सहानुभूतिपूर्ण इंटीग्रेटर

गणित में, सिम्पलेक्टिक इंटीग्रेटर (एसआई) हैमिल्टनियन प्रणालियों के लिए एक संख्यात्मक साधारण अवकल समीकरण है। सिम्पलेक्टिक इंटीग्रेटर्स ज्यामितीय इंटीग्रेटर्स के उपवर्ग का निर्माण करते हैं, जो परिभाषा के अनुसार, विहित परिवर्तन हैं। वे व्यापक रूप से गैर-रैखिक गतिशीलता, आणविक गतिशीलता, असतत तत्व विधियों, कण त्वरक, प्लाज्मा भौतिकी, क्वांटम भौतिकी और आकाशीय यांत्रिकी में उपयोग किए जाते हैं।

परिचय

सिम्पलेक्टिक इंटीग्रेटर्स हैमिल्टन के समीकरणों के संख्यात्मक समाधान के लिए डिज़ाइन किए गए हैं, जो पढ़ते हैं

${\dot {p}}=-{\frac {\partial H}{\partial q}}\quad {\mbox{and}}\quad {\dot {q}}={\frac {\partial H}{\partial p}},$

जहाँ $q$ स्थिति निर्देशांक को दर्शाता है, $p$ गति निर्देशांक, और $H$ हैमिल्टनियन है।

स्थिति और संवेग का सेट निर्देशांक $(q,p)$ विहित निर्देशांक कहलाते हैं। (अधिक पृष्ठभूमि के लिए हैमिल्टनियन यांत्रिकी देखें।)

हैमिल्टन के समीकरणों का समय विकास एक सिम्प्टोमोर्फिज़्म है, जिसका अर्थ है कि यह सिम्पलेक्टिक 2-प्रपत्र का संरक्षण करता है $dp\wedge dq$. एक संख्यात्मक योजना एक सिम्पलेक्टिक इंटीग्रेटर है यदि यह इस 2-फॉर्म को भी संरक्षित करती है।

सिम्पलेक्टिक इंटीग्रेटर्स के पास एक संरक्षित मात्रा के रूप में भी हो सकता है, एक हैमिल्टनियन जो मूल एक से थोड़ा परेशानी सिद्धांत है (केवल साधारण स्थितियों के एक छोटे वर्ग के लिए सत्य है)। इन लाभों के आधार पर, एसआई योजना व्यापक रूप से केपलर समस्या से लेकर आणविक गतिकी में मौलिक और अर्ध-मौलिक सिमुलेशन तक अराजक हैमिल्टनियन प्रणालियों के दीर्घकालिक विकास की गणना के लिए प्रयुक्त की गई है।

आदिम यूलर एकीकरण और क्लासिकल रनगे-कुट्टा योजना जैसी अधिकांश सामान्य संख्यात्मक विधियां, सिम्पलेक्टिक समाकलक नहीं हैं।

सिम्पलेक्टिक एल्गोरिदम बनाने की विधियाँ

वियोज्य हैमिल्टन के लिए विभाजन विधियाँ

बंटवारे की विधियों से सिम्पलेक्टिक इंटीग्रेटर्स का एक व्यापक रूप से उपयोग किया जाने वाला वर्ग बनता है।

मान लें कि हैमिल्टन वियोज्य है, जिसका अर्थ है कि इसे रूप में लिखा जा सकता है

$H(p,q)=T(p)+V(q).$

(1)

यह हैमिल्टनियन यांत्रिकी में अधिकांशतः होता है, जिसमें T गतिज ऊर्जा और V स्थितिज ऊर्जा है।

सांकेतिक सरलता के लिए, आइए हम प्रतीक $z=(q,p)$ का परिचय दें; विहित निर्देशांकों को निरूपित करने के लिए जिसमें स्थिति और संवेग दोनों निर्देशांक सम्मिलित हैं। फिर, परिचय में दिए गए हैमिल्टन के समीकरणों के सेट को एकल अभिव्यक्ति में व्यक्त किया जा सकता है

${\dot {z}}=\{z,H(z)\},$

(2)

जहाँ $\{\cdot ,\cdot \}$ पॉसों कोष्ठक है। इसके अतिरिक्त, एक ऑपरेटर का प्रारंभ करके $D_{H}\cdot =\{\cdot ,H\}$, जो हेमिल्टनियन यांत्रिकी गणितीय औपचारिकता के साथ ऑपरेंड का पॉइसन ब्रैकेट लौटाता है, हैमिल्टन के समीकरण की अभिव्यक्ति को और सरल बनाया जा सकता है

${\dot {z}}=D_{H}z.$

समीकरणों के इस सेट का औपचारिक समाधान आव्यूह घातांक के रूप में दिया गया है:

$z(\tau )=\exp(\tau D_{H})z(0).$

(3)

$\tau D_{H}$ की सकारात्मकता पर ध्यान दें आव्यूह एक्सपोनेंशियल में।

जब हैमिल्टनियन के पास समीकरण का रूप है (1), समाधान (3) के बराबर है

$z(\tau )=\exp[\tau (D_{T}+D_{V})]z(0).$

(4)

एसआई योजना समय-विकास ऑपरेटर का अनुमान लगाती है $\exp[\tau (D_{T}+D_{V})]$ औपचारिक समाधान में (4) ऑपरेटरों के एक गुणांक के रूप में

${\begin{aligned}\exp[\tau (D_{T}+D_{V})]&=\prod _{i=1}^{k}\exp(c_{i}\tau D_{T})\exp(d_{i}\tau D_{V})+O(\tau ^{k+1})\\&=\exp(c_{1}\tau D_{T})\exp(d_{1}\tau D_{V})\dots \exp(c_{k}\tau D_{T})\exp(d_{k}\tau D_{V})+O(\tau ^{k+1}),\end{aligned}}$

(5)

जहाँ $c_{i}$ और $d_{i}$ वास्तविक संख्याएँ हैं, $k$ एक पूर्णांक है, जिसे इंटीग्रेटर का क्रम कहा जाता है, और जहाँ ${\textstyle \sum _{i=1}^{k}c_{i}=\sum _{i=1}^{k}d_{i}=1}$. ध्यान दें कि प्रत्येक ऑपरेटर $\exp(c_{i}\tau D_{T})$ और $\exp(d_{i}\tau D_{V})$ एक समानता प्रदान करता है, इसलिए उनका गुणांक दाईं ओर प्रदर्शित होता है (5) भी एक सिम्पलेक्टिक मानचित्र बनाता है।

तब से $D_{T}^{2}z=\{\{z,T\},T\}=\{({\dot {q}},0),T\}=(0,0)$ सभी के लिए $z$, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि

$D_{T}^{2}=0.$

(6)

टेलर श्रृंखला का उपयोग करके, $\exp(aD_{T})$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

$\exp(aD_{T})=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(aD_{T})^{n}}{n!}},$

(7)

जहाँ $a$ एक इच्छानुसार वास्तविक संख्या है। संयोजन (6) और (7), और के लिए समान तर्क का उपयोग करके $D_{V}$ जैसा कि हमने $D_{T}$ उपयोग किया है, हम पाते हैं

${\begin{cases}\exp(aD_{T})&=1+aD_{T},\\\exp(aD_{V})&=1+aD_{V}.\end{cases}}$

(8)

ठोस शब्दों में, $\exp(c_{i}\tau D_{T})$ मैपिंग देता है

${\begin{pmatrix}q\\p\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}q+\tau c_{i}{\frac {\partial T}{\partial p}}(p)\\p\end{pmatrix}},$

और $\exp(d_{i}\tau D_{V})$ देता है

${\begin{pmatrix}q\\p\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}q\\p-\tau d_{i}{\frac {\partial V}{\partial q}}(q)\\\end{pmatrix}}.$

ध्यान दें कि ये दोनों मानचित्र व्यावहारिक रूप से संगणनीय हैं।

उदाहरण

समीकरणों का सरलीकृत रूप (निष्पादित क्रम में) हैं:

$q_{i+1}=q_{i}+c_{i}{\frac {p_{i+1}}{m}}t$

$p_{i+1}=p_{i}+d_{i}F(q_{i})t$

लाग्रंगियन निर्देशांक में परिवर्तित करने के बाद:

$x_{i+1}=x_{i}+c_{i}v_{i+1}t$

$v_{i+1}=v_{i}+d_{i}a(x_{i})t$

जहाँ $F(x)$ पर बल सदिश है $x$, $a(x)$ त्वरण वेक्टर है $x$, और $m$ द्रव्यमान की अदिश राशि है।

कई सिम्पलेक्टिक इंटीग्रेटर्स नीचे दिए गए हैं। उनका उपयोग करने का एक उदाहरण तरीका स्थिति के साथ एक कण पर विचार करना है $q$ और गति $p$.

मूल्यों के साथ एक टाइमस्टेप प्रयुक्त करने के लिए $c_{1,2,3},d_{1,2,3}$ कण के लिए, निम्न चरणों का पालन करें: क्रमिक रूप से:

• स्थिति अद्यतन करें $i$ इसके (पहले अद्यतन) वेग को जोड़कर कण का $i$ से गुणा $c_{i}$
• वेग अद्यतन करें $i$ कण का इसमें त्वरण (अद्यतन स्थिति में) जोड़कर गुणा किया जाता है $d_{i}$

पहले क्रम का उदाहरण

सिम्पलेक्टिक यूलर विधि प्रथम-क्रम समाकलक है $k=1$ और गुणांक

$c_{1}=d_{1}=1.$

ध्यान दें कि समय-प्रतिवर्तीता की आवश्यकता होने पर उपरोक्त एल्गोरिदम काम नहीं करता है। एल्गोरिथ्म को दो भागों में प्रयुक्त किया जाना है, एक सकारात्मक समय चरणों के लिए, एक नकारात्मक समय चरणों के लिए।

दूसरे क्रम का उदाहरण

Verlet इंटीग्रेशन दूसरे क्रम का इंटीग्रेटर है $k=2$ और गुणांक

$c_{1}=0,\qquad c_{2}=1,\qquad d_{1}=d_{2}={\tfrac {1}{2}}.$

तब से $c_{1}=0$उपरोक्त एल्गोरिदम समय में सममित है। एल्गोरिथ्म के 3 चरण हैं, और चरण 1 और 3 बिल्कुल समान हैं, इसलिए सकारात्मक समय संस्करण का उपयोग नकारात्मक समय के लिए किया जा सकता है।

तीसरे क्रम का उदाहरण

एक तीसरा क्रम सिम्पलेक्टिक इंटीग्रेटर (के साथ $k=3$) की खोज 1983 में रोनाल्ड रुथ ने की थी। अनेक समाधानों में से एक द्वारा दिया गया है

${\begin{aligned}c_{1}&=1,&c_{2}&=-{\tfrac {2}{3}},&c_{3}&={\tfrac {2}{3}},\\d_{1}&=-{\tfrac {1}{24}},&d_{2}&={\tfrac {3}{4}},&d_{3}&={\tfrac {7}{24}}.\end{aligned}}$

चौथे क्रम का उदाहरण

एक चौथे क्रम के इंटीग्रेटर (के साथ $k=4$) भी 1983 में रूथ द्वारा खोजा गया था और उस समय कण-त्वरक समुदाय को निजी तौर पर वितरित किया गया था। वन द्वारा जीवंत समीक्षा लेख में इसका वर्णन किया गया था। यह चौथा क्रम संपूर्नकर्ता 1990 में वन और रूथ द्वारा प्रकाशित किया गया था और उसी समय के आसपास दो अन्य समूहों द्वारा स्वतंत्र रूप से खोजा गया था।

${\begin{aligned}c_{1}&=c_{4}={\frac {1}{2(2-2^{1/3})}},&c_{2}&=c_{3}={\frac {1-2^{1/3}}{2(2-2^{1/3})}},\\d_{1}&=d_{3}={\frac {1}{2-2^{1/3}}},&d_{2}&=-{\frac {2^{1/3}}{2-2^{1/3}}},\quad d_{4}=0.\end{aligned}}$

इन गुणांकों को निर्धारित करने के लिए, बेकर-कैंपबेल-हॉसडॉर्फ सूत्र का उपयोग किया जा सकता है। योशिदा, विशेष रूप से, उच्च-क्रम के समाकलकों के लिए गुणांकों की एक सुंदर व्युत्पत्ति देता है। बाद में, ब्लेन्स और मून बहुत कम त्रुटि स्थिरांक वाले वियोज्य हैमिल्टनियन के साथ सिस्टम के एकीकरण के लिए आगे विकसित विभाजित रनगे-कुट्टा विधियाँ।

=== सामान्य अविभाज्य हैमिल्टनियन === के लिए विभाजन विधियाँ सामान्य अविभाज्य हैमिल्टनियन भी स्पष्ट और सिम्पलेक्टिक रूप से एकीकृत हो सकते हैं।

ऐसा करने के लिए, ताओ ने एक अवरोध पेश किया जो इस तरह के सिस्टम के स्पष्ट विभाजन को सक्षम करने के लिए चरण स्थान की दो प्रतियों को एक साथ बांधता है। इसके बजाय विचार है $H(Q,P)$, एक अनुकरण करता है ${\bar {H}}(q,p,x,y)=H(q,y)+H(x,p)+\omega \left(\left\|q-x\right\|_{2}^{2}/2+\left\|p-y\right\|_{2}^{2}/2\right)$, जिसका समाधान इससे सहमत है $H(Q,P)$ इस अर्थ में कि $q(t)=x(t)=Q(t),p(t)=y(t)=P(t)$.

नया हैमिल्टनियन स्पष्ट सिम्पलेक्टिक एकीकरण के लिए फायदेमंद है, क्योंकि इसे तीन उप-हैमिल्टनियों के योग में विभाजित किया जा सकता है, $H_{A}=H(q,y)$, $H_{B}=H(x,p)$, और $H_{C}=\omega \left(\left\|q-x\right\|_{2}^{2}/2+\left\|p-y\right\|_{2}^{2}/2\right)$. सभी तीन उप-हैमिल्टनियों का सटीक समाधान स्पष्ट रूप से प्राप्त किया जा सकता है: दोनों $H_{A},H_{B}$ समाधान बेमेल स्थिति और गति के बदलाव के अनुरूप हैं, और $H_{C}$ एक रेखीय परिवर्तन के अनुरूप है। सिस्टम को सिम्पलेक्टिक रूप से अनुकरण करने के लिए, बस इन समाधान मानचित्रों की रचना करता है।

अनुप्रयोग

प्लाज्मा भौतिकी में

हाल के दशकों में प्लाज्मा भौतिकी में सिम्पलेक्टिक इंटीग्रेटर एक सक्रिय शोध विषय बन गया है, क्योंकि मानक सिम्पलेक्टिक विधियों के सीधे-सीधे अनुप्रयोग पेटा- से एक्स-स्केल कंप्यूटिंग हार्डवेयर द्वारा सक्षम बड़े पैमाने के प्लाज्मा सिमुलेशन की आवश्यकता के अनुरूप नहीं हैं। जांच के तहत भौतिकी समस्या की विशेष संरचनाओं में टैप करते हुए, विशेष सिम्पलेक्टिक एल्गोरिदम को कस्टम रूप से डिज़ाइन करने की आवश्यकता है। ऐसा ही एक उदाहरण विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र में आवेशित कण गतिकी है। विहित सिम्पलेक्टिक संरचना के साथ, गतिकी का हैमिल्टनियन है

$$H({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {x}})={\frac {1}{2}}\left({\boldsymbol {p}}-{\boldsymbol {A}}\right)^{2}+\phi ,$$

किसका ${\textstyle {\boldsymbol {p}}}$-निर्भरता और ${\textstyle {\boldsymbol {x}}}$निर्भरता वियोज्य नहीं हैं, और मानक स्पष्ट सिम्पलेक्टिक तरीके प्रयुक्त नहीं होते हैं। बड़े पैमाने पर समांतर समूहों पर बड़े पैमाने पर सिमुलेशन के लिए, हालांकि, स्पष्ट तरीकों को प्राथमिकता दी जाती है। इस कठिनाई को दूर करने के लिए, हम विशिष्ट तरीके का पता लगा सकते हैं ${\textstyle {\boldsymbol {p}}}$-निर्भरता और ${\textstyle {\boldsymbol {x}}}$-निर्भरता इस हैमिल्टनियन में उलझी हुई है, और केवल इस या इस प्रकार की समस्या के लिए एक सिम्पलेक्टिक एल्गोरिथम डिजाइन करने का प्रयास करें। सबसे पहले, हम ध्यान दें कि ${\textstyle {\boldsymbol {p}}}$-निर्भरता द्विघात है, इसलिए पहले क्रम की सहानुभूति यूलर विधि में निहित है ${\textstyle {\boldsymbol {p}}}$ वास्तव में मुखर है। यह वही है जो कैनोनिकल सिम्प्लेक्टिक कण-इन-सेल (PIC) एल्गोरिथम में उपयोग किया जाता है। उच्च क्रम स्पष्ट विधियों का निर्माण करने के लिए, हम आगे ध्यान दें कि ${\textstyle {\boldsymbol {p}}}$-निर्भरता और ${\textstyle {\boldsymbol {x}}}$-इसमें निर्भरता ${\textstyle H({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {x}})}$ गुणांक-वियोज्य हैं, दूसरे और तीसरे क्रम के स्पष्ट सिम्पलेक्टिक एल्गोरिदम का निर्माण कार्यों का उपयोग करके किया जा सकता है, और समय-निर्भर विद्युत चुम्बकीय क्षेत्रों के लिए मनमाने ढंग से उच्च-क्रम वाले स्पष्ट सिम्पलेक्टिक इंटीग्रेटर्स का निर्माण रनगे-कुट्टा तकनीकों का उपयोग करके भी किया जा सकता है। समस्या के निम्नलिखित गैर-विहित सहानुभूति संरचना को देखने के लिए एक अधिक सुरुचिपूर्ण और बहुमुखी विकल्प है,

$$i_{({\dot {\boldsymbol {x}}},{\dot {\boldsymbol {v}}})}\Omega =-dH,\ \ \ \Omega =d({\boldsymbol {v}}+{\boldsymbol {A}})\wedge d{\boldsymbol {x}},\ \ \ H={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {v}}^{2}+\phi .$$

यहाँ ${\textstyle \Omega }$ एक गैर-निरंतर गैर-विहित सिम्पलेक्टिक रूप है। गैर-निरंतर गैर-कैनोनिकल सिम्प्लेक्टिक संरचना के लिए सामान्य सिम्प्लेक्टिक इंटीग्रेटर, स्पष्ट या अंतर्निहित, मौजूद नहीं है। हालांकि, इस विशिष्ट समस्या के लिए, हे विभाजन विधि का उपयोग करके उच्च-क्रम स्पष्ट गैर-कैनोनिकल सिम्प्लेक्टिक इंटीग्रेटर्स का एक परिवार बनाया जा सकता है। विभाजन ${\textstyle H}$ 4 भागों में,

$${\begin{aligned}H&=H_{x}+H_{y}+H_{z}+H_{\phi },\\H_{x}&={\frac {1}{2}}v_{x}^{2},\ \ H_{y}={\frac {1}{2}}v_{y}^{2},\ \ H_{z}={\frac {1}{2}}v_{z}^{2},\ \ H_{\phi }=\phi ,\end{aligned}}$$

हम गंभीर रूप से पाते हैं कि प्रत्येक उपप्रणाली के लिए, उदाहरण के लिए,

$$i_{({\dot {\boldsymbol {x}}},{\dot {\boldsymbol {v}}})}\Omega =-dH_{x}$$

और

$$i_{({\dot {\boldsymbol {x}}},{\dot {\boldsymbol {v}}})}\Omega =-dH_{\phi },$$

समाधान मानचित्र को स्पष्ट रूप से लिखा जा सकता है और सटीक गणना की जा सकती है। फिर विभिन्न रचनाओं का उपयोग करके स्पष्ट उच्च-क्रम गैर-विहित सिम्पलेक्टिक एल्गोरिदम का निर्माण किया जा सकता है। होने देना ${\textstyle \Theta _{x},\Theta _{y},\Theta _{z}}$ और ${\textstyle \Theta _{\phi }}$ 4 उपप्रणालियों के लिए सटीक समाधान मानचित्रों को निरूपित करें। एक प्रथम-क्रम सिम्पलेक्टिक योजना है

$${\begin{aligned}\Theta _{1}\left(\Delta \tau \right)=\Theta _{x}\left(\Delta \tau \right)\Theta _{y}\left(\Delta \tau \right)\Theta _{z}\left(\Delta \tau \right)\Theta _{\phi }\left(\Delta \tau \right)~.\end{aligned}}$$

एक सममित द्वितीय-क्रम सिम्पलेक्टिक योजना है,

$${\begin{aligned}\Theta _{2}\left(\Delta \tau \right)&=\Theta _{x}\left(\Delta \tau /2\right)\Theta _{y}\left(\Delta \tau /2\right)\Theta _{z}\left(\Delta \tau /2\right)\Theta _{\phi }\left(\Delta \tau \right)\\&\Theta _{z}\left(\Delta t/2\right)\Theta _{y}\left(\Delta t/2\right)\Theta _{x}\left(\Delta t/2\right)\!,\end{aligned}}$$

जो कि एक कस्टमाइज्ड मॉडिफाइड स्ट्रैंग स्प्लिटिंग है। ए ${\textstyle 2(l+1)}$-वें आदेश योजना का निर्माण a से किया जा सकता है ${\textstyle 2l}$-वें आदेश योजना ट्रिपल जंप की विधि का उपयोग कर,

$${\begin{aligned}\Theta _{2(l+1)}(\Delta \tau )&=\Theta _{2l}(\alpha _{l}\Delta \tau )\Theta _{2l}(\beta _{l}\Delta \tau )\Theta _{2l}(\alpha _{l}\Delta \tau )~,\\\alpha _{l}&=1/(2-2^{1/(2l+1)})~,\\\beta _{l}&=1-2\alpha _{l}~.\end{aligned}}$$

हे विभाजन विधि संरचना-संरक्षण ज्यामितीय कण-इन-सेल (PIC) एल्गोरिदम में उपयोग की जाने वाली प्रमुख तकनीकों में से एक है।

यह भी देखें

• ऊर्जा बहाव
• मल्टीसिंपलेक्टिक इंटीग्रेटर
• परिवर्तनशील संपूर्नकर्ता
• वेरलेट एकीकरण

संदर्भ

• Leimkuhler, Ben; Reich, Sebastian (2005). Simulating Hamiltonian Dynamics. Cambridge University Press. ISBN 0-521-77290-7.
• Hairer, Ernst; Lubich, Christian; Wanner, Gerhard (2006). Geometric Numerical Integration: Structure-Preserving Algorithms for Ordinary Differential Equations (2 ed.). Springer. ISBN 978-3-540-30663-4.
• Kang, Feng; Qin, Mengzhao (2010). Symplectic geometric algorithms for Hamiltonian systems. Springer.