दीर्घवृत्तीय संक्रियक: Difference between revisions

Revision as of 11:19, 23 May 2023

एनुलस (गणित) पर परिभाषित लाप्लास के समीकरण का समाधान। लाप्लास संक्रियक एक दीर्घवृत्तीय संक्रियक का सबसे प्रसिद्ध उदाहरण है।

आंशिक अवकल समीकरणों के सिद्धांत में दीर्घवृत्तीय संक्रियक अवकल संक्रियक होते हैं जो लाप्लास संक्रियक का सामान्यीकरण करते हैं। उन्हें इस शर्त से परिभाषित किया जाता है जिससे उच्चतम-क्रम व्युत्पन्न के गुणांक घनात्मक होते हैं, जिसकी मुख्य विशेषता का तात्पर्य है कि मुख्य प्रतीक व्युत्क्रम या समकक्ष है। जिसकी कोई वास्तविक विशिष्ट दिशा नहीं होती हैं।

दीर्घवृत्तीय संक्रियक संभावित सिद्धांत के लिए विशिष्ट हैं वे प्रायः स्थिरवैद्युतिकी और सातत्य यांत्रिकी में दिखाई देते हैं। दीर्घवृत्तीय नियमितता का अर्थ है कि उनके समाधान नियमित रूप से कार्य करते हैं यदि संक्रियक में गुणांक स्थिर हैं। परवलयिक और परवलयिक आंशिक अवकल समीकरणों के स्थिर संक्रियक सामान्यतः दीर्घवृत्तीय समीकरणों को हल करते हैं।

परिभाषाएँ

मान लीजिए $L$ , Rⁿ में दिए गए डोमेन $\Omega$ पर अनुक्रम m का एक रैखिक अवकल संक्रियक है:

Lu=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x)\partial ^{\alpha }u

जहां

\alpha =(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})

बहु सूचकांक को दर्शाता है और

\partial ^{\alpha }u=\partial _{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial _{n}^{\alpha _{n}}u

में अनुक्रम

\alpha _{i}

के आंशिक व्युत्पन्न

x_{i}

को दर्शाता है। तब

L

को दीर्घवृत्तीय कहा जाता है यदि

\Omega

में प्रत्येक

\xi

और Rⁿ में प्रत्येक गैर-शून्य के लिए निम्न सूचकांक है:

\sum _{|\alpha |=m}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }\neq 0,

जहाँ

\xi ^{\alpha }=\xi _{1}^{\alpha _{1}}\cdots \xi _{n}^{\alpha _{n}}

कई अनुप्रयोगों में यह स्थिति पर्याप्त प्रबल नहीं है और इसके अतिरिक्त अनीकरम m = 2k के संक्रियकों के लिए एक समान दीर्घवृत्तीय स्थिति प्रयुक्त की जा सकती है:

(-1)^{k}\sum _{|\alpha |=2k}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }>C|\xi |^{2k},

जहाँ C एक धनात्मक स्थिरांक है। ध्यान दें कि दीर्घवृत्तीयता केवल उच्चतम-क्रम की शर्तों पर निर्भर करती है।^[1]

यदि एक गैर-रेखीय संक्रियक इसका रैखिककरण है। अर्थात किसी भी बिंदु के विषय में u इसके व्युत्पन्न के संबंध में पहला अनुक्रम टेलर विस्तार का दीर्घवृत्तीय संक्रियक है:

L(u)=F\left(x,u,\left(\partial ^{\alpha }u\right)_{|\alpha |\leq m}\right)

उदाहरण 1: R^d में लाप्लासियन का ऋणात्मक फलन दिया गया है: $-\Delta u=-\sum _{i=1}^{d}\partial _{i}^{2}u$ उपरोक्त समीकरण समान रूप से दीर्घवृत्तीय संक्रियक है। लाप्लास संक्रियक प्रायः स्थिरवैद्युतिकी में होता है। यदि ρ किसी क्षेत्र Ω के भीतर आवेशित घनत्व है, तो संभावित Φ को समीकरण को संतुष्ट किया जा सकता है: $-\Delta \Phi =4\pi \rho$
उदाहरण 2: आव्यूह संख्या फलन A(x) दिया गया है जो प्रत्येक x के लिए सममित और घनात्मक निश्चित है, जिसमें संक्रियक के घटक दीर्घवृत्तीय होते है: $Lu=-\partial _{i}\left(a^{ij}(x)\partial _{j}u\right)+b^{j}(x)\partial _{j}u+cu$ यह दूसरे अनुक्रम के विचलन रैखिक दीर्घवृत्तीय अवकल संक्रियक के रूप का सबसे सामान्य रूप है। लाप्लास संक्रियक को A = I लेकर प्राप्त किया जाता है। ये संक्रियक ध्रुवीकृत माध्यम में स्थिर वैद्युतिकी में पाए जाते हैं।
उदाहरण 3: p के लिए एक गैर-ऋणात्मक संख्या, p लैप्लासियन गैर-रैखिक दीर्घवृत्तीय संक्रियक है जिसे परिभाषित किया गया है: $L(u)=-\sum _{i=1}^{d}\partial _{i}\left(|\nabla u|^{p-2}\partial _{i}u\right).$ एक समान गैर-रेखीय संक्रियक ग्लेशियर यांत्रिकी में होता है। ग्लेन के प्रवाह नियम के अनुसार, बर्फ का कॉशी तनाव प्रदिश निम्न समीकरण द्वारा दिया जाता है: $\tau _{ij}=B\left(\sum _{k,l=1}^{3}\left(\partial _{l}u_{k}\right)^{2}\right)^{-{\frac {1}{3}}}\cdot {\frac {1}{2}}\left(\partial _{j}u_{i}+\partial _{i}u_{j}\right)$ नियतांक B के लिए स्थिर अवस्था में बर्फ की परत का वेग तब अरेखीय दीर्घवृत्तीय प्रणाली को हल कर सकता है: $\sum _{j=1}^{3}\partial _{j}\tau _{ij}+\rho g_{i}-\partial _{i}p=Q,$ जहां ρ बर्फ का घनत्व है, g गुरुत्वाकर्षण त्वरण सदिश है, p दबाव है और Q प्रणोदन है।

दीर्घवृत्तीय नियमितता प्रमेय

माना कि $L$ नियमित व्युत्पन्न 2k वाले गुणांक अनुक्रम 2k का एक दीर्घवृत्तीय सूचकांक है। $L$ के लिए डिरिचलेट समस्या का फलन u को खोजने के लिए फलन f और कुछ उपयुक्त सीमा मान दिए गए हैं। जैसे कि $Lu=f$ और u के पास उपयुक्त सीमा मान सामान्य व्युत्पन्न हैं। गर्डिंग की असमानता और लक्स-मिलग्राम लेम्मा का उपयोग करते हुए दीर्घवृत्तीय संक्रियकों के लिए अस्तित्व सिद्धांत, केवल दायित्व करता है कि एक दुर्बल समाधान u सोबोलेव समष्टि H^k में सम्मिलित है।

यह स्थिति अंततः असंतोषजनक है क्योंकि दुर्बल समाधान u के पास पारम्परिक अर्थों में अच्छी तरह से परिभाषित होने के लिए अभिव्यक्ति Lu के लिए पर्याप्त व्युत्पन्न नहीं हो सकता है। दीर्घवृत्तीय नियमितता प्रमेय दायित्व करता है कि यदि $f$ वर्ग-अभिन्नीकरणीय है तो वास्तव में आपके पास 2k वर्ग समाकलन योग्य दुर्बल व्युत्पन्न हो सकते है। विशेष रूप से यदि $f$ अपरिमित है तब प्रायः u अवकलनीय होता है।

इस विशेषता को प्रदर्शित करने वाले किसी भी अवकल संक्रियक को हाइपोएलिप्टिक संक्रियक कहा जाता है। इस प्रकार, प्रत्येक दीर्घवृत्तीय संक्रियक हाइपोएलिप्टिक संक्रियक होते है। इस विशेषता का अर्थ यह है कि एक दीर्घवृत्तीय संक्रियक का प्रत्येक मौलिक समाधान किसी भी निकटतम फलन में असीम रूप से भिन्न होता है अर्थात जिसमें 0 नहीं होता है।

एक अनुप्रयोग के रूप में, मान लीजिए कि फलन $f$ कॉची-रीमैन समीकरणों को संतुष्ट करता है। चूंकि कौशी-रीमैन समीकरण दीर्घवृत्तीय संक्रियक बनाते हैं। इसलिए यह अनुसरण करता है कि $f$ समतल है।

सामान्य परिभाषा

माना कि $D$ किसी भी स्थित सदिश समूहों के बीच एक (संभवतः गैर-रैखिक) अवकल संक्रियक है। और माना कि अवकल संक्रियक संबंध $\sigma _{\xi }(D)$ मे इसका प्रतीक $\xi$ है। सामान्यतः यह फलन उच्चतम-क्रम के सहपरिवर्ती व्युत्पन्न को $\nabla$ सदिश क्षेत्र $\xi$ द्वारा प्रतिस्थापित करता है।

हम कहते हैं कि $D$ दुर्बल रूप से दीर्घवृत्तीय है यदि $\sigma _{\xi }(D)$ प्रत्येक गैर-शून्य $\xi$ के लिए रैखिक समरूपता है।

हम कहते हैं कि $D$ समान रूप से प्रबल दीर्घवृत्तीय है यदि यह $c>0$ के लिए स्थिर है।

\left([\sigma _{\xi }(D)](v),v\right)\geq c\|v\|^{2}

उपरोक्त सभी

\|\xi \|=1

और

v

के लिए यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि लेख के पिछले भाग में दीर्घवृत्त की परिभाषा प्रबल दीर्घवृत्तीय है। यहाँ

(\cdot ,\cdot )

एक आंतरिक उत्पाद है। ध्यान दें कि

\xi

सदिश क्षेत्र या सूचकांक हैं लेकिन

v

सदिश समूह के तत्व हैं जिन पर

D

कार्य करता है।
दीर्घवृत्तीय संक्रियक का सर्वोत्कृष्ट उदाहरण लाप्लासियन या इसके ऋणात्मक फलन के आधार पर है। यह देखना कठिन नहीं है कि

D

एक विकल्प होने के लिए प्रबल दीर्घवृत्तीयता के लिए समान क्रम की आवश्यकता होती है। अन्यथा दोनों के समीकरण पर विचार करें कि

\xi

और इसका ऋणात्मक फलन दूसरी ओर एक दुर्बल दीर्घवृत्तीय प्रथम-अनुक्रम सूचकांक जैसे कि डायराक सूचकांक, लाप्लासियन जैसे कि प्रबल दीर्घवृत्तीय सूचकांक बनने के लिए वर्गाकार हो सकते है। दुर्बल दीर्घवृत्तीय संक्रियकों की संरचना दुर्बल दीर्घवृत्तीय होती है।

दुर्बल दीर्घवृत्तीयता फ्रेडहोम सिद्धान्त, शाउडर अनुमान और अतियाह-सिंगर सूचकांक प्रमेय के लिए पर्याप्त प्रबल है। दूसरी ओर अधिकतम सिद्धांत के लिए प्रबल दीर्घवृत्तीयता की आवश्यकता होती है और यह दायित्व देने के लिए कि आइगेन मान असतत हैं और उनका एकमात्र सीमा बिंदु अनंत होता है।

यह भी देखें

दीर्घवृत्तीय आंशिक अवकल समीकरण
अतिपरवलयिक आंशिक अवकल समीकरण
परवलयिक आंशिक अवकल समीकरण
हॉफ अधिकतम सिद्धांत
दीर्घवृत्तीय सम्मिश्र
अतिपरवलयिक तरंग समीकरण
अर्ध-दीर्घवृत्तीय संक्रियक
वेइल्स लेम्मा (लाप्लास समीकरण)

↑ Note that this is sometimes called strict ellipticity, with uniform ellipticity being used to mean that an upper bound exists on the symbol of the operator as well. It is important to check the definitions the author is using, as conventions may differ. See, e.g., Evans, Chapter 6, for a use of the first definition, and Gilbarg and Trudinger, Chapter 3, for a use of the second.

संदर्भ

Evans, L. C. (2010) [1998], Partial differential equations, Graduate Studies in Mathematics, vol. 19 (2nd ed.), Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4974-3, MR 2597943
Review:
Rauch, J. (2000). "Partial differential equations, by L. C. Evans" (PDF). Journal of the American Mathematical Society. 37 (3): 363–367. doi:10.1090/s0273-0979-00-00868-5.
Gilbarg, D.; Trudinger, N. S. (1983) [1977], Elliptic partial differential equations of second order, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 224 (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-13025-3, MR 0737190
Shubin, M. A. (2001) [1994], "Elliptic operator", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

बाहरी संबंध

Linear Elliptic Equations at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
Nonlinear Elliptic Equations at EqWorld: The World of Mathematical Equations.

[1] Note that this is sometimes called strict ellipticity, with uniform ellipticity being used to mean that an upper bound exists on the symbol of the operator as well. It is important to check the definitions the author is using, as conventions may differ. See, e.g., Evans, Chapter 6, for a use of the first definition, and Gilbarg and Trudinger, Chapter 3, for a use of the second.

[1]

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 {{Short description|Type of differential operator}}
-[[File:Laplace's equation on an annulus.svg|right|thumb|300px|एनुलस (गणित) पर परिभाषित लाप्लास के समीकरण का समाधान। [[लाप्लास ऑपरेटर|लाप्लास संक्रियक]] एक दीर्घवृत्तीय संक्रियक का सबसे प्रसिद्ध उदाहरण है।]]आंशिक अवकल समीकरणों के सिद्धांत में '''दीर्घवृत्तीय संक्रियक''' अवकल संक्रियक होते हैं जो लाप्लास प्रचालक का सामान्यीकरण करते हैं। उन्हें इस शर्त से परिभाषित किया जाता है कि उच्चतम-क्रम व्युत्पन्न के गुणांक घनात्मक होते हैं, जो कि मुख्य संपत्ति का तात्पर्य है कि मुख्य प्रतीक व्युत्क्रम है, या समकक्ष है कि कोई वास्तविक विशिष्ट दिशाएं नहीं हैं।
+[[File:Laplace's equation on an annulus.svg|right|thumb|300px|एनुलस (गणित) पर परिभाषित लाप्लास के समीकरण का समाधान। [[लाप्लास ऑपरेटर|लाप्लास संक्रियक]] एक दीर्घवृत्तीय संक्रियक का सबसे प्रसिद्ध उदाहरण है।]]आंशिक अवकल समीकरणों के सिद्धांत में '''दीर्घवृत्तीय संक्रियक''' अवकल संक्रियक होते हैं जो लाप्लास संक्रियक का सामान्यीकरण करते हैं। उन्हें इस शर्त से परिभाषित किया जाता है जिससे उच्चतम-क्रम व्युत्पन्न के गुणांक घनात्मक होते हैं, जिसकी मुख्य विशेषता का तात्पर्य है कि मुख्य प्रतीक व्युत्क्रम या समकक्ष है। जिसकी कोई वास्तविक विशिष्ट दिशा नहीं होती हैं।
-दीर्घवृत्तीय संचालक [[संभावित सिद्धांत]] के विशिष्ट हैं, और वे प्रायः [[ इलेक्ट्रोस्टाटिक्स |इलेक्ट्रोस्टाटिक्स]] और सातत्य यांत्रिकी में दिखाई देते हैं। [[अण्डाकार नियमितता|दीर्घवृत्तीय नियमितता]] का अर्थ है कि उनके समाधान सुचारू कार्य करते हैं (यदि संक्रियक में गुणांक सुचारू हैं)। परवलयिक और [[परवलयिक आंशिक अंतर समीकरण|परवलयिक आंशिक अवकल समीकर]]णों के स्थिर-राज्य समाधान सामान्यतः दीर्घवृत्तीय समीकरणों को हल करते हैं।
+दीर्घवृत्तीय संक्रियक [[संभावित सिद्धांत]] के लिए विशिष्ट हैं वे प्रायः [[ इलेक्ट्रोस्टाटिक्स |स्थिरवैद्युतिकी]] और सातत्य यांत्रिकी में दिखाई देते हैं। [[अण्डाकार नियमितता|दीर्घवृत्तीय नियमितता]] का अर्थ है कि उनके समाधान नियमित रूप से कार्य करते हैं यदि संक्रियक में गुणांक स्थिर हैं। परवलयिक और [[परवलयिक आंशिक अंतर समीकरण|परवलयिक आंशिक अवकल समीकरणों]] के स्थिर संक्रियक सामान्यतः दीर्घवृत्तीय समीकरणों को हल करते हैं।
 == परिभाषाएँ ==
-मान लीजिए <math>L</math>, '''R'''<sup>''n''</sup> में दिए गए डोमेन <math>\Omega</math> पर क्रम m का एक रैखिक अवकल संक्रियक है:<math display="block"> Lu = \sum_{|\alpha| \le m} a_\alpha(x)\partial^\alpha u </math>
+मान लीजिए <math>L</math>, '''R'''<sup>''n''</sup> में दिए गए डोमेन <math>\Omega</math> पर अनुक्रम m का एक रैखिक अवकल संक्रियक है:<math display="block"> Lu = \sum_{|\alpha| \le m} a_\alpha(x)\partial^\alpha u </math>जहां <math>\alpha = (\alpha_1, \dots, \alpha_n)</math> [[मल्टी-इंडेक्स नोटेशन|बहु सूचकांक]] को दर्शाता है और <math>\partial^\alpha u = \partial^{\alpha_1}_1  \cdots \partial_n^{\alpha_n}u </math> में अनुक्रम <math>\alpha_i</math> के आंशिक व्युत्पन्न <math>x_i</math> को दर्शाता है। तब <math>L</math> को दीर्घवृत्तीय कहा जाता है यदि <math>\Omega</math> में प्रत्येक <math>\xi</math> और '''R'''<sup>''n''</sup> में प्रत्येक गैर-शून्य के लिए निम्न सूचकांक है:<math display="block"> \sum_{|\alpha| = m} a_\alpha(x)\xi^\alpha \neq 0,</math>जहाँ <math>\xi^\alpha = \xi_1^{\alpha_1} \cdots \xi_n^{\alpha_n}</math> कई अनुप्रयोगों में यह स्थिति पर्याप्त प्रबल नहीं है और इसके अतिरिक्त अनीकरम m = 2k के संक्रियकों के लिए एक समान दीर्घवृत्तीय स्थिति प्रयुक्त की जा सकती है:<math display="block"> (-1)^k\sum_{|\alpha| = 2k} a_\alpha(x) \xi^\alpha > C |\xi|^{2k},</math>जहाँ C एक धनात्मक स्थिरांक है। ध्यान दें कि दीर्घवृत्तीयता केवल उच्चतम-क्रम की शर्तों पर निर्भर करती है।<ref>Note that this is sometimes called ''strict ellipticity'', with ''uniform ellipticity'' being used to mean that an upper bound exists on the symbol of the operator as well. It is important to check the definitions the author is using, as conventions may differ. See, e.g., Evans, Chapter 6, for a use of the first definition, and Gilbarg and Trudinger, Chapter 3, for a use of the second.</ref>
-जहां <math>\alpha = (\alpha_1, \dots, \alpha_n)</math> एक [[मल्टी-इंडेक्स नोटेशन]] को दर्शाता है और<math>\partial^\alpha u = \partial^{\alpha_1}_1  \cdots \partial_n^{\alpha_n}u </math> में अनुक्रम <math>\alpha_i</math> के आंशिक व्युत्पन्न <math>x_i</math> को दर्शाता है।
+यदि एक गैर-रेखीय संक्रियक इसका रैखिककरण है। अर्थात किसी भी बिंदु के विषय में ''u'' इसके व्युत्पन्न के संबंध में पहला अनुक्रम टेलर विस्तार का दीर्घवृत्तीय संक्रियक है:<math display="block"> L(u) = F\left(x, u, \left(\partial^\alpha u\right)_{|\alpha| \le m}\right)</math>
+; उदाहरण 1: '''R'''<sup>''d''</sup> में [[लाप्लासियन]] का ऋणात्मक फलन दिया गया है:<math display="block"> - \Delta u = - \sum_{i=1}^d \partial_i^2 u </math> उपरोक्त समीकरण समान रूप से दीर्घवृत्तीय संक्रियक है। लाप्लास संक्रियक प्रायः स्थिरवैद्युतिकी में होता है। यदि ρ किसी क्षेत्र Ω के भीतर आवेशित घनत्व है, तो संभावित Φ को समीकरण को संतुष्ट किया जा सकता है:<math display="block"> - \Delta \Phi = 4\pi\rho</math>
-तब <math>L</math> को दीर्घवृत्तीय कहा जाता है यदि <math>\Omega</math> में प्रत्येक <math>\xi</math> और '''R'''<sup>''n''</sup> में प्रत्येक गैर-शून्य के लिए,<math display="block"> \sum_{|\alpha| = m} a_\alpha(x)\xi^\alpha \neq 0,</math>
+; उदाहरण 2: आव्यूह संख्या फलन ''A''(''x'') दिया गया है जो प्रत्येक ''x'' के लिए सममित और घनात्मक निश्चित है, जिसमें संक्रियक के घटक दीर्घवृत्तीय होते है: <math display="block"> Lu = -\partial_i\left(a^{ij}(x)\partial_ju\right) + b^j(x)\partial_ju + cu </math> यह दूसरे अनुक्रम के विचलन रैखिक दीर्घवृत्तीय अवकल संक्रियक के रूप का सबसे सामान्य रूप है। लाप्लास संक्रियक को A = I लेकर प्राप्त किया जाता है। ये संक्रियक ध्रुवीकृत माध्यम में स्थिर वैद्युतिकी में पाए जाते हैं।
+; उदाहरण 3: p के लिए एक गैर-ऋणात्मक संख्या, p लैप्लासियन गैर-रैखिक दीर्घवृत्तीय संक्रियक है जिसे परिभाषित किया गया है:<math display="block"> L(u) = -\sum_{i = 1}^d\partial_i\left(|\nabla u|^{p - 2}\partial_i u\right).</math> एक समान गैर-रेखीय संक्रियक [[बर्फ की चादर की गतिशीलता|ग्लेशियर यांत्रिकी]] में होता है। ग्लेन के प्रवाह नियम के अनुसार, बर्फ का कॉशी तनाव प्रदिश निम्न समीकरण द्वारा दिया जाता है: <math display="block">\tau_{ij} = B\left(\sum_{k,l = 1}^3\left(\partial_lu_k\right)^2\right)^{-\frac{1}{3}} \cdot \frac{1}{2} \left(\partial_ju_i + \partial_iu_j\right)</math> नियतांक B के लिए स्थिर अवस्था में बर्फ की परत का वेग तब अरेखीय दीर्घवृत्तीय प्रणाली को हल कर सकता है: <math display="block">\sum_{j = 1}^3\partial_j\tau_{ij} + \rho g_i - \partial_ip = Q,</math> जहां ρ बर्फ का घनत्व है, g गुरुत्वाकर्षण त्वरण सदिश है, p दबाव है और Q प्रणोदन है।
-जहाँ <math>\xi^\alpha = \xi_1^{\alpha_1} \cdots \xi_n^{\alpha_n}</math>.
-कई अनुप्रयोगों में, यह स्थिति पर्याप्त प्रबल नहीं है, और इसके बजाय आदेश m = 2k के संक्रियकों के लिए एक समान दीर्घवृत्तीय स्थिति लागू की जा सकती है:<math display="block"> (-1)^k\sum_{|\alpha| = 2k} a_\alpha(x) \xi^\alpha > C |\xi|^{2k},</math>जहाँ C एक धनात्मक स्थिरांक है। ध्यान दें कि दीर्घवृत्तीयता केवल उच्चतम-क्रम की शर्तों पर निर्भर करती है।<ref>Note that this is sometimes called ''strict ellipticity'', with ''uniform ellipticity'' being used to mean that an upper bound exists on the symbol of the operator as well. It is important to check the definitions the author is using, as conventions may differ. See, e.g., Evans, Chapter 6, for a use of the first definition, and Gilbarg and Trudinger, Chapter 3, for a use of the second.</ref>
-एक गैर-रेखीय संक्रियक<math display="block"> L(u) = F\left(x, u, \left(\partial^\alpha u\right)_{|\alpha| \le m}\right)</math>यदि इसका रैखिककरण है; यानी किसी भी बिंदु के बारे में ''u'' और इसके व्युत्पन्न के संबंध में पहला अनुक्रम टेलर विस्तार एक दीर्घवृत्तीय संक्रियक है।
-; उदाहरण 1: '''R'''<sup>''d''</sup> में [[लाप्लासियन]] का ऋणात्मक दिया गया है:<math display="block"> - \Delta u = - \sum_{i=1}^d \partial_i^2 u </math> एक समान रूप से दीर्घवृत्तीय संक्रियक है। लाप्लास संक्रियक प्रायः इलेक्ट्रोस्टैटिक्स में होता है। यदि ρ किसी क्षेत्र Ω के भीतर चार्ज घनत्व है, तो संभावित Φ को समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए<math display="block"> - \Delta \Phi = 4\pi\rho.</math>
-; उदाहरण 2: एक मैट्रिक्स-मूल्यवान फलन ''A''(''x'') दिया गया है जो प्रत्येक ''x'' के लिए सममित और घनात्मक निश्चित है, जिसमें संक्रियक के घटक हैं: <math display="block"> Lu = -\partial_i\left(a^{ij}(x)\partial_ju\right) + b^j(x)\partial_ju + cu </math> दीर्घवृत्तीय है। यह एक दूसरे क्रम के विचलन रूप का सबसे सामान्य रूप है रैखिक दीर्घवृत्तीय अवकल संक्रियक। लाप्लास संक्रियक को A = I लेकर प्राप्त किया जाता है। ये संक्रियक ध्रुवीकृत मीडिया में स्थिर वैद्युतिकी में भी पाए जाते हैं।
-; उदाहरण 3: पी के लिए एक गैर-ऋणात्मक संख्या, P-लैप्लासियन एक गैर-रैखिक दीर्घवृत्तीय संक्रियक है जिसे परिभाषित किया गया है<math display="block"> L(u) = -\sum_{i = 1}^d\partial_i\left(|\nabla u|^{p - 2}\partial_i u\right).</math> एक समान गैर-रेखीय संक्रियक [[बर्फ की चादर की गतिशीलता]] में होता है। ग्लेन के प्रवाह नियम के अनुसार, बर्फ का कॉशी तनाव टेंसर किसके द्वारा दिया जाता है <math display="block">\tau_{ij} = B\left(\sum_{k,l = 1}^3\left(\partial_lu_k\right)^2\right)^{-\frac{1}{3}} \cdot \frac{1}{2} \left(\partial_ju_i + \partial_iu_j\right)</math> कुछ स्थिर बी के लिए। स्थिर अवस्था में एक बर्फ की चादर का वेग तब अरेखीय दीर्घवृत्तीय प्रणाली को हल करेगा <math display="block">\sum_{j = 1}^3\partial_j\tau_{ij} + \rho g_i - \partial_ip = Q,</math> जहां ρ बर्फ का घनत्व है, g गुरुत्वाकर्षण त्वरण सदिश है, p दबाव है और Q एक फोर्सिंग टर्म है।
 == दीर्घवृत्तीय नियमितता प्रमेय ==
-एल को 2k निरंतर व्युत्पन्न वाले गुणांक वाले अनुक्रम 2k के दीर्घवृत्तीय संक्रियक होने दें। L के लिए डिरिचलेट समस्या एक फलन यू खोजने के लिए है, एक फलन f और कुछ उचित सीमा मान दिए गए हैं, जैसे कि ''Lu = f'' और u के पास उपयुक्त सीमा मान और सामान्य व्युत्पन्न हैं। गर्डिंग की असमानता और लक्स-मिलग्राम लेम्मा का उपयोग करते हुए दीर्घवृत्तीय संक्रियकों के लिए अस्तित्व सिद्धांत, केवल गारंटी देता है कि एक दुर्बल समाधान u सोबोलेव समष्टि ''H<sup>k</sup>'' में सम्मिलित है।
+माना कि <math>L</math> नियमित व्युत्पन्न 2k वाले गुणांक अनुक्रम 2k का एक दीर्घवृत्तीय सूचकांक है। <math>L</math> के लिए डिरिचलेट समस्या का फलन u को खोजने के लिए फलन f और कुछ उपयुक्त सीमा मान दिए गए हैं। जैसे कि <math>Lu = f</math> और '''u''' के पास उपयुक्त सीमा मान सामान्य व्युत्पन्न हैं। गर्डिंग की असमानता और लक्स-मिलग्राम लेम्मा का उपयोग करते हुए दीर्घवृत्तीय संक्रियकों के लिए अस्तित्व सिद्धांत, केवल दायित्व करता है कि एक दुर्बल समाधान '''u''' सोबोलेव समष्टि '''''H<sup>k</sup>''''' में सम्मिलित है।
-यह स्थिति अंततः असंतोषजनक है, क्योंकि दुर्बल समाधान यू के पास शास्त्रीय अर्थों में अच्छी तरह से परिभाषित होने के लिए अभिव्यक्ति लू के लिए पर्याप्त व्युत्पन्न नहीं हो सकता है।
-दीर्घवृत्तीय नियमितता प्रमेय गारंटी देता है कि, बशर्ते f वर्ग-अभिन्नीकरणीय हो, तो वास्तव में आपके पास 2k वर्ग-समाकलन योग्य दुर्बल व्युत्पन्न होंगे। विशेष रूप से, यदि f अपरिमित-प्रायः अवकलनीय है, तो u भी है।
+यह स्थिति अंततः असंतोषजनक है क्योंकि दुर्बल समाधान u के पास पारम्परिक अर्थों में अच्छी तरह से परिभाषित होने के लिए अभिव्यक्ति '''''Lu''''' के लिए पर्याप्त व्युत्पन्न नहीं हो सकता है। दीर्घवृत्तीय नियमितता प्रमेय दायित्व करता है कि यदि '''<math>f</math>''' वर्ग-अभिन्नीकरणीय है तो वास्तव में आपके पास 2k वर्ग समाकलन योग्य दुर्बल व्युत्पन्न हो सकते है। विशेष रूप से यदि <math>f</math> अपरिमित है तब प्रायः u अवकलनीय होता है।
-इस संपत्ति को प्रदर्शित करने वाले किसी भी अवकल संक्रियक को [[हाइपोएलिप्टिक ऑपरेटर|हाइपोएलिप्टिक संक्रियक]] कहा जाता है; इस प्रकार, प्रत्येक दीर्घवृत्तीय संक्रियक हाइपोएलिप्टिक है। संपत्ति का यह भी अर्थ है कि एक दीर्घवृत्तीय संक्रियक का प्रत्येक [[मौलिक समाधान]] किसी भी पड़ोस में असीम रूप से भिन्न होता है जिसमें 0 नहीं होता है।
+इस विशेषता को प्रदर्शित करने वाले किसी भी अवकल संक्रियक को [[हाइपोएलिप्टिक ऑपरेटर|हाइपोएलिप्टिक संक्रियक]] कहा जाता है। इस प्रकार, प्रत्येक दीर्घवृत्तीय संक्रियक हाइपोएलिप्टिक संक्रियक होते है। इस विशेषता का अर्थ यह है कि एक दीर्घवृत्तीय संक्रियक का प्रत्येक [[मौलिक समाधान]] किसी भी निकटतम फलन में असीम रूप से भिन्न होता है अर्थात जिसमें 0 नहीं होता है।
-एक अनुप्रयोग के रूप में, मान लीजिए कि एक फलन <math>f</math> कॉची-रीमैन समीकरणों को संतुष्ट करता है। चूंकि कौशी-रीमैन समीकरण एक दीर्घवृत्तीय संक्रियक बनाते हैं, इसलिए यह अनुसरण करता है कि <math>f</math> चिकना है।
+एक अनुप्रयोग के रूप में, मान लीजिए कि फलन <math>f</math> कॉची-रीमैन समीकरणों को संतुष्ट करता है। चूंकि कौशी-रीमैन समीकरण दीर्घवृत्तीय संक्रियक बनाते हैं। इसलिए यह अनुसरण करता है कि <math>f</math> समतल है।
 == सामान्य परिभाषा ==
-होने देना <math>D</math> किसी भी रैंक के सदिश बंडलों के बीच एक (संभवतः गैर-रैखिक) अवकल संक्रियक बनें। एक अवकल संक्रियक का इसका प्रतीक लें <math>\sigma_\xi(D)</math> एक रूप के संबंध में <math>\xi</math>. (असल में, हम जो कर रहे हैं वह उच्चतम क्रम सहसंयोजक व्युत्पन्न की जगह ले रहा है <math>\nabla</math> सदिश क्षेत्रों द्वारा <math>\xi</math>.)
+माना कि <math>D</math> किसी भी स्थित सदिश समूहों के बीच एक (संभवतः गैर-रैखिक) अवकल संक्रियक है। और माना कि अवकल संक्रियक संबंध <math>\sigma_\xi(D)</math> मे इसका प्रतीक <math>\xi</math> है। सामान्यतः यह फलन उच्चतम-क्रम के सहपरिवर्ती व्युत्पन्न को <math>\nabla</math> सदिश क्षेत्र <math>\xi</math> द्वारा प्रतिस्थापित करता है।
-हम कहते हैं कि <math>D</math> दुर्बल रूप से दीर्घवृत्तीय है यदि <math>\sigma_\xi(D)</math> प्रत्येक गैर-शून्य <math>\xi</math> के लिए एक रैखिक समरूपता है।
-हम कहते हैं कि <math>D</math> (समान रूप से) दृढ़ता से दीर्घवृत्तीय है यदि कुछ स्थिर <math>c > 0</math> के लिए,<math display="block">\left([\sigma_\xi(D)](v), v\right) \geq c\|v\|^2 </math>सभी के लिए <math>\|\xi\|=1</math> और सभी <math>v</math>. यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि लेख के पिछले भाग में दीर्घवृत्त की परिभाषा प्रबल दीर्घवृत्तीय है। यहाँ <math>(\cdot,\cdot)</math> एक आंतरिक उत्पाद है। ध्यान दें कि <math>\xi</math> कोसदिश फील्ड या वन-फॉर्म हैं, लेकिन <math>v</math> सदिश बंडल के तत्व हैं जिन पर <math>D</math> कार्य करता है।
+हम कहते हैं कि <math>D</math> दुर्बल रूप से दीर्घवृत्तीय है यदि <math>\sigma_\xi(D)</math> प्रत्येक गैर-शून्य <math>\xi</math> के लिए रैखिक समरूपता है।
+हम कहते हैं कि <math>D</math> समान रूप से प्रबल दीर्घवृत्तीय है यदि यह <math>c > 0</math> के लिए स्थिर है।<math display="block">\left([\sigma_\xi(D)](v), v\right) \geq c\|v\|^2 </math>उपरोक्त सभी <math>\|\xi\|=1</math> और <math>v</math> के लिए यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि लेख के पिछले भाग में दीर्घवृत्त की परिभाषा प्रबल दीर्घवृत्तीय है। यहाँ <math>(\cdot,\cdot)</math> एक आंतरिक उत्पाद है। ध्यान दें कि <math>\xi</math> सदिश क्षेत्र या सूचकांक हैं लेकिन <math>v</math> सदिश समूह के तत्व हैं जिन पर <math>D</math> कार्य करता है।<br />दीर्घवृत्तीय संक्रियक का सर्वोत्कृष्ट उदाहरण लाप्लासियन या इसके ऋणात्मक फलन के आधार पर है। यह देखना कठिन नहीं है कि <math>D</math> एक विकल्प होने के लिए प्रबल दीर्घवृत्तीयता के लिए समान क्रम की आवश्यकता होती है। अन्यथा दोनों के समीकरण पर विचार करें कि <math>\xi</math> और इसका ऋणात्मक फलन दूसरी ओर एक दुर्बल दीर्घवृत्तीय प्रथम-अनुक्रम सूचकांक जैसे कि डायराक सूचकांक, लाप्लासियन जैसे कि प्रबल दीर्घवृत्तीय सूचकांक बनने के लिए वर्गाकार हो सकते है। दुर्बल दीर्घवृत्तीय संक्रियकों की संरचना दुर्बल दीर्घवृत्तीय होती है।
-एक (दृढ़ता से) दीर्घवृत्तीय संक्रियक का सर्वोत्कृष्ट उदाहरण लाप्लासियन (या इसके ऋणात्मक, सम्मेलन के आधार पर) है। यह देखना कठिन नहीं है <math>D</math> एक विकल्प होने के लिए प्रबल दीर्घवृत्तीयता के लिए समान क्रम की आवश्यकता है। अन्यथा, दोनों में प्लगिंग पर विचार करें <math>\xi</math> और इसका ऋणात्मक। दूसरी ओर, एक दुर्बल दीर्घवृत्तीय प्रथम-क्रम संचालिका, जैसे कि डायराक संचालिका, लाप्लासियन जैसे प्रबल दीर्घवृत्तीय संचालिका बनने के लिए वर्गाकार हो सकती है। दुर्बल दीर्घवृत्तीय संक्रियकों की संरचना दुर्बल दीर्घवृत्तीय है।
-दुर्बल दीर्घवृत्तीयता फिर भी फ्रेडहोम विकल्प, शाउडर अनुमान और अतियाह-सिंगर इंडेक्स प्रमेय के लिए पर्याप्त प्रबल है। दूसरी ओर, हमें [[अधिकतम सिद्धांत]] के लिए प्रबल दीर्घवृत्तीयता की आवश्यकता है, और यह गारंटी देने के लिए कि आइगेन मान असतत हैं और उनका एकमात्र सीमा बिंदु अनंत है।
+दुर्बल दीर्घवृत्तीयता फ्रेडहोम सिद्धान्त, शाउडर अनुमान और अतियाह-सिंगर सूचकांक प्रमेय के लिए पर्याप्त प्रबल है। दूसरी ओर [[अधिकतम सिद्धांत]] के लिए प्रबल दीर्घवृत्तीयता की आवश्यकता होती है और यह दायित्व देने के लिए कि आइगेन मान असतत हैं और उनका एकमात्र सीमा बिंदु अनंत होता है।
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