चतुष्कोणीय बीजगणित: Difference between revisions

Revision as of 22:43, 29 May 2023

गणित में, एक क्षेत्र (गणित) F पर एक चतुष्कोणीय बीजगणित F के ऊपर A एक केंद्रीय सरल बीजगणित है।^[1]^[2] जिसका आयाम (सदिश समष्टि) 4 के ऊपर F है। प्रत्येक चतुर्धातुक बीजगणित अदिश विस्तारण द्वारा एक आव्यूह बीजगणित बन जाता है (समतुल्य रूप से, क्षेत्र विस्तार के साथ बीजगणित का प्रदिश उत्पाद), यानी F के उपयुक्त क्षेत्र विस्तार के लिए, $A\otimes _{F}K$ K पर 2 × 2 आव्यूह बीजगणित के लिए समरूपी है।

चतुष्कोणीय बीजगणित की धारणा को हैमिल्टन के चतुष्कोणों के एक स्वेच्छाचारी आधार क्षेत्र के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है। हैमिल्टन चतुष्कोण एक चतुष्कोणीय बीजगणित (उपरोक्त अर्थ में) $F=\mathbb {R}$ हैं, और वास्तव में केवल एक के ऊपर $\mathbb {R}$ 2 × 2 वास्तविक संख्या आव्यूह बीजगणित के अतिरिक्त, तुल्याकारिता तक है। जब $F=\mathbb {C}$ , तब बिकटेर्नियन F पर चतुष्कोणीय बीजगणित बनाते हैं।

संरचना

चतुर्धातुक बीजगणित का अर्थ हैमिल्टन के चतुष्कोणों के एक क्षेत्र पर बीजगणित की तुलना में कुछ अधिक सामान्य है। जब गुणांक क्षेत्र (गणित) F में विशेषता (बीजगणित) 2 नहीं है, तो F पर प्रत्येक चतुष्कोणीय बीजगणित को आधार (रैखिक बीजगणित) के साथ 4-आयामी F-सदिश स्थान $\{1,i,j,k\}$ के रूप में वर्णित किया जा सकता है। निम्नलिखित गुणन नियमों के साथ:

i^{2}=a

j^{2}=b

ij=k

ji=-k

जहाँ a और b, F के दिए गए शून्येतर अवयव हैं। इन नियमों से हम पाते हैं:

k^{2}=ijij=-iijj=-ab

पारम्परिक उदाहरण जहां $F=\mathbb {R}$ हैमिल्टन के चतुष्कोण (a = b = -1) और विभाजन-चतुर्भुज (a = -1, b = +1) हैं। विभाजित-चतुर्भुजों में, $k^{2}=+1$ और $jk=-i$ , हैमिल्टन के समीकरणों से भिन्न है।

इस तरह से परिभाषित बीजगणित निरूपित है (a b)_F या बस (a, b)। ^[3] जब F की विशेषता 2 होती है, तो 4 तत्वों के आधार पर एक अलग स्पष्ट विवरण भी संभव है, लेकिन किसी भी घटना में F पर चतुष्कोणीय बीजगणित की परिभाषा F पर 4-आयामी केंद्रीय सरल बीजगणित के रूप में सभी विशेषताओं में समान रूप से लागू होती है।

एक चतुष्कोणीय बीजगणित (a, b)_F F पर 2 × 2 आव्यूह के आव्यूह बीजगणित के लिए या तो एक विभाजन बीजगणित या समरूपी है; बाद वाली स्तिथि को विभाजन कहा जाता है। ^[4] आदर्श रूप निम्न है

N(t+xi+yj+zk)=t^{2}-ax^{2}-by^{2}+abz^{2}\

विभाजन बीजगणित की एक संरचना को परिभाषित करता है यदि और केवल यदि मानदंड एक विषमदैशिक द्विघात रूप है, अर्थात शून्य केवल शून्य तत्व पर है। शांकव खंड C(a,b) द्वारा परिभाषित

ax^{2}+by^{2}=z^{2}\

विभाजित स्तिथि में F में निर्देशांक के साथ एक बिंदु (x,y,z) है।^[5]

आवेदन

चतुर्भुज बीजगणित संख्या सिद्धांत में विशेष रूप से द्विघात रूपों में लागू होते हैं। वे ठोस संरचनाएं हैं जो F के ब्राउर समूह में अनुक्रम (समूह सिद्धांत) दो के तत्व उत्पन्न करती हैं। बीजगणितीय संख्या क्षेत्रों सहित कुछ क्षेत्रों के लिए, इसके ब्राउर समूह में क्रम 2 के प्रत्येक तत्व को चतुर्धातुक बीजगणित द्वारा दर्शाया जाता है। अलेक्जेंडर मर्कुरजेव के एक प्रमेय का अर्थ है कि किसी भी क्षेत्र के ब्राउर समूह में क्रम 2 के प्रत्येक तत्व को चतुष्कोणीय बीजगणित के प्रदिश उत्पाद द्वारा दर्शाया गया है।^[6] विशेष रूप से, पी-एडिक क्षेत्रों पर चतुष्कोणीय बीजगणित के निर्माण को स्थानीय वर्ग क्षेत्र सिद्धांत के द्विघात हिल्बर्ट प्रतीक के रूप में देखा जा सकता है।

वर्गीकरण

यह फर्डिनेंड जॉर्ज फ्रोबेनियस का एक प्रमेय है कि केवल दो वास्तविक चतुष्कोणीय बीजगणित हैं: 2 × 2 आव्यूह वास्तविक से अधिक और हैमिल्टन के वास्तविक चतुष्कोण हैं।

इसी तरह, किसी भी स्थानीय क्षेत्र F पर बिल्कुल दो चतुष्कोणीय बीजगणित होते हैं: F पर 2 × 2 आव्यूह और एक विभाजन बीजगणित है। लेकिन एक स्थानीय क्षेत्र पर चतुष्कोणीय विभाजन बीजगणित सामान्यतः क्षेत्र के ऊपर हैमिल्टन के चतुष्कोण नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए, पी-एडिक अंक पर हैमिल्टन के चतुष्कोण केवल एक विभाजन बीजगणित होते हैं जब p 2 होता है। विषम अभाज्य संख्या p के लिए, पी-एडिक हैमिल्टन चतुष्कोण p- पर 2 × 2 आव्यूहों के लिए समरूप होते हैं। यह देखने के लिए कि पी-एडिक हैमिल्टन चतुष्कोण विषम प्रधान p के लिए विभाजन बीजगणित नहीं हैं, निरीक्षण करें कि सर्वांगसमता x² + y² = −1 मोड p हल करने योग्य है और इसलिए हेन्सेल की स्वीकृत सिद्धांत द्वारा - यहाँ वह जगह है जहाँ p का विषम होना आवश्यक है - समीकरण

x² + y² = −1

पी-एडिक नंबरों में हल किया जा सकता है। इसलिए चतुष्कोण

xi + yj + k

मानदंड 0 है और इसलिए इसका गुणक व्युत्क्रम नहीं है।

किसी दिए गए क्षेत्र F के लिए सभी चतुष्कोणीय बीजगणितों के F-बीजगणित समरूपता वर्गों को वर्गीकृत करने का एक तरीका F है और उनके मानक रूपों के तदर्थता वर्गों पर चतुष्कोणीय बीजगणित के समरूपता वर्गों के बीच एक-से-एक पत्राचार का उपयोग करता है।

प्रत्येक चतुष्कोणीय बीजगणित A के लिए, एक द्विघात रूप N (जिसे आदर्श रूप कहा जाता है) को A पर संबद्ध किया जा सकता है जैसे कि

N(xy)=N(x)N(y)

A में सभी x और y के लिए। यह पता चला है कि चतुष्कोणीय F-बीजगणित के लिए संभावित मानक रूप बिल्कुल फिस्टर स्वरुप हैं।

परिमेय संख्याओं पर चतुर्भुज बीजगणित

परिमेय संख्याओं पर चतुर्धातुक बीजगणित का अंकगणितीय सिद्धांत समान है, लेकिन $\mathbb {Q}$ के द्विघात विस्तार की तुलना में अधिक जटिल है। $\mathbb {Q} _{\nu }$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {Q} _{p}$ $\mathbb {Q}$ $B$

मान लीजिये एक चतुष्कोणीय बीजगणित खत्म हो $\mathbb {Q}$ और जाने $\nu$ का स्थान (गणित)। , पूरा होने के साथ (इसलिए यह या तो पी-एडिक नंबर है कुछ अभाज्य p या वास्तविक संख्याओं के लिए ). परिभाषित करना $B_{\nu }:=\mathbb {Q} _{\nu }\otimes _{\mathbb {Q} }B$ , जो एक चतुष्कोणीय बीजगणित है $\mathbb {Q} _{\nu }$ . तो इसके लिए दो विकल्प हैं $B_{\nu }$ : 2 × 2 मैट्रिसेस ओवर $\mathbb {Q} _{\nu }$ या एक विभाजन बीजगणित।

हम कहते हैं $B$ पर विभाजित (या असंबद्ध) है $\nu$ अगर $B_{\nu }$ 2 × 2 मैट्रिसेस ओवर के लिए समरूपी है $\mathbb {Q} _{\nu }$ . हम कहते हैं कि बी 'गैर-विभाजित' (या 'प्रशाखायुक्त') पर है $\nu$ अगर $B_{\nu }$ चतुष्कोणीय विभाजन बीजगणित खत्म हो गया है $\mathbb {Q} _{\nu }$ . उदाहरण के लिए, तर्कसंगत हैमिल्टन चतुष्कोण 2 और पर गैर-विभाजित है $\infty$ और सभी विषम अभाज्य संख्याओं पर विभाजित करें। परिमेय 2 × 2 आव्यूह सभी स्थानों पर विभाजित हैं।

पर विभाजित परिमेय पर एक चतुष्कोणीय बीजगणित $\infty$ एक वास्तविक द्विघात क्षेत्र के अनुरूप है और एक जो गैर-विभाजित है $\infty$ एक काल्पनिक द्विघात क्षेत्र के समान है। सादृश्य एक द्विघात क्षेत्र से आता है जिसमें वास्तविक एम्बेडिंग होती है जब एक जनरेटर के लिए न्यूनतम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत) वास्तविक पर विभाजित होता है और अन्यथा गैर-वास्तविक एम्बेडिंग होता है। तर्कसंगत चतुष्कोणीय बीजगणित के क्रम में इस समानता की ताकत का एक उदाहरण इकाई समूहों से संबंधित है: यदि चतुष्कोणीय बीजगणित विभाजित होता है तो यह अनंत है $\infty$ ^{[citation needed]} और यह अन्यथा परिमित है^{[citation needed]}, ठीक वैसे ही जैसे द्विघात वलय में किसी क्रम का इकाई समूह वास्तविक द्विघात स्तिथि में अनंत होता है और अन्यथा परिमित होता है।

उन स्थानों की संख्या जहां परिमेय पर चतुष्कोणीय बीजगणित हमेशा सम होता है, और यह परिमेय पर द्विघात पारस्परिकता कानून के बराबर है। इसके अतिरिक्त, वे स्थान जहाँ B शाखाबद्ध होता है, बीजगणित के रूप में B को समाकृतिकता तक निर्धारित करता है। (दूसरे शब्दों में, परिमेय पर गैर-आइसोमॉर्फिक चतुष्कोणीय बीजगणित शाखाओं के समान सेट को साझा नहीं करते हैं।) अभाज्य संख्याओं का उत्पाद जिस पर बी शाखा करता है, उसे बी का 'विभेदक' कहा जाता है।

यह भी देखें

संदर्भ

Gille, Philippe; Szamuely, Tamás (2006). Central simple algebras and Galois cohomology. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 101. Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511607219. ISBN 0-521-86103-9. Zbl 1137.12001.
Lam, Tsit-Yuen (2005). Introduction to Quadratic Forms over Fields. Graduate Studies in Mathematics. Vol. 67. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1095-2. MR 2104929. Zbl 1068.11023.

अग्रिम पठन

Knus, Max-Albert; Merkurjev, Alexander; Rost, Markus; Tignol, Jean-Pierre (1998). The book of involutions. Colloquium Publications. Vol. 44. With a preface by J. Tits. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0904-0. MR 1632779. Zbl 0955.16001.
Maclachlan, Colin; Ried, Alan W. (2003). The Arithmetic of Hyperbolic 3-Manifolds. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4757-6720-9. ISBN 0-387-98386-4. MR 1937957. See chapter 2 (चतुर्भुज बीजगणित I) and chapter 7 (चतुर्भुज बीजगणित II).
Chisholm, Hugh, ed. (1911). "Algebra" . Encyclopædia Britannica (in English) (11th ed.). Cambridge University Press. (See section on quaternions.)
Quaternion algebra at Encyclopedia of Mathematics.

[1] See Pierce. Associative algebras. Springer. Lemma at page 14.

[2] See Milies & Sehgal, An introduction to group rings, exercise 17, chapter 2.

[GS2-3] Gille & Szamuely (2006) p.2

[GS3-4] Gille & Szamuely (2006) p.3

[GS7-5] Gille & Szamuely (2006) p.7

[Lam139-6] Lam (2005) p.139

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 {{Short description|Generalization of quaternions to other fields}}
-गणित में, एक [[क्षेत्र (गणित)]] ''एफ'' पर एक चतुष्कोणीय बीजगणित ''एफ'' के ऊपर एक [[केंद्रीय सरल बीजगणित]] ''ए'' है।<ref>See Pierce. Associative algebras. Springer. Lemma at page 14.</ref><ref>See Milies & Sehgal, An introduction to group rings, exercise 17, chapter 2.</ref> जिसका डायमेंशन (वेक्टर स्पेस) 4 ओवर एफ है। प्रत्येक चतुर्धातुक बीजगणित [[स्केलर एक्सटेंशन]] द्वारा एक [[मैट्रिक्स बीजगणित]] बन जाता है (समतुल्य रूप से, क्षेत्र विस्तार के साथ बीजगणित का टेन्सर उत्पाद), यानी एफ के उपयुक्त क्षेत्र विस्तार के लिए, <math>A \otimes_F K</math> K पर 2 × 2 मैट्रिक्स बीजगणित के लिए [[ समरूपी ]] है।
+गणित में, एक [[क्षेत्र (गणित)]] ''F'' पर एक चतुष्कोणीय बीजगणित ''F'' के ऊपर ''A'' एक [[केंद्रीय सरल बीजगणित]] है।<ref>See Pierce. Associative algebras. Springer. Lemma at page 14.</ref><ref>See Milies & Sehgal, An introduction to group rings, exercise 17, chapter 2.</ref> जिसका आयाम (सदिश समष्टि) 4 के ऊपर F है। प्रत्येक चतुर्धातुक बीजगणित [[स्केलर एक्सटेंशन|अदिश विस्तारण]] द्वारा एक [[मैट्रिक्स बीजगणित|आव्यूह बीजगणित]] बन जाता है (समतुल्य रूप से, क्षेत्र विस्तार के साथ बीजगणित का प्रदिश उत्पाद), यानी F के उपयुक्त क्षेत्र विस्तार के लिए, <math>A \otimes_F K</math> K पर 2 × 2 आव्यूह बीजगणित के लिए [[ समरूपी |समरूपी]] है।
-चतुष्कोणीय बीजगणित की धारणा को हैमिल्टन के चतुष्कोणों के एक मनमाने आधार क्षेत्र के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है। हैमिल्टन चतुष्कोण एक चतुष्कोणीय बीजगणित (उपरोक्त अर्थ में) हैं <math>F = \mathbb{R}</math>, और वास्तव में केवल एक ओवर <math>\mathbb{R}</math> 2 × 2 [[वास्तविक संख्या]] मैट्रिक्स बीजगणित के अलावा, तुल्याकारिता तक। कब <math>F = \mathbb{C}</math>, तब [[biquaternion]] एफ पर चतुष्कोणीय बीजगणित बनाते हैं।
+चतुष्कोणीय बीजगणित की धारणा को हैमिल्टन के चतुष्कोणों के एक स्वेच्छाचारी आधार क्षेत्र के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है। हैमिल्टन चतुष्कोण एक चतुष्कोणीय बीजगणित (उपरोक्त अर्थ में) <math>F = \mathbb{R}</math> हैं, और वास्तव में केवल एक के ऊपर <math>\mathbb{R}</math> 2 × 2 [[वास्तविक संख्या]] आव्यूह बीजगणित के अतिरिक्त, तुल्याकारिता तक है। जब <math>F = \mathbb{C}</math>, तब [[biquaternion|बिकटेर्नियन]] F पर चतुष्कोणीय बीजगणित बनाते हैं।
 == संरचना ==
-चतुर्धातुक बीजगणित का अर्थ हैमिल्टन के चतुष्कोणों के [[एक क्षेत्र पर बीजगणित]] की तुलना में कुछ अधिक सामान्य है। जब गुणांक क्षेत्र (गणित) F में [[विशेषता (बीजगणित)]] 2 नहीं है, तो F पर प्रत्येक चतुष्कोणीय बीजगणित को [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] के साथ 4-आयामी F-वेक्टर स्थान के रूप में वर्णित किया जा सकता है। <math>\{ 1, i, j, k\}</math>निम्नलिखित गुणन नियमों के साथ:
+चतुर्धातुक बीजगणित का अर्थ हैमिल्टन के चतुष्कोणों के [[एक क्षेत्र पर बीजगणित]] की तुलना में कुछ अधिक सामान्य है। जब गुणांक क्षेत्र (गणित) F में [[विशेषता (बीजगणित)]] 2 नहीं है, तो F पर प्रत्येक चतुष्कोणीय बीजगणित को [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] के साथ 4-आयामी F-सदिश स्थान <math>\{ 1, i, j, k\}</math> के रूप में वर्णित किया जा सकता है। निम्नलिखित गुणन नियमों के साथ:
 :<math>i^2=a</math>
 :<math>j^2=b</math>
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 जहाँ a और b, F के दिए गए शून्येतर अवयव हैं। इन नियमों से हम पाते हैं:
 :<math>k^2=ijij=-iijj=-ab</math>
-शास्त्रीय उदाहरण जहां <math>F=\mathbb{R}</math> हैमिल्टन के चतुष्कोण हैं (a = b = -1) और विभाजन-चतुर्भुज (a = -1, b = +1)। विभाजित-चतुर्भुजों में, <math>k^2 = +1</math> और <math>j k = - i </math>, हैमिल्टन के समीकरणों से भिन्न।
+पारम्परिक उदाहरण जहां <math>F=\mathbb{R}</math> हैमिल्टन के चतुष्कोण (a = b = -1) और विभाजन-चतुर्भुज (a = -1, b = +1) हैं। विभाजित-चतुर्भुजों में, <math>k^2 = +1</math> और <math>j k = - i </math>, हैमिल्टन के समीकरणों से भिन्न है।
-इस तरह से परिभाषित बीजगणित निरूपित है (ए, बी)<sub>''F''</sub> या बस (ए, बी)।<ref name=GS2>Gille & Szamuely (2006) p.2</ref> जब F की विशेषता 2 होती है, तो 4 तत्वों के आधार पर एक अलग स्पष्ट विवरण भी संभव है, लेकिन किसी भी घटना में F पर चतुष्कोणीय बीजगणित की परिभाषा F पर 4-आयामी केंद्रीय सरल बीजगणित के रूप में सभी विशेषताओं में समान रूप से लागू होती है।
+इस तरह से परिभाषित बीजगणित निरूपित है (a b)<sub>''F''</sub> या बस (a, b)। <ref name=GS2>Gille & Szamuely (2006) p.2</ref> जब F की विशेषता 2 होती है, तो 4 तत्वों के आधार पर एक अलग स्पष्ट विवरण भी संभव है, लेकिन किसी भी घटना में F पर चतुष्कोणीय बीजगणित की परिभाषा F पर 4-आयामी केंद्रीय सरल बीजगणित के रूप में सभी विशेषताओं में समान रूप से लागू होती है।
-एक चतुष्कोणीय बीजगणित (ए, बी)<sub>''F''</sub> एफ पर 2 × 2 मैट्रिक्स के मैट्रिक्स बीजगणित के लिए या तो एक [[विभाजन बीजगणित]] या आइसोमोर्फिक है; बाद वाले मामले को विभाजन कहा जाता है।<ref name=GS3>Gille & Szamuely (2006) p.3</ref> आदर्श रूप
+एक चतुष्कोणीय बीजगणित (a, b)<sub>''F''</sub> F पर 2 × 2 आव्यूह के आव्यूह बीजगणित के लिए या तो एक [[विभाजन बीजगणित]] या समरूपी है; बाद वाली स्तिथि को विभाजन कहा जाता है। <ref name=GS3>Gille & Szamuely (2006) p.3</ref> आदर्श रूप निम्न है
 :<math>N(t + xi +yj + zk) = t^2 - ax^2 - by^2 + abz^2 \ </math>
-विभाजन बीजगणित की एक संरचना को परिभाषित करता है यदि और केवल यदि मानदंड एक [[अनिसोट्रोपिक द्विघात रूप]] है, अर्थात शून्य केवल शून्य तत्व पर है। शांकव खंड C(a,b) द्वारा परिभाषित
+विभाजन बीजगणित की एक संरचना को परिभाषित करता है यदि और केवल यदि मानदंड एक [[अनिसोट्रोपिक द्विघात रूप|विषमदैशिक द्विघात रूप]] है, अर्थात शून्य केवल शून्य तत्व पर है। शांकव खंड C(a,b) द्वारा परिभाषित
 :<math>a x^2 + b y^2 = z^2 \ </math>
-विभाजित मामले में एफ में निर्देशांक के साथ एक बिंदु (एक्स, वाई, जेड) है।<ref name=GS7>Gille & Szamuely (2006) p.7</ref>
+विभाजित स्तिथि में F में निर्देशांक के साथ एक बिंदु (x,y,z) है।<ref name=GS7>Gille & Szamuely (2006) p.7</ref>
 == आवेदन ==
-Quaternion algebras [[संख्या सिद्धांत]] में विशेष रूप से [[द्विघात रूप]]ों में लागू होते हैं। वे ठोस संरचनाएं हैं जो F के Brauer समूह में ऑर्डर (समूह सिद्धांत) दो के तत्व उत्पन्न करती हैं। [[बीजगणितीय संख्या क्षेत्र]]ों सहित कुछ क्षेत्रों के लिए, इसके Brauer समूह में क्रम 2 के प्रत्येक तत्व को चतुर्धातुक बीजगणित द्वारा दर्शाया जाता है। [[अलेक्जेंडर मर्कुरजेव]] के एक प्रमेय का अर्थ है कि किसी भी क्षेत्र के ब्राउर समूह में क्रम 2 के प्रत्येक तत्व को चतुष्कोणीय बीजगणित के [[टेंसर उत्पाद]] द्वारा दर्शाया गया है।<ref name=Lam139>Lam (2005) p.139</ref> विशेष रूप से, p-adic क्षेत्र|p-adic क्षेत्रों पर चतुष्कोणीय बीजगणित के निर्माण को [[स्थानीय वर्ग क्षेत्र सिद्धांत]] के द्विघात [[हिल्बर्ट प्रतीक]] के रूप में देखा जा सकता है।
+चतुर्भुज बीजगणित [[संख्या सिद्धांत]] में विशेष रूप से [[द्विघात रूप]]ों में लागू होते हैं। वे ठोस संरचनाएं हैं जो F के ब्राउर समूह में अनुक्रम (समूह सिद्धांत) दो के तत्व उत्पन्न करती हैं। [[बीजगणितीय संख्या क्षेत्र]]ों सहित कुछ क्षेत्रों के लिए, इसके ब्राउर समूह में क्रम 2 के प्रत्येक तत्व को चतुर्धातुक बीजगणित द्वारा दर्शाया जाता है। [[अलेक्जेंडर मर्कुरजेव]] के एक प्रमेय का अर्थ है कि किसी भी क्षेत्र के ब्राउर समूह में क्रम 2 के प्रत्येक तत्व को चतुष्कोणीय बीजगणित के [[टेंसर उत्पाद|प्रदिश उत्पाद]] द्वारा दर्शाया गया है।<ref name=Lam139>Lam (2005) p.139</ref> विशेष रूप से, पी-एडिक क्षेत्रों पर चतुष्कोणीय बीजगणित के निर्माण को [[स्थानीय वर्ग क्षेत्र सिद्धांत]] के द्विघात [[हिल्बर्ट प्रतीक]] के रूप में देखा जा सकता है।
 == वर्गीकरण ==
-यह [[फर्डिनेंड जॉर्ज फ्रोबेनियस]] का एक प्रमेय है कि केवल दो वास्तविक चतुष्कोणीय बीजगणित हैं: 2 × 2 आव्यूह वास्तविक से अधिक और हैमिल्टन के वास्तविक चतुष्कोण।
+यह [[फर्डिनेंड जॉर्ज फ्रोबेनियस]] का एक प्रमेय है कि केवल दो वास्तविक चतुष्कोणीय बीजगणित हैं: 2 × 2 आव्यूह वास्तविक से अधिक और हैमिल्टन के वास्तविक चतुष्कोण हैं।
-इसी तरह, किसी भी [[स्थानीय क्षेत्र]] एफ पर बिल्कुल दो चतुष्कोणीय बीजगणित होते हैं: एफ पर 2 × 2 आव्यूह और एक विभाजन बीजगणित।
+इसी तरह, किसी भी [[स्थानीय क्षेत्र]] F पर बिल्कुल दो चतुष्कोणीय बीजगणित होते हैं: F पर 2 × 2 आव्यूह और एक विभाजन बीजगणित है। लेकिन एक स्थानीय क्षेत्र पर चतुष्कोणीय विभाजन बीजगणित सामान्यतः क्षेत्र के ऊपर हैमिल्टन के चतुष्कोण नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए, पी-एडिक अंक पर हैमिल्टन के चतुष्कोण केवल एक विभाजन बीजगणित होते हैं जब p 2 होता है। विषम [[अभाज्य संख्या]] p के लिए, पी-एडिक हैमिल्टन चतुष्कोण p- पर 2 × 2 आव्यूहों के लिए समरूप होते हैं। यह देखने के लिए कि पी-एडिक हैमिल्टन चतुष्कोण विषम प्रधान p के लिए विभाजन बीजगणित नहीं हैं, निरीक्षण करें कि सर्वांगसमता ''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> = −1 मोड p हल करने योग्य है और इसलिए हेन्सेल की स्वीकृत सिद्धांत द्वारा - यहाँ वह जगह है जहाँ p का विषम होना आवश्यक है - समीकरण
-लेकिन एक स्थानीय क्षेत्र पर चतुष्कोणीय विभाजन बीजगणित आमतौर पर क्षेत्र के ऊपर हैमिल्टन के चतुष्कोण नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए, p-adic number|p-adic नंबर पर हैमिल्टन के चतुष्कोण केवल एक विभाजन बीजगणित होते हैं जब p 2 होता है। विषम [[अभाज्य संख्या]] p के लिए, p-adic हैमिल्टन चतुष्कोण p- पर 2 × 2 आव्यूहों के लिए समरूप होते हैं। adics. यह देखने के लिए कि p-adic हैमिल्टन चतुष्कोण विषम प्रधान p के लिए एक विभाजन बीजगणित नहीं हैं, निरीक्षण करें कि [[मॉड्यूलर अंकगणित]]ीय x<sup>2</sup> + और<sup>2</sup> = -1 mod p हल करने योग्य है और इसलिए हेन्सेल की लेम्मा द्वारा - यहाँ वह जगह है जहाँ p विषम होना आवश्यक है - समीकरण
-:एक्स<sup>2</sup> + और<sup>2</sup> = -1
+:''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> = −1
 पी-एडिक नंबरों में हल किया जा सकता है। इसलिए चतुष्कोण
-:xi + yj + कश्मीर
+:''xi'' + ''yj'' + ''k''
 मानदंड 0 है और इसलिए इसका गुणक व्युत्क्रम नहीं है।
-किसी दिए गए क्षेत्र एफ के लिए सभी चतुष्कोणीय बीजगणितों के एफ-बीजगणित [[समरूपता वर्ग]]ों को वर्गीकृत करने का एक तरीका है एफ और उनके मानक रूपों के आइसोमोर्फिज्म वर्गों पर चतुष्कोणीय बीजगणित के समरूपता वर्गों के बीच एक-से-एक पत्राचार का उपयोग करना।
+किसी दिए गए क्षेत्र F के लिए सभी चतुष्कोणीय बीजगणितों के F-बीजगणित समरूपता वर्गों को वर्गीकृत करने का एक तरीका F है और उनके मानक रूपों के तदर्थता वर्गों पर चतुष्कोणीय बीजगणित के समरूपता वर्गों के बीच एक-से-एक पत्राचार का उपयोग करता है।
 प्रत्येक चतुष्कोणीय बीजगणित A के लिए, एक द्विघात रूप N (जिसे [[आदर्श रूप]] कहा जाता है) को A पर संबद्ध किया जा सकता है जैसे कि
 :<math>N(xy) = N(x)N(y)</math>
-A में सभी x और y के लिए। यह पता चला है कि चतुष्कोणीय F-बीजगणित के लिए संभावित मानक रूप बिल्कुल [[Pfister form]]|Pfister 2-form हैं।
+A में सभी x और y के लिए। यह पता चला है कि चतुष्कोणीय F-बीजगणित के लिए संभावित मानक रूप बिल्कुल [[Pfister form|फिस्टर स्वरुप]] हैं।
 == परिमेय संख्याओं पर चतुर्भुज बीजगणित ==
-परिमेय संख्याओं पर चतुष्कोणीय बीजगणित में एक अंकगणितीय सिद्धांत के समान है, लेकिन द्विघात क्षेत्र की तुलना में अधिक जटिल है। के द्विघात विस्तार। <math>\mathbb{Q}</math>.
+परिमेय संख्याओं पर चतुर्धातुक बीजगणित का अंकगणितीय सिद्धांत समान है, लेकिन <math>\mathbb{Q}</math> के द्विघात विस्तार की तुलना में अधिक जटिल है।<math>\mathbb{Q}_\nu</math><math>\mathbb{R}</math><math>\mathbb{Q}_p</math><math>\mathbb{Q}</math><math>B</math>
-होने देना <math>B</math> एक चतुष्कोणीय बीजगणित खत्म हो <math>\mathbb{Q}</math> और जाने <math>\nu</math> का [[स्थान (गणित)]]। <math>\mathbb{Q}</math>, पूरा होने के साथ <math>\mathbb{Q}_\nu</math> (इसलिए यह या तो पी-एडिक नंबर है <math>\mathbb{Q}_p</math> कुछ अभाज्य p या वास्तविक संख्याओं के लिए <math>\mathbb{R}</math>). परिभाषित करना <math>B_\nu:= \mathbb{Q}_\nu \otimes_{\mathbb{Q}} B</math>, जो एक चतुष्कोणीय बीजगणित है <math>\mathbb{Q}_\nu</math>. तो इसके लिए दो विकल्प हैं
+मान लीजिये  एक चतुष्कोणीय बीजगणित खत्म हो <math>\mathbb{Q}</math> और जाने <math>\nu</math> का [[स्थान (गणित)]]। , पूरा होने के साथ  (इसलिए यह या तो पी-एडिक नंबर है  कुछ अभाज्य p या वास्तविक संख्याओं के लिए ). परिभाषित करना <math>B_\nu:= \mathbb{Q}_\nu \otimes_{\mathbb{Q}} B</math>, जो एक चतुष्कोणीय बीजगणित है <math>\mathbb{Q}_\nu</math>. तो इसके लिए दो विकल्प हैं
 <math>B_\nu</math>: 2 × 2 मैट्रिसेस ओवर <math>\mathbb{Q}_\nu</math> या एक विभाजन बीजगणित।
-हम कहते हैं <math>B</math> पर विभाजित (या असंबद्ध) है <math>\nu</math> अगर <math>B_\nu</math> 2 × 2 मैट्रिसेस ओवर के लिए आइसोमोर्फिक है <math>\mathbb{Q}_\nu</math>. हम कहते हैं कि बी 'गैर-विभाजित' (या 'प्रशाखायुक्त') पर है <math>\nu</math> अगर <math>B_\nu</math> चतुष्कोणीय विभाजन बीजगणित खत्म हो गया है <math>\mathbb{Q}_\nu</math>. उदाहरण के लिए, तर्कसंगत हैमिल्टन चतुष्कोण 2 और पर गैर-विभाजित है <math>\infty</math> और सभी विषम अभाज्य संख्याओं पर विभाजित करें। परिमेय 2 × 2 मैट्रिक्स सभी स्थानों पर विभाजित हैं।
+हम कहते हैं <math>B</math> पर विभाजित (या असंबद्ध) है <math>\nu</math> अगर <math>B_\nu</math> 2 × 2 मैट्रिसेस ओवर के लिए समरूपी है <math>\mathbb{Q}_\nu</math>. हम कहते हैं कि बी 'गैर-विभाजित' (या 'प्रशाखायुक्त') पर है <math>\nu</math> अगर <math>B_\nu</math> चतुष्कोणीय विभाजन बीजगणित खत्म हो गया है <math>\mathbb{Q}_\nu</math>. उदाहरण के लिए, तर्कसंगत हैमिल्टन चतुष्कोण 2 और पर गैर-विभाजित है <math>\infty</math> और सभी विषम अभाज्य संख्याओं पर विभाजित करें। परिमेय 2 × 2 आव्यूह सभी स्थानों पर विभाजित हैं।
 पर विभाजित परिमेय पर एक चतुष्कोणीय बीजगणित <math>\infty</math> एक [[वास्तविक द्विघात क्षेत्र]] के अनुरूप है और एक जो गैर-विभाजित है <math>\infty</math> एक [[काल्पनिक द्विघात क्षेत्र]] के समान है। सादृश्य एक द्विघात क्षेत्र से आता है जिसमें वास्तविक एम्बेडिंग होती है जब एक जनरेटर के लिए [[न्यूनतम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत)]] वास्तविक पर विभाजित होता है और अन्यथा गैर-वास्तविक एम्बेडिंग होता है। तर्कसंगत चतुष्कोणीय बीजगणित के क्रम में इस समानता की ताकत का एक उदाहरण [[इकाई समूह]]ों से संबंधित है:
-यदि चतुष्कोणीय बीजगणित विभाजित होता है तो यह अनंत है <math>\infty</math>{{Citation needed|date=July 2009}} और यह अन्यथा परिमित है{{Citation needed|date=July 2009}}, ठीक वैसे ही जैसे द्विघात वलय में किसी क्रम का इकाई समूह वास्तविक द्विघात मामले में अनंत होता है और अन्यथा परिमित होता है।
+यदि चतुष्कोणीय बीजगणित विभाजित होता है तो यह अनंत है <math>\infty</math>{{Citation needed|date=July 2009}} और यह अन्यथा परिमित है{{Citation needed|date=July 2009}}, ठीक वैसे ही जैसे द्विघात वलय में किसी क्रम का इकाई समूह वास्तविक द्विघात स्तिथि में अनंत होता है और अन्यथा परिमित होता है।
 उन स्थानों की संख्या जहां परिमेय पर चतुष्कोणीय बीजगणित हमेशा सम होता है, और यह परिमेय पर [[द्विघात पारस्परिकता कानून]] के बराबर है।
-इसके अलावा, वे स्थान जहाँ B शाखाबद्ध होता है, बीजगणित के रूप में B को समाकृतिकता तक निर्धारित करता है। (दूसरे शब्दों में, परिमेय पर गैर-आइसोमॉर्फिक चतुष्कोणीय बीजगणित शाखाओं के समान सेट को साझा नहीं करते हैं।) अभाज्य संख्याओं का उत्पाद जिस पर बी शाखा करता है, उसे बी का 'विभेदक' कहा जाता है।
+इसके अतिरिक्त, वे स्थान जहाँ B शाखाबद्ध होता है, बीजगणित के रूप में B को समाकृतिकता तक निर्धारित करता है। (दूसरे शब्दों में, परिमेय पर गैर-आइसोमॉर्फिक चतुष्कोणीय बीजगणित शाखाओं के समान सेट को साझा नहीं करते हैं।) अभाज्य संख्याओं का उत्पाद जिस पर बी शाखा करता है, उसे बी का 'विभेदक' कहा जाता है।
 == यह भी देखें ==
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 * [[चक्रीय बीजगणित]]
 * [[ऑक्टोनियन बीजगणित]]
-* [[[[हर्विट्ज़ चतुर्धातुक]] ऑर्डर]]
+* [[[[हर्विट्ज़ चतुर्धातुक]] अनुक्रम]]
 * हर्विट्ज़ क्वाटरनियन
@@ Line 80: / Line 79: @@
 {{wikibooks|Associative Composition Algebra|Quaternions|Quaternion algebras over R and C}}
 * {{cite book | last1=Knus | first1=Max-Albert | last2=Merkurjev | first2=Alexander | author2-link=Alexander Merkurjev | last3=Rost | first3=Markus | author3-link=Markus Rost | last4=Tignol | first4=Jean-Pierre | title=The book of involutions | others=With a preface by J. Tits | zbl=0955.16001 | series=Colloquium Publications | publisher=[[American Mathematical Society]] | volume=44 | location=Providence, RI | year=1998 | isbn=0-8218-0904-0 | mr=1632779 }}
-* {{cite book| first1=Colin | last1=Maclachlan | first2=Alan W. | last2=Ried | year=2003 | title=The Arithmetic of Hyperbolic 3-Manifolds | isbn=0-387-98386-4 | doi=10.1007/978-1-4757-6720-9 | mr=1937957 | publisher=Springer-Verlag | location=New York}} See chapter 2 (Quaternion Algebras I) and chapter 7 (Quaternion Algebras II).
+* {{cite book| first1=Colin | last1=Maclachlan | first2=Alan W. | last2=Ried | year=2003 | title=The Arithmetic of Hyperbolic 3-Manifolds | isbn=0-387-98386-4 | doi=10.1007/978-1-4757-6720-9 | mr=1937957 | publisher=Springer-Verlag | location=New York}} See chapter 2 (चतुर्भुज बीजगणित I) and chapter 7 (चतुर्भुज बीजगणित II).
 * {{cite EB1911|wstitle=Algebra}} (''See section on quaternions.'')
 * [https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Quaternion_algebra ''Quaternion algebra''] at [[Encyclopedia of Mathematics]].

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