ताऊ-लीपिंग (τ-लीपिंग)

संभाव्यता सिद्धांत में ताऊ-लीपिंग या τ-लीपिंग एक प्रसंभाव्य प्रणाली के अनुकरण के लिए एक अनुमानित विधि है। यह गिलेस्पी एल्गोरिथम पर आधारित है, प्रवृत्ति कार्यों को अद्यतन करने से पहले लंबाई ताऊ के अंतराल के लिए सभी प्रतिक्रियाओं का प्रदर्शन करता है। दरों को कम बार अपडेट करने से यह कभी-कभी अधिक कुशल अनुकरण की स्वीकृति देता है और इस प्रकार बड़ी प्रणालियों पर विचार किया जाता है।

बुनियादी एल्गोरिथम के कई प्रकारों पर विचार किया गया है।

एल्गोरिथम

नियतात्मक प्रणालियों के लिए एल्गोरिथम यूलर विधि के अनुरूप है, लेकिन एक निश्चित परिवर्तन करने के बजाय $x(t+\tau )=x(t)+\tau x'(t)$ परिवर्तन है

$x(t+\tau )=x(t)+P(\tau x'(t))$

जहाँ $P(\tau x'(t))$ माध्य $\tau x'(t)$ के साथ एक प्वास वितरित यादृच्छिक चर है।

$\mathbf {x} (t)=\{X_{i}(t)\}$ की स्थिति $E_{j}$ दर $R_{j}(\mathbf {x} (t))$ और राज्य परिवर्तन वैक्टर के साथ $\mathbf {v} _{ij}$ (जहां $i$ राज्य चरों को अनुक्रमित करता है और $j$ घटनाओं को अनुक्रमित करता है), विधि इस प्रकार है:

1. शुरुआती शर्तों के साथ मॉडल को इनिशियलाइज़ करें $\mathbf {x} (t_{0})=\{X_{i}(t_{0})\}$.
2. घटना दरों की गणना करें $R_{j}(\mathbf {x} (t))$.
3. एक समय कदम चुनें $\tau$. इसे ठीक किया जा सकता है, या कुछ एल्गोरिथम द्वारा विभिन्न घटना दरों पर निर्भर किया जा सकता है।
4. प्रत्येक घटना के लिए $E_{j}$ बनाना $K_{j}\sim {\text{Poisson}}(R_{j}\tau )$, जो समय अंतराल के दौरान प्रत्येक घटना के घटित होने की संख्या है $[t,t+\tau )$.
5. द्वारा राज्य को अपडेट करें

   $\mathbf {x} (t+\tau )=\mathbf {x} (t)+\sum _{j}K_{j}v_{ij}$

   कहाँ $v_{ij}$ राज्य चर पर परिवर्तन है $X_{i}$ घटना के कारण $E_{j}$. इस बिंदु पर यह जाँचना आवश्यक हो सकता है कि कोई भी आबादी अवास्तविक मूल्यों तक नहीं पहुँची है (जैसे कि पोइसन चर की असीमित प्रकृति के कारण जनसंख्या नकारात्मक हो रही है $K_{j}$).

6. चरण 2 से तब तक दोहराएं जब तक कि कुछ वांछित स्थिति पूरी न हो जाए (उदाहरण के लिए एक विशेष राज्य चर 0, या समय तक पहुंच जाता है $t_{1}$ पहुंच गया)।

कुशल चरण आकार चयन के लिए एल्गोरिथम

इस एल्गोरिथ्म का वर्णन काओ एट अल द्वारा किया गया है। विचार यह है कि प्रत्येक घटना दर $R_{j}$ में सापेक्ष परिवर्तन को एक निर्दिष्ट सहनशीलता $\epsilon$ (काओ एट अल। अनुशंसा $\epsilon =0.03$ हालांकि यह मॉडल की बारीकियों पर निर्भर हो सकता है) द्वारा सीमित करना है। यह प्रत्येक राज्य चर $X_{i}$ में $\epsilon /g_{i}$ द्वारा सापेक्ष परिवर्तन को बाध्य करके प्राप्त किया जाता है, जहां {i} उस दर पर निर्भर करता है जो $X_{i}$ में दिए गए परिवर्तन के लिए सबसे अधिक परिवर्तन करता है। विशिष्ट रूप से $g_{i}$ उच्चतम आदेश घटना दर के बराबर है, लेकिन यह विभिन्न स्थितियों में अधिक जटिल हो सकता है (विशेष रूप से गैर-रैखिक घटना दर वाले महामारी विज्ञान मॉडल)।

इस एल्गोरिदम को आम तौर पर $2N$ सहायक मानों की गणना करने की आवश्यकता होती है (जहाँ $N$ राज्य चर $X_{i}$ की संख्या है), और केवल पहले से परिकलित मानों $R_{j}(\mathbf {x} )$ के पुन: उपयोग की आवश्यकता होनी चाहिए। इसमें एक महत्वपूर्ण कारक चूंकि $X_{i}$ एक पूर्णांक मान है, तो एक न्यूनतम मान है जिसके द्वारा यह बदल सकता है, $R_{j}$ में सापेक्ष परिवर्तन को 0 से घिरा होने से रोकता है जिसके परिणामस्वरूप \tau भी 0 की ओर प्रवृत्त होता है।

1. प्रत्येक राज्य चर के लिए $X_{i}$, सहायक मूल्यों की गणना करें

   $\mu _{i}(\mathbf {x} )=\sum _{j}v_{ij}R_{j}(\mathbf {x} )$

   $\sigma _{i}^{2}(\mathbf {x} )=\sum _{j}v_{ij}^{2}R_{j}(\mathbf {x} )$

2. प्रत्येक राज्य चर $X_{i}$ के लिए, उच्चतम क्रम घटना निर्धारित करें जिसमें यह शामिल है, और$g_{i}$ प्राप्त करें
3. समय कदम की गणना करें $\tau$ जैसा

   $\tau =\min _{i}{\left\{{\frac {\max {\{\epsilon X_{i}/g_{i},1\}}}{|\mu _{i}(\mathbf {x} )|}},{\frac {\max {\{\epsilon X_{i}/g_{i},1\}}^{2}}{\sigma _{i}^{2}(\mathbf {x} )}}\right\}}$

इस परिकलित $\tau$ का उपयोग तब $\tau$ लीपिंग एल्गोरिथम के चरण 3 में किया जाता है।