मोनोड्रोमी

जटिल लघुगणक का काल्पनिक भाग। C \ {0} पर जटिल लघुगणक को परिभाषित करने का प्रयास अलग-अलग रास्तों पर अलग-अलग उत्तर देता है। यह एक अनंत चक्रीय मोनोड्रोमी समूह की ओर जाता है और एक घुमावदार (रीमैन सतह का एक उदाहरण) द्वारा C \ {0} का आवरण होता है।

गणित में, मोनोड्रोमी इस बात का अध्ययन करता है कि कैसे गणितीय विश्लेषण, बीजगणितीय टोपोलॉजी, बीजगणितीय ज्यामिति और विभेदक ज्यामिति से वस्तुएं कैसे व्यवहार करती हैं, क्योंकि वे एक गणितीय विलक्षणता "राउंड रन" करते हैं। जैसा कि नाम से ही स्पष्ट है, मोनोड्रोमी का मूल अर्थ "रनिंग राउंड सिंगलली" से आता है। यह नक्शों को ढंकने और रामीकरण (गणित) में उनके अध: पतन से निकटता से जुड़ा हुआ है; मोनोड्रोमी घटना को जन्म देने वाला पहलू यह है कि कुछ कार्य (गणित) जिन्हें हम परिभाषित करना चाहते हैं, वे 'एकल-मूल्यवान' होने में विफल हो सकते हैं क्योंकि हम एक विलक्षणता को घेरने वाले मार्ग पर चलते हैं। मोनोड्रोमी की विफलता को एक मोनोड्रोमी समूह को परिभाषित करके मापा जा सकता है: डेटा पर कार्य करने वाले परिवर्तनों का एक समूह (गणित) जो एन्कोड करता है कि क्या होता है जब हम एक आयाम में घूमते हैं। मोनोड्रोमी की कमी को कभी-कभी 'पॉलीड्रोमी' कहा जाता है।

परिभाषा

होने देना X बेस पॉइंट के साथ कनेक्टेड और स्थानीय रूप से कनेक्टेड आधारित टोपोलॉजिकल स्पेस हो x, और जाने $p:{\tilde {X}}\to X$ फाइबर के साथ एक कवरिंग मैप बनें (गणित) $F=p^{-1}(x)$. एक पाश के लिए γ: [0, 1] → X पर आधारित x, एक बिंदु पर शुरू होने वाले कवरिंग मैप के तहत एक होमोटॉपी उठाने की संपत्ति को निरूपित करें ${\tilde {x}}\in F$, द्वारा ${\tilde {\gamma }}$. अंत में, हम द्वारा निरूपित करते हैं ${\tilde {x}}\cdot {\tilde {\gamma }}$ समापन बिंदु ${\tilde {\gamma }}(1)$, जो आम तौर से अलग होता है ${\tilde {x}}$. ऐसे प्रमेय हैं जो बताते हैं कि यह निर्माण मौलिक समूह की एक अच्छी तरह से परिभाषित समूह क्रिया (गणित) देता है π₁(X, x) पर F, और वह स्टेबलाइज़र (समूह सिद्धांत)। ${\tilde {x}}$ बिल्कुल सही है $p_{*}\left(\pi _{1}\left({\tilde {X}},{\tilde {x}}\right)\right)$, अर्थात् एक तत्व [γ] में एक बिंदु तय करता है F अगर और केवल अगर यह एक लूप की छवि द्वारा दर्शाया गया है ${\tilde {X}}$ पर आधारित ${\tilde {x}}$. इस क्रिया को मोनोड्रोमी क्रिया और संबंधित समूह समरूपता कहा जाता है π₁(X, x) → Aut(H_*(F_x)) ऑटोमोर्फिज़्म समूह में F बीजगणितीय मोनोड्रोमी है। इस समरूपता की छवि मोनोड्रोमी समूह है। एक और नक्शा है π₁(X, x) → Diff(F_x)/Is(F_x) जिसकी छवि को टोपोलॉजिकल मोनोड्रोमी ग्रुप कहा जाता है।

उदाहरण

इन विचारों को सबसे पहले जटिल विश्लेषण में स्पष्ट किया गया था। विश्लेषणात्मक निरंतरता की प्रक्रिया में, एक कार्य जो एक विश्लेषणात्मक कार्य है F(z) कुछ खुले उपसमुच्चय में {{mvar|E}पंचर जटिल विमान की } ℂ \ {0} में वापस जारी रखा जा सकता है E, किन्तु विभिन्न मूल्यों के साथ। उदाहरण के लिए, ले लो

${\begin{aligned}F(z)&=\log(z)\\E&=\{z\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Re} (z)>0\}\end{aligned}}$

फिर विश्लेषणात्मक निरंतरता सर्कल के चारों ओर एंटी-क्लॉकवाइज

$|z|=1$

वापसी में परिणाम होगा, करने के लिए नहीं F(z) किन्तु

$F(z)+2\pi i$

इस मामले में मोनोड्रोमी समूह अनंत चक्रीय है और आवरण स्थान पंचर जटिल विमान का सार्वभौमिक आवरण है। इस आवरण को हेलिकॉइड के रूप में देखा जा सकता है (जैसा कि हेलिकॉइड लेख में परिभाषित किया गया है) प्रतिबंधित है ρ > 0. कवरिंग मैप एक वर्टिकल प्रोजेक्शन है, एक तरह से पंचर प्लेन पाने के लिए स्पष्ट तरीके से सर्पिल को ढहाना।

जटिल डोमेन में विभेदक समीकरण

एक महत्वपूर्ण अनुप्रयोग अंतर समीकरणों के लिए है, जहां एक एकल समाधान विश्लेषणात्मक निरंतरता द्वारा आगे रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान दे सकता है। कॉम्प्लेक्स प्लेन में एक खुले, कनेक्टेड सेट S में परिभाषित रेखीय अंतर समीकरणों में एक मोनोड्रोमी समूह होता है, जो (अधिक सटीक रूप से) S के मौलिक समूह का एक रैखिक प्रतिनिधित्व है, जो S के भीतर सभी विश्लेषणात्मक निरंतरताओं को गोल छोरों का सारांश देता है। व्युत्क्रम समस्या, समीकरण (नियमित विलक्षणता के साथ) के निर्माण के लिए, एक प्रतिनिधित्व दिया जाता है, जिसे रीमैन-हिल्बर्ट समस्या कहा जाता है।

एक नियमित (और विशेष रूप से फुचियन) रैखिक प्रणाली के लिए सामान्यतः मोनोड्रोमी समूह के जनरेटर के रूप में ऑपरेटरों एम को चुनता है_jलूप के अनुरूप जिनमें से प्रत्येक सिस्टम के ध्रुवों में से केवल एक ध्रुव को वामावर्त घुमाता है। यदि सूचकांक j को इस तरह से चुना जाता है कि वे 1 से बढ़कर p + 1 हो जाते हैं जब कोई आधार बिंदु को दक्षिणावर्त घुमाता है, तो जनरेटर के बीच एकमात्र संबंध समानता है $M_{1}\cdots M_{p+1}=\operatorname {id}$. Deligne-Simpson समस्या निम्नलिखित प्राप्ति समस्या है: GL(n, 'C') में संयुग्मन वर्गों के किन टुपल्स के लिए मेट्रिसेस M के इरेड्यूसिबल टुपल्स मौजूद हैं_jउपरोक्त संबंध को संतुष्ट करने वाले इन वर्गों से? इस समस्या को पियरे डेलिग्ने द्वारा तैयार किया गया है और चार्ल्स सिम्पसन इसके समाधान की दिशा में परिणाम प्राप्त करने वाले पहले व्यक्ति थे। व्लादिमीर कोस्तोव द्वारा फ्यूचियन सिस्टम के अवशेषों के बारे में समस्या का एक योगात्मक संस्करण तैयार और खोजा गया है। समस्या को GL(n, 'C') के अलावा मैट्रिक्स समूहों के लिए अन्य लेखकों द्वारा भी माना गया है।

सामयिक और ज्यामितीय पहलू

एक कवरिंग मानचित्र के मामले में, हम इसे एक कंपन के एक विशेष मामले के रूप में देखते हैं, और होमोटोपी उठाने की संपत्ति का उपयोग बेस स्पेस एक्स पर पथों का पालन करने के लिए करते हैं (हम इसे सादगी के लिए पथ से जुड़े मानते हैं) क्योंकि वे ऊपर उठाए जाते हैं कवर सी। यदि हम एक्स में एक्स पर आधारित एक लूप का पालन करते हैं, जिसे हम एक्स के ऊपर सी पर शुरू करने के लिए उठाते हैं, तो हम एक्स के ऊपर कुछ सी * पर समाप्त हो जाएंगे; यह बहुत संभव है कि सी ≠ सी *, और इसे कोड करने के लिए मौलिक समूह की कार्रवाई पर विचार करें π₁(एक्स, एक्स) इस संदर्भ में एक 'मोनोड्रोमी समूह' के रूप में, सभी सी के सेट पर क्रमचय समूह के रूप में।

विभेदक ज्यामिति में, समानांतर परिवहन द्वारा एक समान भूमिका निभाई जाती है। एक चिकनी कई गुना एम पर एक प्रमुख बंडल बी में, एक कनेक्शन (गणित) एम में एम से ऊपर के तंतुओं से क्षैतिज गति की अनुमति देता है। एम पर आधारित लूपों पर लागू होने पर प्रभाव एम पर फाइबर के अनुवादों के 'holonomi ' समूह को परिभाषित करना है; यदि B का संरचना समूह G है, तो यह G का एक उपसमूह है जो उत्पाद बंडल M × G से B के विचलन को मापता है।

मोनोड्रोमी ग्रुपॉयड और फोलिएशन

आधार में एक पथ में इसे उठाने वाले कुल स्थान में पथ होते हैं। इन रास्तों के साथ धकेलने से मौलिक ग्रुपॉयड से मोनोड्रोमी क्रिया होती है।

मौलिक समूह के अनुरूप एक आधार बिंदु की पसंद से छुटकारा पाना और एक मोनोड्रोमी ग्रुपॉयड को परिभाषित करना संभव है। यहां हम एक कंपन के बेस स्पेस एक्स में रास्तों के लिफ्टों (होमोटॉपी क्लास) पर विचार करते हैं $p:{\tilde {X}}\to X$. परिणाम में बेस स्पेस X के ऊपर एक groupoid की संरचना है। इसका फायदा यह है कि हम X की कनेक्टिविटी की स्थिति को छोड़ सकते हैं।

इसके अलावा निर्माण को पर्णसमूह के लिए सामान्यीकृत भी किया जा सकता है: विचार करें $(M,{\mathcal {F}})$ ए (संभवतः एकवचन) एम का पत्ते। फिर प्रत्येक पथ के लिए एक पत्ते में ${\mathcal {F}}$ हम समापन बिंदुओं के माध्यम से स्थानीय अनुप्रस्थ वर्गों पर इसके प्रेरित भिन्नता पर विचार कर सकते हैं। एक साधारण रूप से जुड़े हुए चार्ट के भीतर, यह भिन्नता अद्वितीय और विशेष रूप से अलग-अलग अनुप्रस्थ वर्गों के बीच विहित हो जाती है यदि हम अंत बिंदुओं के चारों ओर भिन्नता के जर्म (गणित) पर जाते हैं। इस तरह यह एक साधारण रूप से जुड़े चार्ट के भीतर पथ (निश्चित समापन बिंदुओं के बीच) से भी स्वतंत्र हो जाता है और इसलिए समरूपता के तहत अपरिवर्तनीय है।

गाल्वा सिद्धांत के माध्यम से परिभाषा

F(x) क्षेत्र F पर चर x में परिमेय फलन के क्षेत्र को निरूपित करें, जो कि बहुपद वलय F[x] के अंशों का क्षेत्र है। F(x) का एक अवयव y = f(x) परिमित क्षेत्र विस्तार [F(x) : F(y)] निर्धारित करता है।

यह विस्तार सामान्यतः गैलोइस नहीं है, किन्तु गाल्वा बंद L(f) होता है। विस्तार [L(f) : F(y)] के संबंधित गैल्वा समूह को f का मोनोड्रोमी समूह कहा जाता है।

F = C रीमैन सतह सिद्धांत के स्थितियों प्रवेश करता है और ऊपर दी गई ज्यामितीय व्याख्या के लिए अनुमति देता है। इस स्थिति में कि विस्तार [C(x) : C(y)] पहले से ही गैलोज़, संबंधित मोनोड्रोमी समूह को कभी-कभी डेक परिवर्तनों का समूह कहा जाता है।

इसका संबंध रिक्त स्थान को समुपयोग, करने के गैल्वा सिद्धांत से है जो रीमैन अस्तित्व प्रमेय की ओर ले जाता है।

यह भी देखें

• चोटी समूह
• प्रमेय मोनोड्रोम
• मानचित्रण वर्ग समूह (पंचर डिस्क का)

संदर्भ

• V. I. Danilov (2001) [1994], "Monodromy", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• "Group-groupoids and monodromy groupoids", O. Mucuk, B. Kılıçarslan, T. ¸Sahan, N. Alemdar, Topology and its Applications 158 (2011) 2034–2042 doi:10.1016/j.topol.2011.06.048
• R. Brown Topology and Groupoids (2006).
• P.J. Higgins, "Categories and groupoids", van Nostrand (1971) TAC Reprint
• H. Żołądek, "The Monodromy Group", Birkhäuser Basel 2006; doi: 10.1007/3-7643-7536-1