द्वयाधारी फलन: Difference between revisions

Revision as of 00:27, 26 May 2023

गणित में द्विचर फलन जिसे दो चरों वाला फलन भी कहा जाता है, ऐसा गणितीय फलन है जो मुख्यतः दो निवेशों का उपयोग करता है।

इस प्रकार हम कह सकते हैं कि यदि किसी फलन $f$ में समुच्चय उपस्थिति है तो बाइनरी $X,Y,Z$ के रूप में प्रदर्शित होंगी, इसे हम इस प्रकार लिख सकते हैं-

\,f\colon X\times Y\rightarrow Z

जहाँ $X\times Y$ का कार्टेशियन उत्पाद $X$ और $Y.$ है।

वैकल्पिक परिभाषाएँ

समुच्चय-सैद्धांतिक मुख्यतः किसी बाइनरी फलन को कार्टेशियन उत्पाद के उपसमुच्चय के रूप में दर्शाया जा सकता है, इस प्रकार $X\times Y\times Z$ को मुख्य रूप से $(x,y,z)$ उपसमुच्चय के अंतर्गत उपयोग किया जाता है, इस प्रकार यदि $f(x,y)=z$ . होता हैं तब इसके विपरीत किसी उपसमुच्चय $R$ के बाइनरी फलन को परिभाषित करता है, इस प्रकार यदि सार्वभौमिक परिमाणीकरण $x\in X$ और $y\in Y$ अस्तित्वगत मात्रा में विशिष्टता मात्रा के रूप में प्राप्त होते हैं तो $z\in Z$ को हम इस प्रकार लिख सकते हैं कि $(x,y,z)$ से संबंधित $R$ . को $f(x,y)$ के रूप में लिखा जा सकता हैंं, इस स्थिति में इसे $z$ द्वारा परिभाषित करते हैं।

वैकल्पिक रूप से, एक बाइनरी फलन की व्याख्या इस गणितीय फलन के रूप में की जा सकती है। इस प्रकार $X\times Y$ को $Z$ के रूप में लिख सकते हैं। चूंकि सामान्य रूप से हम इसे $f(x,y)$ के अतिरिक्त $f((x,y))$ के रूप में लिख सकते हैं अर्थात्, कोष्ठकों की इस जोड़ी का उपयोग फलन अनुप्रयोग और आदेशित जोड़ी के गठन दोनों को इंगित करने के लिए किया जाता है।

उदाहरण

पूर्णांक के विभाजन को एक कार्य के रूप में माना जा सकता है। यदि $\mathbb {Z}$ पूर्णांकों का समुच्चय है, $\mathbb {N} ^{+}$ प्राकृतिक संख्याओं जिसमें शून्य को छोड़कर अन्य के लिए यह उचित समुच्चय है, और $\mathbb {Q}$ परिमेय संख्याओं का समुच्चय है, तो विभाजन के लिए द्विआधारी फलन $f:\mathbb {Z} \times \mathbb {N} ^{+}\to \mathbb {Q}$ है।

इसका अन्य उदाहरण आंतरिक उत्पादों से संयोजित है, जिसका अधिक सामान्य रूप से प्रपत्र $(x,y)\mapsto x^{\mathrm {T} }My$ के फलन के लिए उपयोगी है, जहाँ $x$ , $y$ उचित आकार का वास्तविक सदिश हैं और $M$ आव्यूह को प्रकट करता है। इस प्रकार यदि $M$ धनात्मक आव्यूह है, तो इस स्थिति में यह आंतरिक उत्पाद द्वारा प्राप्त होता है।^[1]

दो वास्तविक चरों के कार्य

ऐसे कार्य जिनका डोमेन उपसमुच्चय $\mathbb {R} ^{2}$ है, अधिकांशतः दो चरों वाले फलन भी कहलाते हैं, भले ही उनका डोमेन आयत न बनाता हो और इस प्रकार दो समुच्चयों का कार्तीय गुणनफल को प्रकट करते हैं।^[2]

साधारण कार्यों के लिए प्रतिबंध

इसके अतिरिक्त यदि किसी बाइनरी फलन से उक्त चर के सामान्य कार्यों को भी प्राप्त किया जा सकता है। इस प्रकार $x\in X$ तत्व को दिये गया फलन $f^{x}$ , या $f(x,\cdot )$ है , जिससे $Y$ को $Z$ , द्वारा $f^{x}(y)=f(x,y)$ मान प्राप्त होता हैं। इसी प्रकार, किसी भी तत्व से प्राप्त $y\in Y$ ऐसा फलन है, जिसके लिए $f_{y}$ , या $f(\cdot ,y)$ , से $X$ को $Z$ , द्वारा दिए गए $f_{y}(x)=f(x,y)$ फलन कंप्यूटर विज्ञान में इस फलन के बीच $X\times Y$ को $Z$ और इसके साथ फलन $X$ को $Z^{Y}$ को प्रकट करते हैं, जहाँ $Z^{Y}$ से सभी कार्यों का समुच्चय है $Y$ को $Z$ प्रदर्शित करता है।

सामान्यीकरण

इस फलन से संबंधित विभिन्न अवधारणाओं को बाइनरी कार्यों के लिए भी सामान्यीकृत किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, उपरोक्त विभाजन उदाहरण विशेषण फलन है क्योंकि प्रत्येक परिमेय संख्या को पूर्णांक और प्राकृतिक संख्या के भागफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

यह उदाहरण प्रत्येक इनपुट में अलग-अलग इंजेक्शन फलन को प्रकट करता है, क्योंकि फलन f _X और F_y सदैव संयोजित रहते हैं। चूंकि, यह दोनों चरों में एक साथ संयोजित नहीं है, उदाहरण के लिए f (2,4) = f (1,2) इसका उदाहरण हैं।

आंशिक बाइनरी फलन पर भी विचार किया जा सकता है, जिसे केवल इनपुट के कुछ मानों के लिए परिभाषित किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, उपरोक्त विभाजन उदाहरण को 'Z' और 'N' से 'Q' तक आंशिक बाइनरी फलन के रूप में भी समझा जा सकता है, जहां 'N' शून्य सहित सभी प्राकृतिक संख्याओं का समूह है।

अपितु जब दूसरा इनपुट शून्य होता है तो यह फलन अपरिभाषित होता है।

यह बाइनरी ऑपरेशन ऐसा बाइनरी फलन है जहां समुच्चय X, Y और Z सभी समान हैं; बीजगणितीय संरचनाओं को परिभाषित करने के लिए अधिकांशतः द्विआधारी संक्रियाओं का उपयोग किया जाता है।

रैखिक बीजगणित में, एक बिलिनियर ऑपरेटर एक बाइनरी फलन होता है जहां समुच्चय X, Y और Z सभी सदिश रिक्त स्थान होते हैं और व्युत्पन्न फलन f X और Fy सभी रैखिक परिवर्तन हैं।

इस प्रकार किसी भी बाइनरी फलन के समान यह एक बिलिनियर ट्रांसफ़ॉर्मेशन को X × Y से Z तक के फलन के रूप में व्याख्या किया जा सकता है, अपितु सामान्य रूप से यह फलन रैखिक नहीं होगा।

चूंकि, बिलिनियर ट्रांसफ़ॉर्मेशन की व्याख्या टेन्सर उत्पाद से सिंगल लीनियर ट्रांसफ़ॉर्मेशन के रूप में भी की जा सकती है, जिसे $X\otimes Y$ के रूप में प्रकट करते हैं।

त्रिगुट और अन्य फलनों का सामान्यीकरण

बाइनरी फलन की अवधारणा टर्नरी (या 3-ऐरे) फलन, चतुर्धातुक (या 4-ऐरे) फलन, या सामान्यतः किसी भी प्राकृतिक संख्या एन के लिए एन-ऐरे फलन के लिए सामान्यीकृत होती है।

Z को एक 0-ऐरे फलन केवल Z के एक तत्व द्वारा दिया जाता है।

इस प्रकार यह A-ऐरे फलन को भी परिभाषित कर सकता है जहां A समुच्चय को प्रकट करता है, A के प्रत्येक तत्व के लिए इनपुट के रूप में प्रयुक्त होता हैं।

श्रेणी सिद्धांत

श्रेणी सिद्धांत में, n-ऐरे फलन बहुश्रेणी में n-ऐरे संरचना के लिए सामान्यीकरण करते हैं।

किसी n-ऐरे मोर्फिज्म की व्याख्या साधारण मोर्फिज्म के रूप में जिसका डोमेन मूल n-ऐरे मॉर्फिज्म के डोमेन के कुछ प्रकार का उत्पाद है, इस प्रकार यह मोनोइडल श्रेणी में कार्य करता हैं। इस वैरियेबल के व्युत्पन्न मौर्फिज्म का निर्माण क्लोज्ड मोनोडल श्रेणी में कार्य करेगा। समुच्चय की यह श्रेणी मोनोइडल क्लोज्ड रहती है, अपितु सदिश रिक्त स्थान की श्रेणी भी है, जिसके ऊपर बिलिनियर परिवर्तन की धारणा उपयोग की जाती है।

यह भी देखें

ऐरेटी

संदर्भ

↑ Clarke, Bertrand; Fokoue, Ernest; Zhang, Hao Helen (2009-07-21). डाटा माइनिंग और मशीन लर्निंग के सिद्धांत और सिद्धांत. p. 285. ISBN 9780387981352. Retrieved 16 August 2016.
↑ Stewart, James (2011). बहुभिन्नरूपी पथरी की अनिवार्यता. Toronto: Nelson Education. p. 591.

[1] Clarke, Bertrand; Fokoue, Ernest; Zhang, Hao Helen (2009-07-21). डाटा माइनिंग और मशीन लर्निंग के सिद्धांत और सिद्धांत. p. 285. ISBN 9780387981352. Retrieved 16 August 2016.

[2] Stewart, James (2011). बहुभिन्नरूपी पथरी की अनिवार्यता. Toronto: Nelson Education. p. 591.

[1]

[2]

@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Short description|Function that takes two inputs}}
-{{distinguish|Boolean function|Indicator function}}
+{{distinguish|बूलियन फंक्शन|सूचक फंक्शन}}
-गणित में, एक द्विचर फलन (जिसे द्विचर फलन या दो चरों का फलन भी कहा जाता है) एक फलन (गणित) है जो दो निवेश लेता है।
+गणित में द्विचर फलन जिसे दो चरों वाला फलन भी कहा जाता है, ऐसा गणितीय फलन है जो मुख्यतः दो निवेशों का उपयोग करता है।
-सटीक रूप से कहा गया है, एक समारोह <math>f</math> यदि [[सेट (गणित)]] मौजूद है तो बाइनरी है <math>X, Y, Z</math> ऐसा है कि
+इस प्रकार हम कह सकते हैं कि यदि किसी फलन <math>f</math> में [[सेट (गणित)|समुच्चय]] उपस्थिति है तो बाइनरी <math>X, Y, Z</math>  के रूप में प्रदर्शित होंगी, इसे हम इस प्रकार लिख सकते हैं-
 :<math>\,f \colon X \times Y \rightarrow Z</math>
-कहाँ <math>X \times Y</math> का कार्टेशियन उत्पाद है <math>X</math> और <math>Y.</math>
+जहाँ <math>X \times Y</math> का कार्टेशियन उत्पाद  <math>X</math> और <math>Y.</math> है।
+== वैकल्पिक परिभाषाएँ ==
+समुच्चय-सैद्धांतिक मुख्यतः किसी बाइनरी फलन को कार्टेशियन उत्पाद के [[सबसेट|उपसमुच्चय]] के रूप में दर्शाया जा सकता है, इस प्रकार <math>X \times Y \times Z</math> को मुख्य रूप से <math>(x,y,z)</math> उपसमुच्चय के अंतर्गत उपयोग किया जाता है, इस प्रकार यदि <math>f(x,y) = z</math>. होता हैं तब इसके विपरीत किसी उपसमुच्चय <math>R</math>  के बाइनरी फलन को परिभाषित करता है, इस प्रकार यदि [[सार्वभौमिक परिमाणीकरण]] <math>x \in X</math> और <math>y \in Y</math> अस्तित्वगत मात्रा में [[विशिष्टता मात्रा का ठहराव|विशिष्टता मात्रा के]] रूप में प्राप्त होते हैं तो  <math>z \in Z</math> को हम इस प्रकार लिख सकते हैं कि <math>(x,y,z)</math> से संबंधित <math>R</math>. को <math>f(x,y)</math> के रूप में लिखा जा सकता हैंं, इस स्थिति में इसे <math>z</math> द्वारा परिभाषित करते हैं।
+वैकल्पिक रूप से, एक बाइनरी फलन की व्याख्या इस गणितीय फलन के रूप में की जा सकती है। इस प्रकार <math>X \times Y</math> को <math>Z</math> के रूप में लिख सकते हैं। चूंकि सामान्य रूप से हम इसे <math>f(x,y)</math> के अतिरिक्त <math>f((x,y))</math> के रूप में लिख सकते हैं अर्थात्, कोष्ठकों की इस जोड़ी का उपयोग फलन अनुप्रयोग और आदेशित जोड़ी के गठन दोनों को इंगित करने के लिए किया जाता है।
+== उदाहरण ==
+[[पूर्णांक]] के विभाजन को एक कार्य के रूप में माना जा सकता है। यदि <math>\Z</math> पूर्णांकों का समुच्चय है, <math>\N^+</math> [[प्राकृतिक संख्या|प्राकृतिक संख्याओं]] जिसमें शून्य को छोड़कर अन्य के लिए यह उचित समुच्चय है, और <math>\Q</math> परिमेय संख्याओं का समुच्चय है, तो [[विभाजन (गणित)|विभाजन]]  के लिए द्विआधारी फलन <math>f:\Z \times \N^+ \to \Q</math> है।
-== वैकल्पिक परिभाषाएँ ==
+इसका अन्य उदाहरण आंतरिक उत्पादों से संयोजित है, जिसका अधिक सामान्य रूप से प्रपत्र <math>(x,y)\mapsto x^\mathrm{T}My</math> के फलन के लिए उपयोगी है, जहाँ {{mvar|x}}, {{mvar|y}} उचित आकार का वास्तविक सदिश हैं और {{mvar|M}}  आव्यूह को प्रकट करता है। इस प्रकार यदि {{mvar|M}}  [[सकारात्मक निश्चित मैट्रिक्स|धनात्मक आव्यूह]] है, तो इस स्थिति में यह आंतरिक उत्पाद द्वारा प्राप्त होता है।<ref>{{cite book|last1=Clarke|first1=Bertrand|last2=Fokoue|first2=Ernest|last3=Zhang|first3=Hao Helen|title=डाटा माइनिंग और मशीन लर्निंग के सिद्धांत और सिद्धांत|url=https://books.google.com/books?id=RQHB4_p3bJoC&q=inner+product+bivariate+function&pg=PA285|page=285|accessdate=16 August 2016|isbn=9780387981352|date=2009-07-21}}</ref>
-[[Naive set theory]]|सेट-सैद्धांतिक रूप से, एक बाइनरी फ़ंक्शन को कार्टेशियन उत्पाद के [[सबसेट]] के रूप में दर्शाया जा सकता है <math>X \times Y \times Z</math>, कहाँ <math>(x,y,z)</math> सबसेट के अंतर्गत आता है [[अगर और केवल अगर]] <math>f(x,y) = z</math>.
+== दो वास्तविक चरों के कार्य ==
-इसके विपरीत, एक उपसमुच्चय <math>R</math> एक बाइनरी फ़ंक्शन को परिभाषित करता है यदि और केवल यदि [[सार्वभौमिक परिमाणीकरण]] <math>x \in X</math> और <math>y \in Y</math>, अस्तित्वगत मात्रा का ठहराव एक [[विशिष्टता मात्रा का ठहराव]]  <math>z \in Z</math> ऐसा है कि <math>(x,y,z)</math> से संबंधित <math>R</math>.
+ऐसे कार्य जिनका डोमेन उपसमुच्चय <math>\mathbb{R}^2</math> है, अधिकांशतः दो चरों वाले फलन भी कहलाते हैं, भले ही उनका डोमेन आयत न बनाता हो और इस प्रकार दो समुच्चयों का कार्तीय गुणनफल को प्रकट करते हैं।<ref>{{cite book|last1=Stewart|first1=James|title=बहुभिन्नरूपी पथरी की अनिवार्यता|date=2011|publisher=Nelson Education|location=Toronto|page=591}}</ref>
-<math>f(x,y)</math> तब इसे परिभाषित किया जाता है <math>z</math>.
+== साधारण कार्यों के लिए प्रतिबंध ==
+इसके अतिरिक्त यदि किसी बाइनरी फलन से उक्त चर के सामान्य कार्यों को भी प्राप्त किया जा सकता है। इस प्रकार <math>x \in X</math> तत्व को दिये गया फलन <math>f^x</math>, या <math>f(x,\cdot)</math> है , जिससे <math>Y</math> को <math>Z</math>, द्वारा <math>f^x(y) = f(x,y)</math> मान प्राप्त होता हैं। इसी प्रकार, किसी भी तत्व से प्राप्त <math>y \in Y</math> ऐसा फलन है, जिसके लिए <math>f_y</math>, या <math>f(\cdot,y)</math>, से <math>X</math> को <math>Z</math>, द्वारा दिए गए <math>f_y(x) = f(x,y)</math> फलन कंप्यूटर विज्ञान में इस फलन के बीच <math>X \times Y</math> को <math>Z</math> और इसके साथ फलन <math>X</math> को <math>Z^Y</math>को प्रकट करते हैं, जहाँ <math>Z^Y</math> से सभी कार्यों का समुच्चय है <math>Y</math> को <math>Z</math> प्रदर्शित करता है।
+== सामान्यीकरण ==
+इस फलन से संबंधित विभिन्न अवधारणाओं को बाइनरी कार्यों के लिए भी सामान्यीकृत किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, उपरोक्त विभाजन उदाहरण विशेषण फलन है क्योंकि प्रत्येक परिमेय संख्या को पूर्णांक और प्राकृतिक संख्या के भागफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
-वैकल्पिक रूप से, एक बाइनरी फ़ंक्शन की व्याख्या केवल एक फ़ंक्शन (गणित) के रूप में की जा सकती है <math>X \times Y</math> को <math>Z</math>.
+यह उदाहरण प्रत्येक इनपुट में अलग-अलग [[इंजेक्शन समारोह|इंजेक्शन फलन]] को प्रकट करता है, क्योंकि फलन f <sub>X</sub> और F<sub>''y''</sub> सदैव संयोजित रहते हैं। चूंकि, यह दोनों चरों में एक साथ संयोजित नहीं है, उदाहरण के लिए f (2,4) = f (1,2) इसका उदाहरण हैं।
-जब भी इस तरह से सोचा जाता है, हालांकि, आमतौर पर लिखा जाता है <math>f(x,y)</math> के बजाय <math>f((x,y))</math>.
-(अर्थात्, कोष्ठकों की एक ही जोड़ी का उपयोग फ़ंक्शन अनुप्रयोग और आदेशित जोड़ी के गठन दोनों को इंगित करने के लिए किया जाता है।)
-== उदाहरण ==
+आंशिक बाइनरी फलन पर भी विचार किया जा सकता है, जिसे केवल इनपुट के कुछ मानों के लिए परिभाषित किया जा सकता है।
-[[पूर्णांक]] के विभाजन को एक कार्य के रूप में माना जा सकता है। अगर <math>\Z</math> पूर्णांकों का समुच्चय है, <math>\N^+</math> [[प्राकृतिक संख्या]]ओं का समुच्चय है (शून्य को छोड़कर), और <math>\Q</math> परिमेय संख्याओं का समुच्चय है, तो [[विभाजन (गणित)]] एक द्विआधारी फलन है <math>f:\Z \times \N^+ \to \Q</math>.
-एक अन्य उदाहरण आंतरिक उत्पादों का है, या अधिक सामान्य रूप से प्रपत्र के कार्यों का है <math>(x,y)\mapsto x^\mathrm{T}My</math>, कहाँ {{mvar|x}}, {{mvar|y}} उचित आकार के वास्तविक-मूल्यवान वैक्टर हैं और {{mvar|M}} एक मैट्रिक्स है। अगर {{mvar|M}} एक [[सकारात्मक निश्चित मैट्रिक्स]] है, इससे एक आंतरिक उत्पाद प्राप्त होता है।<ref>{{cite book|last1=Clarke|first1=Bertrand|last2=Fokoue|first2=Ernest|last3=Zhang|first3=Hao Helen|title=डाटा माइनिंग और मशीन लर्निंग के सिद्धांत और सिद्धांत|url=https://books.google.com/books?id=RQHB4_p3bJoC&q=inner+product+bivariate+function&pg=PA285|page=285|accessdate=16 August 2016|isbn=9780387981352|date=2009-07-21}}</ref>
+उदाहरण के लिए, उपरोक्त विभाजन उदाहरण को 'Z' और 'N' से 'Q' तक आंशिक बाइनरी फलन के रूप में भी समझा जा सकता है, जहां 'N' शून्य सहित सभी प्राकृतिक संख्याओं का समूह है।
+अपितु जब दूसरा इनपुट शून्य होता है तो यह फलन अपरिभाषित होता है।
-== दो वास्तविक चरों के कार्य ==
+यह [[बाइनरी ऑपरेशन]] ऐसा बाइनरी फलन है जहां समुच्चय X, Y और Z सभी समान हैं; [[बीजगणितीय संरचना]]ओं को परिभाषित करने के लिए अधिकांशतः द्विआधारी संक्रियाओं का उपयोग किया जाता है।
-ऐसे कार्य जिनका डोमेन एक उपसमुच्चय है <math>\mathbb{R}^2</math> अक्सर दो चरों के फलन भी कहलाते हैं, भले ही उनका डोमेन आयत न बनाता हो और इस प्रकार दो समुच्चयों का कार्तीय गुणनफल हो।<ref>{{cite book|last1=Stewart|first1=James|title=बहुभिन्नरूपी पथरी की अनिवार्यता|date=2011|publisher=Nelson Education|location=Toronto|page=591}}</ref>
+रैखिक बीजगणित में, एक [[बिलिनियर ऑपरेटर]] एक बाइनरी फलन होता है जहां समुच्चय X, Y और Z सभी सदिश रिक्त स्थान होते हैं और व्युत्पन्न फलन f X और F''y'' सभी [[रैखिक परिवर्तन]] हैं।
-== साधारण कार्यों के लिए प्रतिबंध ==
+इस प्रकार किसी भी बाइनरी फलन के समान यह एक बिलिनियर ट्रांसफ़ॉर्मेशन को X × Y से Z तक के फलन के रूप में व्याख्या किया जा सकता है, अपितु सामान्य रूप से यह फलन रैखिक नहीं होगा।
-बदले में, एक बाइनरी फ़ंक्शन से एक चर के सामान्य कार्यों को भी प्राप्त किया जा सकता है।
-किसी तत्व को दिया <math>x \in X</math>, एक समारोह है <math>f^x</math>, या <math>f(x,\cdot)</math>, से <math>Y</math> को <math>Z</math>, द्वारा दिए गए <math>f^x(y) = f(x,y)</math>.
-इसी प्रकार, किसी भी तत्व को दिया <math>y \in Y</math>, एक समारोह है <math>f_y</math>, या <math>f(\cdot,y)</math>, से <math>X</math> को <math>Z</math>, द्वारा दिए गए <math>f_y(x) = f(x,y)</math>. कंप्यूटर विज्ञान में, एक फ़ंक्शन के बीच यह पहचान <math>X \times Y</math> को <math>Z</math> और से एक समारोह <math>X</math> को <math>Z^Y</math>, कहाँ <math>Z^Y</math> से सभी कार्यों का सेट है <math>Y</math> को <math>Z</math>, [[करी]] कहा जाता है।
-== सामान्यीकरण ==
+चूंकि, बिलिनियर ट्रांसफ़ॉर्मेशन की व्याख्या टेन्सर उत्पाद से सिंगल लीनियर ट्रांसफ़ॉर्मेशन के रूप में भी की जा सकती है, जिसे <math>X \otimes Y</math> के रूप में प्रकट करते हैं।
-कार्यों से संबंधित विभिन्न अवधारणाओं को बाइनरी कार्यों के लिए भी सामान्यीकृत किया जा सकता है।
-उदाहरण के लिए, उपरोक्त विभाजन उदाहरण विशेषण फलन (या पर) है क्योंकि प्रत्येक परिमेय संख्या को एक पूर्णांक और एक प्राकृतिक संख्या के भागफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
-यह उदाहरण प्रत्येक इनपुट में अलग-अलग [[इंजेक्शन समारोह]] है, क्योंकि फ़ंक्शन f <sup>एक्स </सुप> और एफ <sub>''y''</sub> हमेशा इंजेक्शन होते हैं।
-हालाँकि, यह दोनों चरों में एक साथ इंजेक्शन नहीं है, क्योंकि (उदाहरण के लिए) f (2,4) = f (1,2)।
-आंशिक बाइनरी फ़ंक्शंस पर भी विचार किया जा सकता है, जिसे केवल इनपुट के कुछ मानों के लिए परिभाषित किया जा सकता है।
+== त्रिगुट और अन्य फलनों का सामान्यीकरण ==
-उदाहरण के लिए, उपरोक्त विभाजन उदाहरण को 'Z' और 'N' से 'Q' तक आंशिक बाइनरी फ़ंक्शन के रूप में भी समझा जा सकता है, जहां 'N' शून्य सहित सभी प्राकृतिक संख्याओं का समूह है।
+{{see also|बहुभिन्नरूपी फलन}}
-लेकिन जब दूसरा इनपुट शून्य होता है तो यह फ़ंक्शन अपरिभाषित होता है।
-एक [[बाइनरी ऑपरेशन]] एक बाइनरी फ़ंक्शन है जहां सेट X, Y और Z सभी समान हैं; [[बीजगणितीय संरचना]]ओं को परिभाषित करने के लिए अक्सर द्विआधारी संक्रियाओं का उपयोग किया जाता है।
+बाइनरी फलन की अवधारणा टर्नरी (या 3-ऐरे) फलन, चतुर्धातुक (या 4-ऐरे) फलन, या सामान्यतः किसी भी प्राकृतिक संख्या एन के लिए एन-ऐरे फलन के लिए सामान्यीकृत होती है।
-रैखिक बीजगणित में, एक [[बिलिनियर ऑपरेटर]] एक बाइनरी फ़ंक्शन होता है जहां सेट X, Y और Z सभी वेक्टर रिक्त स्थान होते हैं और व्युत्पन्न फ़ंक्शन f <sup>एक्स </सुप> और एफ<sub>''y''</sub> सभी [[रैखिक परिवर्तन]] हैं।
+Z को एक 0-ऐरे फलन केवल Z के एक तत्व द्वारा दिया जाता है।
-किसी भी बाइनरी फ़ंक्शन की तरह एक बिलिनियर ट्रांसफ़ॉर्मेशन को X × Y से Z तक के फ़ंक्शन के रूप में व्याख्या किया जा सकता है, लेकिन सामान्य रूप से यह फ़ंक्शन रैखिक नहीं होगा।
-हालाँकि, बिलिनियर ट्रांसफ़ॉर्मेशन की व्याख्या टेन्सर उत्पाद से सिंगल लीनियर ट्रांसफ़ॉर्मेशन के रूप में भी की जा सकती है <math>X \otimes Y</math> यह से है।
-== त्रिगुट और अन्य कार्यों के लिए सामान्यीकरण ==
+इस प्रकार यह A-ऐरे फलन को भी परिभाषित कर सकता है जहां A समुच्चय को प्रकट करता है, A के प्रत्येक तत्व के लिए इनपुट के रूप में प्रयुक्त होता हैं।
-{{see also|Multivariate function}}
-बाइनरी फ़ंक्शन की अवधारणा टर्नरी (या 3-एरी) फ़ंक्शन, चतुर्धातुक (या 4-एरी) फ़ंक्शन, या आमतौर पर किसी भी प्राकृतिक संख्या एन के लिए एन-आरी फ़ंक्शन के लिए सामान्यीकृत होती है।
-Z को एक 0-एरी फ़ंक्शन केवल Z के एक तत्व द्वारा दिया जाता है।
-कोई ए-एरी फ़ंक्शन को भी परिभाषित कर सकता है जहां ए कोई सेट (गणित) है; ए के प्रत्येक तत्व के लिए एक इनपुट है।
 == [[श्रेणी सिद्धांत]] ==
-श्रेणी सिद्धांत में, एन-आरी फ़ंक्शन एक [[बहुश्रेणी]] में एन-आरी आकारिकी के लिए सामान्यीकरण करते हैं।
+श्रेणी सिद्धांत में, n-ऐरे फलन [[बहुश्रेणी]] में n-ऐरे संरचना के लिए सामान्यीकरण करते हैं।
-एक एन-आरी मोर्फिज्म की व्याख्या एक साधारण मोर्फिज्म के रूप में जिसका डोमेन मूल एन-आरी मॉर्फिज्म के डोमेन के कुछ प्रकार का उत्पाद है, एक [[मोनोइडल श्रेणी]] में काम करेगा।
-एक चर के व्युत्पन्न morphisms का निर्माण एक बंद monoidal श्रेणी में काम करेगा।
+किसी n-ऐरे मोर्फिज्म की व्याख्या साधारण मोर्फिज्म के रूप में जिसका डोमेन मूल n-ऐरे मॉर्फिज्म के डोमेन के कुछ प्रकार का उत्पाद है, इस प्रकार यह [[मोनोइडल श्रेणी]] में कार्य करता हैं। इस वैरियेबल के व्युत्पन्न मौर्फिज्म का निर्माण क्लोज्ड मोनोडल श्रेणी में कार्य करेगा। समुच्चय की यह श्रेणी मोनोइडल क्लोज्ड रहती है, अपितु सदिश रिक्त स्थान की श्रेणी भी है, जिसके ऊपर बिलिनियर परिवर्तन की धारणा उपयोग की जाती है।
-सेट की श्रेणी मोनोइडल बंद है, लेकिन वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी भी है, ऊपर बिलिनियर परिवर्तन की धारणा दे रही है।
 == यह भी देखें ==
-* एरीटी
+* ऐरेटी
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वैकल्पिक परिभाषाएँ

उदाहरण

दो वास्तविक चरों के कार्य

साधारण कार्यों के लिए प्रतिबंध

सामान्यीकरण

त्रिगुट और अन्य फलनों का सामान्यीकरण

श्रेणी सिद्धांत

यह भी देखें

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वैकल्पिक परिभाषाएँ

उदाहरण

दो वास्तविक चरों के कार्य

साधारण कार्यों के लिए प्रतिबंध

सामान्यीकरण

त्रिगुट और अन्य फलनों का सामान्यीकरण

श्रेणी सिद्धांत

यह भी देखें

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