प्रभावी माध्यम सन्निकटन

सामग्री विज्ञान में, प्रभावी माध्यम सन्निकटन (ईएमए) या प्रभावी माध्यम सिद्धांत (ईएमटी) कंप्यूटर मॉडलिंग या वैज्ञानिक सिद्धांत मॉडलिंग से संबंधित है जो उन्नत समग्र सामग्री (इंजीनियरिंग) के स्थूल गुणों का वर्णन करता है। ईएमए या ईएमटी घटकों के कई मूल्यों के औसत से विकसित होते हैं जो सीधे समग्र सामग्री बनाते हैं। घटक स्तर पर, सामग्रियों के मूल्य भिन्न होते हैं और सजातीय होते हैं। कई घटक मूल्यों की उपयुक्त गणना लगभग असंभव है। चूंकि, सिद्धांतों को विकसित किया गया है जो स्वीकार्य अनुमानों का उत्पादन कर सकते हैं जो बदले में सामग्री के प्रभावी पारगम्यता और पारगम्यता (विद्युत चुंबकत्व) सहित उपयोगी पैरामीटर का वर्णन करते हैं। इस अर्थ में, प्रभावी सन्निकटन माध्यम (मिश्रित सामग्री) के गुणों और उसके घटकों के सापेक्ष अंशों के आधार पर विवरण हैं और यह गणना से प्राप्त होते हैं, और प्रभावी माध्यम सिद्धांत दो व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले सूत्र हैं।

प्रभावी पारगम्यता और पारगम्यता सूक्ष्म अमानवीय माध्यम की औसत को ढांकता हैं तथा और चुंबकीय विशेषताएं बताता हैं। वे दोनों अर्ध-स्थैतिक सन्निकटन में व्युत्पन्न हुए थे जब मिश्रण कण के अंदर विद्युत क्षेत्र को सजातीय माना जाता था। इसलिए, ये सूत्र कण बनावट प्रभाव का वर्णन नहीं कर सकते हैं तथा इन सूत्रों में सुधार के लिए कई प्रयास भी किए गए थे।

अनुप्रयोग

कई भिन्न-भिन्न प्रभावी माध्यम सन्निकटन हैं, उनमें से प्रत्येक भिन्न-भिन्न परिस्थितियों में कमोबेश उपयुक्त है। फिर भी, वे सभी मानते हैं कि मैक्रोस्कोपिक प्रणाली सजातीय है और सभी औसत क्षेत्र सिद्धांतों के विशिष्ट हैं, वे सिद्धांत में लंबी दूरी के सहसंबंधों या महत्वपूर्ण उतार-चढ़ाव की अनुपस्थिति के कारण रिसाव की दहलीज के निकट मल्टीफ़ेज़ माध्यम के गुणों की भविष्यवाणी करने में विफल रहते हैं।

$\sigma$ या ढांकता हुआ स्थिरांक $\varepsilon$ माध्यम का विचाराधीन गुण आमतौर पर चालकता होते हैं। लाप्लास समीकरण की व्यापक प्रयोज्यता के कारण ये पैरामीटर मॉडल की पूरी श्रृंखला में सूत्रों में विनिमेय हैं। इस वर्ग के बाहर आने वाली समस्याएं मुख्य रूप से लोच और जलगतिकी के क्षेत्र में होती हैं, जो प्रभावी मध्यम स्थिरांक के उच्च क्रम के तन्य चरित्र के कारण होती हैं।

ईएमए असतत मॉडल हो सकते हैं, जैसे प्रतिरोधी नेटवर्क पर लागू होते हैं, या लोच या चिपचिपापन के लिए निरंतर सिद्धांत लागू होते हैं। चूंकि, अधिकांश वर्तमान सिद्धांतों में परकोलेटिंग प्रणाली का वर्णन करने में कठिनाई होती है। दरअसल, कई प्रभावी मध्यम सन्निकटनों में से मात्र ब्रुगमैन का सममित सिद्धांत ही सीमा की भविष्यवाणी करने में सक्षम है। जैसे महत्वपूर्ण घटनाओं के अन्य माध्य क्षेत्र सिद्धांत हो इसके पश्चात के सिद्धांत की यह विशेषता इसे उसी श्रेणी में रखी जाती है।

ब्रुगमैन का मॉडल

परमिट के साथ दो सामग्रियों के मिश्रण के लिए $\varepsilon _{m}$ और $\varepsilon _{d}$ इसी मात्रा अंशों के साथ $c_{m}$ और $c_{i}$, डी.ए.जी. ब्रुगमैन ने निम्नलिखित रूप का सूत्र प्रस्तावित किया जो इस प्रकार है:

$$\varepsilon _{\mathrm {eff} }={\frac {H_{b}+{\sqrt {H_{b}^{2}+8\varepsilon _{m}\varepsilon _{d}}}}{4}},{\text{ with }}H_{b}=(3c_{d}-1)\varepsilon _{d}+(3c_{m}-1)\varepsilon _{m}.$$

(3)

यहां प्रभावी जटिल पारगम्यता का सही काल्पनिक भाग प्राप्त करने के लिए वर्गमूल से पहले सकारात्मक संकेत को कुछ स्थितियों में नकारात्मक संकेत में बदलना चाहिए जो विद्युत चुम्बकीय तरंग क्षीणन से संबंधित है। सूत्र 'डी' और 'एम' भूमिकाओं की अदला-बदली के संबंध में सममित है। यह सूत्र समानता पर आधारित है।

$$\Delta \Phi =\iint \varepsilon _{r}(\mathbf {r} )E_{n}(\mathbf {r} )ds-\varepsilon _{\mathrm {eff} }\iint E_{0}ds=0,$$

(4)

जहां $\Delta \Phi$ पूरे एकीकरण सतह पर विद्युत विस्थापन क्षेत्र प्रवाह की छलांग है, $E_{n}(\mathbf {r} )$ एकीकरण सतह के लिए सामान्य सूक्ष्म विद्युत क्षेत्र का घटक है, $\varepsilon _{r}(\mathbf {r} )$ स्थानीय सापेक्ष जटिल पारगम्यता है जो चुने गए धातु कण के अंदर $\varepsilon _{m}$ मान लेता है, मूल्य $\varepsilon _{d}$ चुने गए ढांकता हुआ कण के अंदर और चुने गए कण के बाहर $\varepsilon _{\mathrm {eff} }$ का मान, $E_{0}$ स्थूल विद्युत क्षेत्र का सामान्य घटक है। सूत्र (4) मैक्सवेल की समानता $\operatorname {div} (\varepsilon _{r}\mathbf {E} )=0$ से निकला है। इस प्रकार ब्रुगमैन के दृष्टिकोण में केवल एक चुने हुए कण पर विचार किया जाता है। $\varepsilon _{\mathrm {eff} }$ द्वारा वर्णित माध्य क्षेत्र सन्निकटन में ही अन्य सभी कणों के साथ अन्योन्यक्रिया को ध्यान में रखा जाता है। सूत्र (3) धातु नैनोकणों में प्लास्मोन उत्तेजनाओं के लिए एक उचित गुंजयमान वक्र देता है यदि उनका बनावट 10 एनएम या उससे छोटा है। लेकिन यह प्रयोग में देखे गए प्लास्मोन उत्तेजनाओं की गुंजयमान आवृत्ति के लिए बनावट की निर्भरता का वर्णन करने में असमर्थ है।

सूत्र

व्यापकता के किसी भी हानि के बिना, हम विभिन्न स्वैच्छिक चालकता वाले गोलाकार बहुघटक समावेशन से बनी प्रणाली के लिए प्रभावी चालकता (जो डीसी या एसी हो सकती है) के अध्ययन पर विचार करते है। तब ब्रुगमैन सूत्र रूप लेता है:

परिपत्र और गोलाकार समावेशन

$$\sum _{i}\,\delta _{i}\,{\frac {\sigma _{i}-\sigma _{e}}{\sigma _{i}+(n-1)\sigma _{e}}}\,=\,0$$

(1)

यूक्लिडियन स्थानिक आयाम की प्रणाली में $n$ जिसमें घटकों की मनमानी संख्या है, योग सभी घटकों पर बना है। $\delta _{i}$ और $\sigma _{i}$ क्रमशः अंश और प्रत्येक घटक की चालकता हैं, और $\sigma _{e}$ माध्यम की प्रभावी चालकता है। (कुल से अधिक $\delta _{i}$एकता है।)

अण्डाकार और दीर्घवृत्त समावेशन

$${\frac {1}{n}}\,\delta \alpha +{\frac {(1-\delta )(\sigma _{m}-\sigma _{e})}{\sigma _{m}+(n-1)\sigma _{e}}}\,=\,0$$

(2)

यह Eq (1) का एक सामान्यीकरण एक द्विध्रुवीय प्रणाली है जिसमें चालकता के दीर्घवृत्तीय समावेशन $\sigma$ चालकता $\sigma _{m}$ के एक मैट्रिक्स में होता है। समावेशन का अंश $\delta$ है और प्रणाली $n$ आयामी है। बेतरतीब ढंग से उन्मुख समावेशन के लिए,

$$\alpha \,=\,{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}\,{\frac {\sigma -\sigma _{e}}{\sigma _{e}+L_{j}(\sigma -\sigma _{e})}}$$

(3)

जहां $L_{j}$ विध्रुवण कारकों के उपयुक्त दोहरे/ट्रिपल को निरूपित करता है जो दीर्घवृत्त के अक्ष के बीच के अनुपात द्वारा नियंत्रित होता है। उदाहरण के लिए: वृत्त के स्थिति में ($L_{1}=1/2$, $L_{2}=1/2$) और गोले के स्थिति में ($L_{1}=1/3$, $L_{2}=1/3$, $L_{3}=1/3$), कुल से अधिक $L_{j}$ एकता है।

सबसे सामान्य स्थिति जिसके लिए ब्रुगमैन दृष्टिकोण को लागू किया गया है, में बियानिसोट्रोपिक दीर्घवृत्तीय समावेशन सम्मलित है।

व्युत्पत्ति

आंकड़ा दो-घटक माध्यम दिखाता है। चालकता के क्रॉस-हैचेड वॉल्यूम पर विचार करें $\sigma _{1}$, इसे आयतन के गोले के रूप में लें $V$ और मान लें कि यह समान माध्यम में प्रभावी चालकता के साथ एम्बेडेड है $\sigma _{e}$, यदि समावेशन से दूर विद्युत क्षेत्र है ${\overline {E_{0}}}$ तब प्राथमिक विचार वॉल्यूम से जुड़े इलेक्ट्रिक द्विध्रुवीय क्षण की ओर ले जाते है।

$${\overline {p}}\,\propto \,V\,{\frac {\sigma _{1}-\sigma _{e}}{\sigma _{1}+2\sigma _{e}}}\,{\overline {E_{0}}}\,.$$

(4)

यह ध्रुवीकरण घनत्व से विचलन उत्पन्न करता है ${\overline {E_{0}}}$, यदि औसत विचलन को विलुप्त करना है, तो दो प्रकार के समावेशन पर योग किए गए कुल ध्रुवीकरण हो जाते है। इस प्रकार

$$\delta _{1}{\frac {\sigma _{1}-\sigma _{e}}{\sigma _{1}+2\sigma _{e}}}\,+\,\delta _{2}{\frac {\sigma _{2}-\sigma _{e}}{\sigma _{2}+2\sigma _{e}}}\,=\,0$$

(5)

जहाँ $\delta _{1}$ और $\delta _{2}$ क्रमशः सामग्री 1 और 2 का आयतन अंश हैं। इसे आसानी से आयाम की प्रणाली तक बढ़ाया जा सकता है, $n$ जिसमें घटकों की मनमानी संख्या है। सभी स्थितियों को Eq (1) प्राप्त करने के लिए जोड़ा जा सकता है।

Eq (1) को वर्तमान में विचलन को विलुप्त करने की आवश्यकता के द्वारा भी प्राप्त किया जा सकता है। यह यहाँ इस धारणा से प्राप्त किया गया है कि समावेशन गोलाकार हैं और इसे Eq (2) के लिए अग्रणी अन्य विध्रुवण कारकों के बनावट के लिए संशोधित किया जा सकता है।

बियानिसोट्रोपिक सामग्री के लिए लागू अधिक सामान्य व्युत्पत्ति भी उपलब्ध है।

परकोलेटिंग प्रणाली की मॉडलिंग

मुख्य सन्निकटन यह है कि सभी डोमेन समतुल्य माध्य क्षेत्र में स्थित हैं। दुर्भाग्य से, यह परकोलेशन थ्रेशोल्ड के निकट का स्थिति नहीं है जहां प्रणाली चालकता के सबसे बड़े समूह द्वारा शासित होता है, जो भग्न है और लंबी दूरी के सहसंबंध हैं जो ब्रुगमैन के सरल सूत्र से पूरी प्रकार से अनुपस्थित हैं। थ्रेशोल्ड मानों का सामान्य रूप से सही अनुमान नहीं लगाया जाता है। यह ईएमए में 33% है, तीन आयामों में, परकोलेशन सिद्धांत से अपेक्षित 16% और प्रयोगों में देखा गया है। चूंकि, दो आयामों में, ईएमए 50% की सीमा देता है और अपेक्षाकृत अच्छी प्रकार से मॉडल परकोलेशन सिद्ध हुआ है।

मैक्सवेल गार्नेट समीकरण

जेम्स क्लर्क मैक्सवेल गार्नेट सन्निकटन में, प्रभावी माध्यम में मैट्रिक्स माध्यम होता है $\varepsilon _{m}$ और समावेशन के साथ $\varepsilon _{i}$, मैक्सवेल गार्नेट भौतिक विज्ञानी विलियम गार्नेट (प्रोफेसर) के पुत्र थे, और उनका नाम गार्नेट के दोस्त, जेम्स क्लर्क मैक्सवेल के नाम पर रखा गया था। उन्होंने रंगीन चित्रों की व्याख्या करने के लिए अपने सूत्र का प्रस्ताव रखा जो धातु के नैनोकणों के साथ डोप किए गए चश्मे में देखे गए हैं। यह उनके सूत्र का रूप है

$$\varepsilon _{\text{eff}}=\varepsilon _{d}\left[1+3c_{m}{\frac {\varepsilon _{m}-\varepsilon _{d}}{\varepsilon _{m}+2\varepsilon _{d}-c_{m}(\varepsilon _{m}-\varepsilon _{d})}}\right],$$

(1)

जहाँ $\varepsilon _{\text{eff}}$ मिश्रण की प्रभावी पारगम्यता है, $\varepsilon _{d}$ सापेक्ष पारगम्यता के छोटे गोलाकार समावेशन वाले पृष्ठभूमि माध्यम की सापेक्ष जटिल पारगम्यता है $\varepsilon _{m}$ मात्रा अंश के साथ $c_{m}\ll 1$ है, यह सूत्र समानता पर आधारित है।

$$\varepsilon _{\text{eff}}=\varepsilon _{d}+c_{m}{\frac {p_{m}}{\varepsilon _{0}E}},$$

(2)

जहाँ $\varepsilon _{0}$ वैक्यूम परमिटिटिविटी है और $p_{m}$ बाह्य विद्युत क्षेत्र द्वारा प्रेरित एकल समावेशन का विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण है E. चूंकि यह समानता मात्र समरूपता (भौतिकी) और के लिए अच्छी है $\varepsilon _{d}=1$, इसके अतिरिक्त सूत्र (1) एकल समावेशन के बीच की बातचीत को अनदेखा करता है। इन परिस्थितियों के कारण, सूत्र (1) मिश्रण के धातु नैनोकणों में प्लास्मोन उत्तेजनाओं के लिए बहुत संकीर्ण और बहुत अधिक गुंजयमान वक्र देता है।

सूत्र

मैक्सवेल गार्नेट समीकरण पढ़ता है:

$$\left({\frac {\varepsilon _{\mathrm {eff} }-\varepsilon _{m}}{\varepsilon _{\mathrm {eff} }+2\varepsilon _{m}}}\right)=\delta _{i}\left({\frac {\varepsilon _{i}-\varepsilon _{m}}{\varepsilon _{i}+2\varepsilon _{m}}}\right),$$

(6)

जहाँ $\varepsilon _{\mathrm {eff} }$ माध्यम का प्रभावी ढांकता हुआ स्थिरांक है, $\varepsilon _{i}$ समावेशन, और $\varepsilon _{m}$ मैट्रिक्स का; $\delta _{i}$ समावेशन का आयतन अंश है।

मैक्सवेल गार्नेट समीकरण द्वारा हल किया गया है:

$$\varepsilon _{\mathrm {eff} }\,=\,\varepsilon _{m}\,{\frac {2\delta _{i}(\varepsilon _{i}-\varepsilon _{m})+\varepsilon _{i}+2\varepsilon _{m}}{2\varepsilon _{m}+\varepsilon _{i}-\delta _{i}(\varepsilon _{i}-\varepsilon _{m})}},$$

(7)

इस सूत्र का उपयोग करते हुए एक सरल मैटलैब कैलकुलेटर इस प्रकार है की जब तक भाजक विलुप्त नहीं हो जाता है।

% This simple MATLAB calculator computes the effective dielectric
% constant of a mixture of an inclusion material in a base medium
% according to the Maxwell Garnett theory
% INPUTS:
%     eps_base: dielectric constant of base material;
%     eps_incl: dielectric constant of inclusion material;
%     vol_incl: volume portion of inclusion material;
% OUTPUT:
%     eps_mean: effective dielectric constant of the mixture.

function eps_mean = MaxwellGarnettFormula(eps_base, eps_incl, vol_incl)

    small_number_cutoff = 1e-6;

    if vol_incl < 0 || vol_incl > 1
        disp('WARNING: volume portion of inclusion material is out of range!');
    end
    factor_up = 2 * (1 - vol_incl) * eps_base + (1 + 2 * vol_incl) * eps_incl;
    factor_down = (2 + vol_incl) * eps_base + (1 - vol_incl) * eps_incl;
    if abs(factor_down) < small_number_cutoff
        disp('WARNING: the effective medium is singular!');
        eps_mean = 0;
    else
        eps_mean = eps_base * factor_up / factor_down;
    end
end

व्युत्पत्ति

मैक्सवेल गार्नेट समीकरण की व्युत्पत्ति के लिए हम ध्रुवीकरण योग्य कणों की सरणी से प्रारंभ करते हैं। लोरेंत्ज़ स्थानीय क्षेत्र अवधारणा का उपयोग करके, हम क्लॉसियस-मोसोटी संबंध प्राप्त करते हैं:

$${\frac {\varepsilon -1}{\varepsilon +2}}={\frac {4\pi }{3}}\sum _{j}N_{j}\alpha _{j}$$

जहाँ $N_{j}$ प्रति इकाई आयतन कणों की संख्या है। प्रारंभिक इलेक्ट्रोस्टैटिक्स का उपयोग करके, हम ढांकता हुआ स्थिरांक के साथ गोलाकार समावेशन प्राप्त करते हैं $\varepsilon _{i}$ और त्रिज्या $a$ ध्रुवीकरण $\alpha$:

$$\alpha =\left({\frac {\varepsilon _{i}-1}{\varepsilon _{i}+2}}\right)a^{3}$$

यदि हम गठबंधन करते हैं तो इसे हम $\alpha$ क्लॉसियस-मोसोटी संबंध के साथ प्राप्त कर सकते है:

$$\left({\frac {\varepsilon _{\mathrm {eff} }-1}{\varepsilon _{\mathrm {eff} }+2}}\right)=\delta _{i}\left({\frac {\varepsilon _{i}-1}{\varepsilon _{i}+2}}\right)$$

जहाँ $\varepsilon _{\mathrm {eff} }$ माध्यम का प्रभावी ढांकता हुआ स्थिरांक है, $\varepsilon _{i}$ समावेशन; $\delta _{i}$ समावेशन का आयतन अंश है। चूंकि मैक्सवेल गार्नेट का मॉडल मैट्रिक्स माध्यम की संरचना है जिसमें समावेशन के साथ हम समीकरण को बढ़ाते हैं:

$$\left({\frac {\varepsilon _{\mathrm {eff} }-\varepsilon _{m}}{\varepsilon _{\mathrm {eff} }+2\varepsilon _{m}}}\right)=\delta _{i}\left({\frac {\varepsilon _{i}-\varepsilon _{m}}{\varepsilon _{i}+2\varepsilon _{m}}}\right)$$

(8)

वैधता

सामान्य शब्दों में, मैक्सवेल गारनेट ईएमए कम मात्रा के अंशों पर मान्य होने की अपेक्षा है $\delta _{i}$, चूंकि यह माना जाता है कि डोमेन स्थानिक रूप से भिन्न हैं और चुने हुए समावेशन और अन्य सभी निकटतम समावेशन के बीच इलेक्ट्रोस्टैटिक इंटरैक्शन की उपेक्षा की जाती है। मैक्सवेल गार्नेट सूत्र, ब्रुगमैन सूत्र के विपरीत, जब समावेशन गुंजयमान हो जाता है तो सही होना बंद हो जाता है। प्लास्मोन प्रतिध्वनि के स्थिति में, मैक्सवेल गार्नेट सूत्र मात्र समावेशन के आयतन अंश पर ही सही है $\delta _{i}<10^{-5}$ इस प्रकार ढांकता हुआ बहुपरतों के लिए प्रभावी माध्यम सन्निकटन की प्रयोज्यता और धातु-ढांकता हुआ बहुपरत अध्ययन किया गया है, यह दर्शाता है कि कुछ ऐसे स्थिति हैं जहां प्रभावी माध्यम सन्निकटन धारण नहीं करता है और सिद्धांत के अनुप्रयोग में सतर्क रहने की आवश्यकता है।

बनावट प्रभाव का वर्णन करने वाला सूत्र

बनावट प्रभाव का वर्णन करने वाला नवीनतम सूत्र प्रस्तावित किया गया था। इस सूत्र का रूप यह है।

$$\varepsilon _{\text{eff}}={\frac {1}{4}}\left(H_{\varepsilon }+i{\sqrt {-H_{\varepsilon }^{2}-8\varepsilon _{m}\varepsilon _{d}J(k_{m}a)}}\right),$$

$$H_{\varepsilon }=(2-3c_{m})\varepsilon _{d}-(1-3c_{m})\varepsilon _{m}J(k_{m}a),$$

(5)

$$J(x)=2{\frac {1-x\cot(x)}{x^{2}+x\cot(x)-1}},$$

जहाँ a नैनोकणों त्रिज्या है और $k_{m}={\sqrt {\varepsilon _{m}\mu _{m}}}\omega /c$ तरंग संख्या है। यहाँ यह माना जाता है कि विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की समय निर्भरता $\mathrm {exp} (-i\omega t)$ कारक द्वारा दी गई है, इस पत्र में ब्रुगमैन के दृष्टिकोण का उपयोग किया गया था, लेकिन चुने गए कण के अंदर विद्युत-द्विध्रुवीय दोलन मोड के लिए विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की गणना क्वासिस्टैटिक सन्निकटन लागू किए बिना की गई थी अर्ध-स्थैतिक सन्निकटन इस प्रकार फंक्शन $J(k_{m}a)$ चुने गए कण के अंदर क्षेत्र की गैर-समानता के कारण है। अर्ध-स्थैतिक क्षेत्र में ($k_{m}a\ll 1$, अर्थात। $a\leq \mathrm {10\,nm}$ एजी के लिए$)$ यह कार्य स्थिर हो जाता है $J(k_{m}a)=1$ और सूत्र (5) ब्रुगमैन के सूत्र के समान हो जाता है।

प्रभावी पारगम्यता सूत्र

मिश्रण की प्रभावी पारगम्यता के सूत्र का रूप है

$$\mu _{\text{eff}}={\frac {1}{4}}\left(H_{\mu }+i{\sqrt {-H_{\mu }^{2}-8\mu _{m}\mu _{d}J(k_{m}a)}}\right),$$

(6)

$$H_{\mu }=(2-3c_{m})\mu _{d}-(1-3c_{m})\mu _{m}J(k_{m}a).$$

यहाँ $\mu _{\text{eff}}$ मिश्रण की प्रभावी पारगम्यता (विद्युत चुंबकत्व) है, $\mu _{d}$ सापेक्ष पारगम्यता के छोटे गोलाकार समावेशन वाले पृष्ठभूमि माध्यम की सापेक्ष जटिल पारगम्यता है $\mu _{m}$ मात्रा अंश के साथ $c_{m}\ll 1$, यह सूत्र द्विध्रुवीय सन्निकटन में प्राप्त किया गया था। चुंबकीय ऑक्टोपोल मोड और विषम क्रम के अन्य सभी चुंबकीय दोलन मोडों को यहां उपेक्षित किया गया था। जब $\mu _{m}=\mu _{d}$ और $k_{m}a\ll 1$ इस सूत्र का सरल रूप है।

$$\mu _{\text{eff}}=\mu _{d}\left(1+{\frac {c_{m}}{10}}{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}a^{2}\varepsilon _{m}\right).$$

(7)

प्रतिरोधी नेटवर्क के लिए प्रभावी माध्यम सिद्धांत

यादृच्छिक प्रतिरोधों के उच्च घनत्व वाले नेटवर्क के लिए, प्रत्येक भिन्न-भिन्न तत्व के लिए उपयुक्त समाधान अव्यावहारिक या असंभव हो सकता है। ऐसी स्थिति में, यादृच्छिक प्रतिरोधक नेटवर्क को द्वि-आयामी ग्राफ (असतत गणित) के रूप में माना जा सकता है और प्रभावी प्रतिरोध को नेटवर्क के ग्राफ माध्यमों और ज्यामितीय गुणों के संदर्भ में तैयार किया जा सकता है। यह मानते हुए कि किनारे की लंबाई इलेक्ट्रोड रिक्ति और किनारों को समान रूप से वितरित करने की तुलना में बहुत कम है, क्षमता को इलेक्ट्रोड से दूसरे में समान रूप से गिराने पर विचार किया जा सकता है। इस प्रकार के एक यादृच्छिक नेटवर्क ($R_{sn}$) का शीट प्रतिरोध किनारे (तार) घनत्व ($N_{E}$), प्रतिरोधकता ($\rho$), चौड़ाई ($w$) और मोटाई ($t$) के संदर्भ में लिखा जा सकता है। किनारों (तारों) के रूप में:

$$R_{sn}\,=\,{\frac {\pi }{2}}{\frac {\rho }{w\,t\,{\sqrt {N_{E}}}}}$$

(9)

यह भी देखें

• संवैधानिक समीकरण
• परकोलेशन दहलीज

अग्रिम पठन

• Lakhtakia, A., ed. (1996). Selected Papers on Linear Optical Composite Materials [Milestone Vol. 120]. Bellingham, WA, USA: SPIE Press. ISBN 978-0-8194-2152-4.
• Tuck, Choy (1999). Effective Medium Theory (1st ed.). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-851892-1.
• Lakhtakia (Ed.), A. (2000). Electromagnetic Fields in Unconventional Materials and Structures. New York: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-36356-9.
• Weiglhofer (Ed.); Lakhtakia (Ed.), A. (2003). Introduction to Complex Mediums for Optics and Electromagnetics. Bellingham, WA, USA: SPIE Press. ISBN 978-0-8194-4947-4.
• Mackay, T. G.; Lakhtakia, A. (2010). Electromagnetic Anisotropy and Bianisotropy: A Field Guide (1st ed.). Singapore: World Scientific. ISBN 978-981-4289-61-0.