डिराक माप

3-बिंदु समुच्चय के सभी संभावित उपसमुच्चयों को प्रदर्शित करने वाला आरेख {x,y,z}. डिराक माप δ_x आरेख के ऊपरी-बाएँ आधे भाग में सभी समुच्चयों के लिए 1 और निचले-दाएँ आधे भाग में सभी समुच्चयों के लिए 0 का आकार निर्दिष्ट करता है।

गणित में, डायराक माप केवल एक समुच्चय के आधार पर आकार निर्दिष्ट करता है कि इसमें एक निश्चित तत्व x उपस्थित है या नहीं। यह डिराक डेल्टा फलन, भौतिकी और अन्य तकनीकी क्षेत्रों में महत्वपूर्ण उपकरण के विचार को औपचारिक रूप प्रदान करने का एक उपाय है।

परिभाषा

डायराक माप एक समुच्चय X पर माप δ_x (किसी भी σ-बीजगणित के साथ उपसमुच्चय X का) दिए गए x ∈ X के लिए और कोई भी (मापने योग्य समुच्चय) समुच्चय A ⊆ X के द्वारा परिभाषित करता है।

$\delta _{x}(A)=1_{A}(x)={\begin{cases}0,&x\not \in A;\\1,&x\in A.\end{cases}}$

जहाँ 1_A, A का सूचक फलन है।

डायराक माप एक संभाव्यता माप है और संभाव्यता के संदर्भ में यह लगभग सुनिश्चित परिणाम का प्रतिनिधित्व करता है x नमूना स्थान में X. हम यह भी कह सकते हैं कि माप एक एकल परमाणु (माप सिद्धांत) है x; हालाँकि, डायराक माप को एक परमाणु माप के रूप में मानना ​​​​सही नहीं है जब हम डायराक डेल्टा की अनुक्रमिक परिभाषा पर विचार करते हैं, डेल्टा अनुक्रम की सीमा के रूप में. डायराक उपाय संभाव्यता उपायों के उत्तल समुच्चय के चरम बिंदु हैं X.

नाम Dirac डेल्टा फलन से बैक-फॉर्मेशन है; एक वितरण (गणित) के रूप में माना जाता है, उदाहरण के लिए वास्तविक रेखा पर, विशेष प्रकार के वितरण के लिए उपाय किए जा सकते हैं। पहचान

$\int _{X}f(y)\,\mathrm {d} \delta _{x}(y)=f(x),$

जो, रूप में

$\int _{X}f(y)\delta _{x}(y)\,\mathrm {d} y=f(x),$

डेल्टा फलन की परिभाषा का हिस्सा बनने के लिए अक्सर लिया जाता है, लेबेसेग एकीकरण के प्रमेय के रूप में होता है।

डायराक माप के गुण

होने देना δ_x किसी निश्चित बिंदु पर केंद्रित डायराक माप को निरूपित करता है x कुछ औसत दर्जे की जगह में (X, Σ).

• δ_x एक प्रायिकता माप है, और इसलिए एक परिमित माप है।

लगता है कि (X, T) एक टोपोलॉजिकल स्पेस है और वह Σ कम से कम उतना ही ठीक है जितना कि बोरेल सिग्मा बीजगणित | बोरेल σ-बीजगणित σ(T) पर X.

• δ_x अगर और केवल अगर टोपोलॉजी एक सख्त सकारात्मक उपाय है T इस प्रकार कि x प्रत्येक गैर-खाली खुले समुच्चय में निहित है, उदा। तुच्छ टोपोलॉजी के मामले में {∅, X}.
• तब से δ_x संभाव्यता माप है, यह स्थानीय परिमित माप भी है।
• अगर X अपने बोरेल के साथ एक हॉसडॉर्फ स्पेस टोपोलॉजिकल स्पेस है σ-बीजगणित, तब δ_x एक आंतरिक नियमित माप होने की स्थिति को संतुष्ट करता है, क्योंकि सिंगलटन (गणित) जैसे समुच्चय करता है {x} हमेशा कॉम्पैक्ट जगह होते हैं। इस तरह, δ_x भी एक रेडॉन माप है।
• यह मानते हुए कि टोपोलॉजी T इतना ही काफी है {x} बंद है, जो अधिकांश अनुप्रयोगों में मामला है, का समर्थन (माप सिद्धांत)। δ_x है {x}. (अन्यथा, supp(δ_x) का समापन है {x} में (X, T)।) आगे, δ_x एकमात्र प्रायिकता माप है जिसका समर्थन है {x}.
• अगर X है n-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष Rⁿ अपने सामान्य के साथ σ-बीजगणित और n-आयामी लेबेस्ग उपाय λⁿ, तब δ_x के संबंध में एक विलक्षण उपाय है λⁿ: बस विघटित करें Rⁿ जैसा A = Rⁿ \ {x} और B = {x} और उसका निरीक्षण करें δ_x(A) = λⁿ(B) = 0.
• डायराक माप एक σ-परिमित माप | सिग्मा-परिमित माप है।

सामान्यीकरण

एक असतत माप डायराक माप के समान है, सिवाय इसके कि यह एक बिंदु के बजाय कई बिंदुओं पर केंद्रित है। अधिक औपचारिक रूप से, वास्तविक रेखा पर एक माप (गणित) को असतत माप कहा जाता है (लेबेसेग माप के संबंध में) यदि इसका समर्थन (माप सिद्धांत) अधिक से अधिक एक गणनीय समुच्चय है।

यह भी देखें

• असतत उपाय
• डिराक डेल्टा फलन

संदर्भ

• Dieudonné, Jean (1976). "Examples of measures". Treatise on analysis, Part 2. Academic Press. p. 100. ISBN 0-12-215502-5.
• Benedetto, John (1997). "§2.1.3 Definition, δ[[Category: Templates Vigyan Ready]]". Harmonic analysis and applications. CRC Press. p. 72. ISBN 0-8493-7879-6. {{cite book}}: URL–wikilink conflict (help)