विकर्ण उपसमूह: Difference between revisions

Revision as of 15:56, 3 May 2023

समूह सिद्धांत के गणितीय अनुशासन में, किसी दिए गए समूह $G,$ के लिए, n-गुना प्रत्यक्ष उत्पाद G n का विकर्ण उपसमूह उपसमूह है

\{(g,\dots ,g)\in G^{n}:g\in G\}.

यह उपसमूह $G .$ के लिए समूह समरूपतावाद है

यदि $G$ एक सेट $X,$ पर कार्य करता है, तो n-गुना विकर्ण उपसमूह में कार्टेशियन उत्पाद $X n$ पर प्राकृतिक क्रिया होती है, जो $X,$ पर $G$ से प्रेरित होती है, जिसे परिभाषित किया गया है

(x_{1},\dots ,x_{n})\cdot (g,\dots ,g)=(x_{1}\!\cdot g,\dots ,x_{n}\!\cdot g).

यदि $G$ , $X,$ पर $n$ -संक्रमणीय रूप से कार्य करता है, तो $n$ -गुना विकर्ण उपसमूह $X n .$ पर सकर्मक रूप से कार्य करता है। अधिक सामान्यतः, एक पूर्णांक $k,$ के लिए, यदि $G$ , $X,$ पर $kn$ -संक्रमणीय रूप से कार्य करता है, $G$ , $X n .$ पर $k$ -संक्रमणीय रूप से कार्य करता है।
बर्नसाइड लेम्मा दो गुना विकर्ण उपसमूह की क्रिया का उपयोग करके गणितीय प्रमाण हो सकता है।

Sahai, Vivek; Bist, Vikas (2003), Algebra, Alpha Science Int'l Ltd., p. 56, ISBN 9781842651575.

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 * यदि {{math|''G''}}, {{math|''X'',}} पर {{math|''n''}}-संक्रमणीय रूप से कार्य करता है, तो {{math|''n''}}-गुना विकर्ण उपसमूह {{math|''X''<sup>&thinsp;''n''</sup>.}} पर सकर्मक रूप से कार्य करता है। अधिक सामान्यतः, एक पूर्णांक {{math|''k'',}} के लिए, यदि {{math|''G''}},{{math|''X'',}} पर {{math|''kn''}}-संक्रमणीय रूप से कार्य करता है, {{math|''G''}}, {{math|''X''<sup>&thinsp;''n''</sup>.}} पर {{math|''k''}}-संक्रमणीय रूप से कार्य करता है।
 * बर्नसाइड लेम्मा दो गुना विकर्ण उपसमूह की क्रिया का उपयोग करके [[गणितीय प्रमाण]] हो सकता है।
-*'''रूप से कार्य करता है, {{math|''G''}}, {{math|''X''<sup>&thinsp;''n''</sup>.}} पर {{math|''k''}}-संक्रमणीय रूप से कार्य करता है।'''
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