परिवर्तनशील संपूर्नकर्ता

विचरण समाकलक हैमिल्टनियन प्रणाली के लिए संख्यात्मक साधारण अंतर समीकरण हैं, जो एक पृथक हैमिल्टन के सिद्धांत के यूलर-लग्रेंज समीकरणों से प्राप्त हुए हैं। विचरण समाकलक संवेग-संरक्षण और सहानुभूतिपूर्ण समाकलक हैं।

एक साधारण विचरण समाकलक की व्युत्पत्ति

लाग्रंगियन

$L(t,q,v)={\frac {1}{2}}mv^{2}-V(q),$

द्वारा वर्णित स्वतंत्रता के एक कण परिमाण के साथ यांत्रिक प्रणाली पर विचार करें, जहां $m$ कण का द्रव्यमान है, और $V$ एक क्षमता है। इस प्रणाली के लिए विचरण समाकलक का निर्माण करने के लिए, हम असतत लाग्रंगियन बनाकर प्रारम्भ करते हैं। असतत लाग्रंगियन थोड़े समय के अंतराल पर प्रणाली के लिए क्रिया का अनुमान लगाते है:

${\begin{aligned}L_{d}(t_{0},t_{1},q_{0},q_{1})&={\frac {t_{1}-t_{0}}{2}}\left[L\left(t_{0},q_{0},{\frac {q_{1}-q_{0}}{t_{1}-t_{0}}}\right)+L\left(t_{1},q_{1},{\frac {q_{1}-q_{0}}{t_{1}-t_{0}}}\right)\right]\\&\approx \int _{t_{0}}^{t_{1}}\,dt\,L(t,q(t),v(t)).\end{aligned}}$

यहां हमने समलम्बाकार विधि का उपयोग करते हुए समय अभिन्न का अनुमान लगाने के लिए चुना है, और हम प्रक्षेपवक्र के लिए रेखीय सन्निकटन का उपयोग करते हैं, $t_{0}$ और $t_{1}$ के बीच

$q(t)\approx {\frac {q_{1}-q_{0}}{t_{1}-t_{0}}}(t-t_{0})+q_{0}$,

जिसके परिणामस्वरूप निरंतर वेग $v\approx \left(q_{1}-q_{0}\right)/\left(t_{1}-t_{0}\right)$ होता है। प्रक्षेपवक्र और समय अभिन्न के सन्निकटन के लिए अलग-अलग विकल्प अलग-अलग विचरण समाकलक देते हैं। समाकलक की यथार्थता का क्रम क्रिया के हमारे सन्निकटन की यथार्थता से नियंत्रित होते है;

$L_{d}(t_{0},t_{1},q_{0},q_{1})=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\,dt\,L(t,q(t),v(t))+{\mathcal {O}}(t_{1}-t_{0})^{2}$

के बाद से, हमारा समाकलक दूसरे क्रम का यथार्थ होगा।

असतत प्रणाली के लिए विकास समीकरण स्थिर-क्रिया सिद्धांत से प्राप्त किए जा सकते हैं। एक विस्तारित समय अंतराल पर असतत क्रिया कई उप-अंतरालों पर असतत लाग्रंगियन का योग है:

$S_{d}=L_{d}(t_{0},t_{1},q_{0},q_{1})+L_{d}(t_{1},t_{2},q_{1},q_{2})+\cdots .$

स्थिर क्रिया के सिद्धांत में कहा गया है कि निर्देशांक की विविधताओं के संबंध में क्रिया स्थिर है जो निश्चित प्रक्षेपवक्र के समापन बिंदुओं को छोड़ देती है। इसलिए, निर्देशांक $q_{1}$ को बदलते हुए, हमारे निकट

${\frac {\partial S_{d}}{\partial q_{1}}}=0={\frac {\partial }{\partial q_{1}}}L_{d}\left(t_{0},t_{1},q_{0},q_{1}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}L_{d}\left(t_{1},t_{2},q_{1},q_{2}\right)$ है।

प्रारंभिक स्थिति $(q_{0},q_{1})$ और समय के अनुक्रम $(t_{0},t_{1},t_{2})$ को देखते हुए यह एक संबंध प्रदान करते है जिसे $q_{2}$ के लिए हल किया जा सकता है। हल

$q_{2}=q_{1}+{\frac {t_{2}-t_{1}}{t_{1}-t_{0}}}(q_{1}-q_{0})-{\frac {(t_{2}-t_{0})(t_{2}-t_{1})}{2m}}{\frac {d}{dq_{1}}}V(q_{1})$ है।

यदि हम असतत संवेग,

$p_{0}\equiv -{\frac {\partial }{\partial q_{0}}}L_{d}(t_{0},t_{1},q_{0},q_{1})$

और

$p_{1}\equiv {\frac {\partial }{\partial q_{1}}}L_{d}(t_{0},t_{1},q_{0},q_{1})$ को परिभाषित करते हैं तो हम इसे सरल रूप में लिख सकते हैं।

प्रारंभिक स्थिति $(q_{0},p_{0})$ दी गई है, स्थिर क्रिया की स्थिति $q_{1}$ के लिए इन समीकरणों में से पहले को हल करने और फिर दूसरे समीकरण का उपयोग करके $p_{1}$ का निर्धारण करने के बराबर है। यह विकास पद्धति

$q_{1}=q_{0}+{\frac {t_{1}-t_{0}}{m}}p_{0}-{\frac {(t_{1}-t_{0})^{2}}{2m}}{\frac {d}{dq_{0}}}V(q_{0})$

और

$p_{1}=m{\frac {q_{1}-q_{0}}{t_{1}-t_{0}}}-{\frac {t_{1}-t_{0}}{2}}{\frac {d}{dq_{1}}}V(q_{1})$ देती है।

यह प्रणाली के लिए लीपफ्रॉग समाकलन पद्धति है; इस विकास के दो चरण उपरोक्त सूत्र $q_{2}$ के बराबर हैं

यह भी देखें

• लाइ समूह समाकलक

संदर्भ

• E। Hairer, C। Lubich, and G। Wanner। Geometric Numerical Integration। Springer, 2002।
• J। Marsden and M। West। Discrete mechanics and variational integrators। Acta Numerica, 2001, pp। 357–514।