अस्थिर-क्षेत्र हॉपिंग: Difference between revisions

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=== व्युत्पत्ति ===
=== व्युत्पत्ति ===
मूल एमओटी पेपर ने एक सरल धारणा पेश की है कि होपिंग ऊर्जा हूपिंग दूरी (तीन आयामी मामले में) के घन पर व्युत्क्रमानुपाती होती है। बाद में यह दिखाया गया कि यह धारणा अनावश्यक थी, और इस प्रमाण का यहाँ पालन किया गया है।<ref>{{cite journal | last1=Apsley | first1=N. | last2=Hughes | first2=H. P. | title=अव्यवस्थित प्रणालियों में होपिंग चालन का तापमान-और क्षेत्र-निर्भरता| journal=Philosophical Magazine | publisher=Informa UK Limited | volume=30 | issue=5 | year=1974 | issn=0031-8086 | doi=10.1080/14786437408207250 | pages=963–972| bibcode=1974PMag...30..963A }}</ref> मूल कागज में, किसी दिए गए तापमान पर hopping संभावना को दो मापदंडों पर निर्भर देखा गया था, आर साइटों के स्थानिक जुदाई, और डब्ल्यू, उनकी ऊर्जा जुदाई। अपस्ले और ह्यूजेस ने नोट किया कि वास्तव में अनाकार प्रणाली में, ये चर यादृच्छिक और स्वतंत्र होते हैं और इसलिए इन्हें एक पैरामीटर में जोड़ा जा सकता है, श्रेणी <math>\textstyle\mathcal{R}</math> दो साइटों के बीच, जो उनके बीच hopping की संभावना निर्धारित करता है।
मूल एमओटी लेख ने एक सरल धारणा प्रस्तुत की है कि होपिंग ऊर्जा हूपिंग दूरी के घन के व्युत्क्रमानुपाती होती है। बाद में यह दिखाया गया कि यह धारणा अनावश्यक थी, और इस प्रमाण का यहाँ पालन किया गया है।<ref>{{cite journal | last1=Apsley | first1=N. | last2=Hughes | first2=H. P. | title=अव्यवस्थित प्रणालियों में होपिंग चालन का तापमान-और क्षेत्र-निर्भरता| journal=Philosophical Magazine | publisher=Informa UK Limited | volume=30 | issue=5 | year=1974 | issn=0031-8086 | doi=10.1080/14786437408207250 | pages=963–972| bibcode=1974PMag...30..963A }}</ref> मूल पेपर में, दिए गए तापमान पर हॉपिंग प्रायोजन्यता को दो पैरामीटरों, R (स्थानिक अलगाव स्थानों के बीच) और W (उनके ऊर्जा अलगाव) पर निर्भर होते हुए देखा गया। अपस्ले और ह्यूजेस ने अभिलेखित किया कि वास्तव में अनाकार प्रणाली में, ये चर यादृच्छिक और स्वतंत्र होते हैं और इसलिए इन्हें एक मापदंड में श्रेणी <math>\textstyle\mathcal{R}</math> दो साइटों के बीच जोड़ा जा सकता है, जो उनके बीच होपिंग की संभावना निर्धारित करता है।


Mott ने दिखाया कि स्थानिक अलगाव के दो राज्यों के बीच hopping की संभावना <math>\textstyle R</math> और ऊर्जा पृथक्करण W का रूप है:
मोट ने दिखाया कि स्थानिक पृथक्करण के दो स्थितियों के मध्य होपिंग की संभावना <math>\textstyle R</math> और ऊर्जा पृथक्करण W का रूप है:
:<math>P\sim \exp \left[-2\alpha R-\frac{W}{kT}\right]</math>
:<math>P\sim \exp \left[-2\alpha R-\frac{W}{kT}\right]</math>
जहां α<sup>−1</sup> हाइड्रोजन जैसे स्थानीय तरंग-कार्य के लिए क्षीणन लंबाई है। यह मानता है कि उच्च ऊर्जा वाले राज्य में रुकना दर सीमित करने की प्रक्रिया है।
जहां α<sup>−1</sup> हाइड्रोजन जैसे स्थानीय तरंग-कार्य के लिए क्षीणन लंबाई है। वे यह मानते है कि उच्च ऊर्जा वाले चरण में रूकावट दर सीमित करने की प्रक्रिया है।


अब हम परिभाषित करते हैं <math>\textstyle\mathcal{R} = 2\alpha R+W/kT</math>, दो राज्यों के बीच की सीमा, इसलिए <math>\textstyle P\sim \exp (-\mathcal{R})</math>. राज्यों को चार-आयामी यादृच्छिक सरणी (तीन स्थानिक निर्देशांक और एक ऊर्जा समन्वय) में बिंदुओं के रूप में माना जा सकता है, उनके बीच की दूरी सीमा द्वारा दी गई है <math>\textstyle\mathcal{R}</math>.
अब हम <math>\textstyle\mathcal{R} = 2\alpha R+W/kT</math> अर्थात दो चरणों के बीच की सीमा को परिभाषित करते हैं, इसलिए <math>\textstyle P\sim \exp (-\mathcal{R})</math>. चरणों को चर-आयामी यादृच्छिक सरणी में बिंदुओं के रूप में माना जा सकता है, उनके बीच की दूरी सीमा <math>\textstyle\mathcal{R}</math> द्वारा दी गई है .


चालन इस चार-आयामी सरणी के माध्यम से हॉप्स की कई श्रृंखलाओं का परिणाम है और शॉर्ट-रेंज हॉप्स के पक्षधर हैं, यह राज्यों के बीच औसत निकटतम-पड़ोसी दूरी है जो समग्र चालकता को निर्धारित करता है। इस प्रकार चालकता का रूप है
चालन इस चर-आयामी सरणी के माध्यम से हॉप्स की कई श्रृंखलाओं का परिणाम है और शॉर्ट-रेंज हॉप्स के पक्षधर हैं, यह चरणों के बीच औसत निकटतम दूरी है जो समग्र चालकता को निर्धारित करता है। इस प्रकार चालकता का रूप है
:<math>\sigma \sim \exp (-\overline{\mathcal{R}}_{nn})</math>
:<math>\sigma \sim \exp (-\overline{\mathcal{R}}_{nn})</math>
कहाँ <math>\textstyle\overline{\mathcal{R}}_{nn}</math>औसत निकटतम-पड़ोसी सीमा है। इसलिए समस्या इस मात्रा की गणना करने की है।
जहाँ <math>\textstyle\overline{\mathcal{R}}_{nn}</math> औसत निकटतम सीमा है। इसलिए मूल समस्या इस मात्रा की गणना करने की है।


प्राप्त करने के लिए पहला कदम है <math>\textstyle\mathcal{N}(\mathcal{R})</math>, एक सीमा के भीतर राज्यों की कुल संख्या <math>\textstyle\mathcal{R}</math> फर्मी स्तर पर कुछ प्रारंभिक अवस्था में। डी-आयामों के लिए, और विशेष धारणाओं के तहत यह निकला
समाधान प्राप्त करने के लिए पहला चरण <math>\textstyle\mathcal{N}(\mathcal{R})</math> है , एक सीमा के भीतर चरणों की कुल संख्या <math>\textstyle\mathcal{R}</math> फर्मी स्तर पर कुछ प्रारंभिक अवस्था में प्रदर्शित की जाती है। डी-आयामों के लिए, और विशेष धारणाओं के अंतर्गत यह निम्नलिखित समीकरण द्वारा प्रदर्शित्र की जाती है
:<math>\mathcal{N}(\mathcal{R}) = K \mathcal{R}^{d+1}</math>
:<math>\mathcal{N}(\mathcal{R}) = K \mathcal{R}^{d+1}</math>
कहाँ <math>\textstyle K = \frac{N\pi kT}{3\times 2^d \alpha^d}</math>.
जहाँ <math>\textstyle K = \frac{N\pi kT}{3\times 2^d \alpha^d}</math>.
विशेष धारणाएं बस यही हैं <math>\textstyle\overline{\mathcal{R}}_{nn}</math> बैंड-चौड़ाई से काफी कम है और आराम से इंटरटॉमिक स्पेसिंग से बड़ा है।


फिर संभावना है कि एक राज्य श्रेणी के साथ <math>\textstyle\mathcal{R}</math> चार-आयामी स्थान में निकटतम पड़ोसी है (या सामान्य तौर पर (d+1)-आयामी स्थान) है
विशेष धारणाएं बस यही हैं कि <math>\textstyle\overline{\mathcal{R}}_{nn}</math> बैंड-चौड़ाई से काफी कम है और सरलता से अंतर आणविक दूरी से बड़ा है।
 
फिर संभावना है कि एक चरण श्रेणी के साथ <math>\textstyle\mathcal{R}</math> चार-आयामी स्थान में निकटतम है या सामान्यतः (d+1)-आयामी स्थान है
:<math>P_{nn}(\mathcal{R}) = \frac{\partial \mathcal{N}(\mathcal{R})}{\partial \mathcal{R}} \exp [-\mathcal{N}(\mathcal{R})]</math>
:<math>P_{nn}(\mathcal{R}) = \frac{\partial \mathcal{N}(\mathcal{R})}{\partial \mathcal{R}} \exp [-\mathcal{N}(\mathcal{R})]</math>
निकटतम-पड़ोसी वितरण।
निकटतम वितरण।


डी-आयामी मामले के लिए
डी-आयामी स्थितियों के लिए
:<math>\overline{\mathcal{R}}_{nn} = \int_0^\infty (d+1)K\mathcal{R}^{d+1}\exp (-K\mathcal{R}^{d+1})d\mathcal{R}</math>.
:<math>\overline{\mathcal{R}}_{nn} = \int_0^\infty (d+1)K\mathcal{R}^{d+1}\exp (-K\mathcal{R}^{d+1})d\mathcal{R}</math>.


इसका सरल प्रतिस्थापन करके इसका मूल्यांकन किया जा सकता है <math>\textstyle t=K\mathcal{R}^{d+1}</math> [[गामा समारोह]] में, <math>\textstyle \Gamma(z) = \int_0^\infty  t^{z-1} e^{-t}\,\mathrm{d}t</math>
[[गामा समारोह]] में इसका सरल प्रतिस्थापन करके इसका मूल्यांकन किया जा सकता है <math>\textstyle t=K\mathcal{R}^{d+1}</math>, <math>\textstyle \Gamma(z) = \int_0^\infty  t^{z-1} e^{-t}\,\mathrm{d}t</math>कुछ बीजगणित के बाद यह देता है
कुछ बीजगणित के बाद यह देता है
:<math>\overline{\mathcal{R}}_{nn} = \frac{\Gamma(\frac{d+2}{d+1})}{K^{\frac{1}{d+1}}}</math>
:<math>\overline{\mathcal{R}}_{nn} = \frac{\Gamma(\frac{d+2}{d+1})}{K^{\frac{1}{d+1}}}</math>
और इसलिए वह
और इसलिए वह
:<math>\sigma \propto \exp \left(-T^{-\frac{1}{d+1}}\right)</math>.
:<math>\sigma \propto \exp \left(-T^{-\frac{1}{d+1}}\right)</math>.


=== राज्यों का गैर-निरंतर घनत्व ===
=== चरणों का गैर-निरंतर घनत्व ===
जब अवस्थाओं का घनत्व स्थिर नहीं होता (विषम शक्ति नियम N(E)), Mott चालकता भी पुनः प्राप्त होती है, जैसा कि [http://hal.archives-ouvertes.fr/ccsd-00004661 इस लेख] में दिखाया गया है।
जब अवस्थाओं का घनत्व स्थिर नहीं होता (विषम शक्ति नियम N(E)), Mott चालकता भी पुनः प्राप्त होती है, जैसा कि [http://hal.archives-ouvertes.fr/ccsd-00004661 इस लेख] में दिखाया गया है।


== एफ़्रोस-शक्लोव्स्की वेरिएबल-रेंज होपिंग ==
== एफ़्रोस-शक्लोव्स्की वेरिएबल-रेंज होपिंग ==
{{See also|Coulomb gap}}
{{See also|Coulomb gap}}
Efros-Shklovskii (ES) वेरिएबल-रेंज होपिंग एक कंडक्शन प्रारूप        है, जो [[कूलम्ब गैप]] के लिए जिम्मेदार है, स्थानीयकृत इलेक्ट्रॉनों के बीच परस्पर क्रिया के कारण [[फर्मी स्तर]] के पास राज्यों के घनत्व में एक छोटी सी छलांग।<ref name=":0">{{Cite journal|last1=Efros|first1=A. L.|last2=Shklovskii|first2=B. I.|date=1975|title=अव्यवस्थित प्रणालियों की कूलम्ब गैप और कम तापमान चालकता|url=http://stacks.iop.org/0022-3719/8/i=4/a=003|journal=Journal of Physics C: Solid State Physics|language=en|volume=8|issue=4|pages=L49|doi=10.1088/0022-3719/8/4/003|bibcode=1975JPhC....8L..49E |issn=0022-3719}}</ref> इसका नाम एलेक्सी एल. एफ्रोस और [[बोरिस श्लोकोवस्की]] के नाम पर रखा गया था जिन्होंने 1975 में इसे प्रस्तावित किया था।<ref name=":0" />
Efros-Shklovskii (ES) वेरिएबल-रेंज होपिंग एक कंडक्शन प्रारूप        है, जो [[कूलम्ब गैप]] के लिए जिम्मेदार है, स्थानीयकृत इलेक्ट्रॉनों के बीच परस्पर क्रिया के कारण [[फर्मी स्तर]] के पास चरणों के घनत्व में एक छोटी सी छलांग।<ref name=":0">{{Cite journal|last1=Efros|first1=A. L.|last2=Shklovskii|first2=B. I.|date=1975|title=अव्यवस्थित प्रणालियों की कूलम्ब गैप और कम तापमान चालकता|url=http://stacks.iop.org/0022-3719/8/i=4/a=003|journal=Journal of Physics C: Solid State Physics|language=en|volume=8|issue=4|pages=L49|doi=10.1088/0022-3719/8/4/003|bibcode=1975JPhC....8L..49E |issn=0022-3719}}</ref> इसका नाम एलेक्सी एल. एफ्रोस और [[बोरिस श्लोकोवस्की]] के नाम पर रखा गया था जिन्होंने 1975 में इसे प्रस्तावित किया था।<ref name=":0" />


कूलम्ब गैप के विचार से तापमान की निर्भरता बदल जाती है
कूलम्ब गैप के विचार से तापमान की निर्भरता बदल जाती है

Revision as of 01:29, 5 June 2023

चर-क्षेत्र होपिंग एक ऐसा प्रारूप है जिसका उपयोग विस्तारित तापमान क्षेत्र में होपिंग द्वारा अव्यवस्थित अर्धचालक या अनाकार ठोस में वाहक परिवहन का वर्णन करने के लिए किया जाता है।[1] इसकी एक विशिष्ट तापमान निर्भरता है

जहाँ चालकता है और विचाराधीन प्रारूप पर निर्भर एक मापदण्ड है।

मोट चर-क्षेत्र होपिंग

मोट चरवाहनी का चर विस्तार नियम नीचे तापमान पर प्रतिस्थिति हुए सक्रिय विकिरण प्रणालियों में कमजोरी से व्यापक आवेश वाहक अवस्थाओं के साथ निर्देशांक द्वारा संयोजित किए गए होते हैं। इसमें एक विशेष तापमान आवंटन होता है।[2] और इसकी एक विशिष्ट तापमान निर्भरता है

त्रि-आयामी चालकता के लिए (के साथ = 1/4), और d-आयामों के लिए सामान्यीकृत समीकरण निम्नलिखित है

.

यदि अर्धचालक उद्योग एकल-स्फटिक उपकरणों को कांच की परतों के साथ परिवर्तन में सक्षम थे, तो बचत के कारण कम तापमान पर होपिंग चालन अत्यधिक उपयोगी है।[3]


व्युत्पत्ति

मूल एमओटी लेख ने एक सरल धारणा प्रस्तुत की है कि होपिंग ऊर्जा हूपिंग दूरी के घन के व्युत्क्रमानुपाती होती है। बाद में यह दिखाया गया कि यह धारणा अनावश्यक थी, और इस प्रमाण का यहाँ पालन किया गया है।[4] मूल पेपर में, दिए गए तापमान पर हॉपिंग प्रायोजन्यता को दो पैरामीटरों, R (स्थानिक अलगाव स्थानों के बीच) और W (उनके ऊर्जा अलगाव) पर निर्भर होते हुए देखा गया। अपस्ले और ह्यूजेस ने अभिलेखित किया कि वास्तव में अनाकार प्रणाली में, ये चर यादृच्छिक और स्वतंत्र होते हैं और इसलिए इन्हें एक मापदंड में श्रेणी दो साइटों के बीच जोड़ा जा सकता है, जो उनके बीच होपिंग की संभावना निर्धारित करता है।

मोट ने दिखाया कि स्थानिक पृथक्करण के दो स्थितियों के मध्य होपिंग की संभावना और ऊर्जा पृथक्करण W का रूप है:

जहां α−1 हाइड्रोजन जैसे स्थानीय तरंग-कार्य के लिए क्षीणन लंबाई है। वे यह मानते है कि उच्च ऊर्जा वाले चरण में रूकावट दर सीमित करने की प्रक्रिया है।

अब हम अर्थात दो चरणों के बीच की सीमा को परिभाषित करते हैं, इसलिए . चरणों को चर-आयामी यादृच्छिक सरणी में बिंदुओं के रूप में माना जा सकता है, उनके बीच की दूरी सीमा द्वारा दी गई है .

चालन इस चर-आयामी सरणी के माध्यम से हॉप्स की कई श्रृंखलाओं का परिणाम है और शॉर्ट-रेंज हॉप्स के पक्षधर हैं, यह चरणों के बीच औसत निकटतम दूरी है जो समग्र चालकता को निर्धारित करता है। इस प्रकार चालकता का रूप है

जहाँ औसत निकटतम सीमा है। इसलिए मूल समस्या इस मात्रा की गणना करने की है।

समाधान प्राप्त करने के लिए पहला चरण है , एक सीमा के भीतर चरणों की कुल संख्या फर्मी स्तर पर कुछ प्रारंभिक अवस्था में प्रदर्शित की जाती है। डी-आयामों के लिए, और विशेष धारणाओं के अंतर्गत यह निम्नलिखित समीकरण द्वारा प्रदर्शित्र की जाती है

जहाँ .

विशेष धारणाएं बस यही हैं कि बैंड-चौड़ाई से काफी कम है और सरलता से अंतर आणविक दूरी से बड़ा है।

फिर संभावना है कि एक चरण श्रेणी के साथ चार-आयामी स्थान में निकटतम है या सामान्यतः (d+1)-आयामी स्थान है

निकटतम वितरण।

डी-आयामी स्थितियों के लिए

.

गामा समारोह में इसका सरल प्रतिस्थापन करके इसका मूल्यांकन किया जा सकता है , कुछ बीजगणित के बाद यह देता है

और इसलिए वह

.

चरणों का गैर-निरंतर घनत्व

जब अवस्थाओं का घनत्व स्थिर नहीं होता (विषम शक्ति नियम N(E)), Mott चालकता भी पुनः प्राप्त होती है, जैसा कि इस लेख में दिखाया गया है।

एफ़्रोस-शक्लोव्स्की वेरिएबल-रेंज होपिंग

See also: Coulomb gap

Efros-Shklovskii (ES) वेरिएबल-रेंज होपिंग एक कंडक्शन प्रारूप है, जो कूलम्ब गैप के लिए जिम्मेदार है, स्थानीयकृत इलेक्ट्रॉनों के बीच परस्पर क्रिया के कारण फर्मी स्तर के पास चरणों के घनत्व में एक छोटी सी छलांग।[5] इसका नाम एलेक्सी एल. एफ्रोस और बोरिस श्लोकोवस्की के नाम पर रखा गया था जिन्होंने 1975 में इसे प्रस्तावित किया था।[5]

कूलम्ब गैप के विचार से तापमान की निर्भरता बदल जाती है

सभी आयामों के लिए (यानी = 1/2).[6][7]


यह भी देखें

टिप्पणियाँ

  1. ↑ Hill, R. M. (1976-04-16). "वेरिएबल-रेंज होपिंग". Physica Status Solidi A (in English). 34 (2): 601–613. Bibcode:1976PSSAR..34..601H. doi:10.1002/pssa.2210340223. ISSN 0031-8965.
  2. ↑ Mott, N. F. (1969). "गैर-क्रिस्टलीय सामग्री में चालन". Philosophical Magazine. Informa UK Limited. 19 (160): 835–852. Bibcode:1969PMag...19..835M. doi:10.1080/14786436908216338. ISSN 0031-8086.
  3. ↑ P.V.E. McClintock, D.J. Meredith, J.K. Wigmore. Matter at Low Temperatures. Blackie. 1984 ISBN 0-216-91594-5.
  4. ↑ Apsley, N.; Hughes, H. P. (1974). "अव्यवस्थित प्रणालियों में होपिंग चालन का तापमान-और क्षेत्र-निर्भरता". Philosophical Magazine. Informa UK Limited. 30 (5): 963–972. Bibcode:1974PMag...30..963A. doi:10.1080/14786437408207250. ISSN 0031-8086.
  5. ↑ 5.0 5.1 Efros, A. L.; Shklovskii, B. I. (1975). "अव्यवस्थित प्रणालियों की कूलम्ब गैप और कम तापमान चालकता". Journal of Physics C: Solid State Physics (in English). 8 (4): L49. Bibcode:1975JPhC....8L..49E. doi:10.1088/0022-3719/8/4/003. ISSN 0022-3719.
  6. ↑ Li, Zhaoguo (2017). et. al. "Transition between Efros–Shklovskii and Mott variable-range hopping conduction in polycrystalline germanium thin films". Semiconductor Science and Technology. 32 (3): 035010. Bibcode:2017SeScT..32c5010L. doi:10.1088/1361-6641/aa5390. S2CID 99091706.
  7. ↑ Rosenbaum, Ralph (1991). "InxOy फिल्मों में Mott से Efros-Shklovskii वेरिएबल-रेंज-होपिंग कंडक्टिविटी तक क्रॉसओवर". Physical Review B. 44 (8): 3599–3603. Bibcode:1991PhRvB..44.3599R. doi:10.1103/physrevb.44.3599. ISSN 0163-1829. PMID 9999988.

[Category:Electrical resistance and conductan

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