बीजगणितीय विविधता का एकल बिंदु: Difference between revisions

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[[बीजगणितीय ज्यामिति]] के गणितीय क्षेत्र में, [[बीजगणितीय किस्म|'''बीजगणितीय विविधता''']] {{math|''V''}} का एक विलक्षण बिंदु एक बिंदु {{math|''P''}} है जो 'विशेष' (इसलिए, एकवचन) है, ज्यामितीय अर्थ में कि इस बिंदु पर विविधता पर [[स्पर्शरेखा स्थान]] नियमित रूप से परिभाषित नहीं किया जा सकता है . वास्तविकताओं पर परिभाषित किस्मों के मामले में, यह धारणा स्थानीय गैर-सपाटता की धारणा को सामान्यीकृत करती है। एक बीजगणितीय किस्म का एक बिंदु जो एकवचन नहीं है, नियमित कहा जाता है। एक बीजगणितीय किस्म जिसमें कोई विलक्षण बिंदु नहीं है, को गैर-एकवचन या चिकना कहा जाता है।
[[बीजगणितीय ज्यामिति]] के गणितीय क्षेत्र में, [[बीजगणितीय किस्म|'''बीजगणितीय विविधता''']] {{math|''V''}} का एक विलक्षण बिंदु एक बिंदु {{math|''P''}} होता है, ज्यामितीय अर्थ में इस बिंदु पर विविधता पर [[स्पर्शरेखा स्थान]] नियमित रूप से परिभाषित नहीं किया जा सकता है। वास्तविकताओं पर परिभाषित विविधता के स्थिति में, यह धारणा स्थानीय गैर-सपाटता की धारणा को सामान्यीकृत करता है। एक बीजगणितीय विविधता का एक बिंदु जो एकवचन नहीं है, नियमित कहा जाता है। एक बीजगणितीय विविधता जिसमें कोई विलक्षण बिंदु नहीं होता है, उसको गैर-एकवचन कहा जाता है।


[[File:Newtonsche Knoten.png|thumb|समीकरण का [[समतल बीजगणितीय वक्र]] (एक [[घन वक्र]])।
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[[निहित समीकरण]] द्वारा परिभाषित समतल वक्र
[[निहित समीकरण]] द्वारा परिभाषित समतल वक्र
:<math>F(x,y)=0</math>,
:<math>F(x,y)=0</math>,
जहाँ {{math|''F''}} एक सुचारू कार्य है, उस बिंदु पर एकवचन कहा जाता है यदि {{math|''F''}} की [[टेलर श्रृंखला]] में इस बिंदु पर कम से कम 2 का क्रम है।
जहाँ {{math|''F''}} एक सुचारू कार्य है, उस बिंदु पर एकवचन कहा जाता है यदि {{math|''F''}} की [[टेलर श्रृंखला]] में इस बिंदु पर कम से कम 2 का क्रम होता है।


इसका कारण यह है कि, अवकल कलन में, ऐसे वक्र के बिंदु (''x''<sub>0</sub>, ''y''<sub>0</sub>) पर स्पर्श रेखा समीकरण द्वारा परिभाषित होती है
इसका कारण यह है कि, अवकल कलन में, ऐसे वक्र के बिंदु (''x''<sub>0</sub>, ''y''<sub>0</sub>) पर स्पर्श रेखा समीकरण द्वारा परिभाषित होती है
:<math>(x-x_0)F'_x(x_0,y_0) + (y-y_0)F'_y(x_0,y_0)=0,</math>
:<math>(x-x_0)F'_x(x_0,y_0) + (y-y_0)F'_y(x_0,y_0)=0,</math>
जिसका बायां हाथ टेलर विस्तार की डिग्री एक का पद है। इस प्रकार, यदि यह शब्द शून्य है, तो स्पर्शरेखा को मानक तरीके से परिभाषित नहीं किया जा सकता है, या तो क्योंकि यह मौजूद नहीं है या एक विशेष परिभाषा प्रदान की जानी चाहिए।
जिसका टेलर विस्तार की डिग्री एक का पद होता है। इस प्रकार, यदि यह शब्द शून्य होता है, तो स्पर्शरेखा को मानक विधियों से परिभाषित नहीं किया जा सकता है, या तो क्योंकि यह उपस्थित नहीं होते है या एक विशेष परिभाषा प्रदान की जाती है।


सामान्यतः एक [[ऊनविम पृष्ठ]] के लिए
सामान्यतः एक [[ऊनविम पृष्ठ]] के लिए


:<math>F(x,y,z,\ldots) = 0</math>
:<math>F(x,y,z,\ldots) = 0</math>
एकवचन बिंदु वे है जिन पर सभी आंशिक डेरिवेटिव एक साथ गायब हो जाते है। एक सामान्य बीजगणितीय किस्म {{math|''V''}} को कई बहुपदों के सामान्य शून्य के रूप में परिभाषित किया जा रहा है, {{math|''V''}} के बिंदु {{math|''P''}} पर एक विलक्षण बिंदु होने की शर्त यह है कि बहुपदों के पहले क्रम के आंशिक डेरिवेटिव के [[ जैकबियन मैट्रिक्स |जैकबियन मैट्रिक्स]] का रैंक {{math|''P''}} है जो विविधता के अन्य बिंदुओं पर रैंक रैंक से कम होता है।
एकवचन बिंदु वह होते है जिन पर सभी आंशिक डेरिवेटिव एक साथ गायब हो जाते है। एक सामान्य बीजगणितीय विविधता {{math|''V''}} को कई बहुपदों के सामान्य शून्य के रूप में परिभाषित किया जाता है, {{math|''V''}} के बिंदु {{math|''P''}} पर एक विलक्षण बिंदु होने की शर्त यह होती है कि बहुपदों के पहले क्रम के आंशिक डेरिवेटिव के [[ जैकबियन मैट्रिक्स |जैकबियन आव्यूह]] का रैंक {{math|''P''}} है जो विविधता के अन्य बिंदुओं पर रैंक की तुलना मे कम होता है।


{{math|''V''}} के बिंदु जो एकवचन नहीं है उन्हें गैर-एकवचन या नियमित कहा जाता है। यह हमेशा सच होता है कि लगभग सभी बिंदु गैर-एकवचन होते है, इस अर्थ में कि गैर-एकवचन बिंदु एक ऐसा सेट बनाते है जो विविधता में खुला और सघन दोनों होता है ([[जरिस्की टोपोलॉजी]] के लिए, साथ ही साथ सामान्य टोपोलॉजी के लिए, [[जटिल संख्या|जटिल संख्याओ]] पर परिभाषित किस्मों का मामला)।<ref>{{cite book|last=Hartshorne|first=Robin|authorlink=Robin Hartshorne|title=[[Algebraic Geometry (book)|Algebraic Geometry]]|location=Berlin, New York|publisher= [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]|year= 1977| isbn=978-0-387-90244-9 | mr=0463157 | zbl=0367.14001 |page=33}}</ref>
{{math|''V''}} का बिंदु जो एकवचन नहीं होता है उन्हें गैर-एकवचन या नियमित कहा जाता है। इसके लगभग सभी बिंदु गैर-एकवचन होते है, इस अर्थ में कि गैर-एकवचन बिंदु एक ऐसा सेट बनाते है जो विविधता में खुला और सघन दोनों होता है।<ref>{{cite book|last=Hartshorne|first=Robin|authorlink=Robin Hartshorne|title=[[Algebraic Geometry (book)|Algebraic Geometry]]|location=Berlin, New York|publisher= [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]|year= 1977| isbn=978-0-387-90244-9 | mr=0463157 | zbl=0367.14001 |page=33}}</ref>


एक वास्तविक विविधता के मामले में (जो वास्तविक गुणांक वाले बहुपदों द्वारा परिभाषित विविधता के वास्तविक निर्देशांक वाले बिंदुओं का सेट है), विविधता प्रत्येक नियमित बिंदु के पास कई गुना है। लेकिन यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि एक वास्तविक विविधता कई गुना हो सकती है और उसके एकवचन बिंदु हो सकते है। उदाहरण के लिए समीकरण {{math|1=''y''<sup>3</sup> + 2''x''<sup>2</sup>''y'' − ''x''<sup>4</sup> = 0}} एक वास्तविक [[विश्लेषणात्मक कई गुना|विश्लेषणात्मक]] कई गुना परिभाषित करता है लेकिन मूल में एक विलक्षण बिंदु है।<ref>{{cite book | title=कॉम्प्लेक्स हाइपरसर्फ्स के एकवचन बिंदु| first=John|last= Milnor | authorlink=John Milnor | series=Annals of Mathematics Studies | volume=61 | publisher=[[Princeton University Press]] | year=1969 | isbn=0-691-08065-8 |pages=12–13}}</ref> इसे यह कहकर समझाया जा सकता है कि वक्र की दो जटिल संयुग्मी शाखाएँ है जो वास्तविक शाखा को मूल बिंदु पर काटती है।
एक वास्तविक विविधता के स्थिति में (जो वास्तविक गुणांक वाले बहुपदों द्वारा परिभाषित विविधता के वास्तविक निर्देशांक वाले बिंदुओं का सेट है), विविधता प्रत्येक नियमित बिंदु के पास कई गुना होती है। लेकिन यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण होता है कि एक वास्तविक विविधता कई गुना हो सकती है। उदाहरण के लिए समीकरण {{math|1=''y''<sup>3</sup> + 2''x''<sup>2</sup>''y'' − ''x''<sup>4</sup> = 0}} एक वास्तविक [[विश्लेषणात्मक कई गुना|विश्लेषणात्मक]] कई गुना परिभाषित करता है लेकिन मूल में एक विलक्षण बिंदु होता है।<ref>{{cite book | title=कॉम्प्लेक्स हाइपरसर्फ्स के एकवचन बिंदु| first=John|last= Milnor | authorlink=John Milnor | series=Annals of Mathematics Studies | volume=61 | publisher=[[Princeton University Press]] | year=1969 | isbn=0-691-08065-8 |pages=12–13}}</ref> इसे यह कहकर समझाया जा सकता है कि वक्र की दो जटिल संयुग्मी शाखाएँ होती है जो वास्तविक शाखा को मूल बिंदु पर काटती है।


== मानचित्रण के विलक्षण बिंदु ==
== मानचित्रण के विलक्षण बिंदु ==
चूंकि एकवचन बिंदुओं की धारणा पूरी तरह से स्थानीय संपत्ति है, उपरोक्त परिभाषा को चिकनी मैपिंग के व्यापक वर्ग को कवर करने के लिए बढ़ाया जा सकता है ({{math|''M''}} से {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} तक कार्य जहां सभी डेरिवेटिव मौजूद है)। मानचित्रण के [[जेट (गणित)]] पर विचार करके इन विलक्षण बिंदुओं का विश्लेषण बीजगणितीय किस्म के मामले में कम किया जा सकता है। {{math|''k''}} जेट डिग्री {{math|''k''}} पर काट-छाँट की गई मानचित्रण की टेलर श्रृंखला है और निरंतर शब्द को हटा रहा है।
चूंकि एकवचन बिंदुओं की धारणा पूरी तरह से स्थानीय होती है, उपरोक्त परिभाषा को मानचित्रण के व्यापक वर्ग को ढकने के लिए बढ़ाया जा सकता है ({{math|''M''}} से {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} तक कार्य जहां सभी डेरिवेटिव उपस्थित होते है)। मानचित्रण के [[जेट (गणित)]] पर विचार करके इन विलक्षण बिंदुओं का विश्लेषण बीजगणितीय विविधता के स्थिति में कम किया जा सकता है। {{math|''k''}} जेट डिग्री {{math|''k''}} पर काट-छाँट की गई मानचित्रण की टेलर श्रृंखला होती है और निरंतर शब्द को हटाता है।


== नोड्स ==
== नोड्स ==
[[शास्त्रीय बीजगणितीय ज्यामिति की शब्दावली|शास्त्रीय बीजगणितीय ज्यामिति]] में, कुछ विशेष एकवचन बिंदुओं को भी नोड कहा जाता था। एक नोड एक विलक्षण बिंदु है जहां [[हेसियन मैट्रिक्स]] गैर-एकवचन है; इसका तात्पर्य है कि एकवचन बिंदु की बहुगुणता दो है और स्पर्शरेखा शंकु अपने शीर्ष के बाहर एकवचन नहीं है।
[[शास्त्रीय बीजगणितीय ज्यामिति की शब्दावली|मौलिक बीजगणितीय ज्यामिति]] में, कुछ विशेष एकवचन बिंदुओं को भी नोड कहा जाता था। एक नोड एक विलक्षण बिंदु होता है जहां [[हेसियन मैट्रिक्स|हेसियन आव्यूह]] गैर-एकवचन होता है, इसका तात्पर्य है कि एकवचन बिंदु की बहुगुणता दो है और स्पर्शरेखा शंकु अपने शीर्ष के बाहर एकवचन नहीं होता है।


== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==

Revision as of 02:10, 6 June 2023

बीजगणितीय ज्यामिति के गणितीय क्षेत्र में, बीजगणितीय विविधता V का एक विलक्षण बिंदु एक बिंदु P होता है, ज्यामितीय अर्थ में इस बिंदु पर विविधता पर स्पर्शरेखा स्थान नियमित रूप से परिभाषित नहीं किया जा सकता है। वास्तविकताओं पर परिभाषित विविधता के स्थिति में, यह धारणा स्थानीय गैर-सपाटता की धारणा को सामान्यीकृत करता है। एक बीजगणितीय विविधता का एक बिंदु जो एकवचन नहीं है, नियमित कहा जाता है। एक बीजगणितीय विविधता जिसमें कोई विलक्षण बिंदु नहीं होता है, उसको गैर-एकवचन कहा जाता है।

समीकरण का समतल बीजगणितीय वक्र (एक घन वक्र)। y2x2(x + 1) = 0 खुद को मूल बिंदु पर काटता है (0, 0). मूल बिंदु इस वक्र का दोहरा बिंदु है। यह एकवचन है क्योंकि हो सकता है कि एक एकल स्पर्शरेखा को वहां सही ढंग से परिभाषित न किया गया हो।

परिभाषा

निहित समीकरण द्वारा परिभाषित समतल वक्र

,

जहाँ F एक सुचारू कार्य है, उस बिंदु पर एकवचन कहा जाता है यदि F की टेलर श्रृंखला में इस बिंदु पर कम से कम 2 का क्रम होता है।

इसका कारण यह है कि, अवकल कलन में, ऐसे वक्र के बिंदु (x0, y0) पर स्पर्श रेखा समीकरण द्वारा परिभाषित होती है

जिसका टेलर विस्तार की डिग्री एक का पद होता है। इस प्रकार, यदि यह शब्द शून्य होता है, तो स्पर्शरेखा को मानक विधियों से परिभाषित नहीं किया जा सकता है, या तो क्योंकि यह उपस्थित नहीं होते है या एक विशेष परिभाषा प्रदान की जाती है।

सामान्यतः एक ऊनविम पृष्ठ के लिए

एकवचन बिंदु वह होते है जिन पर सभी आंशिक डेरिवेटिव एक साथ गायब हो जाते है। एक सामान्य बीजगणितीय विविधता V को कई बहुपदों के सामान्य शून्य के रूप में परिभाषित किया जाता है, V के बिंदु P पर एक विलक्षण बिंदु होने की शर्त यह होती है कि बहुपदों के पहले क्रम के आंशिक डेरिवेटिव के जैकबियन आव्यूह का रैंक P है जो विविधता के अन्य बिंदुओं पर रैंक की तुलना मे कम होता है।

V का बिंदु जो एकवचन नहीं होता है उन्हें गैर-एकवचन या नियमित कहा जाता है। इसके लगभग सभी बिंदु गैर-एकवचन होते है, इस अर्थ में कि गैर-एकवचन बिंदु एक ऐसा सेट बनाते है जो विविधता में खुला और सघन दोनों होता है।[1]

एक वास्तविक विविधता के स्थिति में (जो वास्तविक गुणांक वाले बहुपदों द्वारा परिभाषित विविधता के वास्तविक निर्देशांक वाले बिंदुओं का सेट है), विविधता प्रत्येक नियमित बिंदु के पास कई गुना होती है। लेकिन यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण होता है कि एक वास्तविक विविधता कई गुना हो सकती है। उदाहरण के लिए समीकरण y3 + 2x2yx4 = 0 एक वास्तविक विश्लेषणात्मक कई गुना परिभाषित करता है लेकिन मूल में एक विलक्षण बिंदु होता है।[2] इसे यह कहकर समझाया जा सकता है कि वक्र की दो जटिल संयुग्मी शाखाएँ होती है जो वास्तविक शाखा को मूल बिंदु पर काटती है।

मानचित्रण के विलक्षण बिंदु

चूंकि एकवचन बिंदुओं की धारणा पूरी तरह से स्थानीय होती है, उपरोक्त परिभाषा को मानचित्रण के व्यापक वर्ग को ढकने के लिए बढ़ाया जा सकता है (M से Rn तक कार्य जहां सभी डेरिवेटिव उपस्थित होते है)। मानचित्रण के जेट (गणित) पर विचार करके इन विलक्षण बिंदुओं का विश्लेषण बीजगणितीय विविधता के स्थिति में कम किया जा सकता है। k जेट डिग्री k पर काट-छाँट की गई मानचित्रण की टेलर श्रृंखला होती है और निरंतर शब्द को हटाता है।

नोड्स

मौलिक बीजगणितीय ज्यामिति में, कुछ विशेष एकवचन बिंदुओं को भी नोड कहा जाता था। एक नोड एक विलक्षण बिंदु होता है जहां हेसियन आव्यूह गैर-एकवचन होता है, इसका तात्पर्य है कि एकवचन बिंदु की बहुगुणता दो है और स्पर्शरेखा शंकु अपने शीर्ष के बाहर एकवचन नहीं होता है।

यह भी देखें

संदर्भ

  1. Hartshorne, Robin (1977). Algebraic Geometry. Berlin, New York: Springer-Verlag. p. 33. ISBN 978-0-387-90244-9. MR 0463157. Zbl 0367.14001.
  2. Milnor, John (1969). कॉम्प्लेक्स हाइपरसर्फ्स के एकवचन बिंदु. Annals of Mathematics Studies. Vol. 61. Princeton University Press. pp. 12–13. ISBN 0-691-08065-8.