आंतरिक आयाम: Difference between revisions

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डेटा समुच्चय के आंतरिक आयाम को डेटा के न्यूनतम प्रतिनिधित्व में आवश्यक चर की संख्या के रूप में माना जा सकता है। इसी तरह, बहुआयामी संकेतों के संकेत प्रसंस्करण में, सिग्नल का आंतरिक आयाम बताता है कि सिग्नल के अच्छे सन्निकटन को उत्पन्न करने के लिए कितने चर की आवश्यकता होती है।

आंतरिक आयाम का आकलन करते समय, चूंकि, कई गुना आयाम के आधार पर थोड़ी व्यापक परिभाषा का उपयोगअधिकांशतः किया जाता है, जहां आंतरिक आयाम में एक प्रतिनिधित्व को केवल स्थानीय रूप सेउपस्थित होने की आवश्यकता होती है। इस तरह के आंतरिक आयाम अनुमान तरीके डेटा समुच्चय के विभिन्न भागों में विभिन्न आंतरिक आयामों के साथ डेटा समुच्चय को संभाल सकते हैं। इसेअधिकांशतः स्थानीय आंतरिक आयाम (एलआईडी) के रूप में जाना जाता है।

आंतरिक आयाम का उपयोग आयाम में कमी के माध्यम से डेटा समुच्चय को संपीड़ित करना संभव है, लेकिन इसका उपयोग डेटा समुच्चय या सिग्नल की जटिलता के माप के रूप में भी किया जा सकता है। एन चर के डेटा समुच्चय या सिग्नल के लिए, इसका आंतरिक आयाम एम 0 ≤ एम ≤ एन को संतुष्ट करता है, चूंकि अनुमानक उच्च मान प्राप्त कर सकते हैं।

उदाहरण

${\textstyle f(x_{1},x_{2})}$ एक दो-चर फलन (या संकेत) हो जो इस रूप का हो ${\textstyle f(x_{1},x_{2})=g(x_{1})}$ कुछ एक-चर फलन g के लिए जो एक स्थिर फलन नहीं है। इसका अर्थ है कि f, g के अनुसार, पहले चर के साथ या पहले निर्देशांक (गणित) के साथ भिन्न होता है। दूसरी ओर, f दूसरे चर के संबंध में या दूसरे निर्देशांक के साथ स्थिर होता है। f का मान निर्धारित करने के लिए केवल एक, अर्थात् पहले चर का मान जानना आवश्यक है। इसलिए, यह एक दो चर वाला फलन है लेकिन इसका आंतरिक आयाम एक है।

थोड़ा और जटिल उदाहरण ${\textstyle f(x_{1},x_{2})=g(x_{1}+x_{2})}$ है। f अभी भी आंतरिक एक-आयामी है, जिसे चरों में परिवर्तन करके देखा जा सकता है ${\textstyle y_{1}=x_{1}+x_{2}}$ और ${\textstyle y_{2}=x_{1}-x_{2}}$ जो देता है ${\textstyle f\left({\frac {y_{1}+y_{2}}{2}},{\frac {y_{1}-y_{2}}{2}}\right)=g\left(y_{1}\right)}$ . चूँकि f में भिन्नता को एकल चर y₁ द्वारा वर्णित किया जा सकता है, इसका आंतरिक आयाम एक है।

इस मामले के लिए कि एफ स्थिर है, इसका आंतरिक आयाम शून्य है क्योंकि भिन्नता का वर्णन करने के लिए किसी चर की आवश्यकता नहीं है। सामान्य स्थिति के लिए, जब दो-चर फलन f का आंतरिक आयाम न तो शून्य या एक होता है, तो यह दो होता है।

गणित सिद्धांत में, फलन जो आंतरिक आयाम शून्य, एक या दो के हैं, उन्हें कभी-कभी क्रमशः i0D, i1D या i2D के रूप में संदर्भित किया जाता है।

संकेतों के लिए औपचारिक परिभाषा

एन-वैरिएबल फलन f के लिए,चर्स के समुच्चय को एन-डायमेंशनल वेक्टर x के रूप में दर्शाया जा सकता है: ${\textstyle f=f\left(\mathbf {x} \right){\text{ where }}\mathbf {x} =\left(x_{1},\dots ,x_{N}\right)}$ .

यदि कुछ एम-वैरिएबल फलन जी और एम × एन मैट्रिक्स ए के लिए यह मामला है

सभी 'एक्स' के लिए; ${\textstyle f(\mathbf {x} )=g(\mathbf {Ax} ),}$
M सबसे छोटी संख्या है जिसके लिए f और g के बीच उपरोक्त संबंध पाया जा सकता है,

तो f का आंतरिक आयाम M है।

आंतरिक आयाम f का लक्षण वर्णन है, यह न तो g का और न ही A का स्पष्ट लक्षण वर्णन है। अर्थात्, यदि उपरोक्त संबंध कुछ f, g, और 'A' के लिए संतुष्ट है, तो इसे उसी f और g' और 'A द्वारा दिए गए के लिए भी संतुष्ट होना चाहिए ${\textstyle g'\left(\mathbf {y} \right)=g\left(\mathbf {By} \right)}$ और ${\textstyle \mathbf {A'} =\mathbf {B} ^{-1}\mathbf {A} }$ जहां बी एक गैर-एकवचन एम × एम मैट्रिक्स है, क्योंकि ${\textstyle f\left(\mathbf {x} \right)=g'\left(\mathbf {A'x} \right)=g\left(\mathbf {BA'x} \right)=g\left(\mathbf {Ax} \right)}$ है।

कम आंतरिक आयाम के संकेतों का फूरियर रूपांतरण

एक एनचर फलन जिसमें आंतरिक आयाम एम < एन है, में एक विशेषता फूरियर रूपांतरण है। सहजता से, चूंकि इस प्रकार का फलन एक या कई आयामों के साथ स्थिर होता है, इसलिए इसका फूरियर रूपांतरण आवृत्ति डोमेन में समान आयाम के साथ एक डिराक डेल्टा वितरण (स्थिर का फूरियर रूपांतरण) की तरह दिखाई देना चाहिए।

एक साधारण उदाहरण

मान लीजिए f एक दो-चर फलन है जो कि i1D है। इसका मतलब है कि एक सामान्यीकृत वेक्टरउपस्थित है ${\textstyle \mathbf {n} \in \mathbb {R} ^{2}}$ और एक एक चर फलन जी ऐसा है कि ${\textstyle f(\mathbf {x} )=g(\mathbf {n} ^{\operatorname {T} }\mathbf {x} )}$ सभी के लिए ${\textstyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{2}}$ है।

यदि F, f का फूरियर रूपांतरण है (दोनों दो-चर फलन हैं) तो ऐसा होना चाहिए ${\textstyle F\left(\mathbf {u} \right)=G\left(\mathbf {n} ^{\mathrm {T} }\mathbf {u} \right)\cdot \delta \left(\mathbf {m} ^{\mathrm {T} }\mathbf {u} \right)}$ .

यहाँ G, g का फूरियर रूपांतरण है (दोनों एक-चर फलन हैं), δ डिराक डेल्टा वितरण (इकाई आवेग) और 'm' एक सामान्यीकृत वेक्टर है ${\textstyle \mathbb {R} ^{2}}$ n के लंबवत। इसका मतलब यह है कि एफ एक रेखा को छोड़कर हर जगह गायब हो जाता है जो आवृत्ति डोमेन की उत्पत्ति के माध्यम से गुजरता है औरऔर m के समानांतर है। इस रेखा के साथ F, G के अनुसार बदलता रहता है।

सामान्य मामला

मान लीजिए f एक N-वैरिएबल फलन है जिसका आंतरिक आयाम M है, अर्थात, एक M-वैरिएबल फलन g और M × N मैट्रिक्स 'A'उपस्थित है जैसे कि ${\textstyle f(\mathbf {x} )=g(\mathbf {Ax} )\quad \forall \mathbf {x} }$ .

इसके फूरियर रूपांतरण F को निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है:

आयाम M के उप-स्थान को छोड़कर एफ हर जगह गायब हो जाता है
उपस्थान M को मैट्रिक्स 'A' की पंक्तियों द्वारा फैलाया गया है
उप-स्थान में, F G के अनुसार g के फूरियर रूपांतरण के अनुसार भिन्न होता है

सामान्यीकरण

ऊपर वर्णित आंतरिक आयाम का प्रकार यह मानता है कि एन-वैरिएबल फलन एफ के निर्देशांक पर एक रैखिक परिवर्तन लागू किया जाता है जिससे कि एम चर का उत्पादन किया जा सके जो कि एफ के प्रत्येक मूल्य का प्रतिनिधित्व करने के लिए आवश्यक है। इसका मतलब यह है कि एन और एम के आधार पर एफ पंक्तियों, समतल या अधिसमतल के साथ स्थिर है।

एक सामान्य स्थिति में, f का आंतरिक आयाम M होता है यदि M फलन a₁, a₂, ..., a_M और एक M- चर फलन g उपस्थित होता है जैसे कि

${\textstyle f(\mathbf {x} )=g\left(a_{1}(\mathbf {x} ),a_{2}(\mathbf {x} ),\dots ,a_{M}(\mathbf {x} )\right)}$ सभी एक्स के लिए
M फलन की सबसे छोटी संख्या है जो उपरोक्त परिवर्तन की अनुमति देता है

एक साधारण उदाहरण एक 2-चर फलन f को ध्रुवीय निर्देशांक में बदल रहा है:

f\left({\frac {y_{1}+y_{2}}{2}},{\frac {y_{1}-y_{2}}{2}}\right)=g\left(y_{1}\right)

$f(x_{1},x_{2})=g\left({\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}}\right)$ , f i1D है और मूल बिंदु पर केंद्रित किसी भी वृत्त के साथ स्थिर है
$f(x_{1},x_{2})=g\left(\arctan \left({\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right)\right)$ , f i1D है और मूल बिंदु से सभी किरणों के साथ स्थिर है

सामान्य मामले के लिए, या तो बिंदु समुच्चय का एक सरल विवरण जिसके लिए f स्थिर है या इसका फूरियर रूपांतरण सामान्यतः संभव नहीं है।

स्थानीय आंतरिक आयाम

स्थानीय आंतरिक आयाम (एलआईडी) अवलोकन को संदर्भित करता है किअधिकांशतः डेटा को निम्न-आयामी मैनिफोल्ड पर वितरित किया जाता है जब केवल डेटा के पास के उप-समूचय पर विचार किया जाता है। उदाहरण के लिए फलन $f(x,y)=x+\max\{0,|y|-1\}$ एक-आयामी माना जा सकता है जब y 0 के करीब हो (एक चर x के साथ), दो-आयामी जब y 1 के करीब हो, और फिर से एक-आयामी जब y धनात्मक हो और 1 से बहुत बड़ा हो (चर x+y के साथ)।

स्थानीय आंतरिक आयाम का उपयोगअधिकांशतः डेटा के संबंध में किया जाता है। इसके पश्चात सामान्यतः डेटा बिंदु के k निकटतम पड़ोसियों के आधार पर अनुमान लगाया जाता है,^[1]अधिकांशतः गणित में दोहरीकरण आयाम से संबंधित अवधारणा पर आधारित होता है। चूँकि d-गोले का आयतन d में घातीय रूप से बढ़ता है, जिस दर पर खोज त्रिज्या के रूप में नए निकटतम पाए जाते हैं, उसका उपयोग स्थानीय आंतरिक आयाम (जैसे, GED अनुमान)^[2] का अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है।^[3]

इतिहास

1950 के दशक के समय बहुआयामी डेटा समुच्चयों का पता लगाने और सारांशित करने के लिए तथाकथित "स्केलिंग" विधियों को सामाजिक विज्ञानों में विकसित किया गया था।^[4] 1962 में शेपर्ड द्वारा गैर-मीट्रिक बहुआयामी स्केलिंग शुरू करने के पश्चात^[5] बहुआयामी स्केलिंग (एमडीएस) के भीतर प्रमुख अनुसंधान क्षेत्रों में से एक आंतरिक आयाम का अनुमान था।^[6] इस विषय का अध्ययन सूचना सिद्धांत में भी किया गया था, 1965 में बेनेट द्वारा अग्रणी, "आंतरिक आयाम" शब्द गढ़ा और इसका अनुमान लगाने के लिए एक कंप्यूटर प्रोग्राम लिखा।^[7]^[8]^[9]

1970 के दशक के समय आंतरिक आयामीता आकलन विधियों का निर्माण किया गया था जो कि आयामीता में कमी पर निर्भर नहीं करती थी जैसे कि एमडीएस: स्थानीय ईजेनवैल्यू पर आधारित,^[10] दूरी वितरण पर आधारित,^[11] और अन्य आयाम-निर्भर ज्यामितीय गुणों पर आधारित^[12]

गतिशील प्रणालियों के क्षेत्र में लगभग 1980 के पश्चात से समुच्चय और संभाव्यता उपायों के आंतरिक आयाम का व्यापक अध्ययन किया गया है, जहां (अजीब) आकर्षित करने वालों के आयाम रुचि का विषय रहे हैं।^[13]^[14]^[15]^[16] जहां (अजीब) आकर्षित करने वालों के लिए कई गुना धारणा नहीं है, और मापा गया आयाम भग्न आयाम का कुछ संस्करण है - जो गैर-पूर्णांक भी हो सकता है। हालाँकि, भग्न आयाम की परिभाषाएँ कई गुना के लिए कई गुना आयाम देती हैं।

2000 के दशक में आंतरिक आयाम का अनुमान लगाने के लिए "आयाम का अभिशाप" का उपयोग किया गया है।^[17]^[18]

अनुप्रयोग

एक दो-चर संकेत का मामला जो i1D हैअधिकांशतः कंप्यूटर दृष्टि और आकृति प्रसंस्करण में प्रकट होता है और स्थानीय आकृति क्षेत्रों के विचार को पकड़ता है जिसमें रेखाएँ या किनारे होते हैं। ऐसे क्षेत्रों के विश्लेषण का एक लंबा इतिहास है, लेकिन यह तब तक नहीं था जब तक कि इस तरह के संचालन का अधिक औपचारिक और सैद्धांतिक उपचार शुरू नहीं हुआ था, तब तक आंतरिक आयाम की अवधारणा स्थापित नहीं हुई थी, भले ही नाम भिन्न हो।

उदाहरण के लिए, जिस अवधारणा को यहाँ आंतरिक आयाम 1 या i1D पड़ोस के एक आकृति निकटम के रूप में संदर्भित किया गया है, उसे नॉटसन (1982) द्वारा 1-आयामी कहा जाता है,^[19] बिगून और ग्रैनलंड द्वारा रैखिक सममित (1987)^[20] और सरल निकटम ग्रैनलुंड एंड नट्सन (1995) में।^[21]

यह भी देखें

संदर्भ

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-डेटा सेट के आंतरिक आयाम को डेटा के न्यूनतम प्रतिनिधित्व में आवश्यक चर की संख्या के रूप में माना जा सकता है। इसी तरह, बहुआयामी संकेतों के [[ संकेत आगे बढ़ाना |संकेत प्रसंस्करण]] में, सिग्नल का आंतरिक आयाम बताता है कि सिग्नल के अच्छे सन्निकटन को उत्पन्न करने के लिए कितने चर की आवश्यकता होती है।
+डेटा समुच्चय के आंतरिक आयाम को डेटा के न्यूनतम प्रतिनिधित्व में आवश्यक चर की संख्या के रूप में माना जा सकता है। इसी तरह, बहुआयामी संकेतों के [[ संकेत आगे बढ़ाना |संकेत प्रसंस्करण]] में, सिग्नल का आंतरिक आयाम बताता है कि सिग्नल के अच्छे सन्निकटन को उत्पन्न करने के लिए कितने चर की आवश्यकता होती है।
-आंतरिक आयाम का आकलन करते समय, हालांकि, कई गुना आयाम के आधार पर थोड़ी व्यापक परिभाषा का उपयोग अक्सर किया जाता है, जहां आंतरिक आयाम में एक प्रतिनिधित्व को केवल स्थानीय रूप से मौजूद होने की आवश्यकता होती है। इस तरह के आंतरिक आयाम अनुमान तरीके डेटा सेट के विभिन्न भागों में विभिन्न आंतरिक आयामों के साथ डेटा सेट को संभाल सकते हैं। इसे अक्सर स्थानीय आंतरिक आयाम (एलआईडी) के रूप में जाना जाता है।
+आंतरिक आयाम का आकलन करते समय, चूंकि, कई गुना आयाम के आधार पर थोड़ी व्यापक परिभाषा का उपयोगअधिकांशतः किया जाता है, जहां आंतरिक आयाम में एक प्रतिनिधित्व को केवल स्थानीय रूप सेउपस्थित होने की आवश्यकता होती है। इस तरह के आंतरिक आयाम अनुमान तरीके डेटा समुच्चय के विभिन्न भागों में विभिन्न आंतरिक आयामों के साथ डेटा समुच्चय को संभाल सकते हैं। इसेअधिकांशतः स्थानीय आंतरिक आयाम (एलआईडी) के रूप में जाना जाता है।
-आंतरिक आयाम का उपयोग आयाम में कमी के माध्यम से डेटा सेट को संपीड़ित करना संभव है, लेकिन इसका उपयोग डेटा सेट या सिग्नल की जटिलता के माप के रूप में भी किया जा सकता है। एन चर के डेटा सेट या सिग्नल के लिए, इसका आंतरिक आयाम एम 0 ≤ एम ≤ एन को संतुष्ट करता है, हालांकि अनुमानक उच्च मान प्राप्त कर सकते हैं।
+आंतरिक आयाम का उपयोग आयाम में कमी के माध्यम से डेटा समुच्चय को संपीड़ित करना संभव है, लेकिन इसका उपयोग डेटा समुच्चय या सिग्नल की जटिलता के माप के रूप में भी किया जा सकता है। एन चर के डेटा समुच्चय या सिग्नल के लिए, इसका आंतरिक आयाम एम 0 ≤ एम ≤ एन को संतुष्ट करता है, चूंकि अनुमानक उच्च मान प्राप्त कर सकते हैं।
 == उदाहरण ==
-<math display="inline">f(x_1, x_2)</math> एक दो-चर फलन (या [[संकेत]]) हो जो इस रूप का हो <math display="inline">f(x_1, x_2) = g(x_1)</math> कुछ एक-चर फलन g के लिए जो एक स्थिर फलन नहीं है। इसका अर्थ है कि f, g के अनुसार, पहले चर के साथ या पहले [[निर्देशांक (गणित)]] के साथ भिन्न होता है। दूसरी ओर, f दूसरे चर के संबंध में या दूसरे निर्देशांक के साथ स्थिर होता है। f का मान निर्धारित करने के लिए केवल एक, अर्थात् पहले चर का मान जानना आवश्यक है। इसलिए, यह एक दो चर वाला कार्य है लेकिन इसका आंतरिक आयाम एक है।
+<math display="inline">f(x_1, x_2)</math> एक दो-चर फलन (या [[संकेत]]) हो जो इस रूप का हो <math display="inline">f(x_1, x_2) = g(x_1)</math> कुछ एक-चर फलन g के लिए जो एक स्थिर फलन नहीं है। इसका अर्थ है कि f, g के अनुसार, पहले चर के साथ या पहले [[निर्देशांक (गणित)]] के साथ भिन्न होता है। दूसरी ओर, f दूसरे चर के संबंध में या दूसरे निर्देशांक के साथ स्थिर होता है। f का मान निर्धारित करने के लिए केवल एक, अर्थात् पहले चर का मान जानना आवश्यक है। इसलिए, यह एक दो चर वाला फलन है लेकिन इसका आंतरिक आयाम एक है।
 थोड़ा और जटिल उदाहरण <math display="inline">f(x_1, x_2) = g(x_1 + x_2)</math> है। f अभी भी आंतरिक एक-आयामी है, जिसे चरों में परिवर्तन करके देखा जा सकता है <math display="inline">y_1 = x_1 + x_2</math> और <math display="inline">y_2 = x_1 - x_2</math> जो देता है<math display="inline">f\left(\frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{y_1 - y_2}{2}\right) = g\left(y_1\right)</math>. चूँकि f में भिन्नता को एकल चर ''y<sub>1</sub>'' द्वारा वर्णित किया जा सकता है, इसका आंतरिक आयाम एक है।
-इस मामले के लिए कि एफ स्थिर है, इसका आंतरिक आयाम शून्य है क्योंकि भिन्नता का वर्णन करने के लिए किसी चर की आवश्यकता नहीं है। सामान्य स्थिति के लिए, जब दो-चर फ़ंक्शन f का आंतरिक आयाम न तो शून्य या एक होता है, तो यह दो होता है।
+इस मामले के लिए कि एफ स्थिर है, इसका आंतरिक आयाम शून्य है क्योंकि भिन्नता का वर्णन करने के लिए किसी चर की आवश्यकता नहीं है। सामान्य स्थिति के लिए, जब दो-चर फलन f का आंतरिक आयाम न तो शून्य या एक होता है, तो यह दो होता है।
-गणित सिद्धांत में, फ़ंक्शन जो आंतरिक आयाम शून्य, एक या दो के हैं, उन्हें कभी-कभी क्रमशः ''i0D'', ''i1D'' या ''i2D'' के रूप में संदर्भित किया जाता है।
+गणित सिद्धांत में, फलन जो आंतरिक आयाम शून्य, एक या दो के हैं, उन्हें कभी-कभी क्रमशः ''i0D'', ''i1D'' या ''i2D'' के रूप में संदर्भित किया जाता है।
 == संकेतों के लिए औपचारिक परिभाषा ==
-एन-वैरिएबल फ़ंक्शन f के लिए, वेरिएबल्स के सेट को एन-डायमेंशनल वेक्टर x के रूप में दर्शाया जा सकता है: <math display="inline">f = f\left(\mathbf{x} \right) \text{ where } \mathbf{x} = \left(x_1, \dots, x_N \right)</math>.
+एन-वैरिएबल फलन f के लिए,चर्स के समुच्चय को एन-डायमेंशनल वेक्टर x के रूप में दर्शाया जा सकता है: <math display="inline">f = f\left(\mathbf{x} \right) \text{ where } \mathbf{x} = \left(x_1, \dots, x_N \right)</math>.
-यदि कुछ एम-वैरिएबल फ़ंक्शन जी और एम × एन मैट्रिक्स ए के लिए यह मामला है
+यदि कुछ एम-वैरिएबल फलन जी और एम × एन मैट्रिक्स ए के लिए यह मामला है
 * सभी 'एक्स' के लिए; <math display="inline">f(\mathbf{x}) = g(\mathbf{Ax}),</math>
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 == कम आंतरिक आयाम के संकेतों का [[फूरियर रूपांतरण]] ==
-एक एन वेरिएबल फ़ंक्शन जिसमें आंतरिक आयाम एम < एन है, में एक विशेषता फूरियर रूपांतरण है। सहजता से, चूंकि इस प्रकार का फ़ंक्शन एक या कई आयामों के साथ स्थिर होता है, इसलिए इसका फूरियर रूपांतरण [[आवृत्ति डोमेन]] में समान आयाम के साथ एक [[डिराक डेल्टा समारोह|डिराक डेल्टा वितरण]] (स्थिर का फूरियर रूपांतरण) की तरह दिखाई देना चाहिए।
+एक एनचर फलन जिसमें आंतरिक आयाम एम < एन है, में एक विशेषता फूरियर रूपांतरण है। सहजता से, चूंकि इस प्रकार का फलन एक या कई आयामों के साथ स्थिर होता है, इसलिए इसका फूरियर रूपांतरण [[आवृत्ति डोमेन]] में समान आयाम के साथ एक [[डिराक डेल्टा समारोह|डिराक डेल्टा वितरण]] (स्थिर का फूरियर रूपांतरण) की तरह दिखाई देना चाहिए।
 === एक साधारण उदाहरण ===
-मान लीजिए f एक दो-चर फलन है जो कि i1D है। इसका मतलब है कि एक सामान्यीकृत वेक्टर मौजूद है <math display="inline">\mathbf{n} \in \reals^{2}</math> और एक एक चर फलन जी ऐसा है कि <math display="inline">f(\mathbf{x}) = g(\mathbf{n}^{\operatorname {T}} \mathbf{x})</math> सभी के लिए <math display="inline">\mathbf{x} \in \reals^{2}</math> है।
+मान लीजिए f एक दो-चर फलन है जो कि i1D है। इसका मतलब है कि एक सामान्यीकृत वेक्टरउपस्थित है <math display="inline">\mathbf{n} \in \reals^{2}</math> और एक एक चर फलन जी ऐसा है कि <math display="inline">f(\mathbf{x}) = g(\mathbf{n}^{\operatorname {T}} \mathbf{x})</math> सभी के लिए <math display="inline">\mathbf{x} \in \reals^{2}</math> है।
 यदि F, f का फूरियर रूपांतरण है (दोनों दो-चर फलन हैं) तो ऐसा होना चाहिए <math display="inline">F \left(\mathbf{u}\right) = G \left(\mathbf{n}^{\mathrm{T}} \mathbf{u}\right) \cdot \delta \left(\mathbf{m}^{\mathrm{T}} \mathbf{u}\right)</math>.
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 === सामान्य मामला ===
-मान लीजिए f एक N-वैरिएबल फ़ंक्शन है जिसका आंतरिक आयाम M है, अर्थात, एक M-वैरिएबल फ़ंक्शन g और M × N मैट्रिक्स 'A' मौजूद है जैसे कि <math display="inline">f(\mathbf{x}) = g(\mathbf{Ax}) \quad \forall \mathbf{x}</math>.
+मान लीजिए f एक N-वैरिएबल फलन है जिसका आंतरिक आयाम M है, अर्थात, एक M-वैरिएबल फलन g और M × N मैट्रिक्स 'A'उपस्थित है जैसे कि <math display="inline">f(\mathbf{x}) = g(\mathbf{Ax}) \quad \forall \mathbf{x}</math>.
 इसके फूरियर रूपांतरण ''F'' को निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है:
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 == सामान्यीकरण ==
-ऊपर वर्णित आंतरिक आयाम का प्रकार यह मानता है कि एन-वैरिएबल फ़ंक्शन एफ के निर्देशांक पर एक [[रैखिक परिवर्तन]] लागू किया जाता है ताकि एम चर का उत्पादन किया जा सके जो कि एफ के प्रत्येक मूल्य का प्रतिनिधित्व करने के लिए आवश्यक है। इसका मतलब यह है कि एन और एम के आधार पर एफ पंक्तियों, समतल या अधिसमतल के साथ स्थिर है।
+ऊपर वर्णित आंतरिक आयाम का प्रकार यह मानता है कि एन-वैरिएबल फलन एफ के निर्देशांक पर एक [[रैखिक परिवर्तन]] लागू किया जाता है जिससे कि एम चर का उत्पादन किया जा सके जो कि एफ के प्रत्येक मूल्य का प्रतिनिधित्व करने के लिए आवश्यक है। इसका मतलब यह है कि एन और एम के आधार पर एफ पंक्तियों, समतल या अधिसमतल के साथ स्थिर है।
-एक सामान्य स्थिति में, f का आंतरिक आयाम M होता है यदि M फ़ंक्शन ''a<sub>1</sub>'', ''a<sub>2</sub>'', ..., ''a<sub>M</sub>'' और एक M- चर फ़ंक्शन g मौजूद होता है जैसे कि
+एक सामान्य स्थिति में, f का आंतरिक आयाम M होता है यदि M फलन ''a<sub>1</sub>'', ''a<sub>2</sub>'', ..., ''a<sub>M</sub>'' और एक M- चर फलन g उपस्थित होता है जैसे कि
 *<math display="inline">f(\mathbf{x}) = g \left( a_1(\mathbf{x}), a_2(\mathbf{x}), \dots, a_M(\mathbf{x}) \right)</math> सभी एक्स के लिए
-* ''M'' फ़ंक्शन की सबसे छोटी संख्या है जो उपरोक्त परिवर्तन की अनुमति देता है
+* ''M'' फलन की सबसे छोटी संख्या है जो उपरोक्त परिवर्तन की अनुमति देता है
-एक साधारण उदाहरण एक 2-चर फ़ंक्शन f को ध्रुवीय निर्देशांक में बदल रहा है:<math display="block">f\left(\frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{y_1 - y_2}{2}\right) = g\left(y_1\right)</math>
+एक साधारण उदाहरण एक 2-चर फलन f को ध्रुवीय निर्देशांक में बदल रहा है:<math display="block">f\left(\frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{y_1 - y_2}{2}\right) = g\left(y_1\right)</math>
 *<math>f(x_1, x_2) = g \left(\sqrt{x_1^2 + x_2^2} \right)</math>, f i1D है और मूल बिंदु पर केंद्रित किसी भी वृत्त के साथ स्थिर है
 *<math>f(x_1, x_2) = g \left(\arctan \left(\frac{x_2}{x_1}\right)\right)</math>, f i1D है और मूल बिंदु से सभी किरणों के साथ स्थिर है
-सामान्य मामले के लिए, या तो बिंदु सेट का एक सरल विवरण जिसके लिए f स्थिर है या इसका फूरियर रूपांतरण आमतौर पर संभव नहीं है।
+सामान्य मामले के लिए, या तो बिंदु समुच्चय का एक सरल विवरण जिसके लिए f स्थिर है या इसका फूरियर रूपांतरण सामान्यतः संभव नहीं है।
 == स्थानीय आंतरिक आयाम ==
-स्थानीय आंतरिक आयाम (एलआईडी) अवलोकन को संदर्भित करता है कि अक्सर डेटा को निम्न-आयामी मैनिफोल्ड पर वितरित किया जाता है जब केवल डेटा के पास के उप-समूचय पर विचार किया जाता है। उदाहरण के लिए फ़ंक्शन <math>f(x,y) = x + \max\{0, |y|-1\}
+स्थानीय आंतरिक आयाम (एलआईडी) अवलोकन को संदर्भित करता है किअधिकांशतः डेटा को निम्न-आयामी मैनिफोल्ड पर वितरित किया जाता है जब केवल डेटा के पास के उप-समूचय पर विचार किया जाता है। उदाहरण के लिए फलन <math>f(x,y) = x + \max\{0, |y|-1\}
 </math> एक-आयामी माना जा सकता है जब y 0 के करीब हो (एक चर x के साथ), दो-आयामी जब y 1 के करीब हो, और फिर से एक-आयामी जब y धनात्मक हो और 1 से बहुत बड़ा हो (चर x+y के साथ)।
-स्थानीय आंतरिक आयाम का उपयोग अक्सर डेटा के संबंध में किया जाता है। इसके बाद आमतौर पर डेटा बिंदु के k निकटतम पड़ोसियों के आधार पर अनुमान लगाया जाता है,<ref>{{Cite journal|last1=Amsaleg|first1=Laurent|last2=Chelly|first2=Oussama|last3=Furon|first3=Teddy|last4=Girard|first4=Stéphane|last5=Houle|first5=Michael E.|last6=Kawarabayashi|first6=Ken-ichi|last7=Nett|first7=Michael|date=2015-08-10|title=स्थानीय आंतरिक आयाम का अनुमान लगाना|url=https://doi.org/10.1145/2783258.2783405|journal=Proceedings of the 21th ACM SIGKDD International Conference on Knowledge Discovery and Data Mining|series=KDD '15|location=Sydney, NSW, Australia|publisher=Association for Computing Machinery|pages=29–38|doi=10.1145/2783258.2783405|isbn=978-1-4503-3664-2|s2cid=16058196 }}</ref> अक्सर गणित में [[दोहरीकरण स्थान|दोहरीकरण आयाम]] से संबंधित अवधारणा पर आधारित होता है। चूँकि d-गोले का आयतन d में घातीय रूप से बढ़ता है, जिस दर पर खोज त्रिज्या के रूप में नए पड़ोसी पाए जाते हैं, उसका उपयोग स्थानीय आंतरिक आयाम (जैसे, GED अनुमान)<ref>{{Cite journal|last1=Houle|first1=M. E.|last2=Kashima|first2=H.|last3=Nett|first3=M.|date=2012|title=सामान्यीकृत विस्तार आयाम|url=https://ieeexplore.ieee.org/document/6406405|journal=2012 IEEE 12th International Conference on Data Mining Workshops|volume=|pages=587–594|doi=10.1109/ICDMW.2012.94|isbn=978-1-4673-5164-5 |s2cid=8336466 |via=}}</ref> का अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है।<ref>{{Cite journal|last1=Thordsen|first1=Erik|last2=Schubert|first2=Erich|date=2020|editor-last=Satoh|editor-first=Shin'ichi|editor2-last=Vadicamo|editor2-first=Lucia|editor3-last=Zimek|editor3-first=Arthur|editor4-last=Carrara|editor4-first=Fabio|editor5-last=Bartolini|editor5-first=Ilaria|editor6-last=Aumüller|editor6-first=Martin|editor7-last=Jónsson|editor7-first=Björn Þór|editor8-last=Pagh|editor8-first=Rasmus|editor8-link= Rasmus Pagh |title=ABID: Angle Based Intrinsic Dimensionality|url=https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-030-60936-8_17|journal=Similarity Search and Applications|series=Lecture Notes in Computer Science|volume=12440 |language=en|location=Cham|publisher=Springer International Publishing|pages=218–232|doi=10.1007/978-3-030-60936-8_17|isbn=978-3-030-60936-8|arxiv=2006.12880|s2cid=219980390 }}</ref>
+स्थानीय आंतरिक आयाम का उपयोगअधिकांशतः डेटा के संबंध में किया जाता है। इसके पश्चात सामान्यतः डेटा बिंदु के k निकटतम पड़ोसियों के आधार पर अनुमान लगाया जाता है,<ref>{{Cite journal|last1=Amsaleg|first1=Laurent|last2=Chelly|first2=Oussama|last3=Furon|first3=Teddy|last4=Girard|first4=Stéphane|last5=Houle|first5=Michael E.|last6=Kawarabayashi|first6=Ken-ichi|last7=Nett|first7=Michael|date=2015-08-10|title=स्थानीय आंतरिक आयाम का अनुमान लगाना|url=https://doi.org/10.1145/2783258.2783405|journal=Proceedings of the 21th ACM SIGKDD International Conference on Knowledge Discovery and Data Mining|series=KDD '15|location=Sydney, NSW, Australia|publisher=Association for Computing Machinery|pages=29–38|doi=10.1145/2783258.2783405|isbn=978-1-4503-3664-2|s2cid=16058196 }}</ref>अधिकांशतः गणित में [[दोहरीकरण स्थान|दोहरीकरण आयाम]] से संबंधित अवधारणा पर आधारित होता है। चूँकि d-गोले का आयतन d में घातीय रूप से बढ़ता है, जिस दर पर खोज त्रिज्या के रूप में नए निकटतम पाए जाते हैं, उसका उपयोग स्थानीय आंतरिक आयाम (जैसे, GED अनुमान)<ref>{{Cite journal|last1=Houle|first1=M. E.|last2=Kashima|first2=H.|last3=Nett|first3=M.|date=2012|title=सामान्यीकृत विस्तार आयाम|url=https://ieeexplore.ieee.org/document/6406405|journal=2012 IEEE 12th International Conference on Data Mining Workshops|volume=|pages=587–594|doi=10.1109/ICDMW.2012.94|isbn=978-1-4673-5164-5 |s2cid=8336466 |via=}}</ref> का अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है।<ref>{{Cite journal|last1=Thordsen|first1=Erik|last2=Schubert|first2=Erich|date=2020|editor-last=Satoh|editor-first=Shin'ichi|editor2-last=Vadicamo|editor2-first=Lucia|editor3-last=Zimek|editor3-first=Arthur|editor4-last=Carrara|editor4-first=Fabio|editor5-last=Bartolini|editor5-first=Ilaria|editor6-last=Aumüller|editor6-first=Martin|editor7-last=Jónsson|editor7-first=Björn Þór|editor8-last=Pagh|editor8-first=Rasmus|editor8-link= Rasmus Pagh |title=ABID: Angle Based Intrinsic Dimensionality|url=https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-030-60936-8_17|journal=Similarity Search and Applications|series=Lecture Notes in Computer Science|volume=12440 |language=en|location=Cham|publisher=Springer International Publishing|pages=218–232|doi=10.1007/978-3-030-60936-8_17|isbn=978-3-030-60936-8|arxiv=2006.12880|s2cid=219980390 }}</ref>
 == इतिहास ==
-के दशक के दौरान बहुआयामी डेटा सेटों का पता लगाने और सारांशित करने के लिए तथाकथित "स्केलिंग" विधियों को [[सामाजिक विज्ञान|सामाजिक विज्ञानों]] में विकसित किया गया था।<ref name="Torgerson">{{cite book
+के दशक के समय बहुआयामी डेटा समुच्चयों का पता लगाने और सारांशित करने के लिए तथाकथित "स्केलिंग" विधियों को [[सामाजिक विज्ञान|सामाजिक विज्ञानों]] में विकसित किया गया था।<ref name="Torgerson">{{cite book
 | first = Warren S. |last=Torgerson
 | title = Theory and methods of scaling
 | orig-year = 1958 | year=1978 | isbn=0471879452 |oclc=256008416
-| publisher = Wiley}}</ref> 1962 में शेपर्ड द्वारा गैर-मीट्रिक बहुआयामी स्केलिंग शुरू करने के बाद<ref>{{cite journal
+| publisher = Wiley}}</ref> 1962 में शेपर्ड द्वारा गैर-मीट्रिक बहुआयामी स्केलिंग शुरू करने के पश्चात<ref>{{cite journal
 | first = Roger N. |last=Shepard
 | title = The analysis of proximities: Multidimensional scaling with an unknown distance function. I.
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 }}</ref>
-के दशक के दौरान आंतरिक आयामीता आकलन विधियों का निर्माण किया गया था जो कि आयामीता में कमी पर निर्भर नहीं करती थी जैसे कि एमडीएस: स्थानीय ईजेनवैल्यू पर आधारित,<ref>{{Cite journal |last1=Fukunaga |first1=K. |last2=Olsen |first2=D. R. |date=1971 |title=डेटा की आंतरिक आयामीता खोजने के लिए एक एल्गोरिथ्म|journal=IEEE Transactions on Computers |volume=20 |issue=2 |pages=176–183 |doi=10.1109/T-C.1971.223208|s2cid=30206700 }}</ref> दूरी वितरण पर आधारित,<ref>{{Cite journal |last1=Pettis |first1=K. W. |first2=Thomas A. |last2=Bailey |first3=Anil K. |last3=Jain |first4=Richard C. |last4=Dubes |date=1979 |title=निकट-पड़ोसी जानकारी से आंतरिक आयामी अनुमानक|journal=IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence |volume=1 |issue=1 |pages=25–37 |doi=10.1109/TPAMI.1979.4766873|pmid=21868828 |s2cid=2196461 }}</ref> और अन्य आयाम-निर्भर ज्यामितीय गुणों पर आधारित<ref>{{Cite journal |last=Trunk |first=G. V. |date=1976 |title=एक शोर संकेत संग्रह के आंतरिक आयाम का सांख्यिकीय अनुमान|journal=IEEE Transactions on Computers |volume=100 |issue=2 |pages=165–171 |doi=10.1109/TC.1976.5009231|s2cid=1181023 }}</ref>
+के दशक के समय आंतरिक आयामीता आकलन विधियों का निर्माण किया गया था जो कि आयामीता में कमी पर निर्भर नहीं करती थी जैसे कि एमडीएस: स्थानीय ईजेनवैल्यू पर आधारित,<ref>{{Cite journal |last1=Fukunaga |first1=K. |last2=Olsen |first2=D. R. |date=1971 |title=डेटा की आंतरिक आयामीता खोजने के लिए एक एल्गोरिथ्म|journal=IEEE Transactions on Computers |volume=20 |issue=2 |pages=176–183 |doi=10.1109/T-C.1971.223208|s2cid=30206700 }}</ref> दूरी वितरण पर आधारित,<ref>{{Cite journal |last1=Pettis |first1=K. W. |first2=Thomas A. |last2=Bailey |first3=Anil K. |last3=Jain |first4=Richard C. |last4=Dubes |date=1979 |title=निकट-पड़ोसी जानकारी से आंतरिक आयामी अनुमानक|journal=IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence |volume=1 |issue=1 |pages=25–37 |doi=10.1109/TPAMI.1979.4766873|pmid=21868828 |s2cid=2196461 }}</ref> और अन्य आयाम-निर्भर ज्यामितीय गुणों पर आधारित<ref>{{Cite journal |last=Trunk |first=G. V. |date=1976 |title=एक शोर संकेत संग्रह के आंतरिक आयाम का सांख्यिकीय अनुमान|journal=IEEE Transactions on Computers |volume=100 |issue=2 |pages=165–171 |doi=10.1109/TC.1976.5009231|s2cid=1181023 }}</ref>
-गतिशील प्रणालियों के क्षेत्र में लगभग 1980 के बाद से सेट और संभाव्यता उपायों के आंतरिक आयाम का व्यापक अध्ययन किया गया है, जहां (अजीब) आकर्षित करने वालों के आयाम रुचि का विषय रहे हैं।<ref>{{Cite journal |last1=Grassberger |first1=P. |last2=Procaccia |first2=I. |date=1983 |title=अजीब आकर्षित करने वालों की विचित्रता को मापना|journal=Physica D: Nonlinear Phenomena |volume=9 |issue=1–2 |pages=189–208 |doi=10.1016/0167-2789(83)90298-1|bibcode=1983PhyD....9..189G }}</ref><ref>{{Cite book |editor-first=Howell |editor-last=Tong |title=Dynamical Systems and Bifurcations, Proceedings of a Workshop Held in Groningen, The Netherlands, April 16-20, 1984 |last=Takens |first=F. |publisher=Springer-Verlag |year=1984 |isbn=3540394117 |series=Lecture Notes in Mathematics |volume=1125 |pages=99–106 |chapter=On the numerical determination of the dimension of an attractor |doi=10.1007/BFb0075637}}</ref><ref>{{Cite book |title=आयाम अनुमान और मॉडल|last=Cutler |first=C. D. |publisher=World Scientific |year=1993 |isbn=9810213530 |series=Nonlinear Time Series and Chaos |volume=1 |pages=1–107 |chapter=A review of the theory and estimation of fractal dimension |chapter-url=https://books.google.com/books?id=uLyp99DIJG8C&pg=PA1}}</ref><ref>{{Cite book |title=Multifractals — Theory and Applications |last=Harte |first=D. |publisher=Chapman and Hall/CRC |year=2001 |isbn=9781584881544 }}</ref> जहां (अजीब) आकर्षित करने वालों के लिए कई गुना धारणा नहीं है, और मापा गया आयाम भग्न आयाम का कुछ संस्करण है - जो गैर-पूर्णांक भी हो सकता है। हालाँकि, भग्न आयाम की परिभाषाएँ कई गुना के लिए कई गुना आयाम देती हैं।
+गतिशील प्रणालियों के क्षेत्र में लगभग 1980 के पश्चात से समुच्चय और संभाव्यता उपायों के आंतरिक आयाम का व्यापक अध्ययन किया गया है, जहां (अजीब) आकर्षित करने वालों के आयाम रुचि का विषय रहे हैं।<ref>{{Cite journal |last1=Grassberger |first1=P. |last2=Procaccia |first2=I. |date=1983 |title=अजीब आकर्षित करने वालों की विचित्रता को मापना|journal=Physica D: Nonlinear Phenomena |volume=9 |issue=1–2 |pages=189–208 |doi=10.1016/0167-2789(83)90298-1|bibcode=1983PhyD....9..189G }}</ref><ref>{{Cite book |editor-first=Howell |editor-last=Tong |title=Dynamical Systems and Bifurcations, Proceedings of a Workshop Held in Groningen, The Netherlands, April 16-20, 1984 |last=Takens |first=F. |publisher=Springer-Verlag |year=1984 |isbn=3540394117 |series=Lecture Notes in Mathematics |volume=1125 |pages=99–106 |chapter=On the numerical determination of the dimension of an attractor |doi=10.1007/BFb0075637}}</ref><ref>{{Cite book |title=आयाम अनुमान और मॉडल|last=Cutler |first=C. D. |publisher=World Scientific |year=1993 |isbn=9810213530 |series=Nonlinear Time Series and Chaos |volume=1 |pages=1–107 |chapter=A review of the theory and estimation of fractal dimension |chapter-url=https://books.google.com/books?id=uLyp99DIJG8C&pg=PA1}}</ref><ref>{{Cite book |title=Multifractals — Theory and Applications |last=Harte |first=D. |publisher=Chapman and Hall/CRC |year=2001 |isbn=9781584881544 }}</ref> जहां (अजीब) आकर्षित करने वालों के लिए कई गुना धारणा नहीं है, और मापा गया आयाम भग्न आयाम का कुछ संस्करण है - जो गैर-पूर्णांक भी हो सकता है। हालाँकि, भग्न आयाम की परिभाषाएँ कई गुना के लिए कई गुना आयाम देती हैं।
 के दशक में आंतरिक आयाम का अनुमान लगाने के लिए "आयाम का अभिशाप" का उपयोग किया गया है।<ref>{{Cite journal |last=Chavez |first=E. |date=2001 |title=मीट्रिक रिक्त स्थान में खोज करना|journal=ACM Computing Surveys |volume=33 |issue=3 |pages=273–321 |doi=10.1145/502807.502808|hdl=10533/172863 |s2cid=3201604 |hdl-access=free }}</ref><ref>{{Cite journal |last=Pestov |first=V. |date=2008 |title=डेटासेट के आंतरिक आयाम के लिए एक स्वयंसिद्ध दृष्टिकोण|journal=Neural Networks |volume=21 |issue=2–3 |pages=204–213 |doi=10.1016/j.neunet.2007.12.030 |pmid=18234471 |arxiv=0712.2063|s2cid=2309396 }}</ref>
 == अनुप्रयोग ==
-एक दो-चर संकेत का मामला जो i1D है अक्सर [[कंप्यूटर दृष्टि]] और आकृति प्रसंस्करण में प्रकट होता है और स्थानीय आकृति क्षेत्रों के विचार को पकड़ता है जिसमें रेखाएँ या किनारे होते हैं। ऐसे क्षेत्रों के विश्लेषण का एक लंबा इतिहास है, लेकिन यह तब तक नहीं था जब तक कि इस तरह के संचालन का अधिक औपचारिक और सैद्धांतिक उपचार शुरू नहीं हुआ था, तब तक आंतरिक आयाम की अवधारणा स्थापित नहीं हुई थी, भले ही नाम भिन्न हो।
+एक दो-चर संकेत का मामला जो i1D हैअधिकांशतः [[कंप्यूटर दृष्टि]] और आकृति प्रसंस्करण में प्रकट होता है और स्थानीय आकृति क्षेत्रों के विचार को पकड़ता है जिसमें रेखाएँ या किनारे होते हैं। ऐसे क्षेत्रों के विश्लेषण का एक लंबा इतिहास है, लेकिन यह तब तक नहीं था जब तक कि इस तरह के संचालन का अधिक औपचारिक और सैद्धांतिक उपचार शुरू नहीं हुआ था, तब तक आंतरिक आयाम की अवधारणा स्थापित नहीं हुई थी, भले ही नाम भिन्न हो।
 उदाहरण के लिए, जिस अवधारणा को यहाँ आंतरिक आयाम 1 या ''i1D'' पड़ोस के एक आकृति निकटम के रूप में संदर्भित किया गया है, उसे नॉटसन (1982) द्वारा 1-आयामी कहा जाता है,<ref>{{cite book

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उदाहरण

संकेतों के लिए औपचारिक परिभाषा

कम आंतरिक आयाम के संकेतों का फूरियर रूपांतरण

एक साधारण उदाहरण

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सामान्यीकरण

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इतिहास

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कम आंतरिक आयाम के संकेतों का फूरियर रूपांतरण

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