
-प्रतिच्छेदन उत्पाद को सबसे पहले पियरी और गियाम्बेली फ़ार्मुलों का उपयोग करके स्थापित किया गया था।
+प्रतिच्छेदन गुणनफल को सबसे पहले पियरी और गियाम्बेली सूत्रों का उपयोग करके स्थापित किया गया था।
 ==== पियरी सूत्र ====
-विशेष मामले में <math>\mathbb{b} = (b,0,\ldots, 0)</math>, के उत्पाद का एक स्पष्ट सूत्र है <math>\sigma_b</math> एक मनमाना Schubert वर्ग के साथ <math>\sigma_{a_1,\ldots, a_k}</math> <ब्लॉककोट> द्वारा दिया गया<math>\sigma_b\cdot\sigma_{a_1,\ldots, a_k} = \sum_{
+विशेष स्थिति में <math>\mathbb{b} = (b,0,\ldots, 0)</math> के गुणनफल का एक स्पष्ट सूत्र <math>\sigma_b</math> है, यादृच्छिक शुबर्ट वर्ग <math>\sigma_{a_1,\ldots, a_k}</math> के द्वारा दिया गया<blockquote>
+<math>\sigma_b\cdot\sigma_{a_1,\ldots, a_k} = \sum_{
 \begin{matrix}|c| = |a| + b \\
 a_i \leq c_i \leq a_{i-1}
 \end{matrix}
-} \sigma_{\mathbb{c}}</math></blockquote>ध्यान दें <math>|\mathbb{a}| = a_1 + \cdots + a_k</math>. इस सूत्र को पियरी सूत्र कहा जाता है और गिआम्बेली सूत्र के साथ संयुक्त होने पर किसी भी दो शूबर्ट वर्गों के प्रतिच्छेदन उत्पाद को निर्धारित करने के लिए उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए <ब्लॉककोट><math>\sigma_1 \cdot \sigma_{4,2,1} = \sigma_{5,2,1} + \sigma_{4,3,1} + \sigma_{4,2,1,1} </math></ब्लॉककोट>और<ब्लॉककोट><math>\sigma_2 \cdot \sigma_{4,3} = \sigma_{4,3,2} + \sigma_{4,4,1} + \sigma_{5,3,1} + \sigma_{5,4} + \sigma_{6,3} </math></ब्लॉककोट>
+} \sigma_{\mathbb{c}}</math></blockquote>
+<math>|\mathbb{a}| = a_1 + \cdots + a_k</math> पर ध्यान दें, इस सूत्र को पियरी सूत्र कहा जाता है और गिआम्बेली सूत्र के साथ संयुक्त होने पर किसी भी दो शूबर्ट वर्गों के प्रतिच्छेदन गुणनफल को निर्धारित करने के लिए उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए <blockquote>
+<math>\sigma_1 \cdot \sigma_{4,2,1} = \sigma_{5,2,1} + \sigma_{4,3,1} + \sigma_{4,2,1,1} </math></blockquote>
+और<blockquote>
+<math>\sigma_2 \cdot \sigma_{4,3} = \sigma_{4,3,2} + \sigma_{4,4,1} + \sigma_{5,3,1} + \sigma_{5,4} + \sigma_{6,3} </math></blockquote>
 ==== गिआम्बेली सूत्र ====
-दो या दो से अधिक लंबाई वाले टुपल्स वाले शुबर्ट वर्गों को केवल एक टपल की कक्षाओं का उपयोग करके एक निर्धारक समीकरण के रूप में वर्णित किया जा सकता है। Giambelli सूत्र को समीकरण<blockquote> के रूप में पढ़ा जाता है<math>\sigma_{(a_1,\ldots, a_k)} = \begin{vmatrix}
+दो या दो से अधिक लंबाई वाले टुपल्स वाले शुबर्ट वर्गों को केवल एक टपल के वर्गों का उपयोग करके एक निर्धारक समीकरण के रूप में वर्णित किया जा सकता है। गियाम्बेली सूत्र समीकरण के रूप में पढ़ता है<blockquote> <math>\sigma_{(a_1,\ldots, a_k)} = \begin{vmatrix}
 \sigma_{a_1} & \sigma_{a_1 + 1} & \sigma_{a_1 + 2} & \cdots & \sigma_{a_1 + k - 1} \\
 \sigma_{a_2 - 1} & \sigma_{a_2} & \sigma_{a_2 + 1} & \cdots & \sigma_{a_2 + k - 2} \\
@@ Line 45: / Line 62: @@
 \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 \sigma_{a_k - k + 1} & \sigma_{a_k - k + 2} & \sigma_{a_k - k + 3} & \cdots & \sigma_{a_k}
-\end{vmatrix}</math></blockquote> के निर्धारक द्वारा दिया गया <math>(k,k)</math>-आव्यूह। उदाहरण के लिए, <ब्लॉककोट><math>\sigma_{2,2} = \begin{vmatrix}
+\end{vmatrix}</math></blockquote> <math>(k,k)</math>-आव्यूह के निर्धारक द्वारा दिया जाता है। उदाहरण के लिए,<blockquote> <math>\sigma_{2,2} = \begin{vmatrix}
 \sigma_2 & \sigma_3 \\
 \sigma_1 & \sigma_2
-\end{vmatrix} = \sigma_2^2 - \sigma_1\cdot\sigma_3</math></ब्लॉककोट>और<ब्लॉककोट><math>\sigma_{2,1,1} = \begin{vmatrix}
+\end{vmatrix} = \sigma_2^2 - \sigma_1\cdot\sigma_3</math></blockquote> और<blockquote> <math>\sigma_{2,1,1} = \begin{vmatrix}
 \sigma_2 & \sigma_3 & \sigma_4 \\
 \sigma_0 & \sigma_1 & \sigma_2 \\
 & \sigma_0 & \sigma_1
-\end{vmatrix}</math></ब्लॉककोट>
+\end{vmatrix}</math></blockquote>
-== चेर्न कक्षाओं के साथ संबंध ==
+== चेर्न वर्गों के साथ संबंध ==
-ग्रासमैनियन के ऊपर दो प्राकृतिक वेक्टर बंडलों के चेर्न वर्गों का उपयोग करते हुए ग्रासमैनियन के कोहोलॉजी रिंग, या चाउ रिंग का एक आसान विवरण है। <math>G(k,n)</math>. वेक्टर बंडलों <ब्लॉककोट> का एक क्रम है<math>0 \to T \to \underline{V} \to Q \to 0</math></blockquote>कहाँ <math>\underline{V}</math> रैंक का तुच्छ वेक्टर बंडल है <math>n</math>, का फाइबर <math>T</math> ऊपर <math>\Lambda \in G(k,n)</math> उपक्षेत्र है <math>\Lambda \subset V</math>, और <math>Q</math> भागफल सदिश बंडल है (जो प्रत्येक तंतुओं पर रैंक स्थिर होने के बाद से मौजूद है)। इन दो संबद्ध बंडलों की चेर्न क्लास <ब्लॉककोट> हैं<math>c_i(T) = (-1)^i\sigma_{(1,\ldots, 1)}</math></blockquote>कहाँ <math>(1,\ldots, 1)</math> एक <math>i</math>-टुपल और <ब्लॉककोट><math>c_i(Q) = \sigma_i</math></blockquote>टॉटोलॉजिकल सीक्वेंस तब चाउ रिंग की प्रस्तुति <ब्लॉककोट> के रूप में देता है<math>A^*(G(k,n)) = \frac{
+<blockquote>
+ग्रासमेनियन <math>G(k,n)</math> पर दो प्राकृतिक वेक्टर बंडलों के चेर्न वर्गों का उपयोग करते हुए ग्रासमैनियन के कोहोलॉजी वलय, या चाउ वलय का एक आसान विवरण है। वेक्टर बंडलों का एक क्रम है<math>0 \to T \to \underline{V} \to Q \to 0</math></blockquote>
+जहाँ <math>\underline{V}</math> पद <math>n</math> का तुच्छ सदिश बंडल <math>\Lambda \in G(k,n)</math> पर <math>T</math> का सूत्र उपसमष्टि <math>\Lambda \subset V</math> है, और <math>Q</math> भागफल सदिश बंडल है जो प्रत्येक सूत्रों पर पद स्थिर होने के बाद से सम्मिलित है। इन दो संबद्ध बंडलों के चेर्न वर्ग हैं<blockquote>
+<math>c_i(T) = (-1)^i\sigma_{(1,\ldots, 1)}</math></blockquote>
+जहाँ <math>(1,\ldots, 1)</math> एक <math>i</math>-टुपल और<blockquote>
+<math>c_i(Q) = \sigma_i</math></blockquote>
+पुनरुक्तात्मक अनुक्रम तब चाउ वलय की प्रस्तुति के रूप में देता है<blockquote>
+<math>A^*(G(k,n)) = \frac{
      \mathbb{Z}[c_1(T), \ldots, c_k(T), c_1(Q),\ldots, c_{n-k}(Q)]
-}{(c(T)c(Q) - 1)}</math></ब्लॉककोट>
+}{(c(T)c(Q) - 1)}</math></blockquote>
-== जी (2,4) ==
+== G(2,4) ==
-विश्लेषण किए गए शास्त्रीय उदाहरणों में से एक ग्रासमैनियन है <math>G(2,4)</math> चूंकि यह लाइनों को पैरामीटर करता है <math>\mathbb{P}^3</math>. [[घन सतह]] पर रेखाओं की संख्या ज्ञात करने के लिए शूबर्ट कैलकुलस का उपयोग किया जा सकता है।
+विश्लेषण किए गए उत्कृष्ट उदाहरणों में से एक ग्रासमैनियन <math>G(2,4)</math> है क्योंकि यह <math>\mathbb{P}^3</math> में रेखाओ को पैरामीटर करता है। घनीय सतह पर रेखाओं की संख्या ज्ञात करने के लिए शूबर्ट गणना का उपयोग किया जा सकता है।
-=== चाउ रिंग ===
+=== चाउ वलय ===
-चाउ रिंग में प्रस्तुति <ब्लॉककोट> है
+चाउ वलय में प्रस्तुति है<blockquote><math>A^*(G(2,4)) = \frac{\mathbb{Z}[\sigma_1,\sigma_{1,1}, \sigma_2]}{((1 - \sigma_1 + \sigma_{1,1})(1 + \sigma_1 +  \sigma_2)-1)}</math></blockquote>और एक श्रेणीबद्ध एबेलियन समूह के रूप में में यह दिया जाता है<blockquote><math>\begin{align}
-<math>A^*(G(2,4)) = \frac{\mathbb{Z}[\sigma_1,\sigma_{1,1}, \sigma_2]}{((1 - \sigma_1 + \sigma_{1,1})(1 + \sigma_1 +  \sigma_2)-1)}</math></ब्लॉककोट>
-और एक ग्रेडेड एबेलियन समूह के रूप में इसे <ब्लॉककोट> द्वारा दिया गया है<math>\begin{align}
 A^0(G(2,4)) &= \mathbb{Z}\cdot 1 \\
 A^2(G(2,4)) &= \mathbb{Z}\cdot \sigma_1 \\
@@ Line 71: / Line 93: @@
 A^6(G(2,4)) &= \mathbb{Z}\cdot\sigma_{2,1} \\
 A^8(G(2,4)) &= \mathbb{Z}\cdot\sigma_{2,2} \\
-\end{align}</math><ref>{{Cite book|last=Katz|first=Sheldon|title=गणनात्मक ज्यामिति और स्ट्रिंग थ्योरी|pages=96}}</ref></ब्लॉककोट>
+\end{align}</math><ref>{{Cite book|last=Katz|first=Sheldon|title=गणनात्मक ज्यामिति और स्ट्रिंग थ्योरी|pages=96}}</ref></blockquote>
-=== एक घन सतह पर रेखाएं ===
+=== घन सतह पर रेखाएं ===
-इस चाउ रिंग का उपयोग क्यूबिक सतह पर लाइनों की संख्या की गणना करने के लिए किया जा सकता है।<ref name=":0" />में एक पंक्ति याद करें <math>\mathbb{P}^3</math> की दो उपसमष्टि देता है <math>\mathbb{A}^4</math>, इस तरह <math>\mathbb{G}(1,3) \cong G(2,4)</math>. साथ ही, एक रेखा के समीकरण को एक खंड के रूप में दिया जा सकता है <math>\Gamma(\mathbb{G}(1,3), T^*)</math>. एक घन सतह के बाद से <math>X</math> एक सामान्य सजातीय घन बहुपद के रूप में दिया जाता है, यह एक सामान्य खंड के रूप में दिया जाता है <math>s \in \Gamma(\mathbb{G}(1,3),\text{Sym}^3(T^*))</math>. फिर, एक पंक्ति <math>L \subset \mathbb{P}^3</math> की एक उप-प्रजाति है <math>X</math> अगर और केवल अगर अनुभाग गायब हो जाता है <math>[L] \in \mathbb{G}(1,3)</math>. इसलिए, का [[यूलर वर्ग]] <math>\text{Sym}^3(T^*)</math> पर एकीकृत किया जा सकता है <math>\mathbb{G}(1,3)</math> उन बिंदुओं की संख्या प्राप्त करने के लिए जहां सामान्य अनुभाग गायब हो जाता है <math>\mathbb{G}(1,3)</math>. यूलर वर्ग प्राप्त करने के लिए, चेर्न का कुल वर्ग <math>T^*</math> गणना की जानी चाहिए, जिसे <ब्लॉककोट> के रूप में दिया गया है<math>c(T^*) = 1 + \sigma_1 + \sigma_{1,1}</math></blockquote>फिर, विभाजन सूत्र को औपचारिक समीकरण<blockquote> के रूप में पढ़ा जाता है<math>\begin{align}
+इस चाउ वलय का उपयोग घनीय सतह पर रेखाओ की संख्या की गणना करने के लिए किया जा सकता है।<ref name=":0" /> और <math>\mathbb{P}^3</math> मे एक रेखा का खंडन करे जो <math>\mathbb{A}^4</math>की दो उपसमष्टि को एक आयाम <math>\mathbb{G}(1,3) \cong G(2,4)</math> देती है, इस तरह, एक रेखा के समीकरण को एक खंड <math>\Gamma(\mathbb{G}(1,3), T^*)</math> के रूप में दिया जा सकता है। एक घन सतह के बाद से <math>X</math> एक सामान्य सजातीय घन बहुपद <math>s \in \Gamma(\mathbb{G}(1,3),\text{Sym}^3(T^*))</math> के रूप में दिया जाता है, यह एक सामान्य खंड के रूप में दिया जाता है फिर, एक रेखा <math>L \subset \mathbb{P}^3</math> की एक उप-प्रजाति <math>X</math> है यदि और केवल यदि खंड <math>[L] \in \mathbb{G}(1,3)</math> नष्ट हो जाता है इसलिए, <math>\text{Sym}^3(T^*)</math> का [[यूलर वर्ग]] <math>\mathbb{G}(1,3)</math> पर एकीकृत किया जा सकता है। उन बिंदुओं की संख्या प्राप्त करने के लिए जहां सामान्य खंड <math>\mathbb{G}(1,3)</math> नष्ट हो जाता है यूलर वर्ग प्राप्त करने के लिए, चेर्न का कुल वर्ग <math>T^*</math> गणना की जानी चाहिए, जिसे <math>c(T^*) = 1 + \sigma_1 + \sigma_{1,1}</math> के रूप में दिया गया है।
+तब, विभाजन सूत्र को औपचारिक समीकरण के रूप में पढ़ा जाता है<blockquote> <math>\begin{align}
 c(T^*) &= (1 + \alpha)(1 + \beta) \\
 &= 1 + \alpha + \beta + \alpha\cdot\beta
-\end{align}</math></blockquote>कहाँ <math>c(\mathcal{L}) = 1+\alpha</math> और <math>c(\mathcal{M}) = 1 + \beta</math> औपचारिक लाइन बंडलों के लिए <math>\mathcal{L},\mathcal{M}</math>. बंटवारे का समीकरण संबंध <ब्लॉककोट> देता है<math>\sigma_1 = \alpha + \beta</math> और <math>\sigma_{1,1} = \alpha\cdot\beta</math>.</blockquote>चूंकि <math>\text{Sym}^3(T^*)</math> औपचारिक वेक्टर बंडलों के प्रत्यक्ष योग के रूप में पढ़ा जा सकता है<blockquote><math>\text{Sym}^{3}(T^{*}) = \mathcal{L}^{\otimes 3} \oplus (\mathcal{L}^{\otimes 2} \otimes \mathcal{M})
+\end{align}</math>
-\oplus(\mathcal{L}\otimes\mathcal{M}^{\otimes 2})\oplus \mathcal{M}^{\otimes 3}</math></blockquote>जिसकी कुल चेर्न क्लास <blockquote> है<math>c(\text{Sym}^3(T^*)) = (1 + 3\alpha)(1 + 2\alpha + \beta)(1 + \alpha  + 2\beta)(1 + 3\beta)</math></blockquote>इसलिए<blockquote><math>\begin{align}
+</blockquote>जहाँ <math>c(\mathcal{L}) = 1+\alpha</math> और <math>c(\mathcal{M}) = 1 + \beta</math> औपचारिक रेखा बंडलों के लिए <math>\mathcal{L},\mathcal{M}</math> है। बंटन का समीकरण संबंध <math>\sigma_1 = \alpha + \beta</math> और <math>\sigma_{1,1} = \alpha\cdot\beta</math> से प्राप्त होता है। चूंकि <math>\text{Sym}^3(T^*)</math> औपचारिक सदिश बंडलों के प्रत्यक्ष योग के रूप में पढ़ा जा सकता है<blockquote><math>\text{Sym}^{3}(T^{*}) = \mathcal{L}^{\otimes 3} \oplus (\mathcal{L}^{\otimes 2} \otimes \mathcal{M})
+\oplus(\mathcal{L}\otimes\mathcal{M}^{\otimes 2})\oplus \mathcal{M}^{\otimes 3}</math></blockquote>जिसकी कुल चेर्न वर्ग है <blockquote> <math>c(\text{Sym}^3(T^*)) = (1 + 3\alpha)(1 + 2\alpha + \beta)(1 + \alpha  + 2\beta)(1 + 3\beta)</math></blockquote>इसलिए<blockquote><math>\begin{align}
 c_4(\text{Sym}^3(T^*)) &= 3\alpha (2\alpha + \beta) (\alpha + 2\beta) 3\beta \\
 &=9\alpha\beta(2(\alpha + \beta)^2 + \alpha\beta) \\
 &= 9\sigma_{1,1}(2\sigma_1^2 + \sigma_{1,1}) \\
 &= 27\sigma_{2,2}
-\end{align}</math></blockquote>तथ्य का उपयोग करके<blockquote><math>\sigma_{1,1}\cdot \sigma_1^2 = \sigma_{2,1}\sigma_1 = \sigma_{2,2}</math> और <math>\sigma_{1,1}\cdot \sigma_{1,1} = \sigma_{2,2}</math></blockquote>फिर, इंटीग्रल है<blockquote><math>\int_{\mathbb{G}(1,3)}27\sigma_{2,2} = 27</math></blockquote>चूंकि <math>\sigma_{2,2}</math> शीर्ष वर्ग है। इसलिए हैं <math>27</math> एक घन सतह पर रेखाएँ।
+\end{align}</math></blockquote>तथ्य का उपयोग <blockquote><math>\sigma_{1,1}\cdot \sigma_1^2 = \sigma_{2,1}\sigma_1 = \sigma_{2,2}</math> और <math>\sigma_{1,1}\cdot \sigma_{1,1} = \sigma_{2,2}</math></blockquote>फिर, समाकलन है<blockquote><math>\int_{\mathbb{G}(1,3)}27\sigma_{2,2} = 27</math></blockquote>चूंकि <math>\sigma_{2,2}</math> शीर्ष वर्ग है। इसलिए <math>27</math> एक घन सतह पर रेखाएँ हैं।
 == यह भी देखें ==
 * संख्यात्मक ज्यामिति
-* चाउ रिंग
+* चाउ वलय
 * प्रतिच्छेदन सिद्धांत
 * ग्रासमैनियन
@@ Line 94: / Line 120: @@
 * पियरी का सूत्र
 * [[चेर्न वर्ग]]
-* पंचक तिगुना
+* वृत्त तिगुना
 * [[दर्पण समरूपता अनुमान]]

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