संवृत ग्राफ प्रमेय

This article is about बंद ग्राफ प्रमेय में general topology. For बंद ग्राफ प्रमेय में functional analysis, see बंद ग्राफ प्रमेय (functional analysis).

अंतराल $[-4,4]$ पर cubic function $f(x)=x^{3}-9x$ का ग्राफ़ बंद है क्योंकि फ़ंक्शन continuous है। $[-2,2]$ Heaviside function का ग्राफ़ बंद नहीं है, क्योंकि फ़ंक्शन निरंतर नहीं है।

गणित में, बंद ग्राफ़ प्रमेय कई आधारस्वरूप परिणामों में से एक को संदर्भित कर सकता है जो उनके ग्राफ़ के संदर्भ में निरंतर कार्यों को दर्शाता है। प्रत्येक स्थिति देता में बंद ग्राफ वाले कार्य आवश्यक रूप से निरंतर होते हैं।

बंद रेखांकन वाले रेखांकन और आरेख

Main article: बंद ग्राफ

यदि $f:X\to Y$ टोपोलॉजिकल स्थान के बीच एक आरेख है, फिर $f$ ग्राफ सेट है $\operatorname {Gr} f:=\{(x,f(x)):x\in X\}$ या समकक्ष,

$$\operatorname {Gr} f:=\{(x,y)\in X\times Y:y=f(x)\}$$

कहा जाता है कि ग्राफ $f$ बंद है यदि $\operatorname {Gr} f$ $X\times Y$ का एक बंद सेट है (उत्पाद टोपोलॉजी के साथ)।

किसी भी निरंतर कार्य का एक बंद ग्राफ हॉसडॉर्फ अंतरिक्ष स्थान होता है।

कोई रैखिक आरेख, $L:X\to Y,$ दो टोपोलॉजिकल वेक्टर स्थान के बीच जिनकी टोपोलॉजी (कॉची) ट्रांसलेशन इनवेरिएंट मेट्रिक्स के संबंध में पूर्ण हैं, और यदि अतिरिक्त (1a) $L$ उत्पाद टोपोलॉजीके अर्थ में क्रमिक रूप से निरंतर है, फिर आरेख L निरंतर है और इसका ग्राफ, Gr L अनिवार्य रूप से बंद है।। इसके विपरीत यदि $L$ (1a) के स्थान पर एक ऐसा रेखीय आरेख है, जिसका ग्राफ $L$ (1b) है $X\times Y$ कार्टेशियन उत्पाद स्थान में बंद होने के लिए जाना जाता है , तब $L$ निरंतर और आवश्यक रूप से क्रमिक निरंतर है।

निरंतर आरेख के उदाहरण जिनमें बंद ग्राफ नहीं है

यदि $X$ कोई स्थान है तो पहचान आरेख $\operatorname {Id} :X\to X$ निरंतर है लेकिन इसका ग्राफ $\operatorname {Gr} \operatorname {Id} :=\{(x,x):x\in X\},$जो विकर्ण है, $X\times X$ में बंद है यदि और केवल यदि $X$ हॉसडॉर्फ है। विशेष रूप से, यदि $X$ हौसडॉर्फ नहीं है तब $\operatorname {Id} :X\to X$ निरंतर है लेकिन इसका बंद ग्राफ़ नहीं है।

माना की $X$ वास्तविक संख्याओं $\mathbb {R}$ सामान्य यूक्लिडियन टोपोलॉजी के साथ को निरूपित करता है और $Y$ अविवेकपूर्ण टोपोलॉजी के साथ $\mathbb {R}$ को निरूपित करता है (जहां ध्यान दें कि $Y$ हॉसडॉर्फनहीं है और यह कि Y में मान का प्रत्येक फलन सतत है)। माना की $f:X\to Y$ द्वारा $f(0)=1$ और $f(x)=0$ सभी के लिए $x\neq 0$. परिभाषित किया जाना चाहिए फिर $f:X\to Y$ निरंतर है लेकिन इसका ग्राफ$X\times X$ में बंद नहीं है .

पॉइंट-सेट टोपोलॉजी में बंद ग्राफ प्रमेय

बिंदु-सेट टोपोलॉजी में, बंद ग्राफ प्रमेय निम्नलिखित बताता है:

बंद ग्राफ प्रमेय — यदि $f:X\to Y$ एक topological space $X$ से एक Hausdorff space $Y,$ में एक मैप है,तो $f$ ग्राफ बंद हो जाता है यदि $f:X\to Y$ is continuous. इसका विलोम तब सत्य होता है जब $Y$ is compact. (ध्यान दें कि सघनता और हौसडॉर्फनेस एक-दूसरे से संबंधित नहीं हैं।)

Proof

पहला भाग अनिवार्य रूप से परिभाषा के अनुसार है।

दूसरा भाग

किसी भी खुले $V\subset Y$ के लिए, हम जाँचते हैं कि $f^{-1}(V)$ खुला है। तो कोई $x\in f^{-1}(V)$ लें, हम $x$ के कुछ खुले पड़ोस $U$ का निर्माण करते हैं, जैसे कि $f(U)\subset V$ ।

चूँकि $f$ का ग्राफ़ बंद है, प्रत्येक बिंदु $(x,y')$ के लिए "x पर लंबवत रेखा" पर, $y'\neq f(x)$ , $f$ के ग्राफ़ से एक खुला आयत $U_{y'}\times V_{y'}$ अलग करें। ये खुले आयत, जब y-अक्ष पर प्रक्षेपित होते हैं, $f(x)$ को छोड़कर y-अक्ष को कवर करते हैं, इसलिए एक और सेट $V$ जोड़ें।

सरलता से $U:=\bigcap _{y'\neq f(x)}U_{y'}$ लेने का प्रयास $x$ युक्त एक सेट का निर्माण करेगा, लेकिन इसकी गारंटी नहीं है खुले रहने के लिए, इसलिए हम यहाँ कॉम्पैक्टनेस का उपयोग करते हैं।

चूँकि $Y$ कॉम्पैक्ट है, हम $Y$ का एक परिमित खुला आवरण ले सकते हैं जैसे $\{V,V_{y'_{1}},...,V_{y'_{n}}\}$.

अब $U:=\bigcap _{i=1}^{n}U_{y'_{i}}$ लें। यह $x$ का एक खुला पड़ोस है, क्योंकि यह केवल एक परिमित चौराहा है। हम दावा करते हैं कि यह $U$ का खुला पड़ोस है जो हम चाहते हैं।

मान लीजिए नहीं, तो कुछ अनियंत्रित $x'\in U$ ऐसा है कि $f(x')\not \in V$ , तो इसका अर्थ होगा $f(x)')\in V_{y'_{i}}$ कुछ $i$ के लिए ओपन कवरिंग द्वारा, लेकिन फिर $(x',f(x'))\in U\times V_{y'_{i}}\subset U_{y'_{i}}\times V_{y'_{i}}$ , एक विरोधाभास क्योंकि इसे $f$ के ग्राफ़ से अलग होना माना जाता है।

अ-हॉउसडॉर्फ स्थान बहुत कम देखे जाते हैं, लेकिन अ-सघन स्थान सामान्य हैं। अ-कॉम्पैक्ट का एक उदाहरण $Y$ वास्तविक रेखा है, जो बंद ग्राफ के साथ असंतुलित कार्य की अनुमति देती है $f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{x}}{\text{ if }}x\neq 0,\\0{\text{ else}}\end{cases}}$.

सेट-वैल्यू फ़ंक्शंस के लिए

Closed graph theorem for set-valued functions — For a Hausdorff compact range space $Y$, a set-valued function $F:X\to 2^{Y}$ has a closed graph if and only if it is upper hemicontinuous and F(x) is a closed set for all $x\in X$.

कार्यात्मक विश्लेषण में

Main article: Closed graph theorem (functional analysis)

यदि $T:X\to Y$ टोपोलॉजिकल वेक्टर स्थान (टीवीएस) के बीच एक रैखिक ऑपरेटर है तो हम कहते हैं कि $T$ एक बंद रैखिक ऑपरेटर है यदि ग्राफ $T$ ,$X\times Y$ में बंद है जब $X\times Y$ उत्पाद टोपोलॉजी से संपन्न है।

बंद ग्राफ़ प्रमेय कार्यात्मक विश्लेषण में एक महत्वपूर्ण परिणाम है जो गारंटी देता है कि कुछ प्रतिबंध के तहत एक बंद रैखिक ऑपरेटर निरंतर है।

मूल परिणाम को कई बार सामान्यीकृत किया गया है। बंद ग्राफ प्रमेयों का एक प्रसिद्ध संस्करण निम्नलिखित है।

Theorem — A linear map between two F-spaces (e.g. Banach spaces) is continuous if and only if its graph is closed.

यह भी देखें

• Almost open linear map
• Barrelled space
• Closed graph
• Closed linear operator
• Discontinuous linear map
• Kakutani fixed-point theorem
• Open mapping theorem (functional analysis)
• Ursescu theorem
• Webbed space
• Zariski's main theorem

ग्रन्थसूची

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