मॉस्कोवैसिस कोडिंग लेम्मा

मॉस्कोवैसिस कोडिंग लेम्मा वर्णनात्मक समुच्चय सिद्धांत से एक लेम्मा (गणित) है जिसमें नियतत्व के स्वयंसिद्ध के अंतर्गत वास्तविक संख्याओं के समुच्चय सम्मलित होते हैं (सिद्धांत - विकल्प के साथ असंगत - कि प्रत्येक दो-वादक पूर्णांक खेल निर्धारित होते है)। लेम्मा को विकसित किया गया था और इसका नाम गणितज्ञ यियानिस एन मोस्कोवाकिस के नाम पर रखा गया था।

लेम्मा को सामान्यतः निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है:

मान लीजिए Γ एक गैर-स्व-दोहरी बिंदु वर्ग है जो वास्तविक परिमाणीकरण के अंतर्गत बंद है और ∧, और ≺ a Γ-अच्छी तरह से स्थापित संबंध ω^ω की श्रेणी θ ∈ ON पर है। अनुमान R ⊆ dom(≺) × ω^ω ऐसा हो कि (∀x∈dom(≺))(∃y)(x R y) है। फिर एक Γ-समुच्चय A ⊆ dom(≺) × ω^ω है जो R के लिए एक विकल्प समुच्चय है, वह है:

1. (∀α<θ)(∃x∈dom(≺),y)(|x|_≺=α ∧ x A y).
2. (∀x,y)(x A y → x R y).

एक प्रमाण निम्नानुसार चलता है: मान लीजिए कि विरोधाभास के लिए θ एक न्यूनतम गणक उदाहरण है, और (ω^ω)² के Γ-उपसमुच्चयों के लिए ≺, R, और एक उपयुक्त सार्वभौमिक समुच्चय U ⊆ (ω^ω)³ निर्धारित है।आसानी से, θ एक सीमा क्रमसूचक होना चाहिए। δ < θ के लिए, हम कहते हैं कि u ∈ ω^ω कोड एक δ-विकल्प समुच्चय प्रदान करता है, बशर्ते गुण (1) α ≤ δ के लिए A = U u का उपयोग करता है और गुण (2) A = U u धारण करता है जहां हम x ∈ dom(≺) को x ∈ dom(≺) ∧ |x| ≺ [≤δ] से प्रतिस्थापित करते हैं। θ की न्यूनतमता से, सभी δ < θ के लिए, δ -विकल्प समुच्चय हैं।

अब, एक खेल खेलें जहाँ खिलाड़ी I, II अंक u,v ∈ ω^ω चयन करते है और II तब विजय होता है जब u कुछ δ₁ < θ के लिए एक δ₁-विकल्प समुच्चय को कोडिंग करता है, तो v कोड कुछ δ₂ > δ₁ के लिए δ₂-विकल्प समुच्चय को दर्शाता है। I के लिए एक विजय की रणनीति स्वेच्छतः बड़े δ < θ के लिए वास्तविक संकेतन δ-विकल्प समुच्चय के Σ¹
₁ समुच्चय B को परिभाषित करता है। तब परिभाषित करें

x A y ↔ (∃w∈B)U(w,x,y),

जो आसानी से काम करता है। दूसरी ओर, मान लीजिए II के लिए τ विजय की रणनीति है। s-m-n प्रमेय से, मान लीजिए s:(ω^ω)² → ω^ω निरंतर ऐसा हो कि सभी ϵ, x, t, और w के लिए,

U(s(ϵ,x),t,w) ↔ (∃y,z)(y ≺ x ∧ U(ϵ,y,z) ∧ U(z,t,w)).

पुनरावर्तन प्रमेय के अनुसार, ϵ₀ का अस्तित्व है जैसे U(ϵ₀,x,z) ↔ z = τ(s(ϵ₀,x)) हैं। x ∈ dom(≺) के लिए |x|_≺ पर एक सीधा प्रेरण दर्शाता है कि

(∀x∈dom(≺))(∃!z)U(ϵ₀,x,z),

और

(∀x∈dom(≺),z)(U(ϵ₀,x,z) → z encodes a choice set of ordinal ≥|x|_≺).

तो अनुमान

x A y ↔ (∃z∈dom(≺),w)(U(ϵ₀,z,w) ∧ U(w,x,y))