पारलौकिक विस्तार: Difference between revisions

Revision as of 08:29, 29 May 2023

गणित में, एक पारलौकिक विस्तार $L/K$ एक क्षेत्र विस्तार है जैसे कि क्षेत्र $L$ में एक तत्व उपस्थित है जो क्षेत्र $K$ के ऊपर पारलौकिक है; अर्थात्, एक तत्व जो $K$ में गुणांक वाले किसी भी एकविचर बहुपद का मूल नहीं है। दूसरे शब्दों में, एक पारलौकिक विस्तार एक क्षेत्र विस्तार है जो बीजगणितीय नहीं है। उदाहरण के लिए, $\mathbb {C} ,\mathbb {R}$ दोनों $\mathbb {Q}$ के पारलौकिक विस्तार हैं।

एक क्षेत्र विस्तार $L/K$ (या $K$ पर $L$ का एक ज्ञानातीत्व आधार) का एक ज्ञानातीत्व आधार $K$ पर $L$ का अधिकतम बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र उपसमुच्चय हैं। ज्ञानातीत्व आधार सदिश समष्टि के आधार (रैखिक बीजगणित) के साथ कई गुण अनुकरण करते हैं। विशेष रूप से, एक क्षेत्र विस्तार के सभी अनुवांशिक आधारों में एक ही गणनांक होता है, जिसे विस्तार की श्रेष्ठता की डिग्री कहा जाता है। इस प्रकार, एक क्षेत्र विस्तार एक पारलौकिक विस्तार है अगर और केवल अगर इसकी श्रेष्ठता की डिग्री सकारात्मक है।

ट्रान्सेंडैंटल विस्तार का व्यापक रूप से बीजगणितीय ज्यामिति में उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक बीजगणितीय विविधता उसके कार्य क्षेत्र की श्रेष्ठता की डिग्री है। इसके अलावा, वैश्विक कार्य क्षेत्र एक परिमित क्षेत्र की डिग्री एक के पारलौकिक विस्तार हैं, और सकारात्मक विशेषता में संख्या सिद्धांत में भूमिका निभाते हैं जो विशेषता शून्य में बीजगणितीय संख्या क्षेत्रों की भूमिका के समान है।

ज्ञानातीत्व आधार

ज़ोर्न की प्रमेयिका दर्शाती है कि सदिश समष्टि (अर्थात् एक आधार) का अधिकतम रैखिक रूप से स्वतंत्र उपसमुच्चय उपस्थित होता है। ज़ोर्न के लेम्मा के साथ एक समान तर्क से पता चलता है कि, क्षेत्र विस्तार L / K दिया गया है, वहाँ K पर L का अधिकतम बीजगणितीय स्वतंत्र उपसमुच्चय उपस्थित है।^[1] इसे तब एक पारलौकिक आधार कहा जाता है। अधिकता से, K पर L का एक बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र उपसमुच्चय S एक ज्ञानातीत्व आधार है यदि और केवल यदि L K (S) का एक बीजीय विस्तार है, तो S से K के तत्वों के आस-पास (क्षेत्र सिद्धांत) प्राप्त क्षेत्र है।

विनिमय लेम्मा (बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र समुच्चय के लिए एक संस्करण^[2]) का तात्पर्य है कि यदि S, S' ज्ञानातीत्व आधार हैं, तो S और S' में समान गणनांक है। फिर ज्ञानातीत्व आधार की सामान्य गणनांक को K पर L की 'ट्रान्सेंडेंस डिग्री' कहा जाता है और इसे $\operatorname {tr.deg.} _{K}L$ या $\operatorname {tr.deg.} (L/K)$ के रूप में दर्शाया जाता है। इस प्रकार एक सादृश्य है: एक ओर एक श्रेष्ठता आधार और श्रेष्ठता की डिग्री, और दूसरी ओर एक आधार और आयाम है। इस सादृश्य को और अधिक औपचारिक बनाया जा सकता है, यह देखते हुए कि सदिश समष्टि में रैखिक स्वतंत्रता और क्षेत्र विस्तार में बीजगणितीय स्वतंत्रता दोनों ही परिमित मैट्रोइड्स (प्रीजेमेट्री) के उदाहरण हैं। किसी भी अंतिम मैट्रोइड का आधार होता है, और सभी आधारों में समान गणनांक होता है।^[3]

यदि G, L का जनक समुच्चय है (यानी, L = K(G)), तो L के लिए एक ट्रांसेंडेंस आधार को G के उपसमुच्चय के रूप में लिया जा सकता है। विशेष रूप से, $\operatorname {tr.deg.} _{K}L\leq$ K पर L के जनक समुच्चय का न्यूनतम गणनांक है। इसके अलावा, एक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न क्षेत्र विस्तार एक परिमित ज्ञानातीत्व आधार को स्वीकार करते है।

यदि कोई क्षेत्र K निर्दिष्ट नहीं किया गया है, तो किसी क्षेत्र L की ट्रान्सेंडेंस डिग्री कुछ निश्चित आधार क्षेत्र के सापेक्ष इसकी डिग्री है; उदाहरण के लिए, समान विशेषता (बीजगणित) का प्रमुख क्षेत्र, या K, यदि L, K के ऊपर एक बीजगणितीय फलन क्षेत्र है।

क्षेत्र विस्तार L / K 'विशुद्ध रूप से पारलौकिक' है यदि L का एक उपसमुच्चय S है जो K पर बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र है और ऐसा है कि L = K(S) है।

L / K का एक अलग-अलग ज्ञानातीत्व आधार एक ज्ञानातीत्व आधार S है जैसे कि L K(S) पर एक पृथक बीजगणितीय विस्तार है। एक क्षेत्र विस्तार L / K को अलग-अलग उत्पन्न होने के लिए कहा जाता है यदि यह अलग-अलग ज्ञानातीत्व आधार को स्वीकार करता है।^[4] यदि एक क्षेत्र विस्तार सूक्ष्म रूप से उत्पन्न होते है और यह अलग-अलग भी उत्पन्न होते है, तो क्षेत्र विस्तार के प्रत्येक जनक समुच्चय में अलग-अलग ट्रान्सेंडेंस आधार होते है।^[5] एक संपूर्ण क्षेत्र पर, प्रत्येक नियत रूप से उत्पन्न क्षेत्र विस्तार अलग से उत्पन्न होते है; अर्थात, यह एक परिमित पृथक के आधार को स्वीकार करते है।^[6]

उदाहरण

एक विस्तार बीजगणितीय है अगर और केवल अगर इसकी ज्ञानातीत्व डिग्री 0 है; रिक्त समुच्चय यहाँ एक ज्ञानातीत्व आधार के रूप में कार्य करता है।
n चर K(x₁,...,x_n) में तर्कसंगत फलनों का क्षेत्र (अर्थात बहुपद वलय K K[x₁,...,x_n] के अंशों का क्षेत्र) विशुद्ध रूप से ट्रान्सेंडैंटल विस्तार है जिसमें K पर ट्रान्सेंडेंस डिग्री n है; उदाहरण के लिए हम {x₁,...,x_n} को श्रेष्ठता आधार के रूप में ले सकते हैं।
अधिक सामान्यतः, आधार क्षेत्र K पर एक n-विमीय बीजगणितीय प्रकार के फलन क्षेत्र L की ट्रान्सेंडेंस डिग्री n है।
Q(√2, e) के पास Q से अधिक 1 डिग्री है क्योंकि √2 बीजगणितीय है जबकि e ट्रान्सेंडैंटल है।
Q पर C या R की श्रेष्ठता की डिग्री सातत्य की प्रमुखता है। (क्योंकि Q गणनीय है, क्षेत्र 'Q'(S) में वही गणनांक होगा जो किसी अनंत समुच्चय S के लिए S है, और 'Q'(S) के किसी भी बीजगणितीय विस्तार में फिर से वही गणनांक होगा।)
Q(e, π) की Q पर उत्कृष्टता की डिग्री या तो 1 या 2 है; सटीक उत्तर अज्ञात है क्योंकि यह ज्ञात नहीं है कि e और π बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र हैं या नहीं हैं।
यदि S एक सुसंहत रीमैन सतह है, तो S पर मेरोमॉर्फिक फलनों के क्षेत्र C(S) में C पर ज्ञानातीत्व डिग्री 1 है।

तथ्य

यदि M / L और L / K क्षेत्र विस्तार हैं, तो

trdeg(M / K) = trdeg(M / L) + trdeg(L / K)

यह दिखा कर सिद्ध किया जाता है कि M / L के एक ट्रांसेंडेंस आधार और L / K में से किसी एक के मिलन से M / K का ज्ञानातीत्व आधार प्राप्त किया जा सकता है।

यदि समुच्चय S, K पर बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र है, तो क्षेत्र K(S), K समान गणनांक के चरों के एक समुच्चय में K पर S परिमेय फलनों के क्षेत्र के लिए समरूप है। इस तरह का प्रत्येक परिमेय फलन दो बहुपदों का एक अंश है जिनमें से बहुत से चर, K में गुणांक के साथ है।

दो बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र आइसोमॉर्फिक हैं यदि और केवल यदि उनके पास समान विशेषता है और उनके प्रमुख क्षेत्र पर समान ज्ञानातीत्व की डिग्री है।^[7]

एक अभिन्न प्रक्षेत्र की उत्कृष्टता डिग्री

अनुमान $A\subset B$ समाकल प्रक्षेत्र हैं। यदि $Q(A)$ और $Q(B)$ $A$ और $B$ के अंशों के क्षेत्रों को दर्शाते हैं, तो $A$ पर $B$ की श्रेष्ठता की डिग्री को क्षेत्र विस्तार $Q(B)/Q(A)$ की श्रेष्ठता की डिग्री के रूप में परिभाषित किया गया हैं।

नोथेर सामान्यीकरण लेम्मा का तात्पर्य है कि यदि $R$ एक अभिन्न प्रक्षेत्र है जो एक क्षेत्र $k$ पर एक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न बीजगणित है, तो $R$ का क्रुल आयाम $R$ के ऊपर $k$ की श्रेष्ठता की डिग्री हैं।

इसकी निम्नलिखित ज्यामितीय व्याख्या है: यदि $X$ एक क्षेत्र $k$ में एक सजातीय बीजगणितीय विविधता है, तो इसके समन्वय वलय का क्रुल आयाम इसके फलन क्षेत्र की श्रेष्ठता की डिग्री के समान है, और यह $X$ के आयाम को परिभाषित करता हैं। यह इस प्रकार है, अगर $X$ एक एफ़िन प्रकार नहीं है, इसके आयाम (इसके फलन क्षेत्र की ज्ञानातीत्व डिग्री के रूप में परिभाषित) को स्थानीय रूप से परिभाषित किया जा सकता है, क्योंकि विभिन्न प्रकार के प्रतिबंध के समन्वय रिंग के क्रुल आयाम को एक रिक्त एफ़िन उपसमुच्चय के लिए प्रतिबंधित किया जाता है।

विभेदक से संबंध

अनुमान $K/k$ एक अंतिम रूप से उत्पन्न क्षेत्र विस्तार है। तब^[8]

\dim _{k}\Omega _{K/k}\geq \operatorname {trdeg} (k/K).

जहां $\Omega _{K/k}$ कहलर विभेदक के प्रतिरूपक को दर्शाता है। साथ ही, उपरोक्त में, समानता धारण करती है यदि और केवल यदि K अलग से k पर उत्पन्न होता है (जिसका अर्थ है कि यह अलग-अलग उत्थान के आधार को स्वीकार करता है)।

अनुप्रयोग

क्षेत्र समरूपता के बारे में विभिन्न अस्तित्व कथन को सिद्ध करने के लिए ज्ञानातीत्व आधार एक उपयोगी उपकरण है। यहाँ एक उदाहरण दिया गया है: एक बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र L, एक उपक्षेत्र K और K का एक क्षेत्र स्वसमाकृतिकता f दिया गया है, वहाँ L का एक क्षेत्र c उपस्थित है जो f को बढ़ाता है (अर्थात जिसका K से प्रतिबंध f है)। प्रमाण के लिए, एक L / K के एक ज्ञानातीत्व आधार S के साथ प्रारंभ होता है। K(S) के अवयव, K में गुणांकों वाले S के अवयवों में बहुपदों के केवल भागफल हैं; इसलिए स्वसमाकृतिकता f को S के प्रत्येक तत्व को स्वयं भेजकर K(S) में से किसी एक तक बढ़ाया जा सकता है। क्षेत्र L, K(S) का बीजगणितीय संवरण है और बीजगणितीय संवरण तुल्याकारिता तक अद्वितीय हैं; इसका अर्थ है कि स्वसमाकृतिकता को आगे K(S) से L तक बढ़ाया जा सकता है।

एक अन्य अनुप्रयोग के रूप में, हम दिखाते हैं कि सम्मिश्र संख्या क्षेत्र C के (कई) उचित उपक्षेत्र हैं जो (क्षेत्र के रूप में) C के समरूपी हैं। प्रमाण के लिए C / Q का एक ट्रान्सेंडेंस आधार S लिया जाता है। S एक अनंत (यहां तक कि अगणनीय) समुच्चय है, इसलिए उपस्थित हैं (कई) मानचित्र f: S → S जो अंतःक्षेपक हैं लेकिन विशेषण नहीं हैं। ऐसे किसी भी मानचित्र को एक क्षेत्र समाकारिता Q(S) → Q(S) तक विस्तारित किया जा सकता है जो विशेषण नहीं है। इस तरह के एक क्षेत्र समरूपता को बीजगणितीय समापन C तक बढ़ाया जा सकता है, और परिणामी क्षेत्र समरूपता C → C विशेषण नहीं हैं।

ट्रान्सेंडेंस डिग्री एक क्षेत्र के आकार की सहज समझ दे सकती है। उदाहरण के लिए, सीगल के कारण एक प्रमेय में कहा गया है कि यदि X एक सुसंहत, संबद्ध, आयाम n का जटिल बहुरूपता है और K(X) उस पर (वैश्विक रूप से परिभाषित) मेरोमोर्फिक फलन के क्षेत्र को दर्शाता है, तो trdeg_C(K(X)) ≤ n हैं।

यह भी देखें

लूरोथ की प्रमेय, एक डिग्री के विशुद्ध रूप से पारलौकिक विस्तार के बारे में एक प्रमेय
नियमित विस्तार

संदर्भ

↑ Milne, Theorem 9.13.
↑ Milne, Lemma 9.6.
↑ Joshi, K. D. (1997), Applied Discrete Structures, New Age International, p. 909, ISBN 9788122408263.
↑ Hartshorne, Ch I, § 4, just before Theorem 4.7.A
↑ Hartshorne, Ch I, Theorem 4.7.A
↑ Milne, Theorem 9.27.
↑ Milne, Proposition 9.16.
↑ Hartshorne, Ch. II, Theorem 8.6. A

Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
Milne, James, Field Theory (PDF)
§ 6.3. of Shimura, Goro (1971), Introduction to the arithmetic theory of automorphic functions, Publications of the Mathematical Society of Japan, vol. 11, Tokyo: Iwanami Shoten, Zbl 0221.10029

[1] Milne, Theorem 9.13.

[2] Milne, Lemma 9.6.

[3] Joshi, K. D. (1997), Applied Discrete Structures, New Age International, p. 909, ISBN 9788122408263.

[4] Hartshorne, Ch I, § 4, just before Theorem 4.7.A

[5] Hartshorne, Ch I, Theorem 4.7.A

[6] Milne, Theorem 9.27.

[7] Milne, Proposition 9.16.

[8] Hartshorne, Ch. II, Theorem 8.6. A

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 {{Short description|Field extension that is not algebraic}}
-{{Use American English|date = January 2019}}
-गणित में, एक पारलौकिक विस्तार <math>L/K</math> एक [[फील्ड एक्सटेंशन]] है जैसे कि फ़ील्ड में कोई तत्व मौजूद है <math>L</math> वह क्षेत्र के ऊपर [[पारलौकिक तत्व]] है <math>K</math>; अर्थात्, एक तत्व जो कि गुणांक वाले किसी भी अविभाजित बहुपद का मूल नहीं है <math>K</math>. दूसरे शब्दों में, एक पारलौकिक विस्तार एक क्षेत्र विस्तार है जो [[बीजगणितीय विस्तार]] नहीं है। उदाहरण के लिए, <math>\mathbb{C}, \mathbb{R}</math> दोनों के पारलौकिक विस्तार हैं <math>\mathbb{Q}.</math>
-एक क्षेत्र विस्तार का एक पारगमन आधार <math>L/K</math> (या एक पारगमन आधार <math>L</math> ऊपर <math>K</math>) का अधिकतम बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र उपसमुच्चय है <math>L</math> ऊपर <math>K.</math> ट्रांसेंडेंस बेस वेक्टर रिक्त स्थान के [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] के साथ कई गुण साझा करते हैं। विशेष रूप से, एक क्षेत्र विस्तार के सभी अनुवांशिक आधारों में एक ही [[प्रमुखता]] होती है, जिसे विस्तार की श्रेष्ठता की डिग्री कहा जाता है। इस प्रकार, एक क्षेत्र विस्तार एक पारलौकिक विस्तार है अगर और केवल अगर इसकी श्रेष्ठता की डिग्री सकारात्मक है।
-ट्रान्सेंडैंटल एक्सटेंशन का व्यापक रूप से बीजगणितीय ज्यामिति में उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक बीजगणितीय विविधता की बीजगणितीय विविधता का आयाम एक बीजगणितीय विविधता के कार्य क्षेत्र की श्रेष्ठता की डिग्री है। इसके अलावा, [[वैश्विक कार्य क्षेत्र]] एक [[परिमित क्षेत्र]] की डिग्री एक के पारलौकिक विस्तार हैं, और [[सकारात्मक विशेषता]] में [[संख्या सिद्धांत]] में भूमिका निभाते हैं जो विशेषता शून्य में [[बीजगणितीय संख्या क्षेत्र]]ों की भूमिका के समान है।
+गणित में, एक पारलौकिक विस्तार <math>L/K</math> एक [[फील्ड एक्सटेंशन|क्षेत्र विस्तार]] है जैसे कि क्षेत्र <math>L</math> में एक तत्व उपस्थित है जो क्षेत्र <math>K</math> के ऊपर [[पारलौकिक तत्व|पारलौकिक]] है; अर्थात्, एक तत्व जो <math>K</math> में गुणांक वाले किसी भी एकविचर बहुपद का मूल नहीं है। दूसरे शब्दों में, एक पारलौकिक विस्तार एक क्षेत्र विस्तार है जो [[बीजगणितीय विस्तार|बीजगणितीय]] नहीं है। उदाहरण के लिए, <math>\mathbb{C}, \mathbb{R}</math> दोनों <math>\mathbb{Q}</math> के पारलौकिक विस्तार हैं।
-== श्रेष्ठता का आधार ==
+एक क्षेत्र विस्तार <math>L/K</math> (या <math>K</math> पर <math>L</math> का एक ज्ञानातीत्व आधार) का एक ज्ञानातीत्व आधार <math>K</math> पर <math>L</math> का अधिकतम बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र उपसमुच्चय हैं। ज्ञानातीत्व आधार सदिश समष्टि के [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] के साथ कई गुण अनुकरण करते हैं। विशेष रूप से, एक क्षेत्र विस्तार के सभी अनुवांशिक आधारों में एक ही [[प्रमुखता|गणनांक]] होता है, जिसे विस्तार की श्रेष्ठता की डिग्री कहा जाता है। इस प्रकार, एक क्षेत्र विस्तार एक पारलौकिक विस्तार है अगर और केवल अगर इसकी श्रेष्ठता की डिग्री सकारात्मक है।
-ज़ोर्न की प्रमेयिका दर्शाती है कि सदिश समष्टि (अर्थात् एक आधार) का अधिकतम रैखिक रूप से स्वतंत्र उपसमुच्चय मौजूद होता है। ज़ोर्न के लेम्मा के साथ एक समान तर्क से पता चलता है कि, क्षेत्र विस्तार L / K दिया गया है, वहाँ K पर L का अधिकतम बीजगणितीय स्वतंत्र उपसमुच्चय मौजूद है।<ref>{{harvnb|Milne|loc=Theorem 9.13.}}</ref> इसे तब एक पारलौकिक आधार कहा जाता है। अधिकतमता से, ''K'' के ऊपर ''L'' का एक बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र उपसमुच्चय ''S'' एक पारगमन आधार है यदि और केवल अगर ''L'' ''K''('' का बीजगणितीय विस्तार है S''), ''S'' से ''K'' के तत्वों के आस-पास (क्षेत्र सिद्धांत) द्वारा प्राप्त क्षेत्र।
-[[एक्सचेंज लेम्मा]] (बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र सेट के लिए एक संस्करण<ref>{{harvnb|Milne|loc=Lemma 9.6.}}</ref>) का अर्थ है कि यदि S, S<nowiki>'</nowiki> ट्रान्सेंडेंस बेस हैं, तो S और S<nowiki>'</nowiki> में समान कार्डिनैलिटी है। फिर ट्रान्सेंडेंस बेस की सामान्य कार्डिनैलिटी को L के ऊपर K की 'ट्रान्सेंडेंस डिग्री' कहा जाता है और इसे निरूपित किया जाता है <math>\operatorname{tr.deg.}_K L</math> या <math>\operatorname{tr.deg.}(L/K)</math>. इस प्रकार एक सादृश्य है: एक ओर एक श्रेष्ठता आधार और श्रेष्ठता की डिग्री, और दूसरी ओर एक आधार और आयाम। इस सादृश्य को और अधिक औपचारिक बनाया जा सकता है, यह देखते हुए कि सदिश स्थानों में रैखिक स्वतंत्रता और क्षेत्र विस्तार में बीजगणितीय स्वतंत्रता दोनों ही [[Matroid]] ([[Pregeometry (मॉडल सिद्धांत)]]) के उदाहरण हैं। किसी भी अंतिम मैट्रोइड का आधार होता है, और सभी आधारों में समान कार्डिनैलिटी होती है।<ref>{{citation|title=Applied Discrete Structures|first=K. D.|last=Joshi|publisher=New Age International|year=1997|isbn=9788122408263|page=909|url=https://books.google.com/books?id=lxIgGGJXacoC&pg=PA909}}.</ref>
+ट्रान्सेंडैंटल विस्तार का व्यापक रूप से बीजगणितीय ज्यामिति में उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक बीजगणितीय विविधता उसके कार्य क्षेत्र की श्रेष्ठता की डिग्री है। इसके अलावा, [[वैश्विक कार्य क्षेत्र]] एक [[परिमित क्षेत्र]] की डिग्री एक के पारलौकिक विस्तार हैं, और [[सकारात्मक विशेषता]] में [[संख्या सिद्धांत]] में भूमिका निभाते हैं जो विशेषता शून्य में [[बीजगणितीय संख्या क्षेत्र|बीजगणितीय संख्या क्षेत्रों]] की भूमिका के समान है।
-यदि G, L का जनरेटिंग सेट है (यानी, L = K(G)), तो L के लिए एक ट्रांसेंडेंस आधार को G के सबसेट के रूप में लिया जा सकता है। विशेष रूप से, <math>\operatorname{tr.deg.}_K L \le </math> K के ऊपर L के जनरेटिंग सेट की न्यूनतम कार्डिनैलिटी। इसके अलावा, एक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न क्षेत्र विस्तार एक परिमित पारगमन आधार को स्वीकार करता है।
-यदि कोई फ़ील्ड K निर्दिष्ट नहीं किया गया है, तो किसी फ़ील्ड L की ट्रान्सेंडेंस डिग्री कुछ निश्चित आधार फ़ील्ड के सापेक्ष इसकी डिग्री है; उदाहरण के लिए, एक ही [[विशेषता (बीजगणित)]] का प्रमुख क्षेत्र, या K, यदि L, K के ऊपर एक बीजगणितीय फलन क्षेत्र है।
+== ज्ञानातीत्व आधार ==
+ज़ोर्न की प्रमेयिका दर्शाती है कि सदिश समष्टि (अर्थात् एक आधार) का अधिकतम रैखिक रूप से स्वतंत्र उपसमुच्चय उपस्थित होता है। ज़ोर्न के लेम्मा के साथ एक समान तर्क से पता चलता है कि, क्षेत्र विस्तार L / K दिया गया है, वहाँ K पर L का अधिकतम बीजगणितीय स्वतंत्र उपसमुच्चय उपस्थित है।<ref>{{harvnb|Milne|loc=Theorem 9.13.}}</ref> इसे तब एक पारलौकिक आधार कहा जाता है। अधिकता से, ''K'' पर ''L'' का एक बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र उपसमुच्चय ''S'' एक ज्ञानातीत्व आधार है यदि और केवल यदि ''L'' ''K'' (''S'') का एक बीजीय विस्तार है, तो ''S'' से ''K'' के तत्वों के आस-पास (क्षेत्र सिद्धांत) प्राप्त क्षेत्र है।
-क्षेत्र विस्तार L / K 'विशुद्ध रूप से पारलौकिक' है यदि L का एक उपसमुच्चय S है जो K पर बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र है और ऐसा है कि L = K(S)।
+[[एक्सचेंज लेम्मा|विनिमय लेम्मा]] (बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र समुच्चय के लिए एक संस्करण<ref>{{harvnb|Milne|loc=Lemma 9.6.}}</ref>) का तात्पर्य है कि यदि S, S<nowiki>'</nowiki> ज्ञानातीत्व आधार हैं, तो S और S<nowiki>'</nowiki> में समान गणनांक है। फिर ज्ञानातीत्व आधार की सामान्य गणनांक को K पर L की 'ट्रान्सेंडेंस डिग्री' कहा जाता है और इसे <math>\operatorname{tr.deg.}_K L</math> या <math>\operatorname{tr.deg.}(L/K)</math> के रूप में दर्शाया जाता है। इस प्रकार एक सादृश्य है: एक ओर एक श्रेष्ठता आधार और श्रेष्ठता की डिग्री, और दूसरी ओर एक आधार और आयाम है। इस सादृश्य को और अधिक औपचारिक बनाया जा सकता है, यह देखते हुए कि सदिश समष्टि में रैखिक स्वतंत्रता और क्षेत्र विस्तार में बीजगणितीय स्वतंत्रता दोनों ही [[Matroid|परिमित मैट्रोइड्स]] (प्रीजेमेट्री) के उदाहरण हैं। किसी भी अंतिम मैट्रोइड का आधार होता है, और सभी आधारों में समान गणनांक होता है।<ref>{{citation|title=Applied Discrete Structures|first=K. D.|last=Joshi|publisher=New Age International|year=1997|isbn=9788122408263|page=909|url=https://books.google.com/books?id=lxIgGGJXacoC&pg=PA909}}.</ref>
-एल / के का एक 'पृथक पारगमन आधार' एक पारगमन आधार एस है जैसे कि एल के (एस) पर एक पृथक बीजगणितीय विस्तार है। एक क्षेत्र विस्तार L / K को 'पृथक्करणीय रूप से उत्पन्न' कहा जाता है यदि यह एक पृथक्करण पारगमन आधार को स्वीकार करता है।<ref>{{harvnb|Hartshorne|loc=Ch I, § 4, just before Theorem 4.7.A}}</ref> यदि एक फ़ील्ड एक्सटेंशन सूक्ष्म रूप से उत्पन्न होता है और यह अलग-अलग भी उत्पन्न होता है, तो फ़ील्ड एक्सटेंशन के प्रत्येक जनरेटिंग सेट में अलग-अलग ट्रान्सेंडेंस आधार होता है।<ref>{{harvnb|Hartshorne|loc=Ch I, Theorem 4.7.A}}</ref> एक संपूर्ण क्षेत्र पर, प्रत्येक बारीक रूप से उत्पन्न क्षेत्र विस्तार अलग से उत्पन्न होता है; यानी, यह एक परिमित अलगाव के आधार को स्वीकार करता है।<ref>{{harvnb|Milne|loc=Theorem 9.27.}}</ref>
+यदि G, L का जनक समुच्चय है (यानी, L = K(G)), तो L के लिए एक ट्रांसेंडेंस आधार को G के उपसमुच्चय के रूप में लिया जा सकता है। विशेष रूप से, <math>\operatorname{tr.deg.}_K L \le </math> K पर L के जनक समुच्चय का न्यूनतम गणनांक  है। इसके अलावा, एक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न क्षेत्र विस्तार एक परिमित ज्ञानातीत्व आधार को स्वीकार करते है।
+यदि कोई क्षेत्र K निर्दिष्ट नहीं किया गया है, तो किसी क्षेत्र L की ट्रान्सेंडेंस डिग्री कुछ निश्चित आधार क्षेत्र के सापेक्ष इसकी डिग्री है; उदाहरण के लिए, समान [[विशेषता (बीजगणित)]] का प्रमुख क्षेत्र, या K, यदि L, K के ऊपर एक बीजगणितीय फलन क्षेत्र है।
+क्षेत्र विस्तार L / K 'विशुद्ध रूप से पारलौकिक' है यदि L का एक उपसमुच्चय S है जो K पर बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र है और ऐसा है कि L = K(S) है।
+''L'' / ''K''  का एक अलग-अलग ज्ञानातीत्व आधार एक ज्ञानातीत्व आधार ''S'' है जैसे कि ''L'' ''K''(''S'') पर एक पृथक बीजगणितीय विस्तार है। एक क्षेत्र विस्तार L / K को अलग-अलग उत्पन्न होने के लिए कहा जाता है यदि यह अलग-अलग ज्ञानातीत्व आधार को स्वीकार करता है।<ref>{{harvnb|Hartshorne|loc=Ch I, § 4, just before Theorem 4.7.A}}</ref> यदि एक क्षेत्र विस्तार सूक्ष्म रूप से उत्पन्न होते है और यह अलग-अलग भी उत्पन्न होते है, तो क्षेत्र विस्तार के प्रत्येक जनक समुच्चय में अलग-अलग ट्रान्सेंडेंस आधार होते है।<ref>{{harvnb|Hartshorne|loc=Ch I, Theorem 4.7.A}}</ref> एक संपूर्ण क्षेत्र पर, प्रत्येक नियत रूप से उत्पन्न क्षेत्र विस्तार अलग से उत्पन्न होते है; अर्थात, यह एक परिमित पृथक के आधार को स्वीकार करते है।<ref>{{harvnb|Milne|loc=Theorem 9.27.}}</ref>
 == उदाहरण ==
-*एक विस्तार बीजगणितीय है अगर और केवल अगर इसकी पारगमन डिग्री 0 है; [[खाली सेट]] यहाँ एक पारगमन आधार के रूप में कार्य करता है।
+*एक विस्तार बीजगणितीय है अगर और केवल अगर इसकी ज्ञानातीत्व डिग्री 0 है; [[खाली सेट|रिक्त समुच्चय]] यहाँ एक ज्ञानातीत्व आधार के रूप में कार्य करता है।
-* n चर में तर्कसंगत कार्यों का क्षेत्र K(x<sub>1</sub>,...,एक्स<sub>''n''</sub>) (अर्थात बहुपद वलय K [x<sub>1</sub>,...,एक्स<sub>''n''</sub>]) विशुद्ध रूप से ट्रान्सेंडैंटल एक्सटेंशन है जिसमें K पर ट्रान्सेंडेंस डिग्री n है; हम उदाहरण के लिए ले सकते हैं {x<sub>1</sub>,...,एक्स<sub>''n''</sub>} एक उत्कृष्ट आधार के रूप में।
+* n चर ''K''(''x''<sub>1</sub>,...,''x<sub>n</sub>'') में तर्कसंगत फलनों का क्षेत्र (अर्थात बहुपद वलय K ''K''[''x''<sub>1</sub>,...,''x<sub>n</sub>''] के अंशों का क्षेत्र) विशुद्ध रूप से ट्रान्सेंडैंटल विस्तार है जिसमें K पर ट्रान्सेंडेंस डिग्री n है; उदाहरण के लिए हम {''x''<sub>1</sub>,...,''x<sub>n</sub>''} को श्रेष्ठता आधार के रूप में ले सकते हैं।
-*अधिक आम तौर पर, ग्राउंड फ़ील्ड K पर एक एन-डायमेंशनल बीजगणितीय किस्म के बीजगणितीय किस्म L के कार्य क्षेत्र की श्रेष्ठता डिग्री n है।
+*अधिक सामान्यतः, आधार क्षेत्र K पर एक n-विमीय बीजगणितीय प्रकार के फलन क्षेत्र L की ट्रान्सेंडेंस डिग्री n है।
-*'Q'(दो का वर्गमूल|√2, E (गणितीय स्थिरांक)) में 'Q' की तुलना में श्रेष्ठता की डिग्री 1 है क्योंकि √2 [[बीजगणितीय संख्या]] है जबकि e [[पारलौकिक संख्या]] है।
+*'''Q'''(√2, ''e'') के पास Q से अधिक 1 डिग्री है क्योंकि √2 [[बीजगणितीय संख्या|बीजगणितीय]] है जबकि e [[पारलौकिक संख्या|ट्रान्सेंडैंटल]] है।
-* 'क्यू' के ऊपर 'सी' या 'आर' की श्रेष्ठता की डिग्री सातत्य परिकल्पना है। (चूंकि 'Q' गणनीय है, फ़ील्ड 'Q'(S) में वही कार्डिनैलिटी होगी जो किसी अनंत सेट S के लिए S है, और 'Q'(S) के किसी भी बीजगणितीय विस्तार में फिर से वही कार्डिनैलिटी होगी।)
+* '''Q''' पर '''C''' या '''R''' की श्रेष्ठता की डिग्री सातत्य की प्रमुखता है। (क्योंकि '''Q''' गणनीय है, क्षेत्र 'Q'(S) में वही गणनांक होगा जो किसी अनंत समुच्चय S के लिए S है, और 'Q'(S) के किसी भी बीजगणितीय विस्तार में फिर से वही गणनांक होगा।)
-*'Q'(e, pi|π) की 'Q' पर उत्कृष्टता की डिग्री या तो 1 या 2 है; सटीक उत्तर अज्ञात है क्योंकि यह ज्ञात नहीं है कि ई और π बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र हैं या नहीं।
+*'''Q'''(''e'', π) की Q पर उत्कृष्टता की डिग्री या तो 1 या 2 है; सटीक उत्तर अज्ञात है क्योंकि यह ज्ञात नहीं है कि ''e'' और π बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र हैं या नहीं हैं।
-*यदि एस एक [[ कॉम्पैक्ट जगह ]] [[रीमैन सतह]] है, तो एस पर [[मेरोमॉर्फिक फ़ंक्शन]] के क्षेत्र 'सी' (एस) में 'सी' पर पारगमन डिग्री 1 है।
+*यदि ''S'' एक [[ कॉम्पैक्ट जगह |सुसंहत]] [[रीमैन सतह]] है, तो ''S'' पर [[मेरोमॉर्फिक फ़ंक्शन|मेरोमॉर्फिक फलनों]] के क्षेत्र '''C'''(''S'') में '''C''' पर ज्ञानातीत्व डिग्री 1 है।
 == तथ्य ==
-यदि एम/एल और एल/के फील्ड एक्सटेंशन हैं, तो
+यदि ''M'' / ''L'' और ''L'' / ''K'' क्षेत्र विस्तार हैं, तो
-: trdeg (एम / कश्मीर) = trdeg (एम / एल) + trdeg (एल / कश्मीर)
-यह दिखा कर सिद्ध किया जाता है कि एम/एल के एक ट्रांसेंडेंस आधार और एल/के में से एक के [[संघ (सेट सिद्धांत)]] को लेकर एम/के का पारगमन आधार प्राप्त किया जा सकता है।
-यदि समुच्चय S, K पर बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र है, तो क्षेत्र K(S), K पर परिमेय फलनों के क्षेत्र में समाकृतिक है, जो कि S के समान कार्डिनैलिटी के चरों के एक समुच्चय में है। ऐसा प्रत्येक परिमेय फलन दो बहुपदों का अंश है। उन चरों में से कई, K में गुणांक के साथ।
+: trdeg(''M'' / ''K'') = trdeg(''M'' / ''L'') + trdeg(''L'' / ''K'')
-दो बीजगणितीय रूप से बंद फ़ील्ड आइसोमॉर्फिक हैं यदि और केवल यदि उनके पास समान विशेषता है और उनके प्रमुख क्षेत्र पर समान पारगमन की डिग्री है।<ref>{{harvnb|Milne|loc=Proposition 9.16.}}</ref>
+यह दिखा कर सिद्ध किया जाता है कि ''M'' / ''L'' के एक ट्रांसेंडेंस आधार और ''L'' / ''K'' में से किसी एक के मिलन से ''M'' / ''K'' का ज्ञानातीत्व आधार प्राप्त किया जा सकता है।
+यदि समुच्चय S, K पर बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र है, तो क्षेत्र K(S), K  समान गणनांक के चरों के एक समुच्चय में ''K'' पर S परिमेय फलनों के क्षेत्र के लिए समरूप है। इस तरह का प्रत्येक परिमेय फलन दो बहुपदों का एक अंश है जिनमें से बहुत से चर, K में गुणांक के साथ है।
-== एक अभिन्न डोमेन की उत्कृष्टता की डिग्री ==
+दो बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र आइसोमॉर्फिक हैं यदि और केवल यदि उनके पास समान विशेषता है और उनके प्रमुख क्षेत्र पर समान ज्ञानातीत्व की डिग्री है।<ref>{{harvnb|Milne|loc=Proposition 9.16.}}</ref>
-होने देना <math>A \subset B</math> [[अभिन्न डोमेन]] हो। अगर <math>Q(A)</math> और <math>Q(B)</math> के अंशों के क्षेत्रों को निरूपित करें {{math|''A''}} एक {{math|''B''}}, फिर की श्रेष्ठता की डिग्री {{math|''B''}} ऊपर {{math|''A''}} को क्षेत्र विस्तार की श्रेष्ठता की डिग्री के रूप में परिभाषित किया गया है <math>Q(B)/Q(A).</math> [[नोथेर सामान्यीकरण लेम्मा]] का तात्पर्य है कि यदि {{math|''R''}} एक अभिन्न डोमेन है जो एक क्षेत्र पर एक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न बीजगणित है {{mvar|k}}, फिर का [[क्रुल आयाम]] {{math|''R''}} की श्रेष्ठता की डिग्री है {{math|''R''}} ऊपर {{math|''k''}}.
+== एक अभिन्न प्रक्षेत्र की उत्कृष्टता डिग्री ==
+अनुमान <math>A \subset B</math> [[अभिन्न डोमेन|समाकल प्रक्षेत्र]] हैं। यदि <math>Q(A)</math> और <math>Q(B)</math> {{math|''A''}} और {{math|''B''}} के अंशों के क्षेत्रों को दर्शाते हैं, तो {{math|''A''}} पर {{math|''B''}} की श्रेष्ठता की डिग्री को क्षेत्र विस्तार <math>Q(B)/Q(A)</math> की श्रेष्ठता की डिग्री के रूप में परिभाषित किया गया हैं।
-इसकी निम्नलिखित ज्यामितीय व्याख्या है: यदि {{math|''X''}} एक क्षेत्र में एक सजातीय बीजगणितीय किस्म है {{math|''k''}}, इसके निर्देशांक वलय का क्रुल आयाम एक बीजगणितीय किस्म के इसके कार्य क्षेत्र की श्रेष्ठता की डिग्री के बराबर है, और यह एक बीजगणितीय विविधता के आयाम को परिभाषित करता है {{math|''X''}}. यह इस प्रकार है, अगर {{mvar|X}} एक affine किस्म नहीं है, इसके आयाम (इसके कार्य क्षेत्र की पारगमन डिग्री के रूप में परिभाषित) को स्थानीय रूप से परिभाषित किया जा सकता है, जो कि एक खुले affine सबसेट के लिए विविधता के प्रतिबंध के समन्वय रिंग के क्रुल आयाम के रूप में है।
+[[नोथेर सामान्यीकरण लेम्मा]] का तात्पर्य है कि यदि {{math|''R''}} एक अभिन्न प्रक्षेत्र है जो एक क्षेत्र {{mvar|k}} पर एक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न बीजगणित है, तो {{math|''R''}} का [[क्रुल आयाम]] {{math|''R''}} के ऊपर {{math|''k''}} की श्रेष्ठता की डिग्री हैं।
-== अंतर से संबंध ==
+इसकी निम्नलिखित ज्यामितीय व्याख्या है: यदि {{math|''X''}} एक क्षेत्र {{math|''k''}} में एक सजातीय बीजगणितीय विविधता है, तो इसके समन्वय वलय का क्रुल आयाम इसके फलन क्षेत्र की श्रेष्ठता की डिग्री के समान है, और यह {{math|''X''}} के आयाम को परिभाषित करता हैं। यह इस प्रकार है, अगर {{mvar|X}} एक एफ़िन प्रकार नहीं है, इसके आयाम (इसके फलन क्षेत्र की ज्ञानातीत्व डिग्री के रूप में परिभाषित) को स्थानीय रूप से परिभाषित किया जा सकता है, क्योंकि विभिन्न प्रकार के प्रतिबंध के समन्वय रिंग के क्रुल आयाम को एक रिक्त एफ़िन उपसमुच्चय के लिए प्रतिबंधित किया जाता है।
-{{expand section|date=April 2023}}
-होने देना <math>K/k</math> एक अंतिम रूप से उत्पन्न फ़ील्ड एक्सटेंशन बनें। तब<ref>{{harvnb|Hartshorne|loc=Ch. II, Theorem 8.6. A}}</ref>
+== विभेदक से संबंध ==
+अनुमान <math>K/k</math> एक अंतिम रूप से उत्पन्न क्षेत्र विस्तार है। तब<ref>{{harvnb|Hartshorne|loc=Ch. II, Theorem 8.6. A}}</ref>
 :<math>\dim_k \Omega_{K/k} \ge \operatorname{trdeg}(k/ K).</math>
-कहाँ <math>\Omega_{K/k}</math> कहलर अंतर के मॉड्यूल को दर्शाता है। साथ ही, उपरोक्त में, समानता धारण करती है यदि और केवल यदि K अलग से k पर उत्पन्न होता है (जिसका अर्थ है कि यह अलग-अलग उत्थान के आधार को स्वीकार करता है)।
+जहां <math>\Omega_{K/k}</math> कहलर विभेदक के प्रतिरूपक को दर्शाता है। साथ ही, उपरोक्त में, समानता धारण करती है यदि और केवल यदि K अलग से k पर उत्पन्न होता है (जिसका अर्थ है कि यह अलग-अलग उत्थान के आधार को स्वीकार करता है)।
 == अनुप्रयोग ==
-क्षेत्र समरूपता के बारे में विभिन्न अस्तित्व बयानों को साबित करने के लिए ट्रान्सेंडेंस बेस एक उपयोगी उपकरण है। यहाँ एक उदाहरण दिया गया है: एक [[बीजगणितीय रूप से बंद]] फ़ील्ड L, एक फ़ील्ड एक्सटेंशन K और K के एक फ़ील्ड ऑटोमोर्फिज़्म f को देखते हुए, L का एक फ़ील्ड ऑटोमोर्फिज़्म मौजूद है जो f को बढ़ाता है (अर्थात जिसका K से प्रतिबंध f है)। सबूत के लिए, एक एल / के के एक पारगमन आधार एस के साथ शुरू होता है। के (एस) के तत्व के में गुणांक के साथ एस के तत्वों में बहुपदों के अंश हैं; इसलिए [[ automorphism ]] f को S के प्रत्येक तत्व को स्वयं भेजकर K(S) में से किसी एक तक बढ़ाया जा सकता है। क्षेत्र L, K(S) का बीजगणितीय संवरण है और बीजगणितीय संवरण तुल्याकारिता तक अद्वितीय हैं; इसका मतलब है कि ऑटोमोर्फिज्म को आगे K(S) से L तक बढ़ाया जा सकता है।
+क्षेत्र समरूपता के बारे में विभिन्न अस्तित्व कथन को सिद्ध करने के लिए ज्ञानातीत्व आधार एक उपयोगी उपकरण है। यहाँ एक उदाहरण दिया गया है: एक [[बीजगणितीय रूप से बंद|बीजगणितीय रूप से संवृत]] क्षेत्र L, एक उपक्षेत्र K और K का एक क्षेत्र स्वसमाकृतिकता f दिया गया है, वहाँ L का एक क्षेत्र c उपस्थित है जो f को बढ़ाता है (अर्थात जिसका K से प्रतिबंध f है)। प्रमाण के लिए, एक ''L'' / ''K'' के एक ज्ञानातीत्व आधार ''S'' के साथ प्रारंभ होता है। ''K''(''S'') के अवयव, ''K'' में गुणांकों वाले ''S'' के अवयवों में बहुपदों के केवल भागफल हैं; इसलिए [[ automorphism |स्वसमाकृतिकता]] f को S के प्रत्येक तत्व को स्वयं भेजकर K(S) में से किसी एक तक बढ़ाया जा सकता है। क्षेत्र L, K(S) का बीजगणितीय संवरण है और बीजगणितीय संवरण तुल्याकारिता तक अद्वितीय हैं; इसका अर्थ है कि स्वसमाकृतिकता को आगे K(S) से L तक बढ़ाया जा सकता है।
-एक अन्य अनुप्रयोग के रूप में, हम दिखाते हैं कि सम्मिश्र संख्या 'सी' के (कई) उचित उपक्षेत्र हैं जो (फ़ील्ड के रूप में) 'सी' के समरूपी हैं। प्रमाण के लिए 'सी'/'क्यू' का एक ट्रान्सेंडेंस आधार एस लें। एस एक अनंत (यहां तक कि बेशुमार) सेट है, इसलिए मौजूद हैं (कई) मानचित्र एफ: एस → एस जो [[इंजेक्शन]] हैं लेकिन [[विशेषण]] नहीं हैं। ऐसे किसी भी मानचित्र को एक क्षेत्र समाकारिता 'Q'(S) → 'Q'(S) तक विस्तारित किया जा सकता है जो विशेषण नहीं है। इस तरह के एक क्षेत्र समरूपता को [[बीजगणितीय समापन]] 'C' तक बढ़ाया जा सकता है, और परिणामी क्षेत्र समरूपता 'C' → 'C' विशेषण नहीं हैं।
+एक अन्य अनुप्रयोग के रूप में, हम दिखाते हैं कि सम्मिश्र संख्या क्षेत्र '''C''' के (कई) उचित उपक्षेत्र हैं जो (क्षेत्र के रूप में) '''C''' के समरूपी हैं। प्रमाण के लिए '''C''' / '''Q''' का एक ट्रान्सेंडेंस आधार ''S'' लिया जाता है। ''S'' एक अनंत (यहां तक कि अगणनीय) समुच्चय है, इसलिए उपस्थित हैं (कई) मानचित्र ''f'': ''S'' → ''S'' जो [[इंजेक्शन|अंतःक्षेपक]] हैं लेकिन [[विशेषण]] नहीं हैं। ऐसे किसी भी मानचित्र को एक क्षेत्र समाकारिता '''Q'''(''S'') → '''Q'''(''S'') तक विस्तारित किया जा सकता है जो विशेषण नहीं है। इस तरह के एक क्षेत्र समरूपता को [[बीजगणितीय समापन]] '''C''' तक बढ़ाया जा सकता है, और परिणामी क्षेत्र समरूपता '''C''' → '''C''' विशेषण नहीं हैं।
-ट्रान्सेंडेंस डिग्री एक क्षेत्र के आकार की सहज समझ दे सकती है। उदाहरण के लिए, [[कार्ल लुडविग सीगल]] के कारण एक प्रमेय में कहा गया है कि यदि X आयाम n का एक कॉम्पैक्ट, जुड़ा हुआ, जटिल कई गुना है और K(X) उस पर (वैश्विक रूप से परिभाषित) मेरोमोर्फिक कार्यों के क्षेत्र को दर्शाता है, तो trdeg<sub>'''C'''</sub>(के (एक्स)) ≤ एन।
+ट्रान्सेंडेंस डिग्री एक क्षेत्र के आकार की सहज समझ दे सकती है। उदाहरण के लिए, [[कार्ल लुडविग सीगल|सीगल]] के कारण एक प्रमेय में कहा गया है कि यदि X एक सुसंहत, संबद्ध, आयाम n का जटिल बहुरूपता है और K(X) उस पर (वैश्विक रूप से परिभाषित) मेरोमोर्फिक फलन के क्षेत्र को दर्शाता है, तो  trdeg<sub>'''C'''</sub>(''K''(''X'')) ≤ ''n'' हैं।
 == यह भी देखें ==
-* लूरोथ की प्रमेय, एक डिग्री के विशुद्ध रूप से पारलौकिक विस्तार के बारे में एक प्रमेय
+* [[लूरोथ की प्रमेय]], एक डिग्री के विशुद्ध रूप से पारलौकिक विस्तार के बारे में एक प्रमेय
 * [[नियमित विस्तार]]

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