ट्री (ग्राफ सिद्धांत): Difference between revisions

Trees
Trees
	A labeled tree with 6 vertices and 5 edges.
Vertices	v
Edges	v − 1
Chromatic number	2 if v > 1
	Table of graphs and parameters

Revision as of 12:35, 19 May 2023

ग्राफ सिद्धांत में, एक पेड़ एक ऐसा अनुक्रमित ग्राफ होता है जिसमें किसी भी दो शीर्ष को बिल्कुल एक ही पथ से जोड़ा जाता है, या समरूपतः एक जुड़ा हुआ निर्दिष्टित अनिर्देशित ग्राफ होता है।^[1]एक वन एक ऐसा अनुक्रमित ग्राफ होता है जिसमें किसी भी दो शीर्ष को अधिकतम एक ही पथ से जोड़ा जाता है, या समरूपतः एक अचक्रीय निर्देशित ग्राफ होता है, या समरूपतः पेड़ों के वियोगीय संघ का एकीकृत संयोजन होता है।

एक पॉली वृक्ष या निर्देशित वृक्ष एक निर्देशित अचक्रीय ग्राफ होता है, जिसका अंशीय अनिर्देशित ग्राफ एक पेड़ होता है। एक पॉलीफ़ॉरेस्ट या निर्देशित वन एक निर्देशित अचक्रीय ग्राफ होता है, जिसका अंशीय अनिर्देशित ग्राफ एक वन होता है।

कंप्यूटर विज्ञान में "पेड़" के रूप में संदर्भित विभिन्न प्रकार के डेटा संरचनाएं ग्राफ थ्योरी में पेड़ होते हैं, यद्यपि ऐसे डेटा संरचनाएं सामान्यतः मूल रूप से जड़ी हुई पेड़ होती हैं। जिसे संचालित जड़ वृक्ष कहा जाता है, या तो इसके सभी सीधे बाएं तरफ दिखाने के लिए संचालित किया जाता है, एक जड़ी हुई पेड़ निर्देशित भी हो सकती है, जिसे "निर्देशित जड़ी हुई पेड़" कहा जाता है, जिसमें इसके सभी संबंधों को मूल से दूसरे वर्तमान तक दिखाता है, जिसे इस स्थिति में "वृक्षनी" या "आउट-ट्री" कहा जाता है या इसके सभी संबंधों को मूल की ओर दिखाता है - जिसे इस स्थिति में "विरोधी-वृक्षनी या "इन-ट्री" कहा जाता है। जिसे निर्देशित जड़ वाले वन कहा जाता है। जब हर जड़ वालेवृक्ष के सभी एज जड़ से दूर दिखाई देते हैं, तब उसे एक शाखन' या बाहरी-वन कहा जाता है। या इसके सभी किनारों को बनाना प्रत्येक जड़ वाले वृक्ष में जड़ की ओर इंगित करते हैं, इस विषय में इसे शाखा-विरोधी या वन कहा जाता है।

^[2]वृक्ष शब्द का उल्लेख पहली बार 1857 में ब्रिटिश गणितीय आर्थर केली ने किया था।

परिभाषाएँ

वृक्ष

एक वृक्ष एक अप्रत्यक्ष आरेख $G$ है,जो निम्न समकक्ष स्थितियों में से किसी एक को पूरा करता है:

$G$ जुड़ा हुआ और वह अचक्रीय होता है (कोई चक्र नहीं होता)।
$G$ चक्रीय है, और यदि कोई शीर्ष G में जोड़ा जाता है तो एक सरल चक्र बनता है।
$G$ जुड़ा हुआ है, परंतु यदि $G$ से किसी एक शीर्ष को हटा दिया जाए तो यह असंगत हो जाएगा।
$G$ जुड़ा हुआ है और 3-शीर्ष पूर्ण आरेख K3 $G$ का लघु नहीं है।
G में किन्हीं भी दो शीर्षों को एक अद्वितीय सरल पथ से जोड़ा जा सकता है।

यदि G के बहुत से शीर्ष हैं, उनमें से n मान लीजिए,तो उपरोक्त कथन निम्न में से किसी भी स्थिति के समतुल्य हैं:

$G$ जुड़ा हुआ है और है $n - 1$ शीर्ष है।
$G$ जुड़ा हुआ है, और हर उपआरेख का $G$ शून्य या एक घटना शीर्षों के साथ कम से कम एक शीर्ष सम्मिलित है।
G का कोई सरल चक्र नहीं है और इसमें n − 1 शीर्ष है।

आरेख सिद्धांत में कहीं और के रूप में, क्रम-शून्य आरेख को सामान्यतः एक वृक्ष नहीं माना जाता है,जबकि यह रिक्त रूप से एक आरेख के रूप में जुड़ा हुआ है, बीजगणितीय टोपोलॉजी में यह 0-सम्बद्ध नहीं है,अरिक्‍त पंक्‍तिवृक्ष के विपरीत, और "शीर्षों के सापेक्ष में एक और शीर्ष" संबंध का उल्लंघन करता है। यद्यपि, इसे शून्य वृक्ष वाला जंगल माना जा सकता है।,

एक आंतरिक शीर्ष् कम से कम 2 के डिग्री वाला शीर्ष् होता है। इसी तरह, बाहरी शीर्ष् उस शीर्ष् को कहते हैं जिसका डिग्री 1 हो, एक वृक्ष में एक शाखा शीर्ष उस शीर्ष को कहा जाता है जिसका डिग्री कम से कम 3 हो।^[3]

वन

एक वन एक अविन्यास आरेख है जिसमें मात्र दो शीर्ष एक ही मार्ग से जुड़े हुए होते हैं। समतुल्य रूप से, वन एक अप्रत्यक्ष चक्रीय आरेख है, जिसके सभी जुड़े घटक वृक्ष हैं; दूसरे शब्दों में, आरेख में वृक्ष के आरेख का एक असम्बद्ध संघ होता है। विशेष रूप से, शून्य आदेश वाली आरेख एक एकल वृक्ष, और एक धार रहित आरेख वन के उदाहरण हैं। हर एक वृक्ष के लिए V - E = 1 होने के कारण, हम आसानी से एक वन में उपस्थित वृक्षों की संख्या को कुल शीर्ष और कुल एज के अंतर को घटाकर निकाल सकते हैं। $TV - TE =$ वन में वृक्षो की संख्या है।

पॉलीवृक्ष

एक पॉलीवृक्ष या निर्देशित वृक्ष एक निर्देशित अविसारण आरेख (डीएजी) होता है जिसका अंतर्निहित अविन्यासी आरेख एक वृक्ष होता है। दूसरे शब्दों में, यदि हक धारित एजों को अविधारित एजों से बदल दें, तो हम एक अविधारित आरेख प्राप्त करते हैं जो संयुक्त और अचक्रीय दोनों होता है।दू सरे शब्दों में, यदि हम इसकी निर्दिष्ट धाराएं अविन्यस्त धाराओं में बदल दें, तो हम एक अविन्यस्त आरेख प्राप्त करते है ।

कुछ लेखक वाक्यांश निर्देशित वृक्ष को उस विषय तक सीमित करें जहां शीर्षों को एक विशेष शीर्ष की ओर निर्देशित किया जाता है, या सभी को एक विशेष शीर्ष से दूर निर्देशित किया जाता है

पॉलीवन

पॉलीवन या निर्देशित वन)एक निर्देशित आरेख होता है जिसका अंशकारी अशिखित आरेख एक वन होता है। अर्थात् जब हम इसकी निर्देशित धुरीयों को अनिर्दिष्ट धुरीयों में बदलते हैं, तो हमें एक वन मिलता है जो कि अनुबंधित और अशिखित दोनों होता है। दूसरे शब्दों में, यदि हम इसके निर्देशित किनारों को अप्रत्यक्ष किनारों से प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें एक अप्रत्यक्ष आरेख प्राप्त होता है जो चक्रीय है।

कुछ लेखक"निर्देशित वन" शब्द अपने सीमित अर्थ में प्रयोग करते हैं, जहां प्रत्येक जुड़े हुए घटक की सभी संयुक्त तत्व एक विशिष्ट शिखर की ओर निर्देशित होते हैं या एक विशिष्ट शिखर से सभी दिशाओं में निर्देशित होते हैं।

जड़ वाला वृक्ष

एक जड़ वाला वृक्ष एक ऐसा वृक्ष है जिसमें एक शीर्ष को जड़ के रूप में नामित निर्दिष्ट किया गया है।^[4] एक जड़ वाले वृक्ष के किनारों को एक प्राकृतिक अभिविन्यास दिया जा सकता है, या तो जड़ से दूर या उसकी ओर, जिस स्थिति में संरचना एक निर्देशित जड़ वाला वृक्ष बन जाती है। जब एक निर्देशित जड़ वाले वृक्ष का एक अभिविन्यास जड़ से दूर होता है, तो इसे अवृक्षसमता या बाहरी-वृक्ष कहा जाता है;^[5] जब इसका जड़ की ओर अभिविन्यास होता है, तो इसे प्रतिरोधी -अवृक्षसमता या आंतरिक वृक्ष कहा जाता है।^[5] वृक्ष-क्रम एक वृक्ष के शीर्ष पर आंशिक क्रम $u < v$ है यदि वृक्ष -ऑदेश एक पेड़ के शीर्ष पर u < v के साथ आंशिक क्रम है तो रूट से v तक का अद्वितीय पथ u से होकर गुजरता है। कुछ आरेख के उपआरेख $G$ एक सामान्य वृक्ष है अगर हर का अंत होता है $T$ -पथ में $G$ इस वृक्ष-ऑर्डर में तुलनीय हैं जड़ वाले वृक्ष प्रायः अतिरिक्त संरचना के साथ जैसे कि प्रत्येक शीर्ष पर पड़ोसियों को आदेश देना, कंप्यूटर विज्ञान में एक महत्वपूर्ण डेटा संरचना है; वृक्ष डेटा संरचना देखें।

ऐसे संदर्भ में जहां वृक्ष ों की आमतौर पर जड़ होती है, बिना किसी निर्दिष्ट जड़ वाले वृक्ष को मुक्त वृक्ष कहा जाता है।

एक लेबल वाला वृक्ष एक वृक्ष है जिसमें प्रत्येक शीर्ष को एक अद्वितीय लेबल दिया जाता है। लेबल लगे वृक्ष के शीर्ष पर $n$ शीर्षों को आमतौर पर लेबल दिए जाते हैं $1, 2, \dots, n$ . एक पुनरावर्ती वृक्ष एक लेबल वाला जड़ वाला वृक्ष है जहाँ शीर्ष लेबल वृक्ष क्रम का सम्मान करते हैं (अर्थात, यदि $u < v$ दो शीर्षों के लिए $u$ और $v$ , फिर का लेबल $u$ के लेबल से छोटा है $v$ ).

जड़ वाले वृक्ष में, शीर्ष का जनक $v$ शीर्ष से जुड़ा है $v$ पथ पर (आरेख ़ सिद्धांत) जड़ पर; प्रत्येक शीर्ष का एक विशिष्ट जनक होता है सिवाय उस जड़ के जिसका कोई जनक नहीं है।^[4] एक शीर्ष का बच्चा $v$ जिसका एक शीर्ष है $v$ जनक है।^[4] किसी शीर्ष का आरोही $v$ कोई भी शीर्ष है जो या तो जनक है $v$ या (पुनरावर्ती) माता-पिता का आरोही है $v$ . एक शीर्ष का वंशज $v$ कोई भी शीर्ष है जिसका या तो संतति है $v$ या (पुनरावर्ती) किसी भी बच्चे का वंशज है $v$ . एक शीर्ष के लिए एक भाई $v$ वृक्ष पर कोई अन्य शीर्ष है जिसके माता-पिता समान हैं $v$ .^[4] पत्ता बिना सन्तान वाला शीर्ष है।^[4] आंतरिक शीर्ष वह शीर्ष है जो पत्ती नहीं है।^[4]

एक जड़ वाले वृक्ष में एक शीर्ष की ऊंचाई उस शीर्ष से एक पत्ती के सबसे लंबे नीचे की ओर जाने वाले पथ की लंबाई है। वृक्ष की ऊंचाई जड़ की ऊंचाई है। किसी शीर्ष की गहराई उसके जड़ (जड़ पाथ) तक के पथ की लंबाई होती है। यह आमतौर पर विभिन्न स्व-संतुलन वाले वृक्ष ों, विशेष रूप से AVL वृक्ष ों के हेरफेर में आवश्यक है। जड़ की गहराई शून्य होती है, पत्तियों की ऊँचाई शून्य होती है, और केवल एक शीर्ष वाले वृक्ष (इसलिए जड़ और पत्ती दोनों) की गहराई और ऊँचाई शून्य होती है। परंपरागत रूप से, एक खाली वृक्ष (बिना किसी कोने वाला वृक्ष , अगर इसकी अनुमति है) की गहराई और ऊंचाई -1 होती है।

एक के-आर्य वृक्ष | $k$ -आर्य वृक्ष एक जड़ वाला वृक्ष है जिसमें प्रत्येक शीर्ष पर अधिकतम होता है $k$ बच्चे।^[6] 2-एरी वृक्ष ों को अक्सर बाइनरी वृक्ष कहा जाता है, जबकि 3-एरी वृक्ष ों को कभी-कभी त्रिगुट वृक्ष कहा जाता है।

आदेश दिया गया वृक्ष

एक आदेशित वृक्ष (या समतल वृक्ष) एक जड़ वाला वृक्ष है जिसमें प्रत्येक शीर्ष के बच्चों के लिए एक क्रम निर्दिष्ट किया जाता है।^[4]^[7] इसे प्लेन वृक्ष कहा जाता है क्योंकि चिल्ड्रन का क्रम प्लेन में वृक्ष के एंबेडिंग के बराबर होता है, जिसमें जड़ सबसे ऊपर होता है और प्रत्येक शीर्ष् के चिल्ड्रेन उस शीर्ष् से नीचे होते हैं। विमान में जड़ वाले वृक्ष की एम्बेडिंग को देखते हुए, यदि कोई बच्चों की दिशा को ठीक करता है, तो बाएं से दाएं कहें, तो एक एम्बेडिंग बच्चों का आदेश देता है। इसके विपरीत, एक आदेश दिया गया वृक्ष दिया गया है, और परंपरागत रूप से शीर्ष पर जड़ खींच रहा है, फिर एक आदेशित वृक्ष में बच्चे के कोने को बाएं से दाएं खींचा जा सकता है, जो अनिवार्य रूप से अद्वितीय प्लानर एम्बेडिंग प्रदान करता है।

गुण

हर वृक्ष एक द्विदलीय आरेख है। एक आरेख द्विदलीय है यदि और केवल यदि इसमें विषम लंबाई का कोई चक्र नहीं है। चूँकि एक वृक्ष में कोई चक्र नहीं होता है, यह द्विदलीय होता है।
केवल गणनीय सेट कई वर्टिकल वाला हर वृक्ष एक प्लेनर आरेख है।
प्रत्येक जुड़ा हुआ आरेख G एक फैले हुए वृक्ष (गणित) को स्वीकार करता है, जो एक ऐसा वृक्ष है जिसमें G का प्रत्येक शीर्ष होता है और जिसके किनारे G के किनारे होते हैं। अधिक विशिष्ट प्रकार के फैले हुए वृक्ष , प्रत्येक जुड़े परिमित आरेख में मौजूद होते हैं, जिनमें गहराई-पहले खोज वृक्ष शामिल हैं और चौड़ाई-पहले खोज वृक्ष । गहराई-पहली खोज के अस्तित्व को सामान्य करते हुए, केवल काउंटेबल सेट के साथ हर जुड़े आरेख में कई वर्टिकल में एक ट्रैमॉक्स वृक्ष होता है।^[8] हालाँकि, कुछ बेशुमार सेट आरेख ़ में ऐसा कोई वृक्ष नहीं होता है।^[9]
प्रत्येक परिमित वृक्ष n शीर्षों के साथ, साथ n > 1, कम से कम दो टर्मिनल शीर्ष (पत्तियां) हैं। पत्तों की यह न्यूनतम संख्या पथ आरेख ़ की विशेषता है; अधिकतम संख्या, n − 1, केवल स्टार आरेख ़ द्वारा प्राप्त किया जाता है। पत्तियों की संख्या कम से कम अधिकतम शीर्ष डिग्री है।
एक वृक्ष में किन्हीं तीन शीर्षों के लिए, उनके बीच के तीन रास्तों में ठीक एक शीर्ष उभयनिष्ठ होता है। अधिक आम तौर पर, एक आरेख ़ में एक शीर्ष जो तीन शीर्षों में से तीन सबसे छोटे पथों से संबंधित होता है, इन शीर्षों का माध्यिका कहलाता है। क्योंकि एक वृक्ष में हर तीन कोने में एक अद्वितीय माध्यिका होती है, हर वृक्ष एक माध्यिका आरेख होता है।
हर वृक्ष का एक आरेख केंद्र होता है जिसमें एक शीर्ष या दो आसन्न कोने होते हैं। केंद्र प्रत्येक सबसे लंबे पथ में मध्य शीर्ष या मध्य दो शीर्ष होता है। इसी तरह, प्रत्येक एन- शीर्ष् वृक्ष में एक केन्द्रक होता है जिसमें एक शीर्ष या दो आसन्न कोने होते हैं। पहले मामले में शीर्ष् को हटाने से वृक्ष को n/2 वर्टिकल से कम के सबवृक्ष में विभाजित किया जाता है। दूसरे मामले में, दो केन्द्रकीय शीर्षों के बीच के किनारे को हटाने से वृक्ष ठीक n/2 शीर्षों के दो उपवृक्षों में विभाजित हो जाता है।

गणना

लेबल वाले वृक्ष

केली के सूत्र में कहा गया है कि हैं $n n -2$ वृक्ष पर $n$ लेबल वाले शीर्ष। एक क्लासिक प्रूफ प्रुफर अनुक्रम का उपयोग करता है, जो स्वाभाविक रूप से एक मजबूत परिणाम दिखाता है: शीर्ष वाले वृक्ष ों की संख्या $1, 2, \dots, n$ डिग्री $d 1, d 2, \dots, d n$ क्रमशः बहुपद प्रमेय है

{n-2 \choose d_{1}-1,d_{2}-1,\ldots ,d_{n}-1}.

एक अधिक सामान्य समस्या एक अप्रत्यक्ष आरेख में फैले हुए वृक्ष ों की गिनती करना है, जिसे मैट्रिक्स वृक्ष प्रमेय द्वारा संबोधित किया जाता है। (केली का सूत्र एक पूर्ण आरेख में फैले वृक्ष ों का विशेष मामला है।) आकार की परवाह किए बिना सभी उप-वृक्षों को गिनने की समान समस्या सामान्य स्थिति में शार्प-पी-पूर्ण|#पी-पूर्ण है (Jerrum (1994)).

बिना लेबल वाले वृक्ष

बिना लेबल वाले मुक्त वृक्ष ों की संख्या गिनना एक कठिन समस्या है। संख्या के लिए कोई बंद सूत्र नहीं $t (n)$ वृक्ष ों के साथ $n$ आरेख समाकृतिकता तक शीर्ष ज्ञात है। के पहले कुछ मान $t (n)$ हैं

1, 1, 1, 1, 2, 3, 6, 11, 23, 47, 106, 235, 551, 1301, 3159, … (sequence A000055 in the OEIS).

Otter (1948) स्पर्शोन्मुख अनुमान सिद्ध किया

t(n)\sim C\alpha ^{n}n^{-5/2}\quad {\text{as }}n\to \infty ,

साथ $C \approx 0.534949606...$ और $α \approx 2.95576528565...$ (sequence A051491 in the OEIS). यहां ही $~$ चिह्न का अर्थ है

\lim _{n\to \infty }{\frac {t(n)}{C\alpha ^{n}n^{-5/2}}}=1.

यह संख्या के लिए उनके विषम अनुमान का परिणाम है $r (n)$ बिना लेबल वाले जड़ वाले वृक्ष $n$ कोने:

r(n)\sim D\alpha ^{n}n^{-3/2}\quad {\text{as }}n\to \infty ,

साथ $D \approx 0.43992401257...$ और एक सा $α$ ऊपर के रूप में (cf. Knuth (1997), बच्चू। 2.3.4.4 और Flajolet & Sedgewick (2009), बच्चू। VII.5, पी। 475)।

के पहले कुछ मान $r (n)$ हैं^[10]

1, 1, 2, 4, 9, 20, 48, 115, 286, 719, 1842, 4766, 12486, 32973, … (sequence A000081 in the OEIS)

वृक्ष ों के प्रकार

एक पथ आरेख (या रैखिक आरेख ) के होते हैं $n$ शीर्षों को एक पंक्ति में व्यवस्थित किया जाता है, ताकि शीर्षों को $i$ और $i + 1$ किनारे से जुड़े हुए हैं $i = 1, \dots, n - 1$ .
एक तारकीय वृक्ष में एक केंद्रीय शीर्ष होता है जिसे जड़ कहा जाता है और इससे जुड़े कई पथ आरेख होते हैं। अधिक औपचारिक रूप से, एक वृक्ष तारे जैसा होता है यदि उसके पास 2 से अधिक डिग्री का ठीक एक शीर्ष होता है।
एक तारा (आरेख सिद्धांत) एक वृक्ष है जिसमें एक आंतरिक शीर्ष (और $n - 1$ पत्तियाँ)। दूसरे शब्दों में, आदेश का एक तारा वृक्ष $n$ व्यवस्था का वृक्ष है $n$ अधिक से अधिक पत्तियों के साथ।
एक कैटरपिलर वृक्ष एक ऐसा वृक्ष है जिसमें सभी कोने एक केंद्रीय पथ सबआरेख की दूरी 1 के भीतर हैं।
रेखांकन की एक सूची# लॉबस्टर एक वृक्ष है जिसमें सभी शीर्ष एक केंद्रीय पथ सबआरेख की दूरी 2 के भीतर हैं।
डिग्री का एक नियमित वृक्ष $d$ अनंत वृक्ष है $d$ प्रत्येक शीर्ष पर किनारों। ये मुक्त समूहों के केली आरेख और बिल्डिंग (गणित) के सिद्धांत के रूप में उत्पन्न होते हैं।

यह भी देखें

निर्णय वृक्ष
हाइपरवृक्ष
हॉटलाइन
छद्मवन
वृक्ष संरचना (सामान्य)
वृक्ष (डेटा संरचना)
बिना जड़ वाला बाइनरी वृक्ष

↑ Bender & Williamson 2010, p. 171.
↑ Cayley (1857) "On the theory of the analytical forms called trees," Philosophical Magazine, 4th series, 13 : 172–176.
However it should be mentioned that in 1847, K.G.C. von Staudt, in his book Geometrie der Lage (Nürnberg, (Germany): Bauer und Raspe, 1847), presented a proof of Euler's polyhedron theorem which relies on trees on pages 20–21. Also in 1847, the German physicist Gustav Kirchhoff investigated electrical circuits and found a relation between the number (n) of wires/resistors (branches), the number (m) of junctions (vertices), and the number (μ) of loops (faces) in the circuit. He proved the relation via an argument relying on trees. See: Kirchhoff, G. R. (1847) "Ueber die Auflösung der Gleichungen, auf welche man bei der Untersuchung der linearen Vertheilung galvanischer Ströme geführt wird" (On the solution of equations to which one is led by the investigation of the linear distribution of galvanic currents), Annalen der Physik und Chemie, 72 (12) : 497–508.
↑ DeBiasio, Louis; Lo, Allan (2019-10-09). "कुछ शाखा शीर्षों के साथ फैले पेड़". arXiv:1709.04937 [math.CO].
↑ ^4.0 ^4.1 ^4.2 ^4.3 ^4.4 ^4.5 ^4.6 Bender & Williamson 2010, p. 173.
↑ ^5.0 ^5.1 Deo 1974, p. 207.
↑ See Black, Paul E. (4 May 2007). "k-ary tree". U.S. National Institute of Standards and Technology. Retrieved 8 February 2015.
↑ Stanley, Richard P. (2012), Enumerative Combinatorics, Vol. I, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 49, Cambridge University Press, p. 573, ISBN 9781107015425
↑ Diestel (2005), Prop. 8.2.4.
↑ Diestel (2005), Prop. 8.5.2.
↑ See Li (1996).

संदर्भ

Bender, Edward A.; Williamson, S. Gill (2010), Lists, Decisions and Graphs. With an Introduction to Probability
Dasgupta, Sanjoy (1999), "Learning polytrees", in Proc. 15th Conference on Uncertainty in Artificial Intelligence (UAI 1999), Stockholm, Sweden, July–August 1999 (PDF), pp. 134–141.
Deo, Narsingh (1974), Graph Theory with Applications to Engineering and Computer Science (PDF), Englewood, New Jersey: Prentice-Hall, ISBN 0-13-363473-6, archived (PDF) from the original on 2019-05-17
Harary, Frank; Prins, Geert (1959), "The number of homeomorphically irreducible trees, and other species", Acta Mathematica (in English), 101 (1–2): 141–162, doi:10.1007/BF02559543, ISSN 0001-5962
Harary, Frank; Sumner, David (1980), "The dichromatic number of an oriented tree", Journal of Combinatorics, Information & System Sciences, 5 (3): 184–187, MR 0603363.
Kim, Jin H.; Pearl, Judea (1983), "A computational model for causal and diagnostic reasoning in inference engines", in Proc. 8th International Joint Conference on Artificial Intelligence (IJCAI 1983), Karlsruhe, Germany, August 1983 (PDF), pp. 190–193.
Li, Gang (1996), "Generation of Rooted Trees and Free Trees", M.S. Thesis, Dept. of Computer Science, University of Victoria, BC, Canada (PDF), p. 9.
Simion, Rodica (1991), "Trees with 1-factors and oriented trees", Discrete Mathematics, 88 (1): 93–104, doi:10.1016/0012-365X(91)90061-6, MR 1099270.

अग्रिम पठन

Diestel, Reinhard (2005), Graph Theory (3rd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-26183-4.
Flajolet, Philippe; Sedgewick, Robert (2009), Analytic Combinatorics, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-89806-5
"Tree", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Knuth, Donald E. (November 14, 1997), The Art of Computer Programming Volume 1: Fundamental Algorithms (3rd ed.), Addison-Wesley Professional
Jerrum, Mark (1994), "Counting trees in a graph is #P-complete", Information Processing Letters, 51 (3): 111–116, doi:10.1016/0020-0190(94)00085-9, ISSN 0020-0190.
Otter, Richard (1948), "The Number of Trees", Annals of Mathematics, Second Series, 49 (3): 583–599, doi:10.2307/1969046, JSTOR 1969046.

[FOOTNOTEBenderWilliamson2010171-1] Bender & Williamson 2010, p. 171.

[2] Cayley (1857) "On the theory of the analytical forms called trees," Philosophical Magazine, 4th series, 13 : 172–176.
However it should be mentioned that in 1847, K.G.C. von Staudt, in his book Geometrie der Lage (Nürnberg, (Germany): Bauer und Raspe, 1847), presented a proof of Euler's polyhedron theorem which relies on trees on pages 20–21. Also in 1847, the German physicist Gustav Kirchhoff investigated electrical circuits and found a relation between the number (n) of wires/resistors (branches), the number (m) of junctions (vertices), and the number (μ) of loops (faces) in the circuit. He proved the relation via an argument relying on trees. See: Kirchhoff, G. R. (1847) "Ueber die Auflösung der Gleichungen, auf welche man bei der Untersuchung der linearen Vertheilung galvanischer Ströme geführt wird" (On the solution of equations to which one is led by the investigation of the linear distribution of galvanic currents), Annalen der Physik und Chemie, 72 (12) : 497–508.

[3] DeBiasio, Louis; Lo, Allan (2019-10-09). "कुछ शाखा शीर्षों के साथ फैले पेड़". arXiv:1709.04937 [math.CO].

[FOOTNOTEBenderWilliamson2010173-4] 4.0 ^4.1 ^4.2 ^4.3 ^4.4 ^4.5 ^4.6 Bender & Williamson 2010, p. 173.

[FOOTNOTEDeo1974207-5] 5.0 ^5.1 Deo 1974, p. 207.

[6] See Black, Paul E. (4 May 2007). "k-ary tree". U.S. National Institute of Standards and Technology. Retrieved 8 February 2015.

[7] Stanley, Richard P. (2012), Enumerative Combinatorics, Vol. I, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 49, Cambridge University Press, p. 573, ISBN 9781107015425

[FOOTNOTEDiestel2005Prop._8.2.4-8] Diestel (2005), Prop. 8.2.4.

[FOOTNOTEDiestel2005Prop._8.5.2-9] Diestel (2005), Prop. 8.5.2.

[10] See Li (1996).

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 * {{mvar|G}} जुड़ा हुआ है, और हर [[सबग्राफ (ग्राफ थ्योरी)|उपआरेख]] का {{mvar|G}} शून्य या एक घटना शीर्षों के साथ कम से कम एक शीर्ष सम्मिलित है।
 * G का कोई सरल चक्र नहीं है और इसमें n − 1 शीर्ष  है।
-आरेख  सिद्धांत में कहीं और के रूप में, क्रम-शून्य आरेख को सामान्यतः एक वृक्ष नहीं माना जाता है,जबकि यह रिक्त रूप से एक आरेख के रूप में जुड़ा हुआ है, बीजगणितीय टोपोलॉजी में यह 0-सम्बद्ध नहीं है,अरिक्‍तपंक्‍तिवृक्ष           ों के विपरीत, और "शीर्षों के सापेक्ष में एक और शीर्ष" संबंध का उल्लंघन करता है। यद्यपि, इसे शून्य वृक्ष वाला जंगल माना जा सकता है।,
+आरेख  सिद्धांत में कहीं और के रूप में, क्रम-शून्य आरेख को सामान्यतः एक वृक्ष नहीं माना जाता है,जबकि यह रिक्त रूप से एक आरेख के रूप में जुड़ा हुआ है, बीजगणितीय टोपोलॉजी में यह 0-सम्बद्ध नहीं है,अरिक्‍त पंक्‍तिवृक्ष के विपरीत, और "शीर्षों के सापेक्ष में एक और शीर्ष" संबंध का उल्लंघन करता है। यद्यपि, इसे शून्य वृक्ष वाला जंगल माना जा सकता है।,
 एक आंतरिक शीर्ष् कम से कम 2 के डिग्री वाला शीर्ष्  होता है। इसी तरह, बाहरी शीर्ष् उस शीर्ष् को कहते हैं जिसका डिग्री 1 हो, एक वृक्ष में एक शाखा शीर्ष उस शीर्ष को कहा जाता है जिसका डिग्री कम से कम 3 हो।<ref>{{cite arXiv |last1=DeBiasio |first1=Louis |last2=Lo |first2=Allan |date=2019-10-09 |title=कुछ शाखा शीर्षों के साथ फैले पेड़|class=math.CO |eprint=1709.04937 }}</ref>
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 एक पॉलीवृक्ष या निर्देशित वृक्ष एक निर्देशित अविसारण आरेख (डीएजी) होता है जिसका अंतर्निहित अविन्यासी आरेख एक वृक्ष होता है। दूसरे शब्दों में, यदि हक धारित एजों को अविधारित एजों से बदल दें, तो हम एक अविधारित आरेख प्राप्त करते हैं जो संयुक्त और अचक्रीय दोनों होता है।दू सरे शब्दों में, यदि हम इसकी निर्दिष्ट धाराएं अविन्यस्त धाराओं में बदल दें, तो हम एक अविन्यस्त आरेख प्राप्त करते है ।
-कुछ लेखक{{who|date=November 2021}} वाक्यांश निर्देशित वृक्ष को उस विषय तक सीमित करें जहां शीर्षों को एक विशेष शीर्ष की ओर निर्देशित किया जाता है, या सभी को एक विशेष शीर्ष से दूर निर्देशित किया जाता है
+कुछ लेखक वाक्यांश निर्देशित वृक्ष को उस विषय तक सीमित करें जहां शीर्षों को एक विशेष शीर्ष की ओर निर्देशित किया जाता है, या सभी को एक विशेष शीर्ष से दूर निर्देशित किया जाता है
 === पॉलीवन ===
-पॉलीवन या निर्देशित वन)एक निर्देशित आरेख  होता है जिसका अंशकारी अशिखित आरेख एक वन होता है। अर्थात् जब हम इसकी निर्देशित धुरीयों को अनिर्दिष्ट धुरीयों में बदलते हैं, तो हमें एक वन मिलता है जो कि अनुबंधित और अशिखित दोनों होता है। दूसरे शब्दों में, यदि हम इसके निर्देशित किनारों को अप्रत्यक्ष किनारों से प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें एक अप्रत्यक्ष आरेख             प्राप्त होता है जो चक्रीय है।
+पॉलीवन या निर्देशित वन)एक निर्देशित आरेख होता है जिसका अंशकारी अशिखित आरेख एक वन होता है। अर्थात् जब हम इसकी निर्देशित धुरीयों को अनिर्दिष्ट धुरीयों में बदलते हैं, तो हमें एक वन मिलता है जो कि अनुबंधित और अशिखित दोनों होता है। दूसरे शब्दों में, यदि हम इसके निर्देशित किनारों को अप्रत्यक्ष किनारों से प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें एक अप्रत्यक्ष आरेख             प्राप्त होता है जो चक्रीय है।
 कुछ लेखक"निर्देशित वन" शब्द अपने सीमित अर्थ में प्रयोग करते हैं, जहां प्रत्येक जुड़े हुए घटक की सभी संयुक्त तत्व एक विशिष्ट शिखर की ओर निर्देशित होते हैं या एक विशिष्ट शिखर से सभी दिशाओं में निर्देशित होते हैं।
 === जड़ वाला वृक्ष            ===
-एक जड़ वाला वृक्ष एक ऐसा वृक्ष है जिसमें एक शीर्ष को जड़ के रूप में नामित निर्दिष्ट किया गया है।{{sfn|Bender|Williamson|2010|p=173}} एक जड़ वाले वृक्ष के किनारों को एक प्राकृतिक अभिविन्यास दिया जा सकता है, या तो जड़ से दूर या उसकी ओर, जिस स्थिति में संरचना एक निर्देशित जड़ वाला वृक्ष बन जाती है। जब एक निर्देशित जड़ वाले वृक्ष का एक अभिविन्यास जड़ से दूर होता है, तो इसे अवृक्षसमता या बाहरी-वृक्ष कहा जाता है ;{{sfn|Deo|1974|p=207}} जब इसका जड़ की ओर अभिविन्यास होता है, तो इसे प्रतिरोधी -अवृक्षसमता या आंतरिक -वृक्ष कहा जाता है।{{sfn|Deo|1974|p=207}} वृक्ष-क्रम एक वृक्ष के शीर्ष पर आंशिक क्रम {{math|''u'' < ''v''}} है  यदि वृक्ष -ऑदेश एक पेड़ के शीर्ष पर u < v के साथ आंशिक क्रम है यदि और केवल अगर रूट से v तक का अद्वितीय पथ u से होकर गुजरता है। कुछ आरेख के उपआरेख {{mvar|G}} एक [[सामान्य पेड़|सामान्य वृक्ष]] है अगर हर का अंत होता है {{mvar|T}}-पथ में {{mvar|G}} इस वृक्ष-ऑर्डर में तुलनीय हैं {{harv|Diestel|2005|p=15}}. जड़ वाले वृक्ष  अक्सर अतिरिक्त संरचना के साथ जैसे कि प्रत्येक शीर्ष पर पड़ोसियों को आदेश देना, कंप्यूटर विज्ञान में एक महत्वपूर्ण डेटा संरचना है; [[वृक्ष डेटा संरचना]] देखें।
+एक जड़ वाला वृक्ष एक ऐसा वृक्ष है जिसमें एक शीर्ष को जड़ के रूप में नामित निर्दिष्ट किया गया है।{{sfn|Bender|Williamson|2010|p=173}} एक जड़ वाले वृक्ष के किनारों को एक प्राकृतिक अभिविन्यास दिया जा सकता है, या तो जड़ से दूर या उसकी ओर, जिस स्थिति में संरचना एक निर्देशित जड़ वाला वृक्ष बन जाती है। जब एक निर्देशित जड़ वाले वृक्ष का एक अभिविन्यास जड़ से दूर होता है, तो इसे अवृक्षसमता या बाहरी-वृक्ष कहा जाता है;{{sfn|Deo|1974|p=207}} जब इसका जड़ की ओर अभिविन्यास होता है, तो इसे प्रतिरोधी -अवृक्षसमता या आंतरिक वृक्ष कहा जाता है।{{sfn|Deo|1974|p=207}} वृक्ष-क्रम एक वृक्ष के शीर्ष पर आंशिक क्रम {{math|''u'' < ''v''}} है  यदि वृक्ष -ऑदेश एक पेड़ के शीर्ष पर u < v के साथ आंशिक क्रम है तो रूट से v तक का अद्वितीय पथ u से होकर गुजरता है। कुछ आरेख के उपआरेख {{mvar|G}} एक [[सामान्य पेड़|सामान्य वृक्ष]] है अगर हर का अंत होता है {{mvar|T}}-पथ में {{mvar|G}} इस वृक्ष-ऑर्डर में तुलनीय हैं  जड़ वाले वृक्ष प्रायः अतिरिक्त संरचना के साथ जैसे कि प्रत्येक शीर्ष पर पड़ोसियों को आदेश देना, कंप्यूटर विज्ञान में एक महत्वपूर्ण डेटा संरचना है; [[वृक्ष डेटा संरचना]] देखें।
 ऐसे संदर्भ में जहां वृक्ष            ों की आमतौर पर जड़ होती है, बिना किसी निर्दिष्ट जड़ वाले वृक्ष             को मुक्त वृक्ष             कहा जाता है।

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वृक्ष

वन

पॉलीवृक्ष

पॉलीवन

जड़ वाला वृक्ष

आदेश दिया गया वृक्ष

गुण

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लेबल वाले वृक्ष

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वृक्ष ों के प्रकार

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