एक्सट ऑपरेटर: Difference between revisions

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गणित में, Ext functors [[मैं एक आदमी के रूप में काम करता हूं]] के व्युत्पन्न फ़ैक्टर हैं। [[Tor functor]] के साथ, Ext [[समरूप बीजगणित]] की मूल अवधारणाओं में से एक है, जिसमें [[बीजगणितीय टोपोलॉजी]] के विचारों का उपयोग बीजगणितीय संरचनाओं के आक्रमणकारियों को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। [[समूह कोहोलॉजी]], लाई बीजगणित कोहोलॉजी और [[होशचाइल्ड कोहोलॉजी]] सभी को एक्सट के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है। यह नाम इस तथ्य से आता है कि पहला Ext समूह Ext<sup>1</sup> एक [[मॉड्यूल (गणित)]] के [[समूह विस्तार]] को दूसरे द्वारा वर्गीकृत करता है।
गणित में, एक्सट प्रकार्यक [[मैं एक आदमी के रूप में काम करता हूं]] के व्युत्पन्न प्रकार्यक हैं। [[Tor functor|Tor प्रकार्यक]] के साथ, एक्सट [[समरूप बीजगणित]] की मूल अवधारणाओं में से एक है, जिसमें [[बीजगणितीय टोपोलॉजी|बीजगणितीय सांस्थितिकी]] के विचारों का उपयोग बीजगणितीय संरचनाओं के आक्रमणकारियों को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। [[समूह कोहोलॉजी|समूह सह-समरूपता]], लाई बीजगणित सह-समरूपता और [[होशचाइल्ड कोहोलॉजी|होशचाइल्ड सह-समरूपता]] सभी को एक्सट के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है। यह नाम इस तथ्य से आता है कि पहला एक्सट समूह एक्सट<sup>1</sup> एक [[मॉड्यूल (गणित)|मापांक (गणित)]] के [[समूह विस्तार]] को दूसरे द्वारा वर्गीकृत करता है।


[[एबेलियन समूह]]ों के विशेष मामले में, [[रेनहोल्ड बेयर]] (1934) द्वारा एक्सट पेश किया गया था। इसका नाम [[सैमुअल एलेनबर्ग]] और [[सॉन्डर्स मैकलेन]] (1942) द्वारा रखा गया था, और टोपोलॉजी ([[कोहोलॉजी के लिए सार्वभौमिक गुणांक प्रमेय]]) पर लागू किया गया था। किसी भी रिंग (गणित) पर मॉड्यूल के लिए, एक्सट को [[ हेनरी कर्तन ]] और ईलेनबर्ग द्वारा उनकी 1956 की पुस्तक होमोलॉजिकल बीजगणित में परिभाषित किया गया था।<ref>Weibel (1999); Cartan & Eilenberg (1956), section VI.1.</ref>
[[एबेलियन समूह]]ों के विशेष स्थिति में, [[रेनहोल्ड बेयर]] (1934) द्वारा एक्सट प्रस्तुत किया गया था। इसका नाम [[सैमुअल एलेनबर्ग]] और [[सॉन्डर्स मैकलेन]] (1942) द्वारा रखा गया था, और सांस्थितिकी ([[कोहोलॉजी के लिए सार्वभौमिक गुणांक प्रमेय|सह-समरूपता के लिए सार्वभौमिक गुणांक प्रमेय]]) पर अनुप्रयुक्त किया गया था। किसी भी वलय (गणित) पर मापांक के लिए, एक्सट को [[ हेनरी कर्तन ]]और ईलेनबर्ग द्वारा उनकी 1956 की पुस्तक तुल्य बीजगणित में परिभाषित किया गया था।<ref>Weibel (1999); Cartan & Eilenberg (1956), section VI.1.</ref>




== परिभाषा ==
== परिभाषा ==
आर को एक रिंग होने दें और आर-मॉड को आर पर मॉड्यूल की [[श्रेणी (गणित)]] होने दें। (बी) = होम<sub>''R''</sub>(, बी) आर-मॉड में बी के लिए। (यहाँ होम<sub>''R''</sub>(ए, बी) ए से बी तक आर-रैखिक मानचित्रों का एबेलियन समूह है; यह एक आर-मॉड्यूल है यदि आर [[ क्रमविनिमेय अंगूठी ]] है।) यह आर-मॉड से एबेलियन समूह एबी की श्रेणी के लिए बाएं सटीक फ़ैक्टर है, और इसलिए इसमें दाएं व्युत्पन्न फ़ैक्टर आर हैं<sup>मैंटी. Ext समूह द्वारा परिभाषित एबेलियन समूह हैं
R को एक वलय होने दें और R-अत्याधुनिक को R पर मापांक की [[श्रेणी (गणित)]] होने दें। ''T''(''B'') = Hom<sub>''R''</sub>(''A'', ''B'') R-अत्याधुनिक में B के लिए। (यहाँ होम<sub>''R''</sub>(ए, B) ए से B तक R-रैखिक मानचित्रों का एबेलियन समूह है; यह एक R-मापांक है यदि R [[ क्रमविनिमेय अंगूठी | क्रमविनिमेय वलय]] है)यह R-अत्याधुनिक से एबेलियन समूह एB की श्रेणी के लिए बाएं सटीक प्रकार्यक है, और इसलिए इसमें दाएं व्युत्पन्न प्रकार्यक R हैं<sup>मैंटी. एक्सट समूह द्वारा परिभाषित एबेलियन समूह हैं


:<math>\operatorname{Ext}_R^i(A,B)=(R^iT)(B),</math>
:<math>\operatorname{Ext}_R^i(A,B)=(R^iT)(B),</math>
एक [[पूर्णांक]] i के लिए परिभाषा के अनुसार, इसका अर्थ है: कोई भी [[इंजेक्शन संकल्प]] लें
एक [[पूर्णांक]] i के लिए परिभाषा के अनुसार, इसका अर्थ है: कोई भी [[इंजेक्शन संकल्प|अंतःक्षेपक संकल्प]] लें


:<math>0 \to B \to I^0 \to I^1 \to \cdots,</math>
:<math>0 \to B \to I^0 \to I^1 \to \cdots,</math>
बी शब्द को हटा दें, और [[कोचेन कॉम्प्लेक्स]] बनाएं:
B शब्द को हटा दें, और [[कोचेन कॉम्प्लेक्स|सह श्रृंखला समष्टि]] बनाएं:


:<math>0 \to \operatorname{Hom}_R(A,I^0) \to \operatorname{Hom}_R(A,I^1) \to \cdots.</math>
:<math>0 \to \operatorname{Hom}_R(A,I^0) \to \operatorname{Hom}_R(A,I^1) \to \cdots.</math>
प्रत्येक पूर्णांक i के लिए, Ext{{supsub|''i''|''R''}}(ए, बी) स्थिति i पर इस कॉम्प्लेक्स का [[चेन कॉम्प्लेक्स]] है। यह i ऋणात्मक के लिए शून्य है। उदाहरण के लिए, एक्सट{{supsub|0|''R''}}(ए, बी) होम मैप का कर्नेल (रैखिक बीजगणित) है<sub>''R''</sub>(ए, आई<sup>0</sup>) → होम<sub>''R''</sub>(ए, आई<sup>1</sup>), जो कि होम के लिए तुल्याकारी है<sub>''R''</sub>(ए, बी)।
प्रत्येक पूर्णांक i के लिए, एक्सट{{supsub|''i''|''R''}}(ए, B) स्थिति i पर इस समष्टि का [[चेन कॉम्प्लेक्स|श्रृंखला समष्टि]] है। यह i ऋणात्मक के लिए शून्य है। उदाहरण के लिए, एक्सट{{supsub|0|''R''}}(ए, B) होम मैप का कर्नेल (रैखिक बीजगणित) है<sub>''R''</sub>(ए, आई<sup>0</sup>) → होम<sub>''R''</sub>(ए, आई<sup>1</sup>), जो कि होम के लिए तुल्याकारी है<sub>''R''</sub>(ए, B)।


एक वैकल्पिक परिभाषा functor G(A)=Hom का उपयोग करती है<sub>''R''</sub>(ए, बी), एक निश्चित आर-मॉड्यूल बी के लिए। यह फ़ंक्टर फ़ंक्टर का सहप्रसरण और विरोधाभास है, जिसे [[विपरीत श्रेणी]] (आर-मॉड) से बाएं सटीक फ़ैक्टर के रूप में देखा जा सकता है।<sup>ऑप</sup> से अब तक। Ext समूहों को सही व्युत्पन्न functors R के रूप में परिभाषित किया गया है<sup>मैं</sup>जी:
एक वैकल्पिक परिभाषा प्रकार्यक G(A)=Hom का उपयोग करती है<sub>''R''</sub>(ए, B), एक निश्चित R-मापांक B के लिए। यह प्रकार्यक प्रकार्यक का सहप्रसरण और विरोधाभास है, जिसे [[विपरीत श्रेणी]] (R-अत्याधुनिक) से बाएं सटीक प्रकार्यक के रूप में देखा जा सकता है।<sup>ऑप</sup> से अब तक। एक्सट समूहों को सही व्युत्पन्न प्रकार्यक R के रूप में परिभाषित किया गया है<sup>मैं</sup>जी:


:<math>\operatorname{Ext}_R^i(A,B)=(R^iG)(A).</math>
:<math>\operatorname{Ext}_R^i(A,B)=(R^iG)(A).</math>
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:<math>\cdots \to P_1 \to P_0 \to A \to 0, </math>
:<math>\cdots \to P_1 \to P_0 \to A \to 0, </math>
शब्द A को हटा दें, और कोचेन कॉम्प्लेक्स बनाएं:
शब्द A को हटा दें, और सह श्रृंखला समष्टि बनाएं:


:<math>0\to \operatorname{Hom}_R(P_0,B)\to \operatorname{Hom}_R(P_1,B) \to \cdots.</math>
:<math>0\to \operatorname{Hom}_R(P_0,B)\to \operatorname{Hom}_R(P_1,B) \to \cdots.</math>
अगला{{supsub|''i''|''R''}}(ए, बी) स्थिति i पर इस परिसर का कोहोलॉजी है।
अगला{{supsub|''i''|''R''}}(ए, B) स्थिति i पर इस परिसर का सह-समरूपता है।


कार्टन और ईलेनबर्ग ने दिखाया कि ये निर्माण प्रक्षेपी या अंतःक्षेपी संकल्प की पसंद से स्वतंत्र हैं, और यह कि दोनों निर्माण एक ही एक्सटी समूह उत्पन्न करते हैं।<ref>Weibel (1994), sections 2.4 and 2.5 and Theorem 2.7.6.</ref> इसके अलावा, एक निश्चित वलय R के लिए, Ext प्रत्येक चर में एक फ़ंक्टर है (A में contravariant, B में सहसंयोजक)।
कार्टन और ईलेनबर्ग ने दिखाया कि ये निर्माण प्रक्षेपी या अंतःक्षेपी संकल्प की पसंद से स्वतंत्र हैं और यह कि दोनों निर्माण एक ही एक्सटी समूह उत्पन्न करते हैं।<ref>Weibel (1994), sections 2.4 and 2.5 and Theorem 2.7.6.</ref> इसके अतिरिक्त, एक निश्चित वलय R के लिए, एक्सट प्रत्येक चर में एक प्रकार्यक है (A में contravariant, B में सहसंयोजक)।


एक कम्यूटेटिव रिंग आर और आर-मॉड्यूल ए और बी के लिए, एक्सट{{supsub|''i''|''R''}}(ए, बी) एक आर-मॉड्यूल है (होम<sub>''R''</sub>(ए, बी) इस मामले में एक आर-मॉड्यूल है)। एक गैर-कम्यूटेटिव रिंग R, Ext के लिए{{supsub|''i''|''R''}}(ए, बी) सामान्य तौर पर केवल एक एबेलियन समूह है। यदि R एक वलय S पर एक बीजगणित है (जिसका विशेष रूप से अर्थ है कि S क्रमविनिमेय है), तो Ext{{supsub|''i''|''R''}}(ए, बी) कम से कम एक एस-मॉड्यूल है।
एक क्रमविनिमेय वलय R और R-मापांक ए और B के लिए, एक्सट{{supsub|''i''|''R''}}(ए, B) एक R-मापांक है (होम<sub>''R''</sub>(ए, B) इस स्थिति में एक R-मापांक है)। एक गैर-क्रमविनिमेय वलय R, एक्सट के लिए{{supsub|''i''|''R''}}(ए, B) सामान्यतः केवल एक एबेलियन समूह है। यदि R एक वलय S पर एक बीजगणित है (जिसका विशेष रूप से अर्थ है कि S क्रमविनिमेय है), तो एक्सट{{supsub|''i''|''R''}}(ए, B) कम से कम एक एस-मापांक है।


== एक्सट == के गुण
एक्सट के गुण
यहाँ Ext समूहों के कुछ मूलभूत गुण और संगणनाएँ दी गई हैं।<ref>Weibel (1994), Chapters 2 and 3.</ref>
*एक्स्ट{{supsub|0|''R''}}(ए, बी) ≅ होम<sub>''R''</sub>(ए, बी) किसी भी आर-मॉड्यूल ए और बी के लिए।


*एक्स्ट{{su|b=''R''|p=''i''}}(, बी) = 0 सभी i> 0 के लिए यदि आर-मॉड्यूल ए [[ प्रक्षेपी मॉड्यूल ]] है (उदाहरण के लिए, [[ मुफ्त मॉड्यूल ]]) या यदि बी [[इंजेक्शन मॉड्यूल]] है।
यहाँ एक्सट समूहों के कुछ मूलभूत गुण और संगणनाएँ दी गई हैं।<ref>Weibel (1994), Chapters 2 and 3.</ref>
*एक्स्ट{{supsub|0|''R''}}(''A'', B) ≅ होम<sub>''R''</sub>(''A'', B) किसी भी R-मापांक ''A'' और ''B'' के लिए।
 
*एक्स्ट{{su|b=''R''|p=''i''}}(''A'', B) = 0 सभी i> 0 के लिए यदि R-मापांक ''A'' [[ प्रक्षेपी मॉड्यूल | प्रक्षेपी मापांक]] है (उदाहरण के लिए,[[ मुफ्त मॉड्यूल | मुफ्त मापांक]] ) या यदि B [[इंजेक्शन मॉड्यूल|अंतःक्षेपक मापांक]] है।


*बातचीत भी रखती है:
*बातचीत भी रखती है:
**यदि एक्सट{{su|b=''R''|p=1}}(A, B) = 0 सभी B के लिए, तो A प्रक्षेपी है (और इसलिए Ext{{su|b=''R''|p=''i''}}(, बी) = 0 सभी के लिए i> 0)।
**यदि एक्सट{{su|b=''R''|p=1}}(A, B) = 0 सभी B के लिए, तो A प्रक्षेपी है (और इसलिए एक्सट{{su|b=''R''|p=''i''}}(A, B) = 0 सभी के लिए i> 0)।
**यदि एक्सट{{su|b=''R''|p=1}}(, बी) = 0 सभी ए के लिए, फिर बी अंतःक्षेपी है (और इसलिए एक्सट{{su|b=''R''|p=''i''}}(, बी) = 0 सभी के लिए i> 0)।
**यदि एक्सट{{su|b=''R''|p=1}}(''A'', B) = 0 सभी ए के लिए, फिर B अंतःक्षेपी है (और इसलिए एक्सट{{su|b=''R''|p=''i''}}(''A'', B) = 0 सभी के लिए i> 0)।


*<math>\operatorname{Ext}^i_{\Z}(A,B) = 0</math> सभी i ≥ 2 और सभी एबेलियन समूहों A और B के लिए।<ref>Weibeil (1994), Lemma 3.3.1.</ref>
*<math>\operatorname{Ext}^i_{\Z}(A,B) = 0</math> सभी i ≥ 2 और सभी एबेलियन समूहों A और B के लिए।<ref>Weibeil (1994), Lemma 3.3.1.</ref>
*यदि R एक क्रमविनिमेय वलय है और u in R एक [[शून्य भाजक]] नहीं है, तो
*यदि R एक क्रमविनिमेय वलय है और u in R एक [[शून्य भाजक]] नहीं है, तो
::<math>\operatorname{Ext}_R^i(R/(u),B)\cong\begin{cases} B[u] & i=0\\ B/uB & i=1\\ 0 &\text{otherwise,}\end{cases}</math>
::<math>\operatorname{Ext}_R^i(R/(u),B)\cong\begin{cases} B[u] & i=0\\ B/uB & i=1\\ 0 &\text{otherwise,}\end{cases}</math>
:किसी भी आर-मॉड्यूल बी के लिए। यहां बी [यू] बी के यू-टोरसन उपसमूह को दर्शाता है, {x ∈ बी: ux = 0}। R को अंगूठी मान लेना <math>\Z</math> पूर्णांकों की, इस गणना का उपयोग गणना करने के लिए किया जा सकता है <math>\operatorname{Ext}^1_{\Z}(A,B)</math> किसी भी [[अंतिम रूप से उत्पन्न एबेलियन समूह]] ए के लिए।
:किसी भी R-मापांक B के लिए। यहां B [यू] B के यू-टोरसन उपसमूह को दर्शाता है, {x ∈ B: ux = 0}। R को वलय मान लेना <math>\Z</math> पूर्णांकों की, इस गणना का उपयोग गणना करने के लिए किया जा सकता है <math>\operatorname{Ext}^1_{\Z}(A,B)</math> किसी भी [[अंतिम रूप से उत्पन्न एबेलियन समूह]] ए के लिए।


* पिछले उदाहरण को सामान्य करते हुए, जब कोई मॉड्यूल [[जटिल शर्ट]] का उपयोग करके किसी भी [[नियमित अनुक्रम]] द्वारा एक कम्यूटेटिव रिंग का भागफल होता है, तो कोई एक्सट समूह की गणना कर सकता है।<ref>Weibel (1994), section 4.5.</ref> उदाहरण के लिए, यदि R बहुपद वलय k[x<sub>1</sub>,...,एक्स<sub>''n''</sub>] फ़ील्ड k पर, फिर Ext{{supsub|*|''R''}}(k,k) Ext में n जनरेटर पर k के ऊपर [[बाहरी बीजगणित]] S है<sup>1</उप>। इसके अलावा, एक्सट{{supsub|*|''S''}}(k,k) बहुपद वलय R है; यह कोज़ुल द्वैत का एक उदाहरण है।
* पिछले उदाहरण को सामान्य करते हुए, जब कोई मापांक [[जटिल शर्ट]] का उपयोग करके किसी भी [[नियमित अनुक्रम]] द्वारा एक क्रमविनिमेय वलय का भागफल होता है, तो कोई एक्सट समूह की गणना कर सकता है।<ref>Weibel (1994), section 4.5.</ref> उदाहरण के लिए, यदि R बहुपद वलय k[x<sub>1</sub>,...,एक्स<sub>''n''</sub>] क्षेत्र k पर, फिर एक्सट{{supsub|*|''R''}}(k,k) एक्सट में n जनक पर k के ऊपर [[बाहरी बीजगणित]] S है<sup>1</उप>। इसके अतिरिक्त, एक्सट{{supsub|*|''S''}}(k,k) बहुपद वलय R है; यह कोज़ुल द्वैत का एक उदाहरण है।


*व्युत्पन्न फ़ैक्टरों के सामान्य गुणों के अनुसार, Ext के लिए दो मूल सटीक अनुक्रम हैं।<ref>Weibel (1994), Definition 2.1.1.</ref> सबसे पहले, आर-मॉड्यूल का एक छोटा सटीक अनुक्रम 0 → K → L → M → 0 प्रपत्र के एक लंबे सटीक अनुक्रम को प्रेरित करता है
*व्युत्पन्न प्रकार्यकों के सामान्य गुणों के अनुसार, एक्सट के लिए दो मूल सटीक अनुक्रम हैं।<ref>Weibel (1994), Definition 2.1.1.</ref> सबसे पहले, R-मापांक का एक छोटा सटीक अनुक्रम 0 → K → L → M → 0 प्रपत्र के एक लंबे सटीक अनुक्रम को प्रेरित करता है
::<math>0 \to \mathrm{Hom}_R(A,K) \to \mathrm{Hom}_R(A,L) \to \mathrm{Hom}_R(A,M) \to \mathrm{Ext}^1_R(A,K) \to \mathrm{Ext}^1_R(A,L) \to \cdots,</math>
::<math>0 \to \mathrm{Hom}_R(A,K) \to \mathrm{Hom}_R(A,L) \to \mathrm{Hom}_R(A,M) \to \mathrm{Ext}^1_R(A,K) \to \mathrm{Ext}^1_R(A,L) \to \cdots</math>
: किसी भी आर-मॉड्यूल ए के लिए। इसके अलावा, एक छोटा सटीक अनुक्रम 0 → के → एल → एम → 0 फॉर्म के एक लंबे सटीक अनुक्रम को प्रेरित करता है
: किसी भी R-मापांक ए के लिए। इसके अतिरिक्त, एक छोटा सटीक अनुक्रम 0 → के → एल → एम → 0 फॉर्म के एक लंबे सटीक अनुक्रम को प्रेरित करता है
::<math>0 \to \mathrm{Hom}_R(M,B) \to \mathrm{Hom}_R(L,B) \to \mathrm{Hom}_R(K,B) \to \mathrm{Ext}^1_R(M,B) \to \mathrm{Ext}^1_R(L,B) \to \cdots,</math>
::<math>0 \to \mathrm{Hom}_R(M,B) \to \mathrm{Hom}_R(L,B) \to \mathrm{Hom}_R(K,B) \to \mathrm{Ext}^1_R(M,B) \to \mathrm{Ext}^1_R(L,B) \to \cdots</math>
: किसी भी आर-मॉड्यूल बी के लिए।
: किसी भी R-मापांक B के लिए।


*Ext पहले चर में मॉड्यूल (संभवतः अनंत) का प्रत्यक्ष योग लेता है और प्रत्यक्ष उत्पाद#दूसरा चर में मॉड्यूल का प्रत्यक्ष उत्पाद उत्पादों के लिए।<ref>Weibel (1994), Proposition 3.3.4.</ref> वह है:
*एक्सट पहले चर में मापांक (संभवतः अनंत) का प्रत्यक्ष योग लेता है और प्रत्यक्ष उत्पाद#दूसरा चर में मापांक का प्रत्यक्ष उत्पाद उत्पादों के लिए।<ref>Weibel (1994), Proposition 3.3.4.</ref> वह है:
::<math>\begin{align}
::<math>\begin{align}
\operatorname{Ext}^i_R \left(\bigoplus_\alpha M_\alpha,N \right) &\cong\prod_\alpha \operatorname{Ext}^i_R (M_\alpha,N) \\
\operatorname{Ext}^i_R \left(\bigoplus_\alpha M_\alpha,N \right) &\cong\prod_\alpha \operatorname{Ext}^i_R (M_\alpha,N) \\
\operatorname{Ext}^i_R \left(M,\prod_\alpha N_\alpha \right ) &\cong\prod_\alpha \operatorname{Ext}^i_R (M,N_\alpha)
\operatorname{Ext}^i_R \left(M,\prod_\alpha N_\alpha \right ) &\cong\prod_\alpha \operatorname{Ext}^i_R (M,N_\alpha)
\end{align}</math>
\end{align}</math>
* चलो ए एक कम्यूटेटिव [[नोथेरियन रिंग]] आर पर एक अंतिम रूप से उत्पन्न मॉड्यूल है। फिर एक्स एक रिंग के स्थानीयकरण के साथ शुरू होता है, इस अर्थ में कि आर में प्रत्येक गुणक रूप से बंद सेट एस के लिए, प्रत्येक आर-मॉड्यूल बी, और प्रत्येक पूर्णांक i,<ref>Weibel (1994), Proposition  3.3.10.</ref>
* चलो ए एक क्रमविनिमेय [[नोथेरियन रिंग|नोथेरियन वलय]] R पर एक अंतिम रूप से उत्पन्न मापांक है। फिर एक्स एक वलय के स्थानीयकरण के साथ प्रारंभ होता है, इस अर्थ में कि R में प्रत्येक गुणक रूप से बंद समुच्चय एस के लिए, प्रत्येक R-मापांक B, और प्रत्येक पूर्णांक i,<ref>Weibel (1994), Proposition  3.3.10.</ref>
::<math>S^{-1} \operatorname{Ext}_R^i(A, B) \cong \operatorname{Ext}_{S^{-1} R}^i \left (S^{-1} A, S^{-1} B \right ).</math>
::<math>S^{-1} \operatorname{Ext}_R^i(A, B) \cong \operatorname{Ext}_{S^{-1} R}^i \left (S^{-1} A, S^{-1} B \right )</math>




== एक्सट और एक्सटेंशन == <!-- "Extension of modules" redirects here -->
== एक्सट और विस्तारण == <!-- "मापांक का विस्तार" यहां पुनर्निर्देश करता है -->




=== एक्सटेंशन की समानता ===
=== विस्तारण की समानता ===


एक्सट समूह मॉड्यूल के विस्तार से उनके संबंध से अपना नाम प्राप्त करते हैं। दिए गए आर-मॉड्यूल ए और बी, 'बी द्वारा का विस्तार' आर-मॉड्यूल का एक छोटा सटीक अनुक्रम है
एक्सट समूह मापांक के विस्तार से उनके संबंध से अपना नाम प्राप्त करते हैं। दिए गए R-मापांक ए और B, 'B द्वारा A का विस्तार' R-मापांक का एक छोटा सटीक अनुक्रम है


:<math>0\to B\to E\to A\to 0.</math>
:<math>0\to B\to E\to A\to 0</math>
दो एक्सटेंशन
दो विस्तारण


:<math>0\to B\to E\to A\to 0</math>
:<math>0\to B\to E\to A\to 0</math>
:<math>0\to B\to E' \to A\to 0</math>
:<math>0\to B\to E' \to A\to 0</math>
एक कम्यूटेटिव आरेख होने पर समतुल्य कहा जाता है ('' द्वारा ''बी'' के विस्तार के रूप में):
एक क्रमविनिमेय Rेख होने पर समतुल्य कहा जाता है ('A' द्वारा ''B'' के विस्तार के रूप में):


:[[Image:EquivalenceOfExtensions.png]]ध्यान दें कि [[पाँच लेम्मा]] का तात्पर्य है कि मध्य तीर एक समरूपता है। द्वारा बी के विस्तार को 'विभाजन' कहा जाता है यदि यह 'तुच्छ विस्तार' के बराबर है
:[[Image:EquivalenceOfExtensions.png]]ध्यान दें कि [[पाँच लेम्मा]] का तात्पर्य है कि मध्य तीर एक समरूपता है। A द्वारा B के विस्तार को 'विभाजन' कहा जाता है यदि यह 'तुच्छ विस्तार' के समान है


:<math>0\to B\to A\oplus B\to A\to 0.</math>
:<math>0\to B\to A\oplus B\to A\to 0.</math>
बटा बी के एक्सटेंशन के समतुल्य वर्गों और एक्सट के तत्वों के बीच एक-से-एक पत्राचार है{{supsub|1|''R''}}(ए, बी)।<ref>Weibel (1994), Theorem 3.4.3.</ref> तुच्छ विस्तार Ext के शून्य तत्व से मेल खाता है{{supsub|1|''R''}}(ए, बी)।
A बटा B के विस्तारण के समतुल्य वर्गों और एक्सट के तत्वों के Bच एक-से-एक पत्राचार है{{supsub|1|''R''}}(ए, B)।<ref>Weibel (1994), Theorem 3.4.3.</ref> तुच्छ विस्तार एक्सट के शून्य तत्व से मेल खाता है{{supsub|1|''R''}}(ए, B)।


=== एक्सटेंशन का बायर योग ===
=== विस्तारण का बायर योग ===
बेयर योग Ext पर एबेलियन समूह संरचना का एक स्पष्ट विवरण है{{supsub|1|''R''}}(ए, बी), बी द्वारा के एक्सटेंशन के समतुल्य वर्गों के सेट के रूप में देखा जाता है।<ref>Weibel (1994), Corollary 3.4.5.</ref> अर्थात्, दो एक्सटेंशन दिए गए
बेयर योग एक्सट पर एबेलियन समूह संरचना का एक स्पष्ट विवरण है{{supsub|1|''R''}}(ए, B), B द्वारा A के विस्तारण के समतुल्य वर्गों के समुच्चय के रूप में देखा जाता है।<ref>Weibel (1994), Corollary 3.4.5.</ref> अर्थात्, दो विस्तारण दिए गए


:<math>0\to B\xrightarrow[f]{} E \xrightarrow[g]{} A\to 0</math>
:<math>0\to B\xrightarrow[f]{} E \xrightarrow[g]{} A\to 0</math>
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पहले [[पुलबैक (श्रेणी सिद्धांत)]] तैयार करें <math>A</math>,
पहले [[पुलबैक (श्रेणी सिद्धांत)]] तैयार करें <math>A</math>,


:<math>\Gamma = \left\{ (e, e') \in E \oplus E' \; | \; g(e) = g'(e')\right\}.</math>
:<math>\Gamma = \left\{ (e, e') \in E \oplus E' \; | \; g(e) = g'(e')\right\}</math>
फिर [[भागफल मॉड्यूल]] बनाएं
फिर [[भागफल मॉड्यूल|भागफल मापांक]] बनाएं


:<math>Y = \Gamma / \{(f(b), -f'(b)) \;|\;b \in B\}.</math>
:<math>Y = \Gamma / \{(f(b), -f'(b)) \;|\;b \in B\}.</math>
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:<math>0\to B\to Y\to A\to 0,</math>
:<math>0\to B\to Y\to A\to 0,</math>
जहां पहला नक्शा है <math>b \mapsto [(f(b), 0)] = [(0, f'(b))]</math> और दूसरा है <math>(e, e') \mapsto g(e) = g'(e')</math>.
जहां पहला प्रतिचित्र है <math>b \mapsto [(f(b), 0)] = [(0, f'(b))]</math> और दूसरा <math>(e, e') \mapsto g(e) = g'(e')</math> है।


एक्सटेंशन की समतुल्यता [[तक]], बायर राशि क्रमविनिमेय है और पहचान तत्व के रूप में तुच्छ विस्तार है। एक विस्तार 0 → बी → ई → ए → 0 का नकारात्मक एक ही मॉड्यूल ई को शामिल करने वाला विस्तार है, लेकिन होमोमोर्फिज्म बी → ई के साथ इसके नकारात्मक द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है।
विस्तारण की समतुल्यता [[तक]], बायर राशि क्रमविनिमेय है और पहचान तत्व के रूप में तुच्छ विस्तार है। एक विस्तार 0 → B → ई → ए → 0 का ऋणात्मक एक ही मापांक ई को सम्मिलित करने वाला विस्तार है, परन्तु समरूपता B → ई के साथ इसके ऋणात्मक द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है।


== एबेलियन श्रेणियों में एक्सट का निर्माण ==
== एबेलियन श्रेणियों में एक्सट का निर्माण ==
[[ नोबुओ योनेदा ]] ने एबेलियन समूहों को परिभाषित किया{{su|b='''C'''|p=''n''}}(ए, बी) किसी [[एबेलियन श्रेणी]] 'सी' में वस्तुओं ए और बी के लिए; यह संकल्पों के संदर्भ में परिभाषा से सहमत है यदि 'सी' में प्रोजेक्टिव ऑब्जेक्ट # पर्याप्त प्रोजेक्टिव्स या इंजेक्शन ऑब्जेक्ट # पर्याप्त इंजेक्शन और इंजेक्शन हल्स हैं। सबसे पहले, एक्सट{{supsub|0|'''C'''}}(ए, बी) = आदमी<sub>'''C'''</sub>(ए, बी)। अगला, एक्सट{{su|b='''C'''|p=1}}(ए, बी) बी द्वारा ए के विस्तार के समतुल्य वर्गों का सेट है, जो बायर योग के तहत एक एबेलियन समूह बनाता है। अंत में, उच्च Ext समूह Ext{{su|b='''C'''|p=''n''}}(ए, बी) को एन-एक्सटेंशन के समतुल्य वर्ग के रूप में परिभाषित किया गया है, जो सटीक अनुक्रम हैं
[[ नोबुओ योनेदा ]]ने एबेलियन समूहों को परिभाषित किया{{su|b='''C'''|p=''n''}}(ए, B) किसी [[एबेलियन श्रेणी]] 'सी' में वस्तुओं ए और B के लिए; यह संकल्पों के संदर्भ में परिभाषा से सहमत है यदि 'सी' में प्रोजेक्टिव ऑब्जेक्ट # पर्याप्त प्रक्षेपीय या अंतःक्षेपक ऑब्जेक्ट # पर्याप्त अंतःक्षेपक और अंतःक्षेपक हल्स हैं। सबसे पहले, एक्सट{{supsub|0|'''C'''}}(ए, B) = आदमी<sub>'''C'''</sub>(ए, B)। अगला, एक्सट{{su|b='''C'''|p=1}}(ए, B) B द्वारा ए के विस्तार के समतुल्य वर्गों का समुच्चय है, जो बायर योग के अंतर्गत एक एबेलियन समूह बनाता है। अंत में, उच्च एक्सट समूह एक्सट{{su|b='''C'''|p=''n''}}(ए, B) को एन-विस्तारण के समतुल्य वर्ग के रूप में परिभाषित किया गया है, जो सटीक अनुक्रम हैं


:<math>0\to B\to X_n\to\cdots\to X_1\to A\to 0,</math>
:<math>0\to B\to X_n\to\cdots\to X_1\to A\to 0</math>
दो एक्सटेंशन की पहचान करने वाले संबंध से उत्पन्न [[तुल्यता संबंध]] के तहत
दो विस्तारण की पहचान करने वाले संबंध से उत्पन्न [[तुल्यता संबंध]] के अंतर्गत


:<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
Line 113: Line 114:
\xi': 0 &\to B\to X'_n\to\cdots\to X'_1\to A\to 0
\xi': 0 &\to B\to X'_n\to\cdots\to X'_1\to A\to 0
\end{align}</math>
\end{align}</math>
अगर नक्शे हैं <math>X_m \to X'_m</math> {1, 2, ..., n} में सभी m के लिए ताकि प्रत्येक परिणामी क्रमविनिमेय आरेख, अर्थात, यदि कोई श्रृंखला मानचित्र ξ → ξ' है जो A और B पर पहचान है।
यदि प्रतिचित्र <math>X_m \to X'_m</math>है, {1, 2, ..., n} में सभी m के लिए ताकि प्रत्येक परिणामी वर्ग परिवर्तित हो जाए।
 
यदि कोई श्रृंखला मानचित्र ξ → ξ' है जो A और B पर तत्समक है।  


उपर्युक्त दो n-विस्तारों का बायर योग देने से बनता है <math>X''_1</math> का पुलबैक (श्रेणी सिद्धांत) हो <math>X_1</math> और <math>X'_1</math> ए से अधिक, और <math>X''_n</math> का [[पुशआउट (श्रेणी सिद्धांत)]] हो <math>X_n</math> और <math>X'_n</math> बी के तहत<ref>Weibel (1994), Vists 3.4.6. Some minor corrections are in the [http://www.math.rutgers.edu/~weibel/Hbook.errors.edition2.pdf errata].</ref> फिर एक्सटेंशन का बायर योग है
उपर्युक्त दो n-आयामों का बायर योग देने से बनता है, ''A'' पर <math>X_1</math> और <math>X'_1</math> का पुलबैक <math>X''_1</math> हो और B के अंतर्गत <math>X_n</math> और <math>X'_n</math> का [[पुशआउट (श्रेणी सिद्धांत)|बहिकर्षी]] <math>X''_n</math> हो,<ref>Weibel (1994), Vists 3.4.6. Some minor corrections are in the [http://www.math.rutgers.edu/~weibel/Hbook.errors.edition2.pdf errata].</ref> फिर विस्तारण का बायर योग है।


:<math>0\to B\to X''_n\to X_{n-1}\oplus X'_{n-1}\to\cdots\to X_2\oplus X'_2\to X''_1\to A\to 0.</math>
:<math>0\to B\to X''_n\to X_{n-1}\oplus X'_{n-1}\to\cdots\to X_2\oplus X'_2\to X''_1\to A\to 0</math>




== [[व्युत्पन्न श्रेणी]] और योनेदा उत्पाद ==
== व्युत्पन्न श्रेणी और योनेदा उत्पाद ==
एक महत्वपूर्ण बिंदु यह है कि एबेलियन श्रेणी सी में एक्सट समूहों को सी से संबंधित श्रेणी में आकारिकी के सेट के रूप में देखा जा सकता है, व्युत्पन्न श्रेणी ''डी''(सी)।<ref>Weibel (1994), sections 10.4 and 10.7; Gelfand & Manin (2003), Chapter III.</ref> व्युत्पन्न श्रेणी की वस्तुएं सी में वस्तुओं के परिसर हैं। विशेष रूप से, किसी के पास है
एक महत्वपूर्ण बिंदु यह है कि एबेलियन श्रेणी '''C''' में एक्सट समूहों को '''C''' व्युत्पन्न श्रेणी ''D''('''C''') से संबंधित श्रेणी में आकारिकी के समुच्चय के रूप में देखा जा सकता है।<ref>Weibel (1994), sections 10.4 and 10.7; Gelfand & Manin (2003), Chapter III.</ref> व्युत्पन्न श्रेणी की वस्तुएं '''C''' में वस्तुओं के परिसर हैं। विशेष रूप से, किसी के पास है


:<math>\operatorname{Ext}^i_{\mathbf C}(A,B) = \operatorname{Hom}_{D({\mathbf C})}(A,B[i]),</math>
:<math>\operatorname{Ext}^i_{\mathbf C}(A,B) = \operatorname{Hom}_{D({\mathbf C})}(A,B[i])</math>
जहां C की एक वस्तु को डिग्री शून्य में केंद्रित एक जटिल के रूप में देखा जाता है, और [''i''] का अर्थ है एक जटिल ''i'' चरणों को बाईं ओर स्थानांतरित करना। इस व्याख्या से, एक [[द्विरेखीय नक्शा]] है, जिसे कभी-कभी [[योनेदा उत्पाद]] कहा जाता है:
जहां C की एक वस्तु को डिग्री शून्य में केंद्रित एक जटिल के रूप में देखा जाता है और [''i''] का अर्थ है। एक जटिल ''i'' चरणों को बाईं ओर स्थानांतरित करना है। इस व्याख्या से, एक [[द्विरेखीय नक्शा|द्विरेखीय प्रतिचित्र]] है, जिसे कभी-कभी [[योनेदा उत्पाद]] कहा जाता है:


:<math>\operatorname{Ext}^i_{\mathbf C}(A,B) \times \operatorname{Ext}^j_{\mathbf C}(B,C) \to \operatorname{Ext}^{i+j}_{\mathbf C}(A,C),</math>
:<math>\operatorname{Ext}^i_{\mathbf C}(A,B) \times \operatorname{Ext}^j_{\mathbf C}(B,C) \to \operatorname{Ext}^{i+j}_{\mathbf C}(A,C)</math>
जो केवल व्युत्पन्न श्रेणी में morphisms की रचना है।
जो केवल व्युत्पन्न श्रेणी में आकारिता की रचना है।


Yoneda उत्पाद को अधिक प्राथमिक शब्दों में भी वर्णित किया जा सकता है। i = j = 0 के लिए, गुणनफल 'C' श्रेणी के मानचित्रों का संघटन है। सामान्य तौर पर, उत्पाद को दो Yoneda एक्सटेंशन को एक साथ जोड़कर परिभाषित किया जा सकता है।
योनेडा उत्पाद को अधिक प्राथमिक शब्दों में भी वर्णित किया जा सकता है। i = j = 0 के लिए, गुणनफल C श्रेणी के प्रतिचित्रों का संघटन है। सामान्यतः, उत्पाद को दो योनेडा विस्तारण को एक साथ जोड़कर परिभाषित किया जा सकता है।


वैकल्पिक रूप से, Yoneda उत्पाद को संकल्पों के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है। (यह व्युत्पन्न श्रेणी की परिभाषा के करीब है।) उदाहरण के लिए, आर-मॉड्यूल ए, बी, सी के साथ आर को रिंग होने दें, और पी, क्यू और टी को , बी, सी के अनुमानित संकल्प होने दें। अगला{{supsub|''i''|''R''}}(, बी) को चेन मैप्स पी क्यू [i] के [[चेन होमोटॉपी]] क्लास के समूह के साथ पहचाना जा सकता है। योनेदा उत्पाद श्रृंखला मानचित्र बनाकर दिया गया है:
वैकल्पिक रूप से, योनेडा उत्पाद को विश्लेषण के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है (यह व्युत्पन्न श्रेणी की परिभाषा के समीप है)उदाहरण के लिए, R-मापांक ''A'', ''B'', ''C'' के साथ R को वलय होने दें और ''P'', ''Q'', और ''T'' को ''A'', ''B'', ''C'' के अनुमानित विश्लेषण होने दें। फिर Ext{{supsub|''i''|''R''}}(''A'', B) को श्रृंखला प्रतिचित्र ''P'' ''Q''[''i''] के [[चेन होमोटॉपी|श्रृंखला समस्थेयता]] कक्षाओं के समूह के साथ पहचाना जा सकता है। योनेदा उत्पाद श्रृंखला प्रतिचित्र बनाकर दिया गया है:


:<math>P\to Q[i]\to T[i+j].</math>
:<math>P\to Q[i]\to T[i+j]</math>
इनमें से किसी भी व्याख्या से, योनेदा उत्पाद साहचर्य है। नतीजतन, <math>\operatorname{Ext}^*_R(A,A)</math> किसी भी आर-मॉड्यूल ए के लिए एक [[ वर्गीकृत अंगूठी ]] है। उदाहरण के लिए, यह समूह कोहोलॉजी पर रिंग संरचना देता है <math>H^*(G, \Z),</math> चूंकि इसे देखा जा सकता है <math>\operatorname{Ext}^*_{\Z[G]}(\Z,\Z)</math>. योनेडा उत्पाद की सहचारिता द्वारा भी: किसी भी आर-मॉड्यूल ए और बी के लिए, <math>\operatorname{Ext}^*_R(A,B)</math> एक मॉड्यूल ओवर है <math>\operatorname{Ext}^*_R(A,A)</math>.
इनमें से किसी भी व्याख्या से, योनेदा उत्पाद साहचर्य है। फलस्वरूप, <math>\operatorname{Ext}^*_R(A,A)</math> किसी भी R-मापांक ''A'' के लिए एक [[ वर्गीकृत अंगूठी |श्रेणीबद्ध वलय]] है। उदाहरण के लिए, यह समूह सह-समरूपता <math>H^*(G, \Z)</math> पर वलय संरचना देता है, चूंकि इसे <math>\operatorname{Ext}^*_{\Z[G]}(\Z,\Z)</math> के रूप में देखा जा सकता है। योनेडा उत्पाद की सहचारिता द्वारा भी: किसी भी R-मापांक ''A'' और B के लिए, <math>\operatorname{Ext}^*_R(A,B)</math> पर एक मापांक <math>\operatorname{Ext}^*_R(A,A)</math> है।


== महत्वपूर्ण विशेष मामले ==
== महत्वपूर्ण विशेष स्थिति ==


*समूह कोहोलॉजी द्वारा परिभाषित किया गया है <math>H^*(G,M)=\operatorname{Ext}_{\Z[G]}^*(\Z, M)</math>, जहाँ G एक समूह है, M पूर्णांकों पर G का एक [[समूह प्रतिनिधित्व]] है, और <math>\Z[G]</math> G का [[ समूह की अंगूठी ]] है।
*समूह सह-समरूपता <math>H^*(G,M)=\operatorname{Ext}_{\Z[G]}^*(\Z, M)</math> द्वारा परिभाषित किया गया है, जहाँ G एक समूह है, M पूर्णांकों पर G का एक [[समूह प्रतिनिधित्व]] है और <math>\Z[G]</math> G का [[ समूह की अंगूठी |समूह वलय]] है।


*क्षेत्र A पर क्षेत्र k और A-[[bimodule]] M पर बीजगणित के लिए, Hochschild cohomology को निम्न द्वारा परिभाषित किया गया है
*क्षेत्र k और A-[[bimodule|द्विप्रतिरूपक]] M पर बीजगणित A के लिए, होशचाइल्ड सह-समरूपता द्वारा परिभाषित किया गया है:


::<math>HH^*(A,M)=\operatorname{Ext}^*_{A\otimes_k A^{\text{op}}} (A, M).</math>
::<math>HH^*(A,M)=\operatorname{Ext}^*_{A\otimes_k A^{\text{op}}} (A, M)</math>
*लाई बीजगणित कोहोलॉजी द्वारा परिभाषित किया गया है <math>H^*(\mathfrak g,M)=\operatorname{Ext}^*_{U\mathfrak g}(k,M)</math>, कहाँ <math>\mathfrak g</math> क्रमविनिमेय वलय k पर एक झूठा बीजगणित है, M एक है <math>\mathfrak g</math>-मॉड्यूल, और <math>U\mathfrak g</math> सार्वभौमिक घेरने वाला बीजगणित है।
*लाई बीजगणितीय सह-समरूपता <math>H^*(\mathfrak g,M)=\operatorname{Ext}^*_{U\mathfrak g}(k,M)</math> द्वारा परिभाषित किया गया है, जहाँ <math>\mathfrak g</math> क्रमविनिमेय वलय k पर एक लाई बीजगणित है, M एक <math>\mathfrak g</math>-मापांक है और <math>U\mathfrak g</math> सार्वभौमिक आवृत बीजगणित है।


* एक [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] एक्स के लिए, [[शेफ कोहोलॉजी]] को इस रूप में परिभाषित किया जा सकता है <math>H^*(X, A) = \operatorname{Ext}^*(\Z_X, A).</math> यहाँ Ext को X पर एबेलियन समूहों के [[शीफ (गणित)]] की एबेलियन श्रेणी में लिया गया है, और <math>\Z_X</math> स्थानीय स्थिरांक का शीफ ​​है <math>\Z</math>-मूल्यवान कार्य।
* एक [[टोपोलॉजिकल स्पेस|सांस्थितिक समष्टि]] ''X'' के लिए, [[शेफ कोहोलॉजी|पूली सह-समरूपता]] को इस <math>H^*(X, A) = \operatorname{Ext}^*(\Z_X, A)</math> रूप में परिभाषित किया जा सकता है। यहाँ एक्सट को X पर एबेलियन के [[शीफ (गणित)|पुली]] की एबेलियन श्रेणी में लिया गया है और <math>\Z_X</math> स्थानीय स्थिरांक <math>\Z</math>-मूल्यवान फलन का [[शीफ (गणित)|पुली]] ​​है।


*अवशेष क्षेत्र k के साथ क्रमविनिमेय नोथेरियन स्थानीय वलय R के लिए, <math>\operatorname{Ext}^*_R(k,k)</math> एक ग्रेडेड लाई बीजगणित π*(R) ओवर k का सार्वभौमिक आवरण बीजगणित है, जिसे R के 'होमोटोपी लाई बीजगणित' के रूप में जाना जाता है। (सटीक होने के लिए, जब k में फ़ील्ड 2 की विशेषता है, π*(R) को एक समायोजित झूठ बीजगणित के रूप में देखा जा सकता है।<ref>Sjödin (1980), Notation 14.</ref>) एंड्रे-क्विलन कोहोलॉजी डी*(के/आर,के) से π*(आर) तक ग्रेडेड ले बीजगणित का एक प्राकृतिक समरूपता है, जो एक आइसोमोर्फिज्म है यदि के में विशेषता शून्य है।<ref>Avramov (2010), section 10.2.</ref>
*अवशिष्ट क्षेत्र k के साथ क्रमविनिमेय नोथेरियन स्थानीय वलय R के लिए, <math>\operatorname{Ext}^*_R(k,k)</math> एक श्रेणीबद्ध लाई बीजगणितीय π*(R) पर k का सार्वभौमिक आवृत बीजगणित है, जिसे R के समस्थेयता लाई बीजगणित के रूप में जाना जाता है (सटीक होने के लिए, जब k की विलक्षणता 2 होती है, π*(R) को एक समायोजित लाई बीजगणितीय के रूप में देखा जा सकता है)।<ref>Sjödin (1980), Notation 14.</ref> एंड्रे-क्विलन सह-समरूपता ''D''*(''k''/''R'',''k'') से π*(R) तक श्रेणीबद्ध लाई बीजगणितीय का एक प्राकृतिक समरूपता है, जो एक समरूपता है यदि ''k'' में विलक्षणता शून्य है।<ref>Avramov (2010), section 10.2.</ref>




== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==
* [[वैश्विक आयाम]]
* [[वैश्विक आयाम]]
* [[बार संकल्प]]
* [[बार संकल्प|अवरोध विश्लेषण]]
*ग्रोथेंडिक ग्रुप#ग्रोथेंडिक ग्रुप और एक्सटेंशन
*ग्रोथेंडिक समूह
* ग्रोथेंडिक स्थानीय द्वैत
* ग्रोथेंडिक स्थानीय द्वंद्व


==टिप्पणियाँ==
==टिप्पणियाँ==

Revision as of 21:33, 17 May 2023

गणित में, एक्सट प्रकार्यक मैं एक आदमी के रूप में काम करता हूं के व्युत्पन्न प्रकार्यक हैं। Tor प्रकार्यक के साथ, एक्सट समरूप बीजगणित की मूल अवधारणाओं में से एक है, जिसमें बीजगणितीय सांस्थितिकी के विचारों का उपयोग बीजगणितीय संरचनाओं के आक्रमणकारियों को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। समूह सह-समरूपता, लाई बीजगणित सह-समरूपता और होशचाइल्ड सह-समरूपता सभी को एक्सट के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है। यह नाम इस तथ्य से आता है कि पहला एक्सट समूह एक्सट1 एक मापांक (गणित) के समूह विस्तार को दूसरे द्वारा वर्गीकृत करता है।

एबेलियन समूहों के विशेष स्थिति में, रेनहोल्ड बेयर (1934) द्वारा एक्सट प्रस्तुत किया गया था। इसका नाम सैमुअल एलेनबर्ग और सॉन्डर्स मैकलेन (1942) द्वारा रखा गया था, और सांस्थितिकी (सह-समरूपता के लिए सार्वभौमिक गुणांक प्रमेय) पर अनुप्रयुक्त किया गया था। किसी भी वलय (गणित) पर मापांक के लिए, एक्सट को हेनरी कर्तन और ईलेनबर्ग द्वारा उनकी 1956 की पुस्तक तुल्य बीजगणित में परिभाषित किया गया था।[1]


परिभाषा

R को एक वलय होने दें और R-अत्याधुनिक को R पर मापांक की श्रेणी (गणित) होने दें। T(B) = HomR(A, B) R-अत्याधुनिक में B के लिए। (यहाँ होमR(ए, B) ए से B तक R-रैखिक मानचित्रों का एबेलियन समूह है; यह एक R-मापांक है यदि R क्रमविनिमेय वलय है)। यह R-अत्याधुनिक से एबेलियन समूह एB की श्रेणी के लिए बाएं सटीक प्रकार्यक है, और इसलिए इसमें दाएं व्युत्पन्न प्रकार्यक R हैंमैंटी. एक्सट समूह द्वारा परिभाषित एबेलियन समूह हैं

एक पूर्णांक i के लिए परिभाषा के अनुसार, इसका अर्थ है: कोई भी अंतःक्षेपक संकल्प लें

B शब्द को हटा दें, और सह श्रृंखला समष्टि बनाएं:

प्रत्येक पूर्णांक i के लिए, एक्सटi
R
(ए, B) स्थिति i पर इस समष्टि का श्रृंखला समष्टि है। यह i ऋणात्मक के लिए शून्य है। उदाहरण के लिए, एक्सट0
R
(ए, B) होम मैप का कर्नेल (रैखिक बीजगणित) हैR(ए, आई0) → होमR(ए, आई1), जो कि होम के लिए तुल्याकारी हैR(ए, B)।

एक वैकल्पिक परिभाषा प्रकार्यक G(A)=Hom का उपयोग करती हैR(ए, B), एक निश्चित R-मापांक B के लिए। यह प्रकार्यक प्रकार्यक का सहप्रसरण और विरोधाभास है, जिसे विपरीत श्रेणी (R-अत्याधुनिक) से बाएं सटीक प्रकार्यक के रूप में देखा जा सकता है।ऑप से अब तक। एक्सट समूहों को सही व्युत्पन्न प्रकार्यक R के रूप में परिभाषित किया गया हैमैंजी:

यानी कोई भी प्रक्षेपी संकल्प चुनें

शब्द A को हटा दें, और सह श्रृंखला समष्टि बनाएं:

अगलाi
R
(ए, B) स्थिति i पर इस परिसर का सह-समरूपता है।

कार्टन और ईलेनबर्ग ने दिखाया कि ये निर्माण प्रक्षेपी या अंतःक्षेपी संकल्प की पसंद से स्वतंत्र हैं और यह कि दोनों निर्माण एक ही एक्सटी समूह उत्पन्न करते हैं।[2] इसके अतिरिक्त, एक निश्चित वलय R के लिए, एक्सट प्रत्येक चर में एक प्रकार्यक है (A में contravariant, B में सहसंयोजक)।

एक क्रमविनिमेय वलय R और R-मापांक ए और B के लिए, एक्सटi
R
(ए, B) एक R-मापांक है (होमR(ए, B) इस स्थिति में एक R-मापांक है)। एक गैर-क्रमविनिमेय वलय R, एक्सट के लिएi
R
(ए, B) सामान्यतः केवल एक एबेलियन समूह है। यदि R एक वलय S पर एक बीजगणित है (जिसका विशेष रूप से अर्थ है कि S क्रमविनिमेय है), तो एक्सटi
R
(ए, B) कम से कम एक एस-मापांक है।

एक्सट के गुण

यहाँ एक्सट समूहों के कुछ मूलभूत गुण और संगणनाएँ दी गई हैं।[3]

  • एक्स्ट0
    R
    (A, B) ≅ होमR(A, B) किसी भी R-मापांक A और B के लिए।
  • बातचीत भी रखती है:
    • यदि एक्सट1
      R
      (A, B) = 0 सभी B के लिए, तो A प्रक्षेपी है (और इसलिए एक्सटi
      R
      (A, B) = 0 सभी के लिए i> 0)।
    • यदि एक्सट1
      R
      (A, B) = 0 सभी ए के लिए, फिर B अंतःक्षेपी है (और इसलिए एक्सटi
      R
      (A, B) = 0 सभी के लिए i> 0)।
  • सभी i ≥ 2 और सभी एबेलियन समूहों A और B के लिए।[4]
  • यदि R एक क्रमविनिमेय वलय है और u in R एक शून्य भाजक नहीं है, तो
किसी भी R-मापांक B के लिए। यहां B [यू] B के यू-टोरसन उपसमूह को दर्शाता है, {x ∈ B: ux = 0}। R को वलय मान लेना पूर्णांकों की, इस गणना का उपयोग गणना करने के लिए किया जा सकता है किसी भी अंतिम रूप से उत्पन्न एबेलियन समूह ए के लिए।
  • पिछले उदाहरण को सामान्य करते हुए, जब कोई मापांक जटिल शर्ट का उपयोग करके किसी भी नियमित अनुक्रम द्वारा एक क्रमविनिमेय वलय का भागफल होता है, तो कोई एक्सट समूह की गणना कर सकता है।[5] उदाहरण के लिए, यदि R बहुपद वलय k[x1,...,एक्सn] क्षेत्र k पर, फिर एक्सट*
    R
    (k,k) एक्सट में n जनक पर k के ऊपर बाहरी बीजगणित S है1</उप>। इसके अतिरिक्त, एक्सट*
    S
    (k,k) बहुपद वलय R है; यह कोज़ुल द्वैत का एक उदाहरण है।
  • व्युत्पन्न प्रकार्यकों के सामान्य गुणों के अनुसार, एक्सट के लिए दो मूल सटीक अनुक्रम हैं।[6] सबसे पहले, R-मापांक का एक छोटा सटीक अनुक्रम 0 → K → L → M → 0 प्रपत्र के एक लंबे सटीक अनुक्रम को प्रेरित करता है
किसी भी R-मापांक ए के लिए। इसके अतिरिक्त, एक छोटा सटीक अनुक्रम 0 → के → एल → एम → 0 फॉर्म के एक लंबे सटीक अनुक्रम को प्रेरित करता है
किसी भी R-मापांक B के लिए।
  • एक्सट पहले चर में मापांक (संभवतः अनंत) का प्रत्यक्ष योग लेता है और प्रत्यक्ष उत्पाद#दूसरा चर में मापांक का प्रत्यक्ष उत्पाद उत्पादों के लिए।[7] वह है:
  • चलो ए एक क्रमविनिमेय नोथेरियन वलय R पर एक अंतिम रूप से उत्पन्न मापांक है। फिर एक्स एक वलय के स्थानीयकरण के साथ प्रारंभ होता है, इस अर्थ में कि R में प्रत्येक गुणक रूप से बंद समुच्चय एस के लिए, प्रत्येक R-मापांक B, और प्रत्येक पूर्णांक i,[8]


एक्सट और विस्तारण

विस्तारण की समानता

एक्सट समूह मापांक के विस्तार से उनके संबंध से अपना नाम प्राप्त करते हैं। दिए गए R-मापांक ए और B, 'B द्वारा A का विस्तार' R-मापांक का एक छोटा सटीक अनुक्रम है

दो विस्तारण

एक क्रमविनिमेय Rेख होने पर समतुल्य कहा जाता है ('A' द्वारा B के विस्तार के रूप में):

EquivalenceOfExtensions.pngध्यान दें कि पाँच लेम्मा का तात्पर्य है कि मध्य तीर एक समरूपता है। A द्वारा B के विस्तार को 'विभाजन' कहा जाता है यदि यह 'तुच्छ विस्तार' के समान है

A बटा B के विस्तारण के समतुल्य वर्गों और एक्सट के तत्वों के Bच एक-से-एक पत्राचार है1
R
(ए, B)।[9] तुच्छ विस्तार एक्सट के शून्य तत्व से मेल खाता है1
R
(ए, B)।

विस्तारण का बायर योग

बेयर योग एक्सट पर एबेलियन समूह संरचना का एक स्पष्ट विवरण है1
R
(ए, B), B द्वारा A के विस्तारण के समतुल्य वर्गों के समुच्चय के रूप में देखा जाता है।[10] अर्थात्, दो विस्तारण दिए गए

और

पहले पुलबैक (श्रेणी सिद्धांत) तैयार करें ,

फिर भागफल मापांक बनाएं

E और E' का बेयर योग विस्तार है

जहां पहला प्रतिचित्र है और दूसरा है।

विस्तारण की समतुल्यता तक, बायर राशि क्रमविनिमेय है और पहचान तत्व के रूप में तुच्छ विस्तार है। एक विस्तार 0 → B → ई → ए → 0 का ऋणात्मक एक ही मापांक ई को सम्मिलित करने वाला विस्तार है, परन्तु समरूपता B → ई के साथ इसके ऋणात्मक द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है।

एबेलियन श्रेणियों में एक्सट का निर्माण

नोबुओ योनेदा ने एबेलियन समूहों को परिभाषित कियाn
C
(ए, B) किसी एबेलियन श्रेणी 'सी' में वस्तुओं ए और B के लिए; यह संकल्पों के संदर्भ में परिभाषा से सहमत है यदि 'सी' में प्रोजेक्टिव ऑब्जेक्ट # पर्याप्त प्रक्षेपीय या अंतःक्षेपक ऑब्जेक्ट # पर्याप्त अंतःक्षेपक और अंतःक्षेपक हल्स हैं। सबसे पहले, एक्सट0
C
(ए, B) = आदमीC(ए, B)। अगला, एक्सट1
C
(ए, B) B द्वारा ए के विस्तार के समतुल्य वर्गों का समुच्चय है, जो बायर योग के अंतर्गत एक एबेलियन समूह बनाता है। अंत में, उच्च एक्सट समूह एक्सटn
C
(ए, B) को एन-विस्तारण के समतुल्य वर्ग के रूप में परिभाषित किया गया है, जो सटीक अनुक्रम हैं

दो विस्तारण की पहचान करने वाले संबंध से उत्पन्न तुल्यता संबंध के अंतर्गत

यदि प्रतिचित्र है, {1, 2, ..., n} में सभी m के लिए ताकि प्रत्येक परिणामी वर्ग परिवर्तित हो जाए।

यदि कोई श्रृंखला मानचित्र ξ → ξ' है जो A और B पर तत्समक है।

उपर्युक्त दो n-आयामों का बायर योग देने से बनता है, A पर और का पुलबैक हो और B के अंतर्गत और का बहिकर्षी हो,[11] फिर विस्तारण का बायर योग है।


व्युत्पन्न श्रेणी और योनेदा उत्पाद

एक महत्वपूर्ण बिंदु यह है कि एबेलियन श्रेणी C में एक्सट समूहों को C व्युत्पन्न श्रेणी D(C) से संबंधित श्रेणी में आकारिकी के समुच्चय के रूप में देखा जा सकता है।[12] व्युत्पन्न श्रेणी की वस्तुएं C में वस्तुओं के परिसर हैं। विशेष रूप से, किसी के पास है

जहां C की एक वस्तु को डिग्री शून्य में केंद्रित एक जटिल के रूप में देखा जाता है और [i] का अर्थ है। एक जटिल i चरणों को बाईं ओर स्थानांतरित करना है। इस व्याख्या से, एक द्विरेखीय प्रतिचित्र है, जिसे कभी-कभी योनेदा उत्पाद कहा जाता है:

जो केवल व्युत्पन्न श्रेणी में आकारिता की रचना है।

योनेडा उत्पाद को अधिक प्राथमिक शब्दों में भी वर्णित किया जा सकता है। i = j = 0 के लिए, गुणनफल C श्रेणी के प्रतिचित्रों का संघटन है। सामान्यतः, उत्पाद को दो योनेडा विस्तारण को एक साथ जोड़कर परिभाषित किया जा सकता है।

वैकल्पिक रूप से, योनेडा उत्पाद को विश्लेषण के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है (यह व्युत्पन्न श्रेणी की परिभाषा के समीप है)। उदाहरण के लिए, R-मापांक A, B, C के साथ R को वलय होने दें और P, Q, और T को A, B, C के अनुमानित विश्लेषण होने दें। फिर Exti
R
(A, B) को श्रृंखला प्रतिचित्र PQ[i] के श्रृंखला समस्थेयता कक्षाओं के समूह के साथ पहचाना जा सकता है। योनेदा उत्पाद श्रृंखला प्रतिचित्र बनाकर दिया गया है:

इनमें से किसी भी व्याख्या से, योनेदा उत्पाद साहचर्य है। फलस्वरूप, किसी भी R-मापांक A के लिए एक श्रेणीबद्ध वलय है। उदाहरण के लिए, यह समूह सह-समरूपता पर वलय संरचना देता है, चूंकि इसे के रूप में देखा जा सकता है। योनेडा उत्पाद की सहचारिता द्वारा भी: किसी भी R-मापांक A और B के लिए, पर एक मापांक है।

महत्वपूर्ण विशेष स्थिति

  • समूह सह-समरूपता द्वारा परिभाषित किया गया है, जहाँ G एक समूह है, M पूर्णांकों पर G का एक समूह प्रतिनिधित्व है और G का समूह वलय है।
  • क्षेत्र k और A-द्विप्रतिरूपक M पर बीजगणित A के लिए, होशचाइल्ड सह-समरूपता द्वारा परिभाषित किया गया है:
  • लाई बीजगणितीय सह-समरूपता द्वारा परिभाषित किया गया है, जहाँ क्रमविनिमेय वलय k पर एक लाई बीजगणित है, M एक -मापांक है और सार्वभौमिक आवृत बीजगणित है।
  • एक सांस्थितिक समष्टि X के लिए, पूली सह-समरूपता को इस रूप में परिभाषित किया जा सकता है। यहाँ एक्सट को X पर एबेलियन के पुली की एबेलियन श्रेणी में लिया गया है और स्थानीय स्थिरांक -मूल्यवान फलन का पुली ​​है।
  • अवशिष्ट क्षेत्र k के साथ क्रमविनिमेय नोथेरियन स्थानीय वलय R के लिए, एक श्रेणीबद्ध लाई बीजगणितीय π*(R) पर k का सार्वभौमिक आवृत बीजगणित है, जिसे R के समस्थेयता लाई बीजगणित के रूप में जाना जाता है (सटीक होने के लिए, जब k की विलक्षणता 2 होती है, π*(R) को एक समायोजित लाई बीजगणितीय के रूप में देखा जा सकता है)।[13] एंड्रे-क्विलन सह-समरूपता D*(k/R,k) से π*(R) तक श्रेणीबद्ध लाई बीजगणितीय का एक प्राकृतिक समरूपता है, जो एक समरूपता है यदि k में विलक्षणता शून्य है।[14]


यह भी देखें

टिप्पणियाँ

  1. Weibel (1999); Cartan & Eilenberg (1956), section VI.1.
  2. Weibel (1994), sections 2.4 and 2.5 and Theorem 2.7.6.
  3. Weibel (1994), Chapters 2 and 3.
  4. Weibeil (1994), Lemma 3.3.1.
  5. Weibel (1994), section 4.5.
  6. Weibel (1994), Definition 2.1.1.
  7. Weibel (1994), Proposition 3.3.4.
  8. Weibel (1994), Proposition 3.3.10.
  9. Weibel (1994), Theorem 3.4.3.
  10. Weibel (1994), Corollary 3.4.5.
  11. Weibel (1994), Vists 3.4.6. Some minor corrections are in the errata.
  12. Weibel (1994), sections 10.4 and 10.7; Gelfand & Manin (2003), Chapter III.
  13. Sjödin (1980), Notation 14.
  14. Avramov (2010), section 10.2.


संदर्भ