सीरपिंस्की कालीन

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सीरपिंस्की कालीन के 6 चरण।

सीरपिन्स्की कालीन एक समतल फ्रैक्टल है जिसे पहली बार 1916 में वाक्लाव सीरपिन्स्की द्वारा वर्णित किया गया था। कालीन कैंटर का एक सामान्यीकरण है जो दो आयामों पर समुच्चय है; दूसरा कैंटर डस्ट है।

किसी आकृति को स्वयं की छोटी प्रतियों में उप-विभाजित करने, एक या अधिक प्रतियाँ निकालने और पुनरावर्ती रूप से जारी रखने की तकनीक को अन्य आकृतियों में विस्तारित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक समबाहु त्रिभुज को चार समबाहु त्रिभुजों में उप-विभाजित करना, मध्य त्रिभुज को हटाना और पुनरावर्ती सिएरपिन्स्की त्रिभुज की ओर ले जाता है। तीन आयामों में, घन पर आधारित एक समान निर्माण मेन्जर स्पंज के रूप में जाना जाता है।

निर्माण

सिएरपिन्स्की कालीन का निर्माण एक वर्ग से प्रारंभ होता है। वर्ग को 3-बाई-3 ग्रिड में 9 सर्वांगसम उपवर्गों में विभाजित किया जाता है, और केंद्रीय उपवर्ग को हटा दिया जाता है। उसी प्रक्रिया को फिर शेष 8 उपवर्गों अनंत तक के लिए पुनरावर्ती रूप से प्रयुक्त किया जाता है, इसे इकाई वर्ग में बिंदुओं के समुच्चय के रूप में अनुभव किया जा सकता है, जिनके आधार तीन में लिखे गए निर्देशांक दोनों में समान स्थिति में अंक '1' नहीं है, और $0.1111\dots =0.2$ के अपरिमेय संख्या प्रतिनिधित्व का उपयोग करता है।.

पुनरावर्ती वर्गों को हटाने की प्रक्रिया परिमित उपखंड नियम का एक उदाहरण है।

गुण

पियानो वक्र का परिवर्त रूप, जिसमें बीच की रेखा हट गई है, सीरपिन्स्की कालीन बनाता है

कालीन का क्षेत्रफल (मानक लेबेस्ग्यू माप में) शून्य है।

प्रमाण: पुनरावृति i के क्षेत्र को ai के रूप में निरूपित करें। तब a_{i + 1} = 8/9a_i. इसलिए a_i = (8/9)ⁱ, जो 0 की ओर झुकता है क्योंकि i अनंत तक जाता है।

कालीन का आंतरिक भाग (टोपोलॉजी) रिक्त होता है।

प्रमाण: विरोधाभास द्वारा मान लीजिए कि कालीन के आंतरिक भाग में एक बिंदु P है। फिर P पर केन्द्रित एक वर्ग है जो पूरी तरह से कालीन में निहित है। इस वर्ग में एक छोटा वर्ग है जिसके निर्देशांक कुछ k के लिए 1/3^k के गुणक हैं। लेकिन, यदि इस वर्ग को पहले नहीं हटाया गया है, तो इसे पुनरावृत्ति k + 1 में छिपाया जाना चाहिए, इसलिए इसे कालीन में एक विरोधाभास नहीं माना जा सकता है।

कालीन का हॉसडॉर्फ आयाम है ${\frac {\log 8}{\log 3}}\approx 1.8928$ होता है।

सिएरपिन्स्की ने प्रदर्शित किया कि उनका कालीन एक सार्वभौमिक समतल वक्र है। अर्थात्: सीरपिंस्की कालीन लेबेस्ग आच्छादन आयाम 1 के साथ तल का एक सुसंहत उपसमुच्चय है, और इन गुणों के साथ तल का प्रत्येक उपसमुच्चय सिएरपिन्स्की कालीन के कुछ उपसमुच्चय के लिए होमियोमॉर्फिक (समरूपी) होता है।

सिएरपिन्स्की कालीन की यह सार्वभौमिकता श्रेणी सिद्धांत के अर्थ में एक वास्तविक सार्वभौमिक गुण नहीं है: यह विशिष्ट रूप से इस समष्टि को होमोमोर्फिज्म तक नहीं दर्शाती है। उदाहरण के लिए, सिएरपिन्स्की कालीन और एक वृत्त का असंयुक्त मिलन भी एक सार्वभौमिक समतल वक्र है। हालाँकि, 1958 में गॉर्डन व्हाईबर्न विशिष्ट रूप से सिएरपिन्स्की कालीन की विशेषता इस प्रकार है: कोई भी वक्र जो स्थानीय रूप से जुड़ा हुआ है और जिसमें कोई 'स्थानीय परिच्छेद बिन्दु' नहीं है, सिएरपिन्स्की कालीन के लिए समरूपी है। यहाँ एक स्थानीय परिच्छेद बिन्दु एक बिंदु p है, जिसके लिए कुछ जुड़ा हुआ प्रतिवेश U का p के पास वह गुण है कि U − {p} जुड़ा नहीं है। इसलिए, उदाहरण के लिए, वृत्त का कोई भी बिंदु एक स्थानीय परिच्छेद बिन्दु है।

उसी पत्र में व्हाईबर्न ने सीरपिन्स्की कालीन का एक और लक्षण वर्णन किया। याद रखें कि सातत्य (टोपोलॉजी) एक गैर-रिक्त जुड़ा हुआ सुसंहत दूरीक समष्टि है। मान लीजिए कि X समतल में सन्निहित एक सातत्य है। मान लीजिए कि तल में इसके पूरक में कई जुड़े हुए घटक C₁, C₂, C₃, ... हैं और मान लीजिए:

• i → ∞ के रूप में Ci का व्यास शून्य हो जाता है;
• यदि i ≠ j के रूप मे C_i और C_j की सीमा असंबद्ध हैं
• Ci की सीमा प्रत्येक i के लिए एक साधारण संवृत वक्र है;
• समुच्चय की सीमाओं का संघ X में सघन है।

तब X सिएरपिन्स्की कालीन के लिए समरूप है।

सिएरपिन्स्की कालीन पर ब्राउनियन गति

सिएरपिन्स्की कालीन पर ब्राउनियन गति के विषय ने हाल के वर्षों में रुचि को आकर्षित किया है। मार्टिन बारलो और रिचर्ड बास ने दिखाया है कि सीरपिन्स्की कालीन पर एक यादृच्छिक संक्रियक तल में एक अप्रतिबंधित यादृच्छिक गति की तुलना में मंद गति से विस्तारित होती है। उत्तरार्द्ध n चरणों के बाद √n के आनुपातिक औसत दूरी तक पहुंचता है, लेकिन असतत सिएरपिन्स्की कालीन पर यादृच्छिक गति कुछ β> 2 के लिए β√n के आनुपातिक औसत दूरी तक पहुंचता है। उन्होंने यह भी दिखाया कि यह यादृच्छिक गति प्रबल बड़े विचलन को संतुष्ट करता है असमानताएँ (तथाकथित "उप-गाऊसी असमानताएँ") और यह कि यह परवलयिक को संतुष्ट किए बिना दीर्घवृत्ताकार हार्नैक असमानता को संतुष्ट करता है। ऐसे उदाहरण का अस्तित्व कई वर्षों से एक विवृत समस्या थी।

वालिस सीव

वालिस सीव की तीसरी पुनरावृत्ति

सिएरपिन्स्की कालीन की एक भिन्नता, जिसे वालिस सीव कहा जाता है, उसी तरह, इकाई वर्ग को नौ छोटे वर्गों में उप-विभाजित करके और उनके मध्य को हटाकर प्रारंभ होती है। उपखंड के अगले स्तर पर, यह प्रत्येक वर्ग को 25 छोटे वर्गों में उपविभाजित करता है और बीच वाले को हटा देता है, और यह जारी रहता है जिसे iवाँ चरण प्रत्येक वर्ग को उप-विभाजित करके (2i + 1)² (विषम वर्ग संख्या) छोटे वर्ग और बीच वाले को हटा दें। वालिस गुणनफल द्वारा, परिणामी समुच्चय का क्षेत्रफल π/4 है, मानक सिएरपिन्स्की कालीन के विपरीत जिसमें शून्य सीमित क्षेत्र है। हालांकि वालिस सीव में धनात्मक लेबेस्गु माप है, कोई भी उपसमुच्चय जो वास्तविक संख्याओं के दो समुच्चयों का कार्तीय गुणन नहीं है, जिसमे यह गुण है, इसलिए इसका जॉर्डन माप शून्य है।

अनुप्रयोग

सिएरपिन्स्की कालीन के कुछ पुनरावृत्तियों के रूप में मोबाइल फोन और वाई-फाई फ्रैक्टल एंटीना का उत्पादन किया गया है। अपनी स्व-समानता और पैमाने पर व्युत्क्रम के कारण, वे आसानी से कई आवृत्तियों को समायोजित करते हैं। वे समान प्रदर्शन के पारंपरिक एंटेना की तुलना में निर्माण करना और छोटा करना भी आसान है, इस प्रकार पॉकेट-आकार वाले मोबाइल फोन के लिए इष्टतम है।

यह भी देखें

• हॉसडॉर्फ आयाम द्वारा फ्रैक्टल की सूची
• मेन्जर स्पंज

बाहरी संबंध

• Variations on the Theme of Tremas II
• Sierpiński Cookies
• Sierpinski Carpet Project
• Sierpinski Carpet solved by means of modular arithmetics