सामग्री (माप सिद्धांत)

गणित में, विशेष रूप से माप सिद्धांत में, सामग्री $\mu$ उपसम्मुचय के संग्रह पर परिभाषित वास्तविक-मूल्यवान फलन ${\mathcal {A}}$ है जैसे कि

1. $\mu (A)\in \ [0,\infty ]{\text{ जब }}A\in {\mathcal {A}}.$
2. $\mu (\varnothing )=0.$
3. $\mu (A_{1}\cup A_{2})=\mu (A_{1})+\mu (A_{2}){\text{ जब }}A_{1},A_{2},A_{1}\cup A_{2}\ \in {\mathcal {A}}{\text{ तथा }}A_{1}\cap A_{2}=\varnothing .$

अर्थात्, सामग्री माप (गणित) का सामान्यीकरण है: जबकि उत्तरार्द्ध को योगात्मक रूप से योगात्मक होना चाहिए, पूर्व को केवल परिमित योगात्मक होना चाहिए।

कई महत्वपूर्ण अनुप्रयोगों में ${\mathcal {A}}$ सम्मुचयो का वलय या कम से कम सम्मुचयो के सेमरिंग के लिए चुना जाता है, जिसमें कुछ अतिरिक्त गुणों को घटाया जा सकता है जो नीचे वर्णित हैं। इस कारण से कुछ लेखक केवल अर्ध वलय या यहां तक ​​कि वलयो कि स्थितियों में सामग्री को परिभाषित करना पसंद करते हैं।

यदि कोई सामग्री अतिरिक्त रूप से σ-योजक है तो इसे पूर्व-माप कहा जाता है और यदि इसके अलावा ${\mathcal {A}}$ σ-बीजगणित, सामग्री को माप (गणित) कहा जाता है। इसलिए प्रत्येक (वास्तविक-मूल्यवान) माप एक सामग्री है, परन्तु इसके विपरीत नहीं हैं। सामग्री एक स्थान पर बंधे हुए कार्यों को एकीकृत करने की एक अच्छी धारणा देती है परन्तु असीमित एकीकृत फलन करते समय बहुत गलत व्यवहार कर सकती है, जबकि उपाय असीमित एकीकृत फलन की अच्छी धारणा देते हैं।

उदाहरण

सभी अधिविवृत अंतराल $[a,b)\subseteq \mathbb {R}$ पर एक सामग्री को उनकी सामग्री को अंतराल की लंबाई पर समुच्चय परिभाषित करने का एक प्राचीन उदाहरण है, अर्थात, $\mu ([a,b))=b-a.$ आगे यह दिखाया जा सकता है कि यह सामग्री वास्तव में σ-योगात्मक है और इस प्रकार सभी अधिविवृत अंतराल की संगोष्ठी पर एक पूर्व-माप को परिभाषित करता है। इसका उपयोग कैराथियोडोरी के विस्तार प्रमेय का उपयोग करके वास्तविक संख्या रेखा के लिए लेबेसेग माप के निर्माण के लिए किया जा सकता है। सामान्य निर्माण के विषय में अधिक जानकारी के लिए लेबेसेग माप का निर्माण पर लेख पर ध्यान दे।

सामग्री का उदाहरण जो σ-बीजगणित पर माप नहीं है, धनात्मक पूर्णांकों के सभी उपसमुच्चय पर सामग्री है जिसका मूल्य $1/2^{n}$ है जो किसी भी पूर्णांक पर $n$ और किसी भी अनंत उपसमुच्चय पर अनंत है।

धनात्मक पूर्णांकों पर सामग्री का उदाहरण जो हमेशा परिमित होता है लेकिन माप नहीं होता है, निम्नानुसार दिया जा सकता है। बंधे हुए अनुक्रमों पर एक धनात्मक रैखिक फलन लें जो कि 0 है यदि अनुक्रम में केवल अशून्य अवयवों की परिमित संख्या है और मान 1 लेता है तो अनुक्रम पर $1,1,1,\ldots ,$ इसलिए फलन कुछ अर्थों में किसी भी बाध्य अनुक्रम का औसत मूल्य देता है। (इस प्रकार के फलन को स्पष्ट रूप से नहीं बनाया जा सकता है, परन्तु हैन-बानाच प्रमेय द्वारा उपस्थित है।) फिर धनात्मक पूर्णांकों के समुच्चय की सामग्री अनुक्रम का औसत मान है जो इस समुच्चय पर 1 है और कहीं 0 है। अनौपचारिक रूप से, पूर्णांक के एक उपसमुच्चय की सामग्री के विषय में ध्यान दिया सकता है कि एक यादृच्छिक रूप से चुने गए पूर्णांक इस उपसमुच्चय में निहित है (जबकि यह संभाव्यता सिद्धांत में अवसर की सामान्य परिभाषाओं के साथ संगत नहीं है, जो गणनीय योगात्मकता मानते हैं)।

गुण

प्रायः सामग्री को समुच्चय के संग्रह पर परिभाषित किया जाता है जो आगे की बाधाओं को पूरा करता है। इस स्थिति में अतिरिक्त गुण ज्ञात किये जा सकते हैं जो समुच्चय के किसी भी संग्रह पर परिभाषित सामग्री के लिए सामान्य रूप से धारण करने में विफल रहते हैं।

अर्ध वलय पर

यदि ${\mathcal {A}}$ समुच्चयों का अर्ध वलय निर्मित करता है तो निम्नलिखित कथनों को घटाया जा सकता है:

• प्रत्येक सामग्री $\mu$ एकदिस्ट है अर्थात
  $$A\subseteq B\Rightarrow \mu (A)\leq \mu (B){\text{ के लिए }}A,B\in {\mathcal {A}}.$$
• प्रत्येक सामग्री $\mu$ उप-योगात्मक है, अर्थात

$\mu (A\cup B)\leq \mu (A)+\mu (B)$ के लिए $A,B\in {\mathcal {A}}$ जैसे कि $A\cup B\in {\mathcal {A}}.$

वलय पर

यदि इसके अतिरिक्त ${\mathcal {A}}$ समुच्चयों का वलय है जो अतिरिक्त रूप से मिलता है:

• घटाव: के लिए $B\subseteq A$ संतुस्ट करता हैं $\mu (B)<\infty$ जो इस प्रकार है $\mu (A\setminus B)=\mu (A)-\mu (B).$
• $A,B\in {\mathcal {A}}\Rightarrow \mu (A\cup B)+\mu (A\cap B)=\mu (A)+\mu (B).$
• उपयोगात्मकता: $A_{i}\in {\mathcal {A}}\;(i=1,2,\dotsc ,n)\Rightarrow \mu \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}\mu (A_{i}).$
• $\sigma$-उपयोगात्मकता: किसी के लिए भी $A_{i}\in {\mathcal {A}}\;(i=1,2,\dotsc )\$योग में अलग करना संतोषजनक $\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\in {\mathcal {A}}$ हमारे पास $\mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)\geq \sum _{i=1}^{\infty }\mu (A_{i}).$
• यदि $\mu$ परिमित सामग्री है, अर्थात् $A\in {\mathcal {A}}\Rightarrow \mu (A)<\infty ,$ तब समावेश-बहिष्करण सिद्धांत क्रियान्वित होता है:
  $$\mu \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}\!\!\sum _{I\subseteq \{1,\dotsc ,n\}, \atop |I|=k}\!\!\!\!\mu \left(\bigcap _{i\in I}A_{i}\right)$$
  जहाँ $A_{i}\in {\mathcal {A}}$ सभी के लिए $i\in \{1,\dotsc ,n\}.$

बंधे हुए कार्यों का एकीकरण

सामग्री के संबंध में कार्यों के सामान्य एकीकरण में अच्छा व्यवहार नहीं होता है। हालाँकि, एकीकरण की एक अच्छी तरह से व्यवहार की गई धारणा है, बशर्ते कि कार्य सीमित हो और अंतरिक्ष की कुल सामग्री परिमित हो, जिसे निम्नानुसार दिया गया है।

मान लीजिए कि किसी स्थान की कुल सामग्री परिमित है। अगर $f$ अंतरिक्ष पर एक बंधा हुआ कार्य है जैसे कि वास्तविक के किसी भी खुले उपसमुच्चय की व्युत्क्रम छवि में एक सामग्री है, तो हम अभिन्न को परिभाषित कर सकते हैं $f$ सामग्री के रूप में के संबंध में

$$\int f\,d\lambda =\lim \sum _{i=1}^{n}f(\alpha _{i})\lambda (f^{-1}(A_{i}))$$

जहां $A_{i}$ अलग-अलग आधे खुले सेटों का एक परिमित संग्रह बनाता है जिसका संघ की सीमा को कवर करता है $f,$ और $\alpha _{i}$ का कोई तत्व है $A_{i},$ और जहां सीमा को सेट के व्यास के रूप में लिया जाता है $A_{i}$ 0 की ओर रुख करें।

बंधे हुए कार्यों के रिक्त स्थान के दोहरे

लगता है कि $\mu$ कुछ जगह पर एक उपाय है $X.$ परिबद्ध औसत दर्जे का कार्य करता है $X$ सुप्रीम नॉर्म के संबंध में एक बैनच स्पेस बनाते हैं। इस स्थान के दोहरे के सकारात्मक तत्व बंधी हुई सामग्री के अनुरूप हैं $\lambda$ $X,$ के मूल्य के साथ $\lambda$ पर $f$ अभिन्न द्वारा दिया गया $\int f\,d\lambda .$ इसी तरह कोई अनिवार्य रूप से बंधे हुए कार्यों का स्थान बना सकता है, आवश्यक उच्चतम द्वारा दिए गए मानदंड के साथ, और इस स्थान के दोहरे के सकारात्मक तत्व बाध्य सामग्री द्वारा दिए जाते हैं जो माप 0 के सेट पर गायब हो जाते हैं।

किसी सामग्री से माप का निर्माण

किसी सामग्री से माप μ बनाने के कई तरीके हैं $\lambda$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस पर। यह खंड स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ रिक्त स्थान के लिए एक ऐसी विधि देता है जैसे कि सामग्री को सभी कॉम्पैक्ट सबसेट पर परिभाषित किया गया है। सामान्य तौर पर माप सामग्री का विस्तार नहीं है, क्योंकि सामग्री गणनात्मक रूप से योगात्मक होने में विफल हो सकती है, और सामग्री नहीं होने पर भी माप समान रूप से शून्य हो सकता है।

पहले सामग्री को कॉम्पैक्ट सेट तक सीमित करें। यह एक कार्य देता है $\lambda$ कॉम्पैक्ट सेट की $C$ निम्नलिखित गुणों के साथ:

1. $\lambda (C)\in \ [0,\infty ]$ सभी कॉम्पैक्ट सेट के लिए $C$
2. $\lambda (\varnothing )=0.$
3. $\lambda (C_{1})\leq \lambda (C_{2}){\text{ whenever }}C_{1}\subseteq C_{2}$
4. $\lambda (C_{1}\cup C_{2})\leq \lambda (C_{1})+\lambda (C_{2})$ कॉम्पैक्ट सेट के सभी जोड़े के लिए
5. $\lambda (C_{1}\cup C_{2})=\lambda (C_{1})+\lambda (C_{2})$ असंयुक्त कॉम्पैक्ट सेट के सभी जोड़े के लिए।

कार्यों के उदाहरण भी हैं $\lambda$ जैसा कि ऊपर सामग्री से निर्मित नहीं है। स्थानीय कॉम्पैक्ट समूह पर हार माप के निर्माण द्वारा एक उदाहरण दिया गया है। इस तरह के हार माप के निर्माण का एक तरीका बाएं-अपरिवर्तनीय कार्य का उत्पादन करना है $\lambda$ ऊपर के रूप में समूह के कॉम्पैक्ट सबसेट पर, जिसे बाद में बाएं-अपरिवर्तनीय माप तक बढ़ाया जा सकता है।

खुले सेट पर परिभाषा

ऊपर दिए गए λ को देखते हुए, हम सभी खुले सेटों पर एक फ़ंक्शन μ परिभाषित करते हैं

$$\mu (U)=\sup _{C\subseteq U}\lambda (C).$$

इसके निम्नलिखित गुण हैं:

1. $\mu (U)\in \ [0,\infty ]$
2. $\mu (\varnothing )=0$
3. $\mu (U_{1})\leq \mu (U_{2}){\text{ whenever }}U_{1}\subseteq U_{2}$
4. $\mu \left(\bigcup _{n}U_{n}\right)\leq \sum _{n}\lambda (U_{n})$ खुले सेट के किसी भी संग्रह के लिए
5. $\mu \left(\bigcup _{n}U_{n}\right)=\sum _{n}\lambda (U_{n})$ असंयुक्त खुले सेट के किसी भी संग्रह के लिए।

सभी सेटों पर परिभाषा

ऊपर दिए गए μ के रूप में, हम फ़ंक्शन μ को टोपोलॉजिकल स्पेस के सभी सबसेट तक बढ़ाते हैं

$$\mu (A)=\inf _{A\subseteq U}\mu (U).$$

यह एक बाहरी माप है, दूसरे शब्दों में इसके निम्नलिखित गुण हैं:

1. $\mu (A)\in \ [0,\infty ]$
2. $\mu (\varnothing )=0.$
3. $\mu (A_{1})\leq \mu (A_{2}){\text{ whenever }}A_{1}\subseteq A_{2}$
4. $\mu \left(\bigcup _{n}A_{n}\right)\leq \sum _{n}\lambda (A_{n})$ सेट के किसी भी गणनीय संग्रह के लिए।

माप का निर्माण

उपरोक्त फ़ंक्शन μ सभी उपसमूहों के परिवार पर एक बाहरी उपाय है। इसलिए यह एक उपाय बन जाता है जब बाहरी माप के लिए मापने योग्य सबसेट तक सीमित होता है, जो सबसेट होते हैं $E$ ऐसा है कि $\mu (X)=\mu (X\cap E)+\mu (X\setminus E)$ सभी उपसमूहों के लिए $X.$ यदि स्थान स्थानीय रूप से सघन है तो इस माप के लिए प्रत्येक खुले सेट को मापा जा सकता है।

पैमाना $\mu$ सामग्री के साथ जरूरी नहीं है $\lambda$ कॉम्पैक्ट सेट पर, हालांकि यह करता है $\lambda$ इस अर्थ में नियमित है कि किसी भी कॉम्पैक्ट के लिए $C,$ $\lambda (C)$ की जानकारी है $\lambda (D)$ कॉम्पैक्ट सेट के लिए $D$ युक्त $C$ उनके अंदरूनी हिस्सों में।

यह भी देखें

• Minkowski content

संदर्भ

• Elstrodt, Jürgen (2018), Maß- und Integrationstheorie, Springer-Verlag
• Halmos, Paul (1950), Measure Theory, Van Nostrand and Co.
• Mayrhofer, Karl (1952), Inhalt und Mass (Content and measure), Springer-Verlag, MR 0053185