त्रिपिंड समस्या: Difference between revisions

Revision as of 15:22, 29 May 2023

विषमबाहु त्रिभुज के शीर्ष पर स्थित तीन समान निकायों के अनुमानित प्रक्षेपवक्र और शून्य प्रारंभिक वेग वाले। यह देखा गया है कि संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार द्रव्यमान का केंद्र अपनी जगह पर बना रहता है।

भौतिकी और चिरसम्मत यांत्रिकी में, त्रिपिंड समस्या न्यूटन के गति के नियमों और न्यूटन के सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार तीन बिंदु द्रव्यमान की प्रारंभिक स्थिति और वेग (या संवेग) लेने और उनकी बाद की गति के लिए हल करने की समस्या है।^[1] त्रिपिंड समस्या $n$ -पिण्ड समस्या का विशेष मामला है| द्विपिंड समस्या के विपरीत, कोई सामान्य संवृत रूप अभिव्यक्ति सम्मिलित नहीं है,^[1]चूंकि परिणामी गतिशील प्रणाली अधिकांश प्रारंभिक स्थितियों के लिएअक्रम सिद्धांत है, और सामान्यतः संख्यात्मक तरीकों की आवश्यकता होती है।

ऐतिहासिक रूप से, विस्तारित अध्ययन प्राप्त करने वाली पहली विशिष्ट त्रिपिंड समस्या वह थी जिसमें चंद्रमा, पृथ्वी और सूर्य सम्मिलित थे।^[2] एक विस्तारित आधुनिक अर्थ में, त्रिपिंड समस्या चिरसम्मत यांत्रिकी या क्वांटम यांत्रिकी में कोई समस्या है जो तीन कणों की गति का मॉडल करती है।

गणितीय विवरण

सदिश स्थितियों के लिए गति के न्यूटोनियन समीकरणों के संदर्भ में त्रि-पिंड समस्या का गणितीय कथन दिया जा सकता है $\mathbf {r_{i}} =(x_{i},y_{i},z_{i})$ द्रव्यमान के साथ तीन गुरुत्वाकर्षण परस्पर क्रिया करने वाले पिंडों का $m_{i}$ :

{\begin{aligned}{\ddot {\mathbf {r} }}_{\mathbf {1} }&=-Gm_{2}{\frac {\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} }{|\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} |^{3}}}-Gm_{3}{\frac {\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} }{|\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} |^{3}}},\\{\ddot {\mathbf {r} }}_{\mathbf {2} }&=-Gm_{3}{\frac {\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} }{|\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} |^{3}}}-Gm_{1}{\frac {\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{1}} }{|\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{1}} |^{3}}},\\{\ddot {\mathbf {r} }}_{\mathbf {3} }&=-Gm_{1}{\frac {\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} }{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} |^{3}}}-Gm_{2}{\frac {\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{2}} }{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{2}} |^{3}}}.\end{aligned}}

जहाँ $G$ गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है।^[3]^[4] यह नौ दूसरे क्रम के अवकलन समीकरण का सेट है। समस्या को हैमिल्टनियन औपचारिकता में समान रूप से भी कहा जा सकता है, इस मामले में इसे 18 प्रथम-क्रम अवकलन समीकरण के सेट द्वारा वर्णित किया गया है, पदों के प्रत्येक घटक के लिए $\mathbf {r_{i}}$ और क्षण $\mathbf {p_{i}}$ :

{\frac {d\mathbf {r_{i}} }{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {p_{i}} }},\qquad {\frac {d\mathbf {p_{i}} }{dt}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {r_{i}} }},

जहाँ ${\mathcal {H}}$ हैमिल्टनियन यांत्रिकी है:

{\mathcal {H}}=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{|\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} |}}-{\frac {Gm_{2}m_{3}}{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{2}} |}}-{\frac {Gm_{3}m_{1}}{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} |}}+{\frac {\mathbf {p_{1}} ^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {\mathbf {p_{2}} ^{2}}{2m_{2}}}+{\frac {\mathbf {p_{3}} ^{2}}{2m_{3}}}.

इस मामले में ${\mathcal {H}}$ केवल प्रणाली की कुल ऊर्जा है, गुरुत्वाकर्षण प्लस काइनेटिक।

प्रतिबंधित त्रिपिंड समस्या

सर्कुलर प्रतिबंधित त्रिपिंड समस्या सौर मंडल में पाए जाने वाले अण्डाकार कक्षाओं का एक वैध सन्निकटन है, और इसे दो प्राथमिक पिंडों के गुरुत्वाकर्षण के साथ-साथ उनके रोटेशन (कोरिओलिस) से केन्द्रापसारक प्रभाव के कारण क्षमता के संयोजन के रूप में देखा जा सकता है। प्रभाव गतिशील हैं और नहीं दिखाए गए हैं)। लैग्रेंज बिंदुओं को तब उन पांच स्थानों के रूप में देखा जा सकता है जहां परिणामी सतह पर ढाल शून्य है (नीली रेखाओं के रूप में दिखाया गया है), यह दर्शाता है कि वहां बल संतुलन में हैं।

प्रतिबंधित त्रिपिंड समस्या में,^[3]नगण्य द्रव्यमान ("प्लैनेटॉइड") का पिंड दो विशाल पिंडों के प्रभाव में चलता है। नगण्य द्रव्यमान होने के कारण, दो बड़े पिंडों पर प्लेनेटॉइड (कृत्रिम उपग्रह) के बल की उपेक्षा की जा सकती है, और प्रणाली का विश्लेषण किया जा सकता है और इसलिए इसे द्विपिंडी गति के संदर्भ में वर्णित किया जाता है। सामान्यतः इस द्विपिंडी गति को द्रव्यमान के केंद्र के चारों ओर गोलाकार कक्षाओं में सम्मिलित करने के लिए लिया जाता है, और ग्रहों को गोलाकार कक्षाओं द्वारा परिभाषित समतल में स्थानांतरित करने के लिए माना जाता है।

पूर्ण समस्या की तुलना में प्रतिबंधित त्रिपिंड समस्या सैद्धांतिक रूप से विश्लेषण करना आसान है। यह व्यावहारिक रुचि का भी है क्योंकि यह कई वास्तविक दुनिया की समस्याओं का सटीक वर्णन करता है, सबसे महत्वपूर्ण उदाहरण पृथ्वी-चंद्रमा-सूर्य प्रणाली है। इन कारणों से, इसने त्रिपिंड समस्या के ऐतिहासिक विकास में महत्वपूर्ण भूमिका निभाई है।

गणितीय रूप से, समस्या निम्नानुसार बताई गई है। मान लीजिये $m_{1,2}$ दो बड़े पिंडों के द्रव्यमान हों, (प्लानर) निर्देशांक के साथ $(x_{1},y_{1})$ और $(x_{2},y_{2})$ , और मान लीजिये $(x,y)$ प्लेनेटॉइड के निर्देशांक है। सरलता के लिए, ऐसी इकाइयाँ चुनें कि दो विशाल पिंडों के बीच की दूरी, साथ ही साथ गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक, दोनों बराबर हों $1$ , फिर प्लेनेटॉइड की गति दी जाती है

{\begin{aligned}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-m_{1}{\frac {x-x_{1}}{r_{1}^{3}}}-m_{2}{\frac {x-x_{2}}{r_{2}^{3}}},\\{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=-m_{1}{\frac {y-y_{1}}{r_{1}^{3}}}-m_{2}{\frac {y-y_{2}}{r_{2}^{3}}},\end{aligned}}

जहाँ $r_{i}={\sqrt {(x-x_{i})^{2}+(y-y_{i})^{2}}}$ , इस रूप में गति के समीकरण निर्देशांक के माध्यम से स्पष्ट समय पर निर्भरता रखते हैं $x_{i}(t),y_{i}(t)$ , चूंकि इस समय की निर्भरता को घूर्णन संदर्भ फ्रेम में परिवर्तन के माध्यम से हटाया जा सकता है, जो किसी भी बाद के विश्लेषण को सरल करता है।

अभिव्यक्ति

सामान्य अभिव्यक्ति

जबकि गुरुत्वाकर्षण के साथ परस्पर क्रिया करने वाले 3 पिंडों की प्रणाली अराजक है, 3 पिंडों की एक प्रणाली प्रत्यास्थ रूप से परस्पर क्रिया नहीं कर रही है।

त्रिपिंड समस्या का संवृत रूप अभिव्यक्ति नहीं है,^[1]जिसका अर्थ है कि कोई सामान्य अभिव्यक्ति नहीं है जिसे मानक गणितीय संक्रियाओं की सीमित संख्या के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इसके अतिरिक्त, विशेष स्थितियों को छोड़कर, त्रिपिंड गति सामान्यतः गैर-पुनरावृत्ति होती है।^[5]हालाँकि, 1912 में फिनिश गणितज्ञ कार्ल फ्रिटिओफ सुंडमैन ने सिद्ध किया कि $t 1/3$ की शक्तियों के संदर्भ में शक्ति श्रृंखला के रूप में त्रिपिंड समस्या का विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति सम्मिलित है^[6] शून्य कोणीय संवेग से संबंधित प्रारंभिक स्थितियों को छोड़कर, यह श्रृंखला सभी वास्तविक $t$ के लिए अभिसरित होती है। व्यवहार में, बाद वाला प्रतिबंध नगण्य है क्योंकि शून्य कोणीय गति के साथ प्रारंभिक स्थितियां दुर्लभ हैं, जिसमें लेबेस्ग उपाय शून्य है।

इस परिणाम को सिद्ध करने में महत्वपूर्ण मुद्दा यहथ्य है कि इस श्रृंखला के लिए अभिसरण की त्रिज्या निकटतम विलक्षणता की दूरी से निर्धारित होती है। इसलिए, त्रिपिंड समस्याओं की संभावित विलक्षणताओं का अध्ययन करना आवश्यक है। जैसा कि नीचे संक्षेप में चर्चा की जाएगी, त्रिपिंड समस्या में एकमात्र विलक्षणता द्विक् संघट्ट (एक पल में दो कणों के बीच संघट्ट) और त्रिक संघट्ट (एक पल में तीन कणों के बीच संघट्ट) हैं।

संघट्ट, चाहे द्विक् या त्रिक (वास्तव में, कोई भी संख्या), कुछ हद तक असंभव है, क्योंकि यह दिखाया गया है कि वे माप शून्य की प्रारंभिक स्थितियों के सेट के अनुरूप हैं। चूंकि, संबंधित अभिव्यक्ति के लिए संघट्ट से बचने के लिए प्रारंभिक अवस्था में रखने के लिए कोई मानदंड ज्ञात नहीं है। तो सुंदरमैन की रणनीति में निम्नलिखित चरण सम्मिलित थे:

नियमितकरण (भौतिकी) के रूप में जानी जाने वाली प्रक्रिया में, द्विक् संघट्ट से परे अभिव्यक्ति का विश्लेषण जारी रखने के लिए चर के उपयुक्त परिवर्तन का उपयोग करना।
यह सिद्ध करना कि त्रिक संघट्ट तभी होती है जब कोणीय गति $L$ गायब हो जाती है। प्रारंभिक डेटा को $L \neq 0$ तक सीमित करके, उन्होंने त्रिपिंड समस्या के लिए रूपांतरित समीकरणों से सभी वास्तविक विलक्षणताओं को हटा दिया।
दिखा रहा है कि यदि $L \neq 0$ , तब न केवल कोई त्रिक संघट्ट हो सकती है, बल्कि प्रणाली त्रिक संघट्ट से सख्ती से दूर है। अवकलन समीकरण के लिए कॉची केअस्तित्वप्रमेय का उपयोग करके इसका तात्पर्य है कि वास्तविक धुरी (कोवालेवस्काया के रंग) के आसपास केंद्रित जटिल समतल में पट्टी (के मान के आधार पर) $L$ ) में कोई जटिल विलक्षणता नहीं है।
एक अनुरूप परिवर्तन खोजें जो इस पट्टी को यूनिट डिस्क में मैप करता है। उदाहरण के लिए, यदि $s = t 1/3$ (नियमितीकरण के बाद नया चर) और यदि $| ln s | \leq β$ , तो यह मैप दिया गया है $\sigma ={\frac {e^{\frac {\pi s}{2\beta }}-1}{e^{\frac {\pi s}{2\beta }}+1}}.$

यह सुंदरमैन के प्रमेय के प्रमाण को समाप्त करता है।

हालाँकि, संबंधित श्रृंखला बहुत धीरे-धीरे परिवर्तित होती है। अर्थात्, सार्थक परिशुद्धता का मान प्राप्त करने के लिए इतने सारे नियम की आवश्यकता होती है कि यह अभिव्यक्ति बहुत कम व्यावहारिक उपयोग का है। वास्तव में, 1930 में, डेविड बेलोरिस्की ने गणना की कि यदि सुंदरमन की श्रृंखला का उपयोग खगोलीय प्रेक्षणों के लिए किया जाता है, तो संगणनाओं में कम से कम 10^8000000 नियम सम्मिलित होंगे।^[7]

विशेष केस अभिव्यक्ति

1767 में, लियोनहार्ड यूलर ने आवधिक समाधानों के तीन कुल पाए जिनमें प्रत्येक पल में तीन द्रव्यमान संरेखी होते हैं। यूलर की त्रिपिंड समस्या देखें।

1772 में, जोसेफ लुइस लाग्रेंज ने समाधानों का एक कुल पाया जिसमें तीन द्रव्यमान प्रत्येक पल में समबाहु त्रिभुज बनाते हैं। यूलर के समरेख समाधानों के साथ, ये अभिव्यक्ति त्रिपिंड समस्या के लिए केंद्रीय विन्यास बनाते हैं। ये अभिव्यक्ति किसी भी द्रव्यमान अनुपात के लिए मान्य हैं, और द्रव्यमान केप्लरियन दीर्घवृत्त पर चलते हैं। ये चार कुल एकमात्र ज्ञात अभिव्यक्ति हैं जिनके लिए स्पष्ट विश्लेषणात्मक सूत्र हैं। परिपत्र प्रतिबंधित त्रिपिंड समस्या के विशेष मामले में, ये अभिव्यक्ति, प्राथमिक के साथ घूमते हुए एक फ्रेम में देखे जाते हैं, बिंदु बन जाते हैं जिन्हें L₁, L₂, L₃, L₄, और L₅ के रूप में संदर्भित किया जाता है और L₄, और L₅ लैग्रेंज के समाधान के सममित उदाहरण के साथ लैग्रैन्जियन अंक कहलाते हैं।

1892-1899 में सारांशित कार्य में, हेनरी पोंकारे ने प्रतिबंधित त्रिपिंड समस्या के अनंत आवधिक समाधानों के अस्तित्व की स्थापना की, साथ ही सामान्य त्रिपिंड समस्या में इन समाधानों को जारी रखने की तकनीकों के साथ स्थापना की थी।

1893 में, मीसेल ने कहा कि जिसे अब पाइथागोरस की त्रिपिंड समस्या कहा जाता है: 3:4:5 के अनुपात में तीन द्रव्यमान 3:4:5 समकोण त्रिभुज के शीर्ष पर गतिहीन से रखे गए हैं। बरौ^[8] 1913 में इस समस्या की और जांच की थी। 1967 में विक्टर स्जेबेहेली सी. फ्रेडरिक पीटर्स ने संख्यात्मक एकीकरण का उपयोग करते हुए इस समस्या के लिए अंतिम बचाव की स्थापना की, जबकि एक ही समय में निकटवर्ती आवधिक समाधान खोजा।^[9]

1970 के दशक में, मिशेल हेनन और रोजर ए. ब्रोके प्रत्येक ने समाधानों का समूह पाया जो अभिव्यक्ति के एक ही कुल का हिस्सा बनता है: ब्रोके-हेनॉन-हडजिडेमेट्रियौ कुल। इस कुल में तीनों वस्तुओं का द्रव्यमान समान है और वे प्रतिगामी और प्रत्यक्ष दोनों रूपों को प्रदर्शित कर सकती हैं। ब्रोके के कुछ समाधानों में दो पिंड एक ही पथ का अनुसरण करते हैं।^[10]

एक अवधि T ≃ 6.3259 में त्रिपिंड समस्या के लिए चित्र-8 अभिव्यक्ति का एक एनीमेशन।^[11]

1993 में, शून्य कोणीय गति अभिव्यक्तितीन समान द्रव्यमानों के साथ आठ आकृति के चारों ओर घूम रहा था, जिसे सांता फ़े संस्थान में भौतिक विज्ञानी क्रिस मूर द्वारा संख्यात्मक रूप से खोजा गया था।^[12] इसका औपचारिक अस्तित्व बाद में 2000 में गणितज्ञ एलेन चेनसिनर और रिचर्ड मॉन्टगोमरी द्वारा सिद्ध किया गया था।^[13]^[14] द्रव्यमान और कक्षीय मापदंडों के छोटे गड़बड़ी के लिए अभिव्यक्ति को संख्यात्मक रूप से स्थिर दिखाया गया है, जिससे यह संभव हो जाता है कि भौतिक ब्रह्मांड में ऐसी कक्षाओं को देखा जा सकता है। हालाँकि, यह तर्क दिया गया है कि यह घटना संभव नहीं है क्योंकि स्थिरता का क्षेत्र छोटा है। उदाहरण के लिए, द्विक्-द्विक् अवकीर्णन इवेंट की प्रायिकता जिसके परिणामस्वरूप अंक-8 कक्षा में प्रतिशत का छोटा अंश होने का अनुमान लगाया गया है।^[15]

2013 में, बेलग्रेड में भौतिक विज्ञान संस्थान में भौतिकविदों मिलोवन सुवाकोव और वेल्जको दमित्रासिनोविक ने समान-द्रव्यमान शून्य-कोणीय-गति त्रिपिंड समस्या के अभिव्यक्ति के 13 नए कुल की खोज की है।^[5]^[10]

2015 में, भौतिक विज्ञानी एना हूडोमल ने समान-द्रव्यमान शून्य-कोणीय-संवेग त्रिपिंड समस्या के अभिव्यक्ति के 14 नए कुल की खोज की थी।^[16]

2017 में, शोधकर्ताओं श्याओमिंग ली और शिजुन लियाओ ने समान-द्रव्यमान शून्य-कोणीय-गति त्रिपिंड समस्या की 669 नई आवधिक कक्षाओं की खोज की थी।^[17] इसके बाद 2018 में असमान द्रव्यमान की शून्य-कोणीय-गति प्रणाली के लिए अतिरिक्त 1223 नए अभिव्यक्ति किए गए है।^[18]

2018 में, ली और लियाओ ने असमान-द्रव्यमान निर्बाध गिरावट त्रिपिंड समस्या के लिए 234 समाधानों की सूचना दी थी।^[19] त्रिपिंड समस्या का निर्बाध गिरावट निरूपण तीन पिण्ड गतिहीन से प्रारम्भ होता है। इस वजह से, निर्बाध गिरावट समाकृति में बंद "लूप" में परिक्रमा नहीं करती है, बल्कि खुले ट्रैक के साथ आगे और पीछे की ओर संचारण करती है।

संख्यात्मक दृष्टिकोण

कंप्यूटर का उपयोग करके, समस्या को संख्यात्मक एकीकरण का उपयोग करके मनमाने ढंग से उच्च परिशुद्धता के लिए हल किया जा सकता है, चूंकि उच्च परिशुद्धता के लिए बड़ी मात्रा में सीपीयू समय की आवश्यकता होती है। ऐसे कंप्यूटर प्रोग्राम बनाने के प्रयास किए गए हैं जो त्रिपिंड समस्या (और विस्तार से, n-बॉडी समस्या) को संख्यात्मक रूप से हल करते हैं, जिसमें विद्युत चुम्बकीय और गुरुत्वाकर्षण दोनों परस्पर क्रियाएं सम्मिलित हैं, और विशेष सापेक्षता जैसे भौतिकी के आधुनिक सिद्धांतों को सम्मिलित किया गया है।^[20] इसके अतिरिक्त, यादृच्छिक चलने के सिद्धांत का उपयोग करके, विभिन्न परिणामों की संभावना की गणना की जा सकती है।^[21]^[22]

इतिहास

1687 से अपने पारंपरिक अर्थों में त्रिपिंड गुरुत्वाकर्षण समस्या पदार्थ में है, जब आइजैक न्यूटन ने अपनी फिलोसोफी नेचुरेलिस प्रिन्सिपिया मैथेमेटिका प्रकाशित की, जब न्यूटन यह पता लगाने की कोशिश कर रहे थे कि क्या कोई दीर्घकालिक स्थिरता संभव है, विशेष रूप से हमारी पृथ्वी, चंद्रमा की प्रणाली, और सूर्य| उन्हें प्रमुख पुनर्जागरण खगोलविदों निकोलस कोपरनिकस, टाइको ब्राहे और जोहान्स केप्लर के तहत गुरुत्वाकर्षण त्रिपिंड समस्या के प्रारम्भ के लिए निर्देशित किया गया था।^[23] प्रिन्सिपिया की पुस्तक 1 के प्रस्ताव 66 और इसके 22 परिणाम में, न्यूटन ने पारस्परिक रूप से परेशान करने वाले गुरुत्वाकर्षण आकर्षण के अधीन तीन विशाल पिंडों की गति की समस्या की परिभाषा और अध्ययन में पहला कदम उठाया था। पुस्तक 3 के प्रस्ताव 25 से 35 में, न्यूटन ने प्रस्ताव 66 के अपने परिणामों को चंद्र सिद्धांत, पृथ्वी और सूर्य के गुरुत्वाकर्षण प्रभाव के तहत चंद्रमा की गति पर लागू करने में पहला कदम उठाया था।^[24] बाद में, यह समस्या पृथ्वी और सूर्य के साथ अन्य ग्रहों की अन्योन्यक्रियाओं पर भी लागू हुई थी।^[23]

शारीरिक समस्या को पहले अमेरिगो वेस्पुची और बाद में गैलीलियो गैलीली और साथ ही साइमन स्टीवन द्वारा संबोधित किया गया था, लेकिन उन्हें यह नहीं पता था कि उन्होंने क्या योगदान दिया था। चूंकि गैलीलियो ने निर्धारित किया कि सभी पिंडों के गिरने की गति समान रूप से और समान रूप से बदलती है, उन्होंने इसे ग्रहों की गति पर लागू नहीं किया था।^[23] जबकि 1499 में, वेस्पूसी ने ब्राजील में अपनी स्थिति निर्धारित करने के लिए चंद्रमा की स्थिति के ज्ञान का उपयोग किया था।^[25] यह 1720 के दशक में तकनीकी महत्व का हो गया, क्योंकि एक सटीक अभिव्यक्ति नेविगेशन पर लागू होगा, विशेष रूप से समुद्र में देशांतर के निर्धारण के लिए, जॉन हैरिसन के समुद्री क्रोनोमीटर के आविष्कार द्वारा व्यवहार में हल किया गया था। हालाँकि, पृथ्वी के चारों ओर चंद्रमा की गति पर सूर्य और ग्रहों के प्रतिकूल प्रभाव के कारण, चंद्र सिद्धांत की सटीकता कम थी।

जीन ले रोंड डी'अलेम्बर्ट और एलेक्सिस क्लेराट, जिन्होंने लंबी प्रतिद्वंद्विता विकसित की, दोनों ने कुछ हद तक सामान्यता में समस्या का विश्लेषण करने का प्रयास किया; उन्होंने 1747 में एकेडेमी रोयाले डेस साइंसेज को अपना प्रतिस्पर्धी पहला विश्लेषण प्रस्तुत किया था।^[26] यह 1740 के दशक दौरान पेरिस में उनके शोध के संबंध में था, कि नाम "त्रिपिंड समस्या" (French: Problème des trois Corps) सामान्यतः उपयोग किया जाने लगा। 1761 में जीन ले रोंड डी'अलेम्बर्ट द्वारा प्रकाशित लेख इंगित करता है कि नाम पहली बार 1747 में उपयोग किया गया था।^[27]

19वीं सदी के अंत से लेकर 20वीं सदी के प्रारम्भ तक, वैज्ञानिकों द्वारा लघु परिसर आकर्षक द्विपिंड बलों के उपयोग के साथ त्रिपिंड समस्या को हल करने का दृष्टिकोण विकसित किया गया था, जिसने पी.एफ. बेडाक, एच.-डब्ल्यू हैमर और यू. वैन कोल्क ने लघु परिसर त्रिपिंड समस्या को रीनॉर्मलाइज़ करने का विचार दिया, जो वैज्ञानिकों को 21वीं सदी के प्रारम्भ में पुनर्सामान्यीकरण समूह सीमा चक्र का दुर्लभ उदाहरण प्रदान करता है।^[28] जॉर्ज विलियम हिल ने 19वीं शताब्दी के अंत में शुक्र और बुध (ग्रह) की गति के अनुप्रयोग के साथ प्रतिबंधित समस्या पर काम किया था।^[29]

20वीं सदी के प्रारम्भ में, कार्ल एफ. सनडमैन ने समय के सभी मान के लिए मान्य समस्या के लिए फंक्शन सैद्धांतिक प्रमाण प्रदान करके समस्या को गणितीय और व्यवस्थित रूप से देखा था। यह पहली बार था जब वैज्ञानिकों ने सैद्धांतिक रूप से त्रिपिंड समस्या का अभिव्यक्ति किया था। हालाँकि, क्योंकि इस प्रणाली का पर्याप्त गुणात्मक अभिव्यक्ति नहीं था, और यह वैज्ञानिकों के लिए इसे व्यावहारिक रूप से लागू करने में बहुत धीमा था, इस अभिव्यक्ति ने अभी भी कुछ मुद्दों को अनसुलझा छोड़ दिया था।^[30] 1970 के दशक में, विटाली एफिमोव|वी द्वारा द्विपिंड बलों से त्रिपिंड के निहितार्थ की खोज की गई थी। एफिमोव जिसे एफिमोव प्रभाव नाम दिया गया था।^[31]

समान द्रव्यमान त्रिपिंड प्रणाली के आवधिक अभिव्यक्ति के 695 कुल को सफलतापूर्वक प्राप्त करने के लिए 2017 में, लियाओ शिजुन और ज़ियाओमिंग ली ने राष्ट्रीय सुपरकंप्यूटर के उपयोग के साथ अक्रम प्रणालियों के लिए संख्यात्मक सिमुलेशन की नई रणनीति लागू की, जिसे स्वच्छ संख्यात्मक सिमुलेशन (सीएनएस) कहा जाता है।^[32]

2019 में, ब्रीन एट अल ने त्रिपिंड समस्या के लिए फास्ट तंत्रिका नेटवर्क सॉल्वर की घोषणा की, जिसे न्यूमेरिकल इंटीग्रेटर का उपयोग करके प्रशिक्षित किया गया था।^[33]

त्रिपिंड से जुड़ी अन्य समस्याएं

शब्द "त्रिपिंड समस्या" का प्रयोग कभी-कभी अधिक सामान्य अर्थों में त्रिपिंड की परस्पर क्रिया से जुड़ी किसी भी शारीरिक समस्या को संदर्भित करने के लिए किया जाता है।

चिरसम्मत यांत्रिकी में गुरुत्वाकर्षण त्रिपिंड समस्या का क्वांटम-यांत्रिक अनुरूप हीलियम परमाणु है, जिसमें हीलियम नाभिक और दो इलेक्ट्रॉनों व्युत्क्रम-वर्ग कूलम्ब अंतःक्रिया के अनुसार परस्पर क्रिया करते हैं। गुरुत्वाकर्षण संबंधी त्रिपिंड समस्या, हीलियम परमाणु को सटीक रूप से हल नहीं किया जा सकता है।^[34]

चिरसम्मत और क्वांटम यांत्रिकी दोनों में, चूंकि, व्युत्क्रम वर्ग बल के अतिरिक्त गैर-पारस्परिक संपर्क नियम सम्मिलित हैं जो सटीक विश्लेषणात्मक त्रिपिंड समाधानों का नेतृत्व करते हैं। इस तरह के मॉडल में हार्मोनिक आकर्षण और प्रतिकारक व्युत्क्रम-घन बल का संयोजन होता है।^[35] इस मॉडल को गैर-तुच्छ माना जाता है क्योंकि यह गैर-रैखिक अवकलन समीकरण के सेट के साथ जुड़ा हुआ है जिसमें विलक्षणताएं होती हैं (तुलना में, उदाहरण के लिए, अकेले हार्मोनिक अन्तःक्रिया, जो रैखिक अवकलन समीकरण की आसानी से हल की गई प्रणाली को निर्देशन देती हैं)। इन दो स्थितियों में यह कूलम्ब अन्तःक्रिया वाले (अघुलनशील) मॉडल के अनुरूप है, और इसके परिणामस्वरूप हीलियम परमाणु जैसी भौतिक प्रणालियों को सहजता से समझने के लिए उपकरण के रूप में सुझाया गया है।^[35]^[36]

बिंदु भ्रमिल गैस के भीतर, द्वि-आयामी आदर्श द्रव में भ्रमिल की गति को गति के समीकरणों द्वारा वर्णित किया जाता है जिसमें केवल प्रथम-क्रम समय व्युत्पादित होते हैं। अर्थात न्यूटोनियन यांत्रिकी के विपरीत, यह वेग है न कि त्वरण जो उनकी सापेक्ष स्थिति से निर्धारित होता है। नतीजतन, तीन-भ्रमिल समस्या अभी भी एकीकृत प्रणाली है,^[37] जबकि अक्रम व्यवहार प्राप्त करने के लिए कम से कम चार भ्रमिल की आवश्यकता होती है।^[38] कोई तीन भ्रमिल के वेग क्षेत्र में निष्क्रिय अनुरेखक कण की गति और न्यूटोनियन यांत्रिकी की प्रतिबंधित त्रिपिंड समस्या के बीच समानताएं खींच सकता है।^[39]

सामान्य सापेक्षता का उपयोग करते हुए गुरुत्वाकर्षण त्रिपिंड समस्या का भी अध्ययन किया गया है। शारीरिक रूप से, बहुत सशक्त गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र वाले प्रणाली में सापेक्षिक उपचार आवश्यक हो जाता है, जैसे ब्लैक होल के घटना क्षितिज के पास होता है। चूंकि, न्यूटोनियन यांत्रिकी की तुलना में सापेक्षतावादी समस्या काफी अधिक कठिन है, और संख्यात्मक सापेक्षता की आवश्यकता है। यहां तक कि सामान्य सापेक्षता में पूर्ण द्विपिंड समस्या (अर्थात् द्रव्यमान के मनमाने अनुपात के लिए) का सामान्य सापेक्षता में कठोर विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति नहीं है।^[40]

$n$ -पिंड समस्या

त्रिपिंड समस्या $n$ -पिंड समस्या का विशेष मामला है, जो बताती है कि कैसे $n$ वस्तुएं गुरुत्वाकर्षण जैसे भौतिक बलों में से एक के तहत चलती हैं। इन समस्याओं का अभिसरण शक्ति श्रृंखला के रूप में वैश्विक विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति है, जैसा कि $n = 3$ कार्ल एफ.सुंदमैन द्वारा सिद्ध किया गया था और $n > 3$ किउडोंग वैंग द्वारा (विवरण के लिए $n$ - पिण्ड समस्या देखें)। हालाँकि, सुंदरमैन और वैंग श्रृंखला इतनी धीमी गति से परिवर्तित होती है कि वे व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए बेकार हैं;^[41] इसलिए, वर्तमान में संख्यात्मक एकीकरण के रूप में संख्यात्मक विश्लेषण द्वारा समाधानों का अनुमान लगाना आवश्यक है या, कुछ स्थितियों के लिए, चिरसम्मत त्रिकोणमितीय श्रृंखला सन्निकटन ( $n$ -बॉडी सिमुलेशन देखें)। परमाणु प्रणाली, उदाहरण क्वांटम $n$ -पिण्ड समस्या के संदर्भ में परमाणुओं, आयनों और अणुओं का उपचारित किया जा सकता है। चिरसम्मत भौतिक प्रणालियों के बीच, $n$ -पिण्ड समस्या सामान्यतः आकाशगंगा या आकाशगंगाओं के समूह को संदर्भित करती है; ग्रहों की प्रणालियों, जैसे सितारों, ग्रहों और उनके उपग्रहों को भी $n$ -बॉडी प्रणाली माना जा सकता है। कुछ अनुप्रयोगों को प्रक्षोभ (खगोल विज्ञान) सिद्धांत द्वारा आसानी से उपचारित किया जाता है, जिसमें प्रणाली को द्विपिंड समस्या के रूप में माना जाता है और अतिरिक्त बल काल्पनिक अपरंपरागत द्विपिंडी प्रक्षेपवक्र से विचलन का कारण बनता है।

यह भी देखें

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 ^1.2 Barrow-Green, June (2008), "The Three-Body Problem", in Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre (eds.), The Princeton Companion to Mathematics, Princeton University Press, pp. 726–728
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अग्रिम पठन

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बाहरी संबंध

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[TBG-10] 10.0 ^10.1 Šuvakov, M.; Dmitrašinović, V. "तीन-शरीर गैलरी". Retrieved 12 August 2015.

[11] Here the gravitational constant G has been set to 1, and the initial conditions are r₁(0) = -r₃(0) = (-0.97000436, 0.24308753); r₂(0) = (0,0); v₁(0) = v₃(0) = (0.4662036850, 0.4323657300); v₂(0) = (-0.93240737, -0.86473146). The values are obtained from Chenciner & Montgomery (2000).

[12] Moore, Cristopher (1993), "Braids in classical dynamics" (PDF), Physical Review Letters, 70 (24): 3675–3679, Bibcode:1993PhRvL..70.3675M, doi:10.1103/PhysRevLett.70.3675, PMID 10053934, archived from the original (PDF) on 2018-10-08, retrieved 2016-01-01

[13] Chenciner, Alain; Montgomery, Richard (2000). "समान द्रव्यमान के मामले में तीन-निकाय समस्या का एक उल्लेखनीय आवधिक समाधान". Annals of Mathematics. Second Series. 152 (3): 881–902. arXiv:math/0011268. Bibcode:2000math.....11268C. doi:10.2307/2661357. JSTOR 2661357. S2CID 10024592.

[14] Montgomery, Richard (2001), "A new solution to the three-body problem" (PDF), Notices of the American Mathematical Society, 48: 471–481

[15] Heggie, Douglas C. (2000), "A new outcome of binary–binary scattering", Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 318 (4): L61–L63, arXiv:astro-ph/9604016, Bibcode:2000MNRAS.318L..61H, doi:10.1046/j.1365-8711.2000.04027.x

[16] Hudomal, Ana (October 2015). "तीन-पिंड समस्या और गुरुत्वाकर्षण तरंगों का नया आवधिक समाधान" (PDF). Master of Science Thesis at the Faculty of Physics, Belgrade University. Retrieved 5 February 2019.

[17] Li, Xiaoming; Liao, Shijun (December 2017). "न्यूटोनियन आवधिक प्लानर टकराव रहित तीन-निकाय कक्षाओं के छह सौ से अधिक नए परिवार". Science China Physics, Mechanics & Astronomy. 60 (12): 129511. arXiv:1705.00527. Bibcode:2017SCPMA..60l9511L. doi:10.1007/s11433-017-9078-5. ISSN 1674-7348. S2CID 84838204.

[18] Li, Xiaoming; Jing, Yipeng; Liao, Shijun (13 September 2017). "The 1223 new periodic orbits of planar three-body problem with unequal mass and zero angular momentum". arXiv:1709.04775. doi:10.1093/pasj/psy057. {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (help)

[19] Li, Xiaoming; Liao, Shijun (2019). "फ्री-फॉल थ्री-बॉडी प्रॉब्लम में कोलिशनलेस पीरियोडिक ऑर्बिट्स". New Astronomy. 70: 22–26. arXiv:1805.07980. Bibcode:2019NewA...70...22L. doi:10.1016/j.newast.2019.01.003. S2CID 89615142.

[20] "3body simulator". 3body simulator (in English). Retrieved 2022-11-17.

[21] Technion (6 October 2021). "A Centuries-Old Physics Mystery? Solved". SciTechDaily. SciTech. Retrieved 12 October 2021.

[22] Ginat, Yonadav Barry; Perets, Hagai B. (23 July 2021). "विघटनकारी और गैर-विघटनकारी बाइनरी-सिंगल तारकीय मुठभेड़ों का विश्लेषणात्मक, सांख्यिकीय अनुमानित समाधान". Physical Review. 11 (3): 031020. arXiv:2011.00010. Bibcode:2021PhRvX..11c1020G. doi:10.1103/PhysRevX.11.031020. S2CID 235485570. Retrieved 12 October 2021.

[:1-23] 23.0 ^23.1 ^23.2 Valtonen, Mauri (3 May 2016). पाइथागोरस से हॉकिंग तक तीन-शरीर की समस्या. ISBN 978-3-319-22726-9. OCLC 1171227640.

[24] Newton, Isaac. "Philosophiæ naturalis principia mathematica". Rare & Special e-Zone. doi:10.14711/spcol/b706487. Retrieved 2022-10-05.

[25] "अमेरिगो वेस्पुची". Biography (in English). 23 June 2021. Retrieved 2022-10-05.

[26] The 1747 memoirs of both parties can be read in the volume of Histoires (including Mémoires) of the Académie Royale des Sciences for 1745 (belatedly published in Paris in 1749) (in French):
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[27] Jean le Rond d'Alembert, in a paper of 1761 reviewing the mathematical history of the problem, mentions that Euler had given a method for integrating a certain differential equation "in 1740 (seven years before there was question of the Problem of Three Bodies)": see d'Alembert, "Opuscules Mathématiques", vol. 2, Paris 1761, Quatorzième Mémoire ("Réflexions sur le Problème des trois Corps, avec de Nouvelles Tables de la Lune ...") pp. 329–312, at sec. VI, p. 245.

[:0-28] Mohr, R.F.; Furnstahl, R.J.; Hammer, H.-W.; Perry, R.J.; Wilson, K.G. (January 2006). "क्वांटम थ्री-बॉडी समस्या में सीमा चक्रों के लिए सटीक संख्यात्मक परिणाम". Annals of Physics. 321 (1): 225–259. arXiv:nucl-th/0509076. Bibcode:2006AnPhy.321..225M. doi:10.1016/j.aop.2005.10.002. ISSN 0003-4916. S2CID 119073191.

[29] "Coplanar Motion of Two Planets, One Having a Zero Mass". Annals of Mathematics, Vol. III, pp. 65–73, 1887.

[30] Barrow-Green, June (1996-10-29). Poincaré and the Three Body Problem. History of Mathematics. Vol. 11. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. doi:10.1090/hmath/011. ISBN 978-0-8218-0367-7.

[31] Efimov, V. (1970-12-21). "तीन-निकाय प्रणाली में गुंजयमान दो-शरीर बलों से उत्पन्न होने वाले ऊर्जा स्तर". Physics Letters B (in English). 33 (8): 563–564. Bibcode:1970PhLB...33..563E. doi:10.1016/0370-2693(70)90349-7. ISSN 0370-2693.

[32] Liao, Shijun; Li, Xiaoming (2019-11-01). "त्रि-निकाय समस्या के आवधिक समाधान पर". National Science Review (in English). 6 (6): 1070–1071. doi:10.1093/nsr/nwz102. ISSN 2095-5138. PMC 8291409. PMID 34691975.

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[36] Calogero, F. (1969). "एक आयाम में तीन-शरीर की समस्या का समाधान". Journal of Mathematical Physics. 10 (12): 2191–2196. Bibcode:1969JMP....10.2191C. doi:10.1063/1.1664820.

[37] Aref, Hassan (1979-03-01). "तीन भंवरों की गति". The Physics of Fluids. 22 (3): 393–400. Bibcode:1979PhFl...22..393A. doi:10.1063/1.862605. ISSN 0031-9171.

[38] Aref, Hassan; Pomphrey, Neil (1980-08-18). "चार भंवरों की एकीकृत और अराजक गति". Physics Letters A (in English). 78 (4): 297–300. Bibcode:1980PhLA...78..297A. doi:10.1016/0375-9601(80)90375-8. ISSN 0375-9601.

[39] Neufeld, Z; Tél, T (1997-03-21). "The vortex dynamics analogue of the restricted three-body problem: advection in the field of three identical point vortices". Journal of Physics A: Mathematical and General. 30 (6): 2263–2280. Bibcode:1997JPhA...30.2263N. doi:10.1088/0305-4470/30/6/043. ISSN 0305-4470.

[40] Musielak, Z. E.; Quarles, B. (2014). "तीन-शरीर की समस्या". Reports on Progress in Physics. 77 (6): 065901. arXiv:1508.02312. Bibcode:2014RPPh...77f5901M. doi:10.1088/0034-4885/77/6/065901. ISSN 0034-4885. PMID 24913140. S2CID 38140668.

[41] Florin Diacu. "The Solution of the n-body Problem", The Mathematical Intelligencer, 1996.

[42] Qin, Amy (November 10, 2014). "उथल-पुथल भरी दुनिया में, चीन साइंस-फाई की ओर बढ़ रहा है". The New York Times. Archived from the original on December 9, 2019. Retrieved February 5, 2020.

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 === सामान्य अभिव्यक्ति ===
-[[File:3bodyproblem.gif|600px|thumb| जबकि गुरुत्वाकर्षण के साथ परस्पर क्रिया करने वाले 3 पिंडों की प्रणाली अराजक है, 3 पिंडों की एक प्रणाली प्रत्यास्थ रूप से परस्पर क्रिया नहीं कर रही है।]]
+[[File:3bodyproblem.gif|272x272px|thumb| जबकि गुरुत्वाकर्षण के साथ परस्पर क्रिया करने वाले 3 पिंडों की प्रणाली अराजक है, 3 पिंडों की एक प्रणाली प्रत्यास्थ रूप से परस्पर क्रिया नहीं कर रही है।]]
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 के दशक में, मिशेल हेनन और रोजर ए. ब्रोके प्रत्येक ने समाधानों का समूह पाया जो अभिव्यक्ति के एक ही कुल का हिस्सा बनता है: ब्रोके-हेनॉन-हडजिडेमेट्रियौ कुल। इस कुल में तीनों वस्तुओं का द्रव्यमान समान है और वे प्रतिगामी और प्रत्यक्ष दोनों रूपों को प्रदर्शित कर सकती हैं। ब्रोके के कुछ समाधानों में दो पिंड एक ही पथ का अनुसरण करते हैं।<ref name="TBG">{{cite web |author1=Šuvakov, M. |author2=Dmitrašinović, V. |title=तीन-शरीर गैलरी|url=http://suki.ipb.ac.rs/3body/ |access-date=12 August 2015}}</ref>
-[[File:Three body problem figure-8 orbit animation.gif|400px|thumb|एक अवधि T ≃ 6.3259 में त्रिपिंड समस्या के लिए चित्र-8 अभिव्यक्ति का एक एनीमेशन।<ref>Here the gravitational constant ''G'' has been set to 1, and the initial conditions are '''r'''<sub>1</sub>(0) = -'''r'''<sub>3</sub>(0) = (-0.97000436, 0.24308753); '''r'''<sub>2</sub>(0) = (0,0); '''v'''<sub>1</sub>(0) = '''v'''<sub>3</sub>(0) = (0.4662036850, 0.4323657300); '''v'''<sub>2</sub>(0) = (-0.93240737, -0.86473146). The values are obtained from Chenciner & Montgomery (2000).</ref>]]1993 में,  शून्य कोणीय गति अभिव्यक्तितीन समान द्रव्यमानों के साथ आठ आकृति के चारों ओर घूम रहा था, जिसे सांता फ़े संस्थान में भौतिक विज्ञानी [[क्रिस मूर]] द्वारा संख्यात्मक रूप से खोजा गया था।<ref>{{citation
+[[File:Three body problem figure-8 orbit animation.gif|192x192px|thumb|एक अवधि T ≃ 6.3259 में त्रिपिंड समस्या के लिए चित्र-8 अभिव्यक्ति का एक एनीमेशन।<ref>Here the gravitational constant ''G'' has been set to 1, and the initial conditions are '''r'''<sub>1</sub>(0) = -'''r'''<sub>3</sub>(0) = (-0.97000436, 0.24308753); '''r'''<sub>2</sub>(0) = (0,0); '''v'''<sub>1</sub>(0) = '''v'''<sub>3</sub>(0) = (0.4662036850, 0.4323657300); '''v'''<sub>2</sub>(0) = (-0.93240737, -0.86473146). The values are obtained from Chenciner & Montgomery (2000).</ref>]]1993 में,  शून्य कोणीय गति अभिव्यक्तितीन समान द्रव्यमानों के साथ आठ आकृति के चारों ओर घूम रहा था, जिसे सांता फ़े संस्थान में भौतिक विज्ञानी [[क्रिस मूर]] द्वारा संख्यात्मक रूप से खोजा गया था।<ref>{{citation
   | last = Moore
   | first = Cristopher
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 बिंदु [[भंवर|भ्रमिल]] गैस के भीतर, द्वि-आयामी आदर्श द्रव में भ्रमिल की गति को गति के समीकरणों द्वारा वर्णित किया जाता है जिसमें केवल प्रथम-क्रम समय व्युत्पादित होते हैं। अर्थात न्यूटोनियन यांत्रिकी के विपरीत, यह वेग है न कि त्वरण जो उनकी सापेक्ष स्थिति से निर्धारित होता है। नतीजतन, तीन-भ्रमिल समस्या अभी भी [[एकीकृत प्रणाली]] है,<ref>{{Cite journal |last=Aref |first=Hassan |date=1979-03-01 |title=तीन भंवरों की गति|url=https://aip.scitation.org/doi/10.1063/1.862605 |journal=The Physics of Fluids |volume=22 |issue=3 |pages=393–400 |doi=10.1063/1.862605 |bibcode=1979PhFl...22..393A |issn=0031-9171}}</ref> जबकि अक्रम व्यवहार प्राप्त करने के लिए कम से कम चार भ्रमिल की आवश्यकता होती है।<ref>{{Cite journal |last1=Aref |first1=Hassan |last2=Pomphrey |first2=Neil |date=1980-08-18 |title=चार भंवरों की एकीकृत और अराजक गति|url=https://dx.doi.org/10.1016/0375-9601%2880%2990375-8 |journal=Physics Letters A |language=en |volume=78 |issue=4 |pages=297–300 |doi=10.1016/0375-9601(80)90375-8 |bibcode=1980PhLA...78..297A |issn=0375-9601}}</ref> कोई तीन भ्रमिल के वेग क्षेत्र में निष्क्रिय अनुरेखक कण की गति और न्यूटोनियन यांत्रिकी की प्रतिबंधित त्रिपिंड समस्या के बीच समानताएं खींच सकता है।<ref>{{Cite journal |last1=Neufeld |first1=Z |last2=Tél |first2=T |date=1997-03-21 |title=The vortex dynamics analogue of the restricted three-body problem: advection in the field of three identical point vortices |url=https://iopscience.iop.org/article/10.1088/0305-4470/30/6/043 |journal=Journal of Physics A: Mathematical and General |volume=30 |issue=6 |pages=2263–2280 |doi=10.1088/0305-4470/30/6/043 |bibcode=1997JPhA...30.2263N |issn=0305-4470}}</ref>
-[[सामान्य सापेक्षता]] का उपयोग करते हुए गुरुत्वाकर्षण त्रिपिंड समस्या का भी अध्ययन किया गया है। शारीरिक रूप से, बहुत मजबूत गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र वाले प्रणाली में सापेक्षिक उपचार आवश्यक हो जाता है, जैसे [[ब्लैक होल]] के [[घटना क्षितिज]] के पास होता है। चूंकि, न्यूटोनियन यांत्रिकी की तुलना में सापेक्षतावादी समस्या काफी अधिक कठिन है, और [[संख्यात्मक सापेक्षता]] की आवश्यकता है। यहां तक कि सामान्य सापेक्षता में पूर्ण द्विपिंड समस्या (अर्थात् द्रव्यमान के मनमाने अनुपात के लिए) का सामान्य सापेक्षता में कठोर विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति नहीं है।<ref>{{cite journal | last1=Musielak | first1=Z. E. | last2=Quarles | first2=B. | title=तीन-शरीर की समस्या| journal=Reports on Progress in Physics | volume=77 | issue=6 | pages=065901 | year=2014 | issn=0034-4885 | doi=10.1088/0034-4885/77/6/065901 | pmid=24913140| arxiv=1508.02312 | bibcode=2014RPPh...77f5901M | s2cid=38140668 }}</ref>
+[[सामान्य सापेक्षता]] का उपयोग करते हुए गुरुत्वाकर्षण त्रिपिंड समस्या का भी अध्ययन किया गया है। शारीरिक रूप से, बहुत सशक्त गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र वाले प्रणाली में सापेक्षिक उपचार आवश्यक हो जाता है, जैसे [[ब्लैक होल]] के [[घटना क्षितिज]] के पास होता है। चूंकि, न्यूटोनियन यांत्रिकी की तुलना में सापेक्षतावादी समस्या काफी अधिक कठिन है, और [[संख्यात्मक सापेक्षता]] की आवश्यकता है। यहां तक कि सामान्य सापेक्षता में पूर्ण द्विपिंड समस्या (अर्थात् द्रव्यमान के मनमाने अनुपात के लिए) का सामान्य सापेक्षता में कठोर विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति नहीं है।<ref>{{cite journal | last1=Musielak | first1=Z. E. | last2=Quarles | first2=B. | title=तीन-शरीर की समस्या| journal=Reports on Progress in Physics | volume=77 | issue=6 | pages=065901 | year=2014 | issn=0034-4885 | doi=10.1088/0034-4885/77/6/065901 | pmid=24913140| arxiv=1508.02312 | bibcode=2014RPPh...77f5901M | s2cid=38140668 }}</ref>
 =={{mvar|n}}-पिंड समस्या==
 त्रिपिंड समस्या {{mvar|n}}-पिंड समस्या का विशेष मामला है, जो बताती है कि कैसे {{mvar|n}} वस्तुएं गुरुत्वाकर्षण जैसे भौतिक बलों में से एक के तहत चलती हैं। इन समस्याओं का अभिसरण शक्ति श्रृंखला के रूप में वैश्विक विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति है, जैसा कि {{math|''n'' {{=}} 3}} कार्ल एफ.सुंदमैन द्वारा सिद्ध किया गया था और {{math|''n'' > 3}} [[किउडोंग वैंग]] द्वारा (विवरण के लिए {{mvar|n}}- पिण्ड समस्या देखें)। हालाँकि, सुंदरमैन और वैंग श्रृंखला इतनी धीमी गति से परिवर्तित होती है कि वे व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए बेकार हैं;<ref>[[Florin Diacu]]. [http://www.math.uvic.ca/faculty/diacu/diacuNbody.pdf "The Solution of the ''n''-body Problem"], ''[[The Mathematical Intelligencer]]'', 1996.</ref> इसलिए, वर्तमान में संख्यात्मक एकीकरण के रूप में [[संख्यात्मक विश्लेषण]] द्वारा समाधानों का अनुमान लगाना आवश्यक है या, कुछ स्थितियों के लिए, चिरसम्मत [[त्रिकोणमितीय श्रृंखला]] सन्निकटन ({{mvar|n}}-बॉडी सिमुलेशन देखें)। परमाणु प्रणाली, उदाहरण क्वांटम  {{mvar|n}}-पिण्ड समस्या के संदर्भ में परमाणुओं, आयनों और अणुओं का उपचारित किया जा सकता है। चिरसम्मत भौतिक प्रणालियों के बीच, {{mvar|n}}-पिण्ड समस्या सामान्यतः आकाशगंगा या आकाशगंगाओं के समूह को संदर्भित करती है; ग्रहों की प्रणालियों, जैसे सितारों, ग्रहों और उनके उपग्रहों को भी  {{mvar|n}}-बॉडी प्रणाली माना जा सकता है। कुछ अनुप्रयोगों को प्रक्षोभ (खगोल विज्ञान) सिद्धांत द्वारा आसानी से उपचारित किया जाता है, जिसमें प्रणाली को द्विपिंड समस्या के रूप में माना जाता है और अतिरिक्त बल काल्पनिक अपरंपरागत द्विपिंडी प्रक्षेपवक्र से विचलन का कारण बनता है।
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 ==संदर्भ==
 {{Reflist|2}}
 ==अग्रिम पठन==
 {{refbegin}}
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 * {{cite journal |last1=Šuvakov |first1=Milovan |last2=Dmitrašinović |first2=V. |arxiv=1303.0181 |title=Three Classes of Newtonian Three-Body Planar Periodic Orbits |date=2013 |journal=[[Physical Review Letters]] |volume=110 |issue=10 |page=114301 |doi=10.1103/PhysRevLett.110.114301 |pmid=25166541 |bibcode = 2013PhRvL.110k4301S |s2cid=118554305 }}
 {{refend}}
 ==बाहरी संबंध==
 * {{cite journal |first=Alain |last=Chenciner |date=2007 |title=Three body problem |journal=[[Scholarpedia]] |volume=2 |number=10 |page=2111 |doi=10.4249/scholarpedia.2111 |bibcode=2007SchpJ...2.2111C |doi-access=free }}
 * [https://www.science.org/content/article/physicists-discover-whopping-13-new-solutions-three-body-problem Physicists Discover a Whopping 13 New Solutions to Three-Body Problem] (''Science'')
 * [https://3body.hk 3body simulator] - an example of a computer program that solves the three-body problem numerically
-{{Chaos theory}}
 [[Category: अराजक नक्शे]] [[Category: शास्त्रीय यांत्रिकी]] [[Category: गतिशील प्रणाली]] [[Category: गणितीय भौतिकी]] [[Category: कक्षाओं]] [[Category: खगोल विज्ञान के समीकरण]]

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