वेब्लेन फलन: Difference between revisions

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कार्यों के इस परिवार को वेब्लेन पदानुक्रम के रूप में जाना जाता है।
कार्यों के इस परिवार को वेब्लेन पदानुक्रम के रूप में जाना जाता है।
समारोह φ<sub>1</sub> एप्सिलॉन संख्या (गणित) के समान है|ε फलन: φ<sub>1</sub>(ए) = ई<sub>α</sub>.<ref>Stephen G. Simpson, ''Subsystems of Second-order Arithmetic'' (2009, p.387)</ref> अगर <math>\alpha < \beta \,,</math> तब <math>\varphi_{\alpha}(\varphi_{\beta}(\gamma)) = \varphi_{\beta}(\gamma)</math>.<ref name="Rathjen90">M. Rathjen, [https://www1.maths.leeds.ac.uk/~rathjen/Ord_Notation_Weakly_Mahlo.pdf Ordinal notations based on a weakly Mahlo cardinal], (1990, p.251). Accessed 16 August 2022.</ref> इससे और इस तथ्य से कि φ<sub>β</sub> सख्ती से बढ़ रहा है हम आदेश प्राप्त करते हैं: <math>\varphi_\alpha(\beta) < \varphi_\gamma(\delta) </math> अगर और केवल अगर या तो (<math>\alpha = \gamma </math> और <math>\beta < \delta </math>) या (<math>\alpha < \gamma </math> और <math>\beta < \varphi_\gamma(\delta) </math>) या (<math>\alpha > \gamma </math> और <math>\varphi_\alpha(\beta) < \delta </math>).<ref name="Rathjen90" />
समारोह φ<sub>1</sub> एप्सिलॉन संख्या (गणित) के समान है|ε फलन: φ<sub>1</sub>(ए) = ई<sub>α</sub>.<ref>Stephen G. Simpson, ''Subsystems of Second-order Arithmetic'' (2009, p.387)</ref> अगर <math>\alpha < \beta \,,</math> तब <math>\varphi_{\alpha}(\varphi_{\beta}(\gamma)) = \varphi_{\beta}(\gamma)</math>.<ref name="Rathjen90">M. Rathjen, [https://www1.maths.leeds.ac.uk/~rathjen/Ord_Notation_Weakly_Mahlo.pdf Ordinal notations based on a weakly Mahlo cardinal], (1990, p.251). Accessed 16 August 2022.</ref> इससे और इस तथ्य से कि φ<sub>β</sub> सख्ती से बढ़ रहा है हम आदेश प्राप्त करते हैं: <math>\varphi_\alpha(\beta) < \varphi_\gamma(\delta) </math> अगर और केवल अगर या तो (<math>\alpha = \gamma </math> और <math>\beta < \delta </math>) या (<math>\alpha < \gamma </math> और <math>\beta < \varphi_\gamma(\delta) </math>) या (<math>\alpha > \gamma </math> और <math>\varphi_\alpha(\beta) < \delta </math>).<ref name="Rathjen90" />
=== वेब्लेन पदानुक्रम के लिए मौलिक अनुक्रम ===
=== वेब्लेन पदानुक्रम के लिए मौलिक अनुक्रम ===
{{unsourced section|date=May 2023}}
[[cofinality]] ω के साथ क्रमसूचक के लिए मौलिक अनुक्रम विशिष्ट रूप से बढ़ता हुआ ω-अनुक्रम है जिसकी सीमा के रूप में क्रमसूचक है। यदि किसी के पास α और सभी छोटे सीमा अध्यादेशों के लिए मौलिक अनुक्रम हैं, तो कोई ω और α के बीच स्पष्ट रचनात्मक आक्षेप बना सकता है, (अर्थात पसंद के स्वयंसिद्ध का उपयोग नहीं कर रहा है)। यहां हम ऑर्डिनल्स के वेब्लेन पदानुक्रम के लिए मौलिक अनुक्रमों का वर्णन करेंगे। α के मौलिक अनुक्रम के तहत n की छवि α[n] द्वारा इंगित की जाएगी।
[[cofinality]] ω के साथ एक क्रमसूचक के लिए मौलिक अनुक्रम एक विशिष्ट रूप से बढ़ता हुआ ω-अनुक्रम है जिसकी सीमा के रूप में क्रमसूचक है। यदि किसी के पास α और सभी छोटे सीमा अध्यादेशों के लिए मौलिक अनुक्रम हैं, तो कोई ω और α के बीच एक स्पष्ट रचनात्मक आक्षेप बना सकता है, (अर्थात पसंद के स्वयंसिद्ध का उपयोग नहीं कर रहा है)। यहां हम ऑर्डिनल्स के वेब्लेन पदानुक्रम के लिए मौलिक अनुक्रमों का वर्णन करेंगे। α के मौलिक अनुक्रम के तहत n की छवि α[n] द्वारा इंगित की जाएगी।


वेब्लेन पदानुक्रम के संबंध में उपयोग किए जाने वाले सामान्य अंकगणित # कैंटर सामान्य रूप की भिन्नता है - प्रत्येक गैर-शून्य क्रमिक संख्या α को विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है <math>\alpha = \varphi_{\beta_1}(\gamma_1) + \varphi_{\beta_2}(\gamma_2) + \cdots + \varphi_{\beta_k}(\gamma_k)</math>, जहाँ k>0 एक प्राकृत संख्या है और पहले के बाद का प्रत्येक पद पिछले पद से कम या बराबर है, <math>\varphi_{\beta_m}(\gamma_m) \geq \varphi_{\beta_{m+1}}(\gamma_{m+1}) \,,</math> और प्रत्येक <math>\gamma_m < \varphi_{\beta_m}(\gamma_m) \,.</math> यदि अंतिम पद के लिए एक मौलिक अनुक्रम प्रदान किया जा सकता है, तो उस पद को प्राप्त करने के लिए ऐसे अनुक्रम से प्रतिस्थापित किया जा सकता है <math>\alpha [n] = \varphi_{\beta_1}(\gamma_1) + \cdots + \varphi_{\beta_{k-1}}(\gamma_{k-1}) + (\varphi_{\beta_k}(\gamma_k) [n]) \,.</math>
वेब्लेन पदानुक्रम के संबंध में उपयोग किए जाने वाले सामान्य अंकगणित # कैंटर सामान्य रूप की भिन्नता है - प्रत्येक गैर-शून्य क्रमिक संख्या α को विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है <math>\alpha = \varphi_{\beta_1}(\gamma_1) + \varphi_{\beta_2}(\gamma_2) + \cdots + \varphi_{\beta_k}(\gamma_k)</math>, जहाँ k>0 प्राकृत संख्या है और पहले के बाद का प्रत्येक पद पिछले पद से कम या बराबर है, <math>\varphi_{\beta_m}(\gamma_m) \geq \varphi_{\beta_{m+1}}(\gamma_{m+1}) \,,</math> और प्रत्येक <math>\gamma_m < \varphi_{\beta_m}(\gamma_m) \,.</math> यदि अंतिम पद के लिए मौलिक अनुक्रम प्रदान किया जा सकता है, तो उस पद को प्राप्त करने के लिए ऐसे अनुक्रम से प्रतिस्थापित किया जा सकता है <math>\alpha [n] = \varphi_{\beta_1}(\gamma_1) + \cdots + \varphi_{\beta_{k-1}}(\gamma_{k-1}) + (\varphi_{\beta_k}(\gamma_k) [n]) \,.</math>
किसी भी β के लिए, यदि γ एक सीमा है <math>\gamma < \varphi_{\beta} (\gamma) \,,</math> तो करने दें <math>\varphi_{\beta}(\gamma) [n] = \varphi_{\beta}(\gamma [n]) \,.</math>
किसी भी β के लिए, यदि γ सीमा है <math>\gamma < \varphi_{\beta} (\gamma) \,,</math> तो करने दें <math>\varphi_{\beta}(\gamma) [n] = \varphi_{\beta}(\gamma [n]) \,.</math>
ऐसा कोई क्रम प्रदान नहीं किया जा सकता है <math>\varphi_0(0)</math> = ओ<sup>0</sup> = 1 क्योंकि इसमें अंतिमता ω नहीं है।
ऐसा कोई क्रम प्रदान नहीं किया जा सकता है <math>\varphi_0(0)</math> = ओ<sup>0</sup> = 1 क्योंकि इसमें अंतिमता ω नहीं है।


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के लिए <math>\varphi_{\beta+1}(\gamma+1)</math>, हम उपयोग करते हैं <math>\varphi_{\beta+1}(\gamma+1) [0] = \varphi_{\beta+1}(\gamma)+1 </math> और <math>\varphi_{\beta+1}(\gamma+1) [n+1] = \varphi_{\beta} (\varphi_{\beta+1}(\gamma+1) [n]) \,.</math>
के लिए <math>\varphi_{\beta+1}(\gamma+1)</math>, हम उपयोग करते हैं <math>\varphi_{\beta+1}(\gamma+1) [0] = \varphi_{\beta+1}(\gamma)+1 </math> और <math>\varphi_{\beta+1}(\gamma+1) [n+1] = \varphi_{\beta} (\varphi_{\beta+1}(\gamma+1) [n]) \,.</math>
अब मान लीजिए कि β एक सीमा है:
अब मान लीजिए कि β सीमा है:


अगर <math>\beta < \varphi_{\beta}(0)</math>, तो करने दें <math>\varphi_{\beta}(0) [n] = \varphi_{\beta [n]}(0) \,.</math>
अगर <math>\beta < \varphi_{\beta}(0)</math>, तो करने दें <math>\varphi_{\beta}(0) [n] = \varphi_{\beta [n]}(0) \,.</math>
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सी<sub>0</sub> Feferman-Schütte क्रमसूचक है, अर्थात यह सबसे छोटा α है जैसे कि φ<sub>α</sub>(0) = ए।
सी<sub>0</sub> Feferman-Schütte क्रमसूचक है, अर्थात यह सबसे छोटा α है जैसे कि φ<sub>α</sub>(0) = ए।


जी के लिए<sub>0</sub>, एक मौलिक अनुक्रम को चुना जा सकता है <math>\Gamma_0 [0] = 0 </math> और <math>\Gamma_0 [n+1] = \varphi_{\Gamma_0 [n]} (0) \,.</math>
जी के लिए<sub>0</sub>, मौलिक अनुक्रम को चुना जा सकता है <math>\Gamma_0 [0] = 0 </math> और <math>\Gamma_0 [n+1] = \varphi_{\Gamma_0 [n]} (0) \,.</math>
जी के लिए<sub>β+1</sub>, होने देना <math>\Gamma_{\beta+1} [0] = \Gamma_{\beta} + 1 </math> और <math>\Gamma_{\beta+1} [n+1] = \varphi_{\Gamma_{\beta+1} [n]} (0) \,.</math>
जी के लिए<sub>β+1</sub>, होने देना <math>\Gamma_{\beta+1} [0] = \Gamma_{\beta} + 1 </math> और <math>\Gamma_{\beta+1} [n+1] = \varphi_{\Gamma_{\beta+1} [n]} (0) \,.</math>
जी के लिए<sub>β</sub> कहाँ <math>\beta < \Gamma_{\beta} </math> एक सीमा है, चलो <math>\Gamma_{\beta} [n] = \Gamma_{\beta [n]} \,.</math>
जी के लिए<sub>β</sub> कहाँ <math>\beta < \Gamma_{\beta} </math> सीमा है, चलो <math>\Gamma_{\beta} [n] = \Gamma_{\beta [n]} \,.</math>
 
 
== सामान्यीकरण ==
== सामान्यीकरण ==


=== अंत में कई चर ===
=== अंत में कई चर ===
तर्कों की एक परिमित संख्या (अंतिम वेब्लेन फ़ंक्शन) के वेब्लेन फ़ंक्शन का निर्माण करने के लिए, बाइनरी फ़ंक्शन दें <math>\varphi(\alpha, \gamma)</math> होना <math>\varphi_\alpha(\gamma)</math> जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है।
तर्कों की परिमित संख्या (अंतिम वेब्लेन फ़ंक्शन) के वेब्लेन फ़ंक्शन का निर्माण करने के लिए, बाइनरी फ़ंक्शन दें <math>\varphi(\alpha, \gamma)</math> होना <math>\varphi_\alpha(\gamma)</math> जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है।


होने देना <math>z</math> एक खाली स्ट्रिंग या एक या एक से अधिक अल्पविराम से अलग किए गए शून्य से युक्त एक स्ट्रिंग हो <math>0,0,...,0</math> और <math>s</math> एक खाली स्ट्रिंग या एक या एक से अधिक कॉमा-सेपरेटेड ऑर्डिनल्स से युक्त स्ट्रिंग हो <math>\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}</math> साथ <math>\alpha _{1}>0</math>. बाइनरी फ़ंक्शन <math>\varphi (\beta ,\gamma )</math> रूप में लिखा जा सकता है <math>\varphi (s,\beta ,z,\gamma )</math> जहां दोनों <math>s</math> और <math>z</math> खाली तार हैं।
होने देना <math>z</math> खाली स्ट्रिंग या या से अधिक अल्पविराम से अलग किए गए शून्य से युक्त स्ट्रिंग हो <math>0,0,...,0</math> और <math>s</math> खाली स्ट्रिंग या या से अधिक कॉमा-सेपरेटेड ऑर्डिनल्स से युक्त स्ट्रिंग हो <math>\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}</math> साथ <math>\alpha _{1}>0</math>. बाइनरी फ़ंक्शन <math>\varphi (\beta ,\gamma )</math> रूप में लिखा जा सकता है <math>\varphi (s,\beta ,z,\gamma )</math> जहां दोनों <math>s</math> और <math>z</math> खाली तार हैं।
अंतिम वेब्लेन कार्यों को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:
अंतिम वेब्लेन कार्यों को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:
* <math>\varphi (\gamma )=\omega ^{\gamma }</math>
* <math>\varphi (\gamma )=\omega ^{\gamma }</math>
* <math>\varphi (z,s,\gamma )=\varphi (s,\gamma )</math>
* <math>\varphi (z,s,\gamma )=\varphi (s,\gamma )</math>
* अगर <math>\beta >0</math>, तब <math>\varphi (s,\beta ,z,\gamma )</math> दर्शाता है <math>(1+\gamma )</math>कार्यों का सामान्य निश्चित बिंदु <math>\xi \mapsto \varphi (s,\delta ,\xi ,z)</math> प्रत्येक के लिए <math>\delta <\beta</math>
* अगर <math>\beta >0</math>, तब <math>\varphi (s,\beta ,z,\gamma )</math> दर्शाता है <math>(1+\gamma )</math>कार्यों का सामान्य निश्चित बिंदु <math>\xi \mapsto \varphi (s,\delta ,\xi ,z)</math> प्रत्येक के लिए <math>\delta <\beta</math>
उदाहरण के लिए, <math>\varphi(1,0,\gamma)</math> है <math>(1+\gamma)</math>- कार्यों का निश्चित बिंदु <math>\xi\mapsto\varphi(\xi,0)</math>, अर्थात् <math>\Gamma_\gamma</math>; तब <math>\varphi(1,1,\gamma)</math> उस फ़ंक्शन के निश्चित बिंदुओं की गणना करता है, अर्थात <math>\xi\mapsto\Gamma_\xi</math> समारोह; और <math>\varphi(2,0,\gamma)</math> सभी के निश्चित बिंदुओं की गणना करता है <math>\xi\mapsto\varphi(1,\xi,0)</math>. सामान्यीकृत वेब्लेन फ़ंक्शंस का प्रत्येक उदाहरण अंतिम नॉनज़रो वेरिएबल में निरंतर है (यानी, यदि एक वेरिएबल को अलग-अलग बनाया जाता है और बाद के सभी वेरिएबल्स को लगातार शून्य के बराबर रखा जाता है)।
उदाहरण के लिए, <math>\varphi(1,0,\gamma)</math> है <math>(1+\gamma)</math>- कार्यों का निश्चित बिंदु <math>\xi\mapsto\varphi(\xi,0)</math>, अर्थात् <math>\Gamma_\gamma</math>; तब <math>\varphi(1,1,\gamma)</math> उस फ़ंक्शन के निश्चित बिंदुओं की गणना करता है, अर्थात <math>\xi\mapsto\Gamma_\xi</math> समारोह; और <math>\varphi(2,0,\gamma)</math> सभी के निश्चित बिंदुओं की गणना करता है <math>\xi\mapsto\varphi(1,\xi,0)</math>. सामान्यीकृत वेब्लेन फ़ंक्शंस का प्रत्येक उदाहरण अंतिम नॉनज़रो वेरिएबल में निरंतर है (यानी, यदि वेरिएबल को अलग-अलग बनाया जाता है और बाद के सभी वेरिएबल्स को लगातार शून्य के बराबर रखा जाता है)।


क्रमसूचक <math>\varphi(1,0,0,0)</math> कभी-कभी [[एकरमैन ऑर्डिनल]] के रूप में जाना जाता है। की सीमा <math>\varphi(1,0,...,0)</math> जहां शून्य की संख्या ω से अधिक होती है, उसे कभी-कभी छोटे वेब्लेन क्रमसूचक के रूप में जाना जाता है छोटा वेब्लेन ऑर्डिनल।
क्रमसूचक <math>\varphi(1,0,0,0)</math> कभी-कभी [[एकरमैन ऑर्डिनल]] के रूप में जाना जाता है। की सीमा <math>\varphi(1,0,...,0)</math> जहां शून्य की संख्या ω से अधिक होती है, उसे कभी-कभी छोटे वेब्लेन क्रमसूचक के रूप में जाना जाता है छोटा वेब्लेन ऑर्डिनल।
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<math>\alpha =\varphi (s_{1})+\varphi (s_{2})+\cdots +\varphi (s_{k})</math>
<math>\alpha =\varphi (s_{1})+\varphi (s_{2})+\cdots +\varphi (s_{k})</math>
कहाँ
कहाँ
* <math>k</math> एक सकारात्मक पूर्णांक है
* <math>k</math> सकारात्मक पूर्णांक है
* <math>\varphi (s_{1})\geq \varphi (s_{2})\geq \cdots \geq \varphi (s_{k})</math>
* <math>\varphi (s_{1})\geq \varphi (s_{2})\geq \cdots \geq \varphi (s_{k})</math>
* <math>s_{m}</math> एक स्ट्रिंग है जिसमें एक या एक से अधिक कॉमा-सेपरेटेड ऑर्डिनल्स होते हैं <math>\alpha _{m,1},\alpha _{m,2},...,\alpha _{m,n_{m}}</math> कहाँ <math>\alpha _{m,1}>0</math> और प्रत्येक <math>\alpha _{m,i}<\varphi (s_{m})</math>
* <math>s_{m}</math> स्ट्रिंग है जिसमें या से अधिक कॉमा-सेपरेटेड ऑर्डिनल्स होते हैं <math>\alpha _{m,1},\alpha _{m,2},...,\alpha _{m,n_{m}}</math> कहाँ <math>\alpha _{m,1}>0</math> और प्रत्येक <math>\alpha _{m,i}<\varphi (s_{m})</math>




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\end{array}\right.
\end{array}\right.
</math>,
</math>,
* <math>\varphi(s,\beta,z,\gamma)[0]=0</math> और <math>\varphi(s,\beta,z,\gamma)[n+1]=\varphi(s,\beta-1,\varphi(s,\beta,z,\gamma)[n],z)</math> अगर <math>\gamma=0</math> और <math>\beta</math> एक उत्तराधिकारी क्रमसूचक है,
* <math>\varphi(s,\beta,z,\gamma)[0]=0</math> और <math>\varphi(s,\beta,z,\gamma)[n+1]=\varphi(s,\beta-1,\varphi(s,\beta,z,\gamma)[n],z)</math> अगर <math>\gamma=0</math> और <math>\beta</math> उत्तराधिकारी क्रमसूचक है,
* <math>\varphi(s,\beta,z,\gamma)[0]=\varphi(s,\beta,z,\gamma-1)+1</math> और <math>\varphi(s,\beta,z,\gamma)[n+1]=\varphi(s,\beta-1,\varphi(s,\beta,z,\gamma)[n],z)</math> अगर <math>\gamma</math> और <math>\beta</math> उत्तराधिकारी अध्यादेश हैं,
* <math>\varphi(s,\beta,z,\gamma)[0]=\varphi(s,\beta,z,\gamma-1)+1</math> और <math>\varphi(s,\beta,z,\gamma)[n+1]=\varphi(s,\beta-1,\varphi(s,\beta,z,\gamma)[n],z)</math> अगर <math>\gamma</math> और <math>\beta</math> उत्तराधिकारी अध्यादेश हैं,
* <math>\varphi(s,\beta,z,\gamma)[n]=\varphi(s,\beta,z,\gamma[n])</math> अगर <math>\gamma</math> एक सीमा क्रमसूचक है,
* <math>\varphi(s,\beta,z,\gamma)[n]=\varphi(s,\beta,z,\gamma[n])</math> अगर <math>\gamma</math> सीमा क्रमसूचक है,
* <math>\varphi(s,\beta,z,\gamma)[n]=\varphi(s,\beta[n],z,\gamma)</math> अगर <math>\gamma=0</math> और <math>\beta</math> एक सीमा क्रमसूचक है,
* <math>\varphi(s,\beta,z,\gamma)[n]=\varphi(s,\beta[n],z,\gamma)</math> अगर <math>\gamma=0</math> और <math>\beta</math> सीमा क्रमसूचक है,
* <math>\varphi(s,\beta,z,\gamma)[n]=\varphi(s,\beta[n],\varphi(s,\beta,z,\gamma-1)+1,z)</math> अगर <math>\gamma</math> एक उत्तराधिकारी क्रमसूचक है और <math>\beta</math> एक सीमा क्रमसूचक है।
* <math>\varphi(s,\beta,z,\gamma)[n]=\varphi(s,\beta[n],\varphi(s,\beta,z,\gamma-1)+1,z)</math> अगर <math>\gamma</math> उत्तराधिकारी क्रमसूचक है और <math>\beta</math> सीमा क्रमसूचक है।


=== ट्रांसफिनिटली कई वेरिएबल्स ===
=== ट्रांसफिनिटली कई वेरिएबल्स ===
अधिक आम तौर पर, वेब्लेन ने दिखाया कि φ को ऑर्डिनल्स α के ट्रांसफ़िनेट अनुक्रम के लिए भी परिभाषित किया जा सकता है<sub>β</sub>, बशर्ते कि उनमें से एक परिमित संख्या को छोड़कर सभी शून्य हों। ध्यान दें कि यदि ऑर्डिनल्स का ऐसा क्रम उन बेशुमार [[नियमित कार्डिनल]] κ से कम में से चुना जाता है, तो अनुक्रम को κ से कम एकल ऑर्डिनल के रूप में एन्कोड किया जा सकता है।<sup>k</sup> (क्रमिक घातांक)। अतः कोई k से एक फलन φ को परिभाषित कर रहा है<sup>κ</sup> में κ.
अधिक आम तौर पर, वेब्लेन ने दिखाया कि φ को ऑर्डिनल्स α के ट्रांसफ़िनेट अनुक्रम के लिए भी परिभाषित किया जा सकता है<sub>β</sub>, बशर्ते कि उनमें से परिमित संख्या को छोड़कर सभी शून्य हों। ध्यान दें कि यदि ऑर्डिनल्स का ऐसा क्रम उन बेशुमार [[नियमित कार्डिनल]] κ से कम में से चुना जाता है, तो अनुक्रम को κ से कम एकल ऑर्डिनल के रूप में एन्कोड किया जा सकता है।<sup>k</sup> (क्रमिक घातांक)। अतः कोई k से फलन φ को परिभाषित कर रहा है<sup>κ</sup> में κ.


परिभाषा इस प्रकार दी जा सकती है: मान लीजिए <u>α</u> क्रमसूचकों का एक पार परिमित अनुक्रम है (अर्थात् परिमित समर्थन वाला एक क्रमसूचक फलन) जो शून्य पर समाप्त होता है (अर्थात्, ऐसा कि α<sub>0</sub>=0), और माना <u>α</u>[γ@0] उसी फ़ंक्शन को इंगित करता है जहां अंतिम 0 को γ द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है। फिर γ↦φ(<u>α</u>[γ@0]) को फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित किया गया है जो सभी फ़ंक्शन के सामान्य निश्चित बिंदुओं की गणना करता है ξ↦φ(<u>β</u>) जहां <u>β </u> उन सभी अनुक्रमों पर है जो <u>α</u> के सबसे छोटे-अनुक्रमित गैर-शून्य मान को घटाकर और कुछ छोटे-अनुक्रमित मान को अनिश्चित ξ (यानी, <u>β</u>) के साथ बदलकर प्राप्त किया जाता है। =<यू>α</यू>[ζ@ι<sub>0</sub>, ξ@ι] का अर्थ है कि सबसे छोटी अनुक्रमणिका ι के लिए<sub>0</sub> ऐसा है कि α<sub>ι<sub>0</sub></sub> अशून्य है बाद वाले को कुछ मान ζ<α से बदल दिया गया है उप>मैं<sub>0</sub></sub> और वह कुछ छोटे सूचकांक ι<ι के लिए उप>0</उप>, मान α<sub>ι</sub>= 0 को ξ से बदल दिया गया है)।
परिभाषा इस प्रकार दी जा सकती है: मान लीजिए <u>α</u> क्रमसूचकों का पार परिमित अनुक्रम है (अर्थात् परिमित समर्थन वाला क्रमसूचक फलन) जो शून्य पर समाप्त होता है (अर्थात्, ऐसा कि α<sub>0</sub>=0), और माना <u>α</u>[γ@0] उसी फ़ंक्शन को इंगित करता है जहां अंतिम 0 को γ द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है। फिर γ↦φ(<u>α</u>[γ@0]) को फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित किया गया है जो सभी फ़ंक्शन के सामान्य निश्चित बिंदुओं की गणना करता है ξ↦φ(<u>β</u>) जहां <u>β </u> उन सभी अनुक्रमों पर है जो <u>α</u> के सबसे छोटे-अनुक्रमित गैर-शून्य मान को घटाकर और कुछ छोटे-अनुक्रमित मान को अनिश्चित ξ (यानी, <u>β</u>) के साथ बदलकर प्राप्त किया जाता है। =<यू>α</यू>[ζ@ι<sub>0</sub>, ξ@ι] का अर्थ है कि सबसे छोटी अनुक्रमणिका ι के लिए<sub>0</sub> ऐसा है कि α<sub>ι<sub>0</sub></sub> अशून्य है बाद वाले को कुछ मान ζ<α से बदल दिया गया है उप>मैं<sub>0</sub> और वह कुछ छोटे सूचकांक ι<ι के लिए उप>0</उप>, मान α<sub>ι</sub>= 0 को ξ से बदल दिया गया है)।


उदाहरण के लिए, यदि <u>α</u>=(1@ω) ω और 0 पर मान 1 के साथ ट्रांसफिनिट अनुक्रम को दर्शाता है, तो φ(1@ω) सभी कार्यों का सबसे छोटा निश्चित बिंदु है ξ↦ φ(ξ,0,...,0) बहुत सारे अंतिम शून्य के साथ (यह φ(1,0,...,0) की सीमा भी है जिसमें बहुत सारे शून्य हैं, छोटा वेब्लेन क्रमसूचक)।
उदाहरण के लिए, यदि <u>α</u>=(1@ω) ω और 0 पर मान 1 के साथ ट्रांसफिनिट अनुक्रम को दर्शाता है, तो φ(1@ω) सभी कार्यों का सबसे छोटा निश्चित बिंदु है ξ↦ φ(ξ,0,...,0) बहुत सारे अंतिम शून्य के साथ (यह φ(1,0,...,0) की सीमा भी है जिसमें बहुत सारे शून्य हैं, छोटा वेब्लेन क्रमसूचक)।


सबसे छोटा क्रमिक α ऐसा है कि α φ से अधिक है जो α में समर्थन के साथ किसी भी फ़ंक्शन पर लागू होता है (यानी, जिसे नीचे से कई चरों के वेब्लेन फ़ंक्शन का उपयोग करके नहीं पहुँचा जा सकता है) को कभी-कभी बड़े वेबलेन क्रमसूचक के रूप में जाना जाता है। बड़ा Veblen क्रमसूचक, या महान Veblen संख्या।<ref>M. Rathjen, "[https://www1.maths.leeds.ac.uk/~rathjen/ICMend.pdf The Art of Ordinal Analysis]" (2006), appearing in Proceedings of the International Congress of Mathematicians 2006.</ref>
सबसे छोटा क्रमिक α ऐसा है कि α φ से अधिक है जो α में समर्थन के साथ किसी भी फ़ंक्शन पर लागू होता है (यानी, जिसे नीचे से कई चरों के वेब्लेन फ़ंक्शन का उपयोग करके नहीं पहुँचा जा सकता है) को कभी-कभी बड़े वेबलेन क्रमसूचक के रूप में जाना जाता है। बड़ा Veblen क्रमसूचक, या महान Veblen संख्या।<ref>M. Rathjen, "[https://www1.maths.leeds.ac.uk/~rathjen/ICMend.pdf The Art of Ordinal Analysis]" (2006), appearing in Proceedings of the International Congress of Mathematicians 2006.</ref>
== मूल्य ==
== मूल्य ==
फ़ंक्शन कई प्रमुख मान लेता है:
फ़ंक्शन कई प्रमुख मान लेता है:
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* फेफ़रमैन-शुट्टे क्रमसूचक <math>\Gamma_0</math> के बराबर है <math>\varphi(1,0,0)</math>.<ref>D. Madore, "[http://www.madore.org/~david/math/ordinal-zoo.pdf A Zoo of Ordinals]" (2017). Accessed 02 November 2022.</ref>
* फेफ़रमैन-शुट्टे क्रमसूचक <math>\Gamma_0</math> के बराबर है <math>\varphi(1,0,0)</math>.<ref>D. Madore, "[http://www.madore.org/~david/math/ordinal-zoo.pdf A Zoo of Ordinals]" (2017). Accessed 02 November 2022.</ref>
* लघु वेब्लेन क्रमसूचक के बराबर होता है <math>\varphi\begin{pmatrix}1 \\ \omega\end{pmatrix}</math>. <ref>{{cite journal | url=https://link.springer.com/content/pdf/10.1007/s00153-019-00658-x.pdf | doi=10.1007/s00153-019-00658-x | title=छोटे वेब्लेन क्रमसूचक के लिए एक लचीली प्रकार प्रणाली| year=2019 | last1=Ranzi | first1=Florian | last2=Strahm | first2=Thomas | journal=Archive for Mathematical Logic | volume=58 | issue=5–6 | pages=711–751 | s2cid=253675808 }}</ref>
* लघु वेब्लेन क्रमसूचक के बराबर होता है <math>\varphi\begin{pmatrix}1 \\ \omega\end{pmatrix}</math>. <ref>{{cite journal | url=https://link.springer.com/content/pdf/10.1007/s00153-019-00658-x.pdf | doi=10.1007/s00153-019-00658-x | title=छोटे वेब्लेन क्रमसूचक के लिए एक लचीली प्रकार प्रणाली| year=2019 | last1=Ranzi | first1=Florian | last2=Strahm | first2=Thomas | journal=Archive for Mathematical Logic | volume=58 | issue=5–6 | pages=711–751 | s2cid=253675808 }}</ref>
==संदर्भ==
==संदर्भ==
* <!--Not considered reliable, according to a revert on [[Small Veblen ordinal]].-->Hilbert Levitz, ''[http://www.cs.fsu.edu/~levitz/ords.ps Transfinite Ordinals and Their Notations: For The Uninitiated]'', expository article (8 pages, in [[PostScript]])
* Hilbert Levitz, ''[http://www.cs.fsu.edu/~levitz/ords.ps Transfinite Ordinals and Their Notations: For The Uninitiated]'', expository article (8 pages, in [[PostScript]])
*{{citation|last= Pohlers|first= Wolfram|title= Proof theory|mr= 1026933|series= Lecture Notes in Mathematics|volume= 1407|publisher= Springer-Verlag|place= Berlin|year= 1989|isbn= 978-3-540-51842-6|doi= 10.1007/978-3-540-46825-7|url-access= registration|url= https://archive.org/details/prooftheoryintro0000pohl}}
*{{citation|last= Pohlers|first= Wolfram|title= Proof theory|mr= 1026933|series= Lecture Notes in Mathematics|volume= 1407|publisher= Springer-Verlag|place= Berlin|year= 1989|isbn= 978-3-540-51842-6|doi= 10.1007/978-3-540-46825-7|url-access= registration|url= https://archive.org/details/prooftheoryintro0000pohl}}
*{{citation|mr=0505313|last= Schütte|first= Kurt |title=Proof theory|series= Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften|volume= 225|publisher= Springer-Verlag|place= Berlin-New York|year= 1977|pages= xii+299 | isbn= 978-3-540-07911-8}}
*{{citation|mr=0505313|last= Schütte|first= Kurt |title=Proof theory|series= Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften|volume= 225|publisher= Springer-Verlag|place= Berlin-New York|year= 1977|pages= xii+299 | isbn= 978-3-540-07911-8}}
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*{{citation|title= Continuous Increasing Functions of Finite and Transfinite Ordinals |first=Oswald |last=Veblen |journal= Transactions of the American Mathematical Society|volume= 9|issue= 3|year= 1908|pages=280–292 |doi= 10.2307/1988605|jstor=1988605|doi-access= free}}
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*{{citation |jstor=2272243 |pages=439–459 |last1=Miller |first1=Larry W. |title=Normal Functions and Constructive Ordinal Notations |volume=41 |issue=2 |journal=The Journal of Symbolic Logic |year=1976 |doi=10.2307/2272243}}
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Revision as of 21:07, 23 May 2023

गणित में, वेब्लेन फलन, सामान्य फलन (निरंतर फलन (सेट सिद्धांत) क्रमसूचक संख्या से क्रमांक तक सख्ती से बढ़ते फलन फलन (गणित)) का पदानुक्रम है, जिसे ओसवाल्ड वेब्लेन ने Veblen (1908). अगर एफ0 कोई सामान्य कार्य है, तो किसी गैर-शून्य क्रमिक α, φ के लिएα φ के सामान्य निश्चित बिंदु (गणित) की गणना करने वाला कार्य हैβ β<α के लिए। ये कार्य सभी सामान्य हैं।

वेब्लेन पदानुक्रम

विशेष मामले में जब φ0(ए) = ओहα कार्यों के इस परिवार को वेब्लेन पदानुक्रम के रूप में जाना जाता है। समारोह φ1 एप्सिलॉन संख्या (गणित) के समान है|ε फलन: φ1(ए) = ईα.[1] अगर तब .[2] इससे और इस तथ्य से कि φβ सख्ती से बढ़ रहा है हम आदेश प्राप्त करते हैं: अगर और केवल अगर या तो ( और ) या ( और ) या ( और ).[2]

वेब्लेन पदानुक्रम के लिए मौलिक अनुक्रम

cofinality ω के साथ क्रमसूचक के लिए मौलिक अनुक्रम विशिष्ट रूप से बढ़ता हुआ ω-अनुक्रम है जिसकी सीमा के रूप में क्रमसूचक है। यदि किसी के पास α और सभी छोटे सीमा अध्यादेशों के लिए मौलिक अनुक्रम हैं, तो कोई ω और α के बीच स्पष्ट रचनात्मक आक्षेप बना सकता है, (अर्थात पसंद के स्वयंसिद्ध का उपयोग नहीं कर रहा है)। यहां हम ऑर्डिनल्स के वेब्लेन पदानुक्रम के लिए मौलिक अनुक्रमों का वर्णन करेंगे। α के मौलिक अनुक्रम के तहत n की छवि α[n] द्वारा इंगित की जाएगी।

वेब्लेन पदानुक्रम के संबंध में उपयोग किए जाने वाले सामान्य अंकगणित # कैंटर सामान्य रूप की भिन्नता है - प्रत्येक गैर-शून्य क्रमिक संख्या α को विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है , जहाँ k>0 प्राकृत संख्या है और पहले के बाद का प्रत्येक पद पिछले पद से कम या बराबर है, और प्रत्येक यदि अंतिम पद के लिए मौलिक अनुक्रम प्रदान किया जा सकता है, तो उस पद को प्राप्त करने के लिए ऐसे अनुक्रम से प्रतिस्थापित किया जा सकता है किसी भी β के लिए, यदि γ सीमा है तो करने दें ऐसा कोई क्रम प्रदान नहीं किया जा सकता है = ओ0 = 1 क्योंकि इसमें अंतिमता ω नहीं है।

के लिए हम चुनते हैं के लिए हम उपयोग करते हैं और अर्थात। 0, , , वगैरह..

के लिए , हम उपयोग करते हैं और अब मान लीजिए कि β सीमा है:

अगर , तो करने दें के लिए , उपयोग अन्यथा, छोटे अध्यादेशों के उपयोग के संदर्भ में क्रमसूचक का वर्णन नहीं किया जा सकता है और यह योजना उस पर लागू नहीं होती है।

Γ समारोह

फ़ंक्शन Γ ऑर्डिनल्स α की गणना करता है जैसे कि φα(0) = ए। सी0 Feferman-Schütte क्रमसूचक है, अर्थात यह सबसे छोटा α है जैसे कि φα(0) = ए।

जी के लिए0, मौलिक अनुक्रम को चुना जा सकता है और जी के लिएβ+1, होने देना और जी के लिएβ कहाँ सीमा है, चलो

सामान्यीकरण

अंत में कई चर

तर्कों की परिमित संख्या (अंतिम वेब्लेन फ़ंक्शन) के वेब्लेन फ़ंक्शन का निर्माण करने के लिए, बाइनरी फ़ंक्शन दें होना जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है।

होने देना खाली स्ट्रिंग या या से अधिक अल्पविराम से अलग किए गए शून्य से युक्त स्ट्रिंग हो और खाली स्ट्रिंग या या से अधिक कॉमा-सेपरेटेड ऑर्डिनल्स से युक्त स्ट्रिंग हो साथ . बाइनरी फ़ंक्शन रूप में लिखा जा सकता है जहां दोनों और खाली तार हैं। अंतिम वेब्लेन कार्यों को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

  • अगर , तब दर्शाता है कार्यों का सामान्य निश्चित बिंदु प्रत्येक के लिए

उदाहरण के लिए, है - कार्यों का निश्चित बिंदु , अर्थात् ; तब उस फ़ंक्शन के निश्चित बिंदुओं की गणना करता है, अर्थात समारोह; और सभी के निश्चित बिंदुओं की गणना करता है . सामान्यीकृत वेब्लेन फ़ंक्शंस का प्रत्येक उदाहरण अंतिम नॉनज़रो वेरिएबल में निरंतर है (यानी, यदि वेरिएबल को अलग-अलग बनाया जाता है और बाद के सभी वेरिएबल्स को लगातार शून्य के बराबर रखा जाता है)।

क्रमसूचक कभी-कभी एकरमैन ऑर्डिनल के रूप में जाना जाता है। की सीमा जहां शून्य की संख्या ω से अधिक होती है, उसे कभी-कभी छोटे वेब्लेन क्रमसूचक के रूप में जाना जाता है छोटा वेब्लेन ऑर्डिनल।

प्रत्येक गैर-शून्य क्रमसूचक छोटे वेब्लेन ऑर्डिनल (एसवीओ) से कम विशिष्ट वेब्लेन फ़ंक्शन के लिए सामान्य रूप में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है:

कहाँ

  • सकारात्मक पूर्णांक है
  • स्ट्रिंग है जिसमें या से अधिक कॉमा-सेपरेटेड ऑर्डिनल्स होते हैं कहाँ और प्रत्येक


=== अंतिम वेब्लेन फ़ंक्शन === की सीमा क्रम के लिए मौलिक अनुक्रम

सीमा अध्यादेशों के लिए , परिमित वेब्लेन फ़ंक्शन के लिए सामान्य रूप में लिखा गया है:

  • ,
  • ,
  • और अगर और उत्तराधिकारी क्रमसूचक है,
  • और अगर और उत्तराधिकारी अध्यादेश हैं,
  • अगर सीमा क्रमसूचक है,
  • अगर और सीमा क्रमसूचक है,
  • अगर उत्तराधिकारी क्रमसूचक है और सीमा क्रमसूचक है।

ट्रांसफिनिटली कई वेरिएबल्स

अधिक आम तौर पर, वेब्लेन ने दिखाया कि φ को ऑर्डिनल्स α के ट्रांसफ़िनेट अनुक्रम के लिए भी परिभाषित किया जा सकता हैβ, बशर्ते कि उनमें से परिमित संख्या को छोड़कर सभी शून्य हों। ध्यान दें कि यदि ऑर्डिनल्स का ऐसा क्रम उन बेशुमार नियमित कार्डिनल κ से कम में से चुना जाता है, तो अनुक्रम को κ से कम एकल ऑर्डिनल के रूप में एन्कोड किया जा सकता है।k (क्रमिक घातांक)। अतः कोई k से फलन φ को परिभाषित कर रहा हैκ में κ.

परिभाषा इस प्रकार दी जा सकती है: मान लीजिए α क्रमसूचकों का पार परिमित अनुक्रम है (अर्थात् परिमित समर्थन वाला क्रमसूचक फलन) जो शून्य पर समाप्त होता है (अर्थात्, ऐसा कि α0=0), और माना α[γ@0] उसी फ़ंक्शन को इंगित करता है जहां अंतिम 0 को γ द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है। फिर γ↦φ(α[γ@0]) को फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित किया गया है जो सभी फ़ंक्शन के सामान्य निश्चित बिंदुओं की गणना करता है ξ↦φ(β) जहां β उन सभी अनुक्रमों पर है जो α के सबसे छोटे-अनुक्रमित गैर-शून्य मान को घटाकर और कुछ छोटे-अनुक्रमित मान को अनिश्चित ξ (यानी, β) के साथ बदलकर प्राप्त किया जाता है। =<यू>α</यू>[ζ@ι0, ξ@ι] का अर्थ है कि सबसे छोटी अनुक्रमणिका ι के लिए0 ऐसा है कि αι0 अशून्य है बाद वाले को कुछ मान ζ<α से बदल दिया गया है उप>मैं0 और वह कुछ छोटे सूचकांक ι<ι के लिए उप>0</उप>, मान αι= 0 को ξ से बदल दिया गया है)।

उदाहरण के लिए, यदि α=(1@ω) ω और 0 पर मान 1 के साथ ट्रांसफिनिट अनुक्रम को दर्शाता है, तो φ(1@ω) सभी कार्यों का सबसे छोटा निश्चित बिंदु है ξ↦ φ(ξ,0,...,0) बहुत सारे अंतिम शून्य के साथ (यह φ(1,0,...,0) की सीमा भी है जिसमें बहुत सारे शून्य हैं, छोटा वेब्लेन क्रमसूचक)।

सबसे छोटा क्रमिक α ऐसा है कि α φ से अधिक है जो α में समर्थन के साथ किसी भी फ़ंक्शन पर लागू होता है (यानी, जिसे नीचे से कई चरों के वेब्लेन फ़ंक्शन का उपयोग करके नहीं पहुँचा जा सकता है) को कभी-कभी बड़े वेबलेन क्रमसूचक के रूप में जाना जाता है। बड़ा Veblen क्रमसूचक, या महान Veblen संख्या।[3]

मूल्य

फ़ंक्शन कई प्रमुख मान लेता है:

  • , पाथ ऑर्डरिंग (टर्म रीराइटिंग) के ऑर्डर प्रकारों पर सीमित कई फंक्शन सिंबल के साथ। [4]
  • फेफ़रमैन-शुट्टे क्रमसूचक के बराबर है .[5]
  • लघु वेब्लेन क्रमसूचक के बराबर होता है . [6]

संदर्भ

  • Hilbert Levitz, Transfinite Ordinals and Their Notations: For The Uninitiated, expository article (8 pages, in PostScript)
  • Pohlers, Wolfram (1989), Proof theory, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1407, Berlin: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-540-46825-7, ISBN 978-3-540-51842-6, MR 1026933
  • Schütte, Kurt (1977), Proof theory, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 225, Berlin-New York: Springer-Verlag, pp. xii+299, ISBN 978-3-540-07911-8, MR 0505313
  • Takeuti, Gaisi (1987), Proof theory, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, vol. 81 (Second ed.), Amsterdam: North-Holland Publishing Co., ISBN 978-0-444-87943-1, MR 0882549
  • Smorynski, C. (1982), "The varieties of arboreal experience", Math. Intelligencer, 4 (4): 182–189, doi:10.1007/BF03023553 contains an informal description of the Veblen hierarchy.
  • Veblen, Oswald (1908), "Continuous Increasing Functions of Finite and Transfinite Ordinals", Transactions of the American Mathematical Society, 9 (3): 280–292, doi:10.2307/1988605, JSTOR 1988605
  • Miller, Larry W. (1976), "Normal Functions and Constructive Ordinal Notations", The Journal of Symbolic Logic, 41 (2): 439–459, doi:10.2307/2272243, JSTOR 2272243

उद्धरण

  1. ↑ Stephen G. Simpson, Subsystems of Second-order Arithmetic (2009, p.387)
  2. ↑ 2.0 2.1 M. Rathjen, Ordinal notations based on a weakly Mahlo cardinal, (1990, p.251). Accessed 16 August 2022.
  3. ↑ M. Rathjen, "The Art of Ordinal Analysis" (2006), appearing in Proceedings of the International Congress of Mathematicians 2006.
  4. ↑ M. Dershowitz, N. Okada, Proof Theoretic Techniques for Term Rewriting Theory (1988). p.105
  5. ↑ D. Madore, "A Zoo of Ordinals" (2017). Accessed 02 November 2022.
  6. ↑ Ranzi, Florian; Strahm, Thomas (2019). "छोटे वेब्लेन क्रमसूचक के लिए एक लचीली प्रकार प्रणाली" (PDF). Archive for Mathematical Logic. 58 (5–6): 711–751. doi:10.1007/s00153-019-00658-x. S2CID 253675808.
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