दोहरी शंकु और ध्रुवीय शंकु

एक समुच्चय C और इसका द्विशंकु C^*.

एक समुच्चय C और इसका ध्रुवीय शंकु C^{हे</सुप>. दोहरे शंकु और ध्रुवीय शंकु मूल बिंदु के संबंध में एक दूसरे के सममित है।}

दोहरे शंकु और ध्रुवीय शंकु उत्तल विश्लेषण, गणित की एक शाखा से संबंधित अवधारणाएं होती है।

दोहरी शंकु

एक वेक्टर स्थान में

वास्तविक संख्याओ के ऊपर एक रैखिक स्थान X में उपसमुच्चय की दोहरी शंकु है C उदाहरण यूक्लिडियन स्थान Rⁿ, दोहरे स्थान X के साथ है

$C^{*}=\left\{y\in X^{*}:\langle y,x\rangle \geq 0\quad \forall x\in C\right\},$

जहाँ $\langle y,x\rangle$ X और X के बीच की दोहरी प्रणाली होती है, अर्थात $\langle y,x\rangle =y(x)$

C हमेशा एक उत्तल शंकु होता है, C न तो उत्तल समुच्चय होता है और न ही एक रैखिक शंकु होता है।

एक सामयिक सदिश स्थान में

यदि X वास्तविक या जटिल संख्याओं पर एक सामयिक सदिश स्थान है, तो एक उपसमुच्चय C ⊆ X के 'दोहरे शंकु' X पर निरंतर रैखिक क्रियाओं का निम्नलिखित समुच्चय है:

$C^{\prime }:=\left\{f\in X^{\prime }:\operatorname {Re} \left(f(x)\right)\geq 0{\text{ for all }}x\in C\right\}$,

जो समुच्चय C का ध्रुवीय समुच्चय होता है। कोई फर्क नहीं पड़ता कि C क्या है, $C^{\prime }$ उत्तल शंकु होता है। यदि C ⊆ {0} है तो $C^{\prime }=X^{\prime }$

हिल्बर्ट स्थान में (आंतरिक दोहरी शंकु)

वैकल्पिक रूप से, कई लेखक वास्तविक हिल्बर्ट स्थान के संदर्भ में दोहरे शंकु को परिभाषित करते है (जैसे कि Rⁿ यूक्लिडियन आंतरिक उत्पाद से सुसज्जित) जिसे कभी-कभी आंतरिक दोहरा शंकु कहा जाता है।

$C_{\text{internal}}^{*}:=\left\{y\in X:\langle y,x\rangle \geq 0\quad \forall x\in C\right\}.$

C के लिए इस परिभाषा का उपयोग करता है, हमारे पास यह है कि जब C एक शंकु होता है, तो निम्नलिखित गुण होते है:

• एक शून्येतर सदिश y, C में होता है यदि और केवल निम्न दोनों शर्तें लागू होती है:

1. y एक हाइपरप्लेन के मूल में सामान्य सतह है जो हाइपरप्लेन C का समर्थन करता है।
2. y और C उस हाइपरप्लेन का समर्थन करते है जो के एक ही तरफ स्थित होते है।

• C बंद सेट और उत्तल होता है।
• $C_{1}\subseteq C_{2}$ तात्पर्य है $C_{2}^{*}\subseteq C_{1}^{*}$.
• यदि C का अभ्यंतर खाली नहीं होता है, तो C तीक्ष्ण होता है, अर्थात C में पूरी तरह से कोई रेखा नही होती है।
• यदि C एक शंकु होता है और C तीक्ष्ण होता है, तो C गैर-खाली आंतरिक होता है।
• C युक्त सबसे छोटे उत्तल शंकु का बंद होना हाइपरप्लेन पृथक्करण प्रमेय का एक परिणाम होता है।

स्व-दोहरी शंकु

सदिश स्थान X में एक शंकु C को स्व-दोहरी कहा जाता है यदि X को एक आंतरिक उत्पाद ⟨⋅,⋅⟩ से सुसज्जित किया जा सकता है जैसे कि इस आंतरिक उत्पाद के सापेक्ष आंतरिक दोहरा शंकु C के बराबर होता है। वे लेखक जो दोहरे शंकु को एक वास्तविक हिल्बर्ट स्थान में आंतरिक दोहरे शंकु के रूप में परिभाषित करते है, सामान्यतः कहते है कि एक शंकु स्वयं-दोहरी तब होता है जब यह इसके आंतरिक दोहरे के बराबर होता है। यह उपरोक्त परिभाषा से थोड़ा अलग होता है, जो आंतरिक उत्पाद में बदलाव की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए, उपरोक्त परिभाषा Rⁿ में दीर्घवृत्ताभ आधार स्व-दोहरी के साथ एक शंकु बनाती है, क्योंकि आधार को गोलाकार बनाने के लिए आंतरिक उत्पाद को बदला जाता है, और Rⁿ में गोलाकार आधार वाला एक शंकु इसके आंतरिक दोहरे के बराबर होता है।

Rⁿ का गैर-नकारात्मक और सभी सकारात्मक अर्ध-निश्चित आव्यूह का स्थान स्व-द्वैत होता है, जैसे कि दीर्घवृत्तीय आधार वाले शंकु होते है (अधिकांशतः गोलाकार शंकु, लोरेंत्ज़ शंकु कहा जाता है)। अतः सभी शंकु R³ में होते है। R³ में शंकु का एक नियमित उदाहरण होता है: एक वर्ग का उत्तल हल और वर्ग के बाहर एक बिंदु वर्ग के पक्ष के साथ एक समबाहु त्रिभुज बनाता है।

ध्रुवीय शंकु

बंद उत्तल शंकु C का ध्रुव बंद उत्तल शंकु C है^ओ, और इसके विपरीत।

X में समुच्चय C के लिए, C का ध्रुवीय शंकु समुच्चय होता है

$C^{o}=\left\{y\in X^{*}:\langle y,x\rangle \leq 0\quad \forall x\in C\right\}.$

यह देखा जा सकता है कि ध्रुवीय शंकु दोहरे शंकु के ऋणात्मक के बराबर होता है, अर्थात Co = -C

X में एक बंद उत्तल शंकु C के लिए होता है, ध्रुवीय शंकु C ध्रुवीय समुच्चय के बराबर होता है।

यह भी देखें

• द्विध्रुवी प्रमेय
• ध्रुवीय सेट

ग्रन्थसूची

• Boltyanski, V. G.; Martini, H.; Soltan, P. (1997). Excursions into combinatorial geometry. New York: Springer. ISBN 3-540-61341-2.
• Goh, C. J.; Yang, X.Q. (2002). Duality in optimization and variational inequalities. London; New York: Taylor & Francis. ISBN 0-415-27479-6.
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
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