एकरूपता (सेट सिद्धांत): Difference between revisions

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[[ समुच्चय सिद्धान्त ]] में, गणित की एक शाखा, एकरूपता का स्वयंसिद्ध पसंद के स्वयंसिद्ध का एक कमजोर रूप है। इसमें कहा गया है कि अगर <math>R</math> का उपसमुच्चय है <math>X\times Y</math>, कहाँ <math>X</math> और <math>Y</math> [[पोलिश स्थान]] हैं, तो एक उपसमुच्चय है <math>f</math> का <math>R</math> यह एक आंशिक कार्य है <math>X</math> को <math>Y</math>, और किसका डोमेन (सभी का [[सेट (गणित)]]। <math>x</math> ऐसा है कि <math>f(x)</math> मौजूद है) बराबर है
[[ समुच्चय सिद्धान्त ]]में, गणित की एक शाखा, एकरूपता का स्वयंसिद्ध पसंद के स्वयंसिद्ध का एक शक्तिहीन रूप है। इसमें कहा गया है कि अगर <math>R</math> का उपसमुच्चय <math>X\times Y</math> है, जहाँ <math>X</math> और <math>Y</math> [[पोलिश स्थान]] हैं, तब <math>R</math> का एक उपसमुच्चय <math>f</math> होता है जो <math>X</math> से <math>Y</math> तक का एक आंशिक फलन होता है, और जिसका प्रांत (सभी <math>x</math> का समुच्चय जिससे कि <math>f(x)</math> उपस्थित हो) के बराबर होता है
: <math>\{x \in X \mid \exists y \in Y: (x,y) \in R\}\,</math>
: <math>\{x \in X \mid \exists y \in Y: (x,y) \in R\}\,</math>
इस तरह के एक फ़ंक्शन को यूनिफ़ॉर्माइज़िंग फ़ंक्शन कहा जाता है <math>R</math>, या का एकरूपीकरण <math>R</math>.
इस तरह के एक फलन को <math>R</math> का एकरूपता फलन कहा जाता है, या <math>R</math> का एकरूपीकरण कहा जाता है।


[[Image:Uniformization ill.png|thumb|right|फ़ंक्शन f (लाल) द्वारा संबंध R (हल्का नीला) का एकरूपीकरण।]]पसंद के स्वयंसिद्ध के साथ संबंध देखने के लिए, उसे देखें <math>R</math> के प्रत्येक तत्व को संबद्ध करने के बारे में सोचा जा सकता है <math>X</math>, का एक उपसमुच्चय <math>Y</math>. का एकरूपीकरण <math>R</math> फिर ऐसे प्रत्येक उपसमुच्चय से ठीक एक तत्व चुनता है, जब भी उपसमुच्चय [[खाली सेट]]|गैर-खाली हो। इस प्रकार, मनमाना सेट एक्स और वाई (सिर्फ पोलिश रिक्त स्थान के बजाय) की अनुमति देने से एकरूपता के स्वयंसिद्ध को पसंद के स्वयंसिद्ध के बराबर बना दिया जाएगा।
[[Image:Uniformization ill.png|thumb|right|फलन f (लाल) द्वारा संबंध R (हल्का नीला) का एकरूपीकरण।]]पसंद के स्वयंसिद्ध के साथ संबंध देखने के लिए, ध्यान दें कि R को X के प्रत्येक अवयव, Y के एक उपसमुच्चय से संबद्ध करने के बारे में सोचा जा सकता है। <math>R</math> का एकरूपीकरण फिर ऐसे प्रत्येक उपसमुच्चय से ठीक एक तत्व चुनता है, जब भी उपसमुच्चय [[खाली सेट|खाली सम्मुच्चय]] हो। इस प्रकार, स्वेच्छाचारी सम्मुच्चय X और Y (सिर्फ पोलिश रिक्त स्थान के स्थान पर) की अनुमति देने से एकरूपता के स्वयंसिद्ध को पसंद के स्वयंसिद्ध के बराबर बना दिया जाएगा।


एक बिंदु वर्ग <math>\boldsymbol{\Gamma}</math> कहा जाता है कि प्रत्येक [[बाइनरी संबंध]] में एकरूपता गुण होता है <math>R</math> में <math>\boldsymbol{\Gamma}</math> में एक आंशिक कार्य द्वारा एकरूप किया जा सकता है <math>\boldsymbol{\Gamma}</math>. कम से कम एक निश्चित रूप के [[पर्याप्त बिंदु वर्ग]]ों के लिए, एकरूपता संपत्ति को स्केल संपत्ति द्वारा निहित किया गया है।
एक बिंदु वर्ग <math>\boldsymbol{\Gamma}</math> को एकरूपता गुण कहा जाता है यदि <math>\boldsymbol{\Gamma}</math> में प्रत्येक संबंध <math>R</math> को <math>\boldsymbol{\Gamma}</math> में आंशिक फलन द्वारा बनाया जा सकता है। कम से कम एक निश्चित रूप के [[पर्याप्त बिंदु वर्ग]]ों के लिए, एकरूपता संपत्ति को मापक्रम विशेषता द्वारा निहित किया गया है।


यह अकेले [[ZFC]] से इस प्रकार है <math>\boldsymbol{\Pi}^1_1</math> और <math>\boldsymbol{\Sigma}^1_2</math> एकरूपता संपत्ति है। यह पर्याप्त बड़े कार्डिनल्स के अस्तित्व से अनुसरण करता है
यह केवल ZFC से आता है कि <math>\boldsymbol{\Pi}^1_1</math> और <math>\boldsymbol{\Sigma}^1_2</math> में एकरूपता गुण है। यह पर्याप्त बड़े कार्डिनल्स के अस्तित्व से अनुसरण करता है
*<math>\boldsymbol{\Pi}^1_{2n+1}</math> और <math>\boldsymbol{\Sigma}^1_{2n+2}</math> प्रत्येक [[प्राकृतिक संख्या]] के लिए एकरूपता गुण है <math>n</math>.
*<math>\boldsymbol{\Pi}^1_{2n+1}</math> और <math>\boldsymbol{\Sigma}^1_{2n+2}</math> प्रत्येक [[प्राकृतिक संख्या]] <math>n</math> के लिए एकरूपता गुण है।
*इसलिए, प्रक्षेपी सेटों के संग्रह में एकरूपता गुण होता है।
*इसलिए, प्रक्षेपी सम्मुच्चयों के संग्रह में एकरूपता गुण होता है।
*L(R) में हर संबंध को एकरूप किया जा सकता है, लेकिन जरूरी नहीं कि L(R) में कोई फ़ंक्शन हो। वास्तव में, [[एल (आर)]] में एकरूपता गुण नहीं है (समकक्ष रूप से, एल (आर) एकरूपता के स्वयंसिद्ध को संतुष्ट नहीं करता है)।
*L(R) में हर संबंध को एकरूप किया जा सकता है, लेकिन जरूरी नहीं कि L(R) में कोई फलन हो। वास्तव में, L [[एल (आर)|(R)]] में एकरूपता गुण नहीं है (समकक्ष रूप से, L (R) एकरूपता के स्वयंसिद्ध को संतुष्ट नहीं करता है)।
**(ध्यान दें: यह तुच्छ है कि L(R) में हर संबंध V में एकरूप हो सकता है, यह मानते हुए कि V पसंद के स्वयंसिद्ध को संतुष्ट करता है। बिंदु यह है कि ऐसे प्रत्येक संबंध को V के कुछ सकर्मक आंतरिक मॉडल में एकरूप किया जा सकता है जिसमें स्वयंसिद्ध निश्चितता रखती है।)
**(ध्यान दें: यह तुच्छ है कि L(R) में हर संबंध V में एकरूप हो सकता है, यह मानते हुए कि V पसंद के स्वयंसिद्ध को संतुष्ट करता है। बिंदु यह है कि ऐसे प्रत्येक संबंध को V के कुछ सकर्मक आंतरिक प्रतिरूप में एकरूप किया जा सकता है जिसमें स्वयंसिद्ध निश्चितता रखती है।)


== संदर्भ ==
== संदर्भ ==


* {{cite book | author=Moschovakis, Yiannis N. |authorlink = Yiannis N. Moschovakis| title=Descriptive Set Theory | url=https://archive.org/details/descriptivesetth0000mosc | url-access=registration | publisher=North Holland | year=1980 |isbn=0-444-70199-0}}
* {{cite book | author=मॉस्कोवाकिस, यियानिस एन. |authorlink = यियानिस एन. मॉस्कोवाकिस| title=वर्णनात्मक सेट सिद्धांत | url=https://archive.org/details/descriptivesetth0000mosc | url-access=registration | publisher=उत्तरी हॉलैंड | year=1980 |isbn=0-444-70199-0}}
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Revision as of 00:08, 27 May 2023

समुच्चय सिद्धान्त में, गणित की एक शाखा, एकरूपता का स्वयंसिद्ध पसंद के स्वयंसिद्ध का एक शक्तिहीन रूप है। इसमें कहा गया है कि अगर का उपसमुच्चय है, जहाँ और पोलिश स्थान हैं, तब का एक उपसमुच्चय होता है जो से तक का एक आंशिक फलन होता है, और जिसका प्रांत (सभी का समुच्चय जिससे कि उपस्थित हो) के बराबर होता है

इस तरह के एक फलन को का एकरूपता फलन कहा जाता है, या का एकरूपीकरण कहा जाता है।

फलन f (लाल) द्वारा संबंध R (हल्का नीला) का एकरूपीकरण।

पसंद के स्वयंसिद्ध के साथ संबंध देखने के लिए, ध्यान दें कि R को X के प्रत्येक अवयव, Y के एक उपसमुच्चय से संबद्ध करने के बारे में सोचा जा सकता है। का एकरूपीकरण फिर ऐसे प्रत्येक उपसमुच्चय से ठीक एक तत्व चुनता है, जब भी उपसमुच्चय खाली सम्मुच्चय हो। इस प्रकार, स्वेच्छाचारी सम्मुच्चय X और Y (सिर्फ पोलिश रिक्त स्थान के स्थान पर) की अनुमति देने से एकरूपता के स्वयंसिद्ध को पसंद के स्वयंसिद्ध के बराबर बना दिया जाएगा।

एक बिंदु वर्ग को एकरूपता गुण कहा जाता है यदि में प्रत्येक संबंध को में आंशिक फलन द्वारा बनाया जा सकता है। कम से कम एक निश्चित रूप के पर्याप्त बिंदु वर्गों के लिए, एकरूपता संपत्ति को मापक्रम विशेषता द्वारा निहित किया गया है।

यह केवल ZFC से आता है कि और में एकरूपता गुण है। यह पर्याप्त बड़े कार्डिनल्स के अस्तित्व से अनुसरण करता है

  • और प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के लिए एकरूपता गुण है।
  • इसलिए, प्रक्षेपी सम्मुच्चयों के संग्रह में एकरूपता गुण होता है।
  • L(R) में हर संबंध को एकरूप किया जा सकता है, लेकिन जरूरी नहीं कि L(R) में कोई फलन हो। वास्तव में, L (R) में एकरूपता गुण नहीं है (समकक्ष रूप से, L (R) एकरूपता के स्वयंसिद्ध को संतुष्ट नहीं करता है)।
    • (ध्यान दें: यह तुच्छ है कि L(R) में हर संबंध V में एकरूप हो सकता है, यह मानते हुए कि V पसंद के स्वयंसिद्ध को संतुष्ट करता है। बिंदु यह है कि ऐसे प्रत्येक संबंध को V के कुछ सकर्मक आंतरिक प्रतिरूप में एकरूप किया जा सकता है जिसमें स्वयंसिद्ध निश्चितता रखती है।)

संदर्भ

  • मॉस्कोवाकिस, यियानिस एन. (1980). वर्णनात्मक सेट सिद्धांत. उत्तरी हॉलैंड. ISBN 0-444-70199-0.