सदिश बीजगणित संबंध

See also: सदिश कैलकुलस पहचान

सदिश बीजगणित में निम्नलिखित महत्वपूर्ण सर्वसमिकाएँ हैं। वे सर्वसमिकाएं जिनमें सदिश का परिमाण $\|\mathbf {A} \|$ सम्मिलित होता है, या दो सदिश A·B का डॉट गुणनफल (अदिश गुणनफल), किसी भी आयाम में सदिशों पर प्रयुक्त होता है। क्रॉस गुणनफल (सदिश गुणनफल) A×B का उपयोग करने वाली पहचान केवल तीन आयामों में परिभाषित की जाती है।

परिमाण

डॉट गुणनफल का उपयोग करके सदिश A का परिमाण व्यक्त किया जा सकता है:

$\|\mathbf {A} \|^{2}=\mathbf {A\cdot A}$

त्रि-आयामी यूक्लिडियन स्पेस में, सदिश का परिमाण पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके इसके तीन घटकों से निर्धारित किया जाता है:

$\|\mathbf {A} \|^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+A_{3}^{2}$

असमानताएं

• कॉची-श्वार्ज़ असमानता: $\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} \leq \left\|\mathbf {A} \right\|\left\|\mathbf {B} \right\|$
• त्रिभुज असमानता: $\|\mathbf {A+B} \|\leq \|\mathbf {A} \|+\|\mathbf {B} \|$
• विपरीत त्रिकोण असमानता: $\|\mathbf {A-B} \|\geq {\Bigl |}\|\mathbf {A} \|-\|\mathbf {B} \|{\Bigr |}$

कोण

सदिश गुणनफल और दो सदिशों के अदिश गुणनफल उनके बीच के कोण को परिभाषित करते हैं, और θ कहते हैं:

$\sin \theta ={\frac {\|\mathbf {A} \times \mathbf {B} \|}{\left\|\mathbf {A} \right\|\left\|\mathbf {B} \right\|}}\quad (-\pi <\theta \leq \pi )$

दाहिने हाथ के नियम को संतुष्ट करने के लिए, सकारात्मक θ के लिए, सदिश B, A से वामावर्त है, और ऋणात्मक θ के लिए यह दक्षिणावर्त है।

$\cos \theta ={\frac {\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} }{\left\|\mathbf {A} \right\|\left\|\mathbf {B} \right\|}}\quad (-\pi <\theta \leq \pi )$

पायथागॉरियन त्रिकोणमितीय पहचान तब प्रदान करती है:

$\left\|\mathbf {A\times B} \right\|^{2}+(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )^{2}=\left\|\mathbf {A} \right\|^{2}\left\|\mathbf {B} \right\|^{2}$

यदि सदिश A = (A_x, A_y, A_z) x-, y- और z-अक्षों के लंबकोणीय समुच्चय के साथ α, β, γ कोण बनाता है, तब:

$\cos \alpha ={\frac {A_{x}}{\sqrt {A_{x}^{2}+A_{y}^{2}+A_{z}^{2}}}}={\frac {A_{x}}{\|\mathbf {A} \|}}\ ,$

और समान रूप से कोण β, γ के लिए। फलस्वरूप:

$\mathbf {A} =\left\|\mathbf {A} \right\|\left(\cos \alpha \ {\hat {\mathbf {i} }}+\cos \beta \ {\hat {\mathbf {j} }}+\cos \gamma \ {\hat {\mathbf {k} }}\right),$

${\hat {\mathbf {i} }},\ {\hat {\mathbf {j} }},\ {\hat {\mathbf {k} }}$ अक्ष दिशाओं के साथ इकाई सदिश है।

क्षेत्र और आयतन

भुजाओं A और B वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल Σ जिसमें कोण θ है:

$\Sigma =AB\sin \theta ,$

जिसे समांतर चतुर्भुज के किनारों पर स्थित सदिश A और B के सदिश क्रॉस गुणनफल के परिमाण के रूप में पहचाना जाएगा। वह है:

$\Sigma =\left\|\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right\|={\sqrt {\left\|\mathbf {A} \right\|^{2}\left\|\mathbf {B} \right\|^{2}-\left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} \right)^{2}}}\ .$

(यदि A, B द्वि-आयामी सदिश हैं, तो यह पंक्तियों A, B के साथ 2 × 2 आव्यूह के निर्धारक के बराबर है।) इस अभिव्यक्ति का वर्ग है:

$\Sigma ^{2}=(\mathbf {A\cdot A} )(\mathbf {B\cdot B} )-(\mathbf {A\cdot B} )(\mathbf {B\cdot A} )=\Gamma (\mathbf {A} ,\ \mathbf {B} )\ ,$

जहां Γ (A, B) A और B के ग्राम निर्धारक द्वारा परिभाषित किया गया है:

$\Gamma (\mathbf {A} ,\ \mathbf {B} )={\begin{vmatrix}\mathbf {A\cdot A} &\mathbf {A\cdot B} \\\mathbf {B\cdot A} &\mathbf {B\cdot B} \end{vmatrix}}\ .$

इसी तरह से, तीन सदिशों 'A', 'B', 'C' द्वारा फैले समांतर चतुर्भुज का वर्गित आयतन तीन सदिशों के ग्राम निर्धारक द्वारा दिया जाता है::

$V^{2}=\Gamma (\mathbf {A} ,\ \mathbf {B} ,\ \mathbf {C} )={\begin{vmatrix}\mathbf {A\cdot A} &\mathbf {A\cdot B} &\mathbf {A\cdot C} \\\mathbf {B\cdot A} &\mathbf {B\cdot B} &\mathbf {B\cdot C} \\\mathbf {C\cdot A} &\mathbf {C\cdot B} &\mathbf {C\cdot C} \end{vmatrix}}\ ,$

चूंकि 'A', 'B', 'C' त्रि-आयामी सदिश हैं, यह स्केलर ट्रिपल गुणनफल के वर्ग के बराबर है;

$\det[\mathbf {A} ,\mathbf {B} ,\mathbf {C} ]=|\mathbf {A} ,\mathbf {B} ,\mathbf {C} |$

इस प्रक्रिया को n-आयामों तक बढ़ाया जा सकता है।

सदिशों का योग और गुणन

• जोड़ की क्रमविनिमेयता: $\mathbf {A} +\mathbf {B} =\mathbf {B} +\mathbf {A}$.
• अदिश गुणनफल की क्रमविनिमेयता: $\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\mathbf {B} \cdot \mathbf {A}$.
• क्रॉस गुणनफल की एंटीकम्यूटेटिविटी: $\mathbf {A} \times \mathbf {B} =\mathbf {-B} \times \mathbf {A}$.
• जोड़ पर अदिश द्वारा गुणन का वितरण: $c(\mathbf {A} +\mathbf {B} )=c\mathbf {A} +c\mathbf {B}$.
• अतिरिक्त पर स्केलर गुणनफल का वितरण: $\left(\mathbf {A} +\mathbf {B} \right)\cdot \mathbf {C} =\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {C}$.
• सदिश गुणनफल का वितरण योग से अधिक: $(\mathbf {A} +\mathbf {B} )\times \mathbf {C} =\mathbf {A} \times \mathbf {C} +\mathbf {B} \times \mathbf {C}$.
• स्केलर ट्रिपल गुणनफल:
  $$\mathbf {A} \cdot (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )=\mathbf {B} \cdot (\mathbf {C} \times \mathbf {A} )=\mathbf {C} \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )=|\mathbf {A} \,\mathbf {B} \,\mathbf {C} |={\begin{vmatrix}A_{x}&B_{x}&C_{x}\\A_{y}&B_{y}&C_{y}\\A_{z}&B_{z}&C_{z}\end{vmatrix}}.$$
• सदिश ट्रिपल गुणनफल: $\mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )=(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )\mathbf {B} -(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )\mathbf {C}$.
• जैकोबी पहचान:
  $$\mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )+\mathbf {C} \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )+\mathbf {B} \times (\mathbf {C} \times \mathbf {A} )=\mathbf {0} .$$
• बिनेट-कॉची पहचान:
  $$\mathbf {\left(A\times B\right)\cdot } \left(\mathbf {C} \times \mathbf {D} \right)=\left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} \right)\left(\mathbf {B} \cdot \mathbf {D} \right)-\left(\mathbf {B} \cdot \mathbf {C} \right)\left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {D} \right).$$
• लैग्रेंज की पहचान: $|\mathbf {A} \times \mathbf {B} |^{2}=(\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} )(\mathbf {B} \cdot \mathbf {B} )-(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )^{2}$.
• सदिश चौगुनी गुणनफल:
  $$(\mathbf {A} \times \mathbf {B} )\times (\mathbf {C} \times \mathbf {D} )\ =\ |\mathbf {A} \,\mathbf {B} \,\mathbf {D} |\,\mathbf {C} \,-\,|\mathbf {A} \,\mathbf {B} \,\mathbf {C} |\,\mathbf {D} \ =\ |\mathbf {A} \,\mathbf {C} \,\mathbf {D} |\,\mathbf {B} \,-\,|\mathbf {B} \,\mathbf {C} \,\mathbf {D} |\,\mathbf {A} .$$
• पिछले समीकरण का परिणाम:
  $$|\mathbf {A} \,\mathbf {B} \,\mathbf {C} |\,\mathbf {D} =(\mathbf {A} \cdot \mathbf {D} )\left(\mathbf {B} \times \mathbf {C} \right)+\left(\mathbf {B} \cdot \mathbf {D} \right)\left(\mathbf {C} \times \mathbf {A} \right)+\left(\mathbf {C} \cdot \mathbf {D} \right)\left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right).$$
• 3 आयामों में, सदिश D को आधार सदिश {A', 'B', 'C'} के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
  $$\mathbf {D} \ =\ {\frac {\mathbf {D} \cdot (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )}{|\mathbf {A} \,\mathbf {B} \,\mathbf {C} |}}\ \mathbf {A} +{\frac {\mathbf {D} \cdot (\mathbf {C} \times \mathbf {A} )}{|\mathbf {A} \,\mathbf {B} \,\mathbf {C} |}}\ \mathbf {B} +{\frac {\mathbf {D} \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )}{|\mathbf {A} \,\mathbf {B} \,\mathbf {C} |}}\ \mathbf {C} .$$

यह भी देखें

• सदिश स्पेस
• ज्यामितीय बीजगणित