पीटरसन आव्यूह

पीटरसन मैट्रिक्स जीव रसायन की प्रणालियों का एक व्यापक विवरण है जिसका उपयोग बायोडिग्रेडेबिलिटी पूर्व संकल्पनाओं (इंजीनियर अपघटन) के साथ-साथ पर्यावरण प्रणालियों में रासायनिक रिएक्टर को प्रारूपित करने के लिए किया जाता है। इसमें सम्मिलित घटकों (रसायन, प्रदूषकों, बायोमास, गैसों) की संख्या के रूप में कई कॉलम और सम्मिलित रासायनिक प्रक्रिया (जैव रासायनिक प्रतिक्रियाओं और भौतिक गिरावट) की संख्या के रूप में कई पंक्तियाँ स्थापित होती हैं। प्रत्येक परिवर्तन (दर समीकरण) के गतिज ऊर्जा (रसायन विज्ञान) के विवरण को संचालित करने के लिए एक और कॉलम जोड़ा गया है।

मैट्रिक्स संरचना

प्रत्येक प्रक्रिया के लिए द्रव्यमान संरक्षण सिद्धांत मैट्रिक्स की पंक्तियों में व्यक्त किया गया है। यदि सभी घटकों को सम्मिलित किया जाता है (कोई भी छोड़ा नहीं जाता है) तो द्रव्यमान संरक्षण सिद्धांत बताता है कि, प्रत्येक प्रक्रिया के लिए:

${\text{for all process }}i:\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\dot {\rho _{j}}}=0\;,$

जहाँ ${\dot {\rho _{j}}}$ प्रत्येक घटक की घनत्व दर है। इसे स्तुईचिओमेटरी प्रक्रिया के रूप में भी देखा जा सकता है।

इसके अलावा, सभी प्रक्रियाओं के एक साथ प्रभाव के लिए प्रत्येक घटक की भिन्नता की दर का आसानी से कॉलमों के योग से आकलन किया जा सकता है:

${\text{for all component }}j:{\frac {\partial C_{j}}{\partial t}}=\sum _{i=1}^{m}a_{ij}r_{i}\;,$

जहाँ $r_{i}$ प्रत्येक प्रक्रिया की प्रतिक्रिया दर हैं।

उदाहरण

माइकलिस-मेंटेन एंजाइम प्रतिक्रिया के बाद प्रतिक्रिया के तीसरे क्रम की एक प्रणाली के रूप में कार्य करता है।

${\ce {{A}+ 2B -> S}}$

${\ce {{E}+S<=>[k_{f}][k_{r}]ES->[k_{\mathrm {cat} }]{E}+P}}$

जहां अभिकर्मक A और B मिलकर कार्यद्रव S (S = AB₂), जो एंजाइम E की मदद से उत्पाद P में परिवर्तित हो जाता है। प्रत्येक पदार्थ के लिए उत्पादन दर निम्नलिखित है:

${\begin{aligned}{\frac {d[{\ce {A}}]}{dt}}&=-k_{1}[{\ce {A}}][{\ce {B}}]^{2}\\[6pt]{\frac {d[{\ce {B}}]}{dt}}&=-2k_{1}[{\ce {A}}][{\ce {B}}]^{2}\\[6pt]{\frac {d[{\ce {S}}]}{dt}}&=k_{1}[{\ce {A}}][{\ce {B}}]^{2}-k_{f}[{\ce {E}}][{\ce {S}}]+k_{r}[{\ce {ES}}]\\[6pt]{\frac {d[{\ce {E}}]}{dt}}&=-k_{f}[{\ce {E}}][{\ce {S}}]+k_{r}[{\ce {ES}}]+k_{\ce {cat}}[{\ce {E}}S]\\[6pt]{\frac {d[{\ce {E}}S]}{dt}}&=k_{f}[{\ce {E}}][{\ce {S}}]-k_{r}[{\ce {ES}}]-k_{\ce {cat}}[{\ce {ES}}]\\[6pt]{\frac {d[{\ce {P}}]}{dt}}&=k_{\ce {cat}}[{\ce {E}}S]\end{aligned}}$

इसलिए, पीटरसन मैट्रिक्स के रूप में संदर्भित होता है।

Components (kmol/m³) Process	A	B	S	E	ES	P	Reaction rate
P1: 2nd order formation of S from A and B	−1	−2	+1	0	0	0	$k_{1}[{\ce {A}}][{\ce {B}}]^{2}$
P2: Formation of ES from E and S	0	0	−1	−1	+1	0	$k_{f}[{\ce {E}}][{\ce {S}}]$
P3: Back decomposition of ES into E and S	0	0	+1	+1	−1	0	$k_{r}[{\ce {ES}}]$
P4: Forward decomposition of ES into E and P	0	0	0	+1	−1	+1	$k_{{\ce {cat}}}[{\ce {ES}}]$

पीटरसन मैट्रिक्स का उपयोग प्रणाली के दर समीकरण को लिखने के लिए किया जा सकता है

${\begin{pmatrix}{\frac {d}{dt}}[{\ce {A}}]\\{\frac {d}{dt}}[{\ce {B}}]\\{\frac {d}{dt}}[{\ce {S}}]\\{\frac {d}{dt}}[{\ce {E}}]\\{\frac {d}{dt}}[{\ce {ES}}]\\{\frac {d}{dt}}[{\ce {P}}]\end{pmatrix}}={\begin{bmatrix}-1&0&0&0\\-2&0&0&0\\+1&-1&+1&0\\0&-1&+1&+1\\0&+1&-1&-1\\0&0&0&+1\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}k_{1}[{\ce {A}}][{\ce {B}}]^{2}\\k_{f}[{\ce {E}}][{\ce {S}}]\\k_{r}[{\ce {ES}}]\\k_{\ce {cat}}[{\ce {ES}}]\end{pmatrix}}$