बहुलता सिद्धांत

अमूर्त बीजगणित में, बहुलता सिद्धांत एक आदर्श (वलय सिद्धांत) I (प्रायः अधिकतम आदर्श)

$\mathbf {e} _{I}(M)$ पर एक मॉड्यूल M की बहुलता से संबंधित है।

एक मॉड्यूल की बहुलता की धारणा अनुमानित विविधता की घात का सामान्यीकरण है। सेरे के प्रतिच्छेदन सूत्र द्वारा, यह प्रतिच्छेदन सिद्धांत में प्रतिच्छेदन बहुलता से जुड़ा हुआ है।

सिद्धांत का मुख्य ध्यान एक बीजगणितीय विविधता के विलक्षण बिंदु का पता लगाना और मापना है (cf. विलक्षणताओं का विभेदन)। इस स्वरूप के कारण, मूल्यांकन सिद्धांत, रीस बीजगणित और समाकल संवरक बहुलता सिद्धांत से घनिष्ठ रूप से जुड़े हुए हैं।

एक मॉड्यूल की बहुलता

R को धनात्मक रूप से वर्गीकृत वलय होने दें, जैसे कि R को R₀ बीजगणित के रूप में अंतिम रूप से उत्पन्न किया जाता है और R₀ आर्टिनियन वलय है। ध्यान दें कि R का परिमित क्रुल विमा d है। M को अंतिम रूप से उत्पन्न R-मॉड्यूल और F_M(T) इसकी हिल्बर्ट-पॉइनकेयर श्रृंखला बनें। यह श्रृंखला

${\frac {P(t)}{(1-t)^{d}}}$

के रूप का एक परिमेय फलन है जहाँ $P(t)$ एक बहुपद है। परिभाषा के अनुसार, M की बहुलता

$\mathbf {e} (M)=P(1)$ है।

श्रृंखला

$F(t)=\sum _{1}^{d}{a_{d-i} \over (1-t)^{d}}+r(t)$ को फिर से लिखा जा सकता है।

जहाँ r(t) एक बहुपद है। ध्यान दें कि $a_{d-i}$ द्विपद गुणांकों में विस्तारित M के हिल्बर्ट बहुपद के गुणांक हैं। हमारे निकट

$\mathbf {e} (M)=a_{0}$ है।

जैसा कि हिल्बर्ट-पोंकारे श्रृंखला सटीक अनुक्रमों पर योज्य है, बहुलता समान विमा के मॉड्यूल के यथार्थ अनुक्रमों पर योज्य है।

निम्नलिखित प्रमेय, क्रिस्टर लेच के कारण, बहुलता के लिए प्राथमिक सीमा देते है।

Lech — Suppose R is local with maximal ideal ${\mathfrak {m}}$. If an I is ${\mathfrak {m}}$-primary ideal, then

$e(I)\leq d!\deg(R)\lambda (R/{\overline {I}}).$

यह भी देखें

• विमा सिद्धांत (बीजगणित)
• जे-बहुलता
• हिल्बर्ट-सैमुअल बहुलता
• हिल्बर्ट-कुंज फलन
• सामान्यतः समतल वलय