आवधिक योग: Difference between revisions

Revision as of 12:09, 18 May 2023

अंतर्निहित टाइम-डोमेन फ़ंक्शन के आवधिक नमूने (अंतराल टी पर) और/या आवधिक योग (अंतराल पी पर) के कारण एक फूरियर रूपांतरण और 3 भिन्नताएं।

गणित में, किसी भी समाकलनीय फलन $s(t)$ को P के पूर्णांक गुणजों द्वारा फलन $s(t)$ के अनुवादों को जोड़ कर अवधि P के साथ एक आवधिक फलन $s_{P}(t)$ में बनाया जा सकता है। इसे आवधिक योग कहा जाता है:

s_{P}(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }s(t+nP)

जब $s_{P}(t)$ को वैकल्पिक रूप से फूरियर श्रृंखला के रूप में दर्शाया जाता है, तो फूरियर गुणांक निरंतर फूरियर रूपांतरण के मानो के समान होते हैं, $S(f)\triangleq {\mathcal {F}}\{s(t)\},$ ${\tfrac {1}{P}}$ के अंतराल पर वह तत्समक प्वासों योग सूत्र का एक रूप है^[1]^[2]। इसी तरह, एक फूरियर श्रृंखला जिसका गुणांक निरंतर अंतराल (T ) पर $s(t)$ के नमूने हैं, $S(f),$ के आवधिक योग के समान है, जिसे असतत-समय फूरियर रूपांतरण के रूप में जाना जाता है।

डिराक डेल्टा कार्य का आवधिक योग डायराक कंघी है। इसी तरह, एक पूर्णांक कार्य का आवधिक योग डायराक कोम्ब के साथ इसका कनवल्शन है।

भागफल स्थान डोमेन के रूप में

यदि एक आवर्त फलन को इसके अतिरिक्त किसी फलन के भागफल स्थान (रैखिक बीजगणित) डोमेन का उपयोग करके दर्शाया जाता है

$\mathbb {R} /(P\mathbb {Z} )$ तब कोई लिख सकता है:

\varphi _{P}:\mathbb {R} /(P\mathbb {Z} )\to \mathbb {R}

\varphi _{P}(x)=\sum _{\tau \in x}s(\tau )~.

$\varphi _{P}$ के तर्क वास्तविक संख्याओं के तुल्यता वर्ग हैं जो $P$ से विभाजित होने पर समान भिन्नात्मक भाग साझा करते हैं।

उद्धरण

↑ Zygmund, Antoni (1988). त्रिकोणमितीय श्रृंखला (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0521358859.
↑ Pinsky, Mark (2001). फूरियर विश्लेषण और वेवलेट्स का परिचय. Brooks/Cole. ISBN 978-0534376604.

के अंतराल पर वह तत्समक प्वासों योग सूत्र का एक रूप है^[1]^[2]। इसी तरह, एक फूरियर श्रृंखला जिसका गुणांक निरंतर अंतरा

यह भी देखें

डायराक कॉम्ब
वृत्ताकार कनवल्शन
असतत-समय फूरियर रूपांतरण

श्रेणी:कार्य और मानचित्रण

श्रेणी:सिग्नल प्रोसेसिंग

↑ Cite error: Invalid <ref> tag; no text was provided for refs named :0
↑ Cite error: Invalid <ref> tag; no text was provided for refs named :1

[:0-1] Zygmund, Antoni (1988). त्रिकोणमितीय श्रृंखला (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0521358859.

[:1-2] Pinsky, Mark (2001). फूरियर विश्लेषण और वेवलेट्स का परिचय. Brooks/Cole. ISBN 978-0534376604.

[:0-3] Cite error: Invalid <ref> tag; no text was provided for refs named :0

[:1-4] Cite error: Invalid <ref> tag; no text was provided for refs named :1

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-{{Use American English|date=January 2019}}{{Short description|Sum of a function's values every _P_ offsets
+{{Short description|Sum of a function's values every _P_ offsets
 }}
-[[File:Fourier transform, Fourier series, DTFT, DFT.svg|thumb|400px|अंतर्निहित टाइम-डोमेन फ़ंक्शन के आवधिक नमूने (अंतराल टी पर) और/या आवधिक योग (अंतराल पी पर) के कारण एक फूरियर रूपांतरण और 3 भिन्नताएं।]]गणित में, कोई पूर्णतः समाकलनीय फलन <math>s(t)</math> एक [[आवधिक समारोह]] में बनाया जा सकता है <math>s_P(t)</math> अवधि पी के साथ फ़ंक्शन के अनुवादों को जोड़कर <math>s(t)</math> P के पूर्णांक गुणकों द्वारा। इसे 'आवधिक योग:' कहा जाता है।
+[[File:Fourier transform, Fourier series, DTFT, DFT.svg|thumb|400px|अंतर्निहित टाइम-डोमेन फ़ंक्शन के आवधिक नमूने (अंतराल टी पर) और/या आवधिक योग (अंतराल पी पर) के कारण एक फूरियर रूपांतरण और 3 भिन्नताएं।]]
+गणित में, किसी भी समाकलनीय फलन <math>s(t)</math> को P के पूर्णांक गुणजों द्वारा फलन <math>s(t)</math> के अनुवादों को जोड़ कर अवधि P के साथ एक आवधिक फलन <math>s_P(t)</math> में बनाया जा सकता है। इसे आवधिक योग कहा जाता है:
 :<math>s_P(t) = \sum_{n=-\infty}^\infty s(t + nP)</math>
-कब <math>s_P(t)</math> वैकल्पिक रूप से फूरियर श्रृंखला के रूप में प्रतिनिधित्व किया जाता है, फूरियर गुणांक [[निरंतर फूरियर रूपांतरण]] के मूल्यों के बराबर होते हैं, <math>S(f) \triangleq \mathcal{F}\{s(t)\},</math> के अंतराल पर <math>\tfrac{1}{P}</math>.<ref>{{cite book|last=Pinsky|first=Mark|title=फूरियर विश्लेषण और वेवलेट्स का परिचय|year=2001|publisher=Brooks/Cole|isbn=978-0534376604}}</ref><ref>{{cite book|last=Zygmund|first=Antoni|title=त्रिकोणमितीय श्रृंखला|edition=2nd|title-link=Trigonometric Series|year=1988|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0521358859}}</ref> वह तत्समक प्वासों योग सूत्र का एक रूप है। इसी तरह, एक फूरियर श्रृंखला जिसके गुणांक के नमूने हैं <math>s(t)</math> निरंतर अंतराल पर (टी) के 'आवधिक योग' के बराबर है <math>S(f),</math> जिसे [[असतत-समय फूरियर रूपांतरण]] के रूप में जाना जाता है।
+:
+जब <math>s_P(t)</math> को वैकल्पिक रूप से फूरियर श्रृंखला के रूप में दर्शाया जाता है, तो फूरियर गुणांक [[निरंतर फूरियर रूपांतरण]] के मानो के समान होते हैं, <math>S(f) \triangleq \mathcal{F}\{s(t)\},</math> <math>\tfrac{1}{P}</math> के अंतराल पर वह तत्समक प्वासों योग सूत्र का एक रूप है<ref name=":0">{{cite book|last=Zygmund|first=Antoni|title=त्रिकोणमितीय श्रृंखला|edition=2nd|title-link=Trigonometric Series|year=1988|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0521358859}}</ref><ref name=":1">{{cite book|last=Pinsky|first=Mark|title=फूरियर विश्लेषण और वेवलेट्स का परिचय|year=2001|publisher=Brooks/Cole|isbn=978-0534376604}}</ref>। इसी तरह, एक फूरियर श्रृंखला जिसका गुणांक निरंतर अंतराल (''T'' ) पर <math>s(t)</math> के नमूने हैं, <math>S(f),</math> के आवधिक योग के समान  है, जिसे [[असतत-समय फूरियर रूपांतरण]] के रूप में जाना जाता है।
-[[डिराक डेल्टा समारोह]] का आवधिक योग डायराक कंघी है। इसी तरह, एक [[पूर्णांक समारोह]] का आवधिक योग डायराक कंघी के साथ इसका [[कनवल्शन]] है।
+[[डिराक डेल्टा समारोह|डिराक डेल्टा कार्य]]  का आवधिक योग डायराक कंघी है। इसी तरह, एक [[पूर्णांक समारोह|पूर्णांक कार्य]]  का आवधिक योग डायराक कोम्ब के साथ इसका [[कनवल्शन]] है।
 == भागफल स्थान डोमेन के रूप में ==
-यदि एक आवर्त फलन को इसके बजाय किसी फलन के [[भागफल स्थान (रैखिक बीजगणित)]] डोमेन का उपयोग करके दर्शाया जाता है
+यदि एक आवर्त फलन को इसके अतिरिक्त किसी फलन के [[भागफल स्थान (रैखिक बीजगणित)]] डोमेन का उपयोग करके दर्शाया जाता है
 <math>\mathbb{R}/(P\mathbb{Z})</math> तब कोई लिख सकता है:
 :<math>\varphi_P : \mathbb{R}/(P\mathbb{Z}) \to \mathbb{R}</math>
 :<math>\varphi_P(x) = \sum_{\tau\in x} s(\tau) ~ .</math>
-के तर्क <math>\varphi_P</math> [[वास्तविक संख्या]]ओं के समतुल्य वर्ग हैं जो विभाजित होने पर समान भिन्नात्मक भाग साझा करते हैं <math>P</math>.
+<math>\varphi_P</math> के तर्क [[वास्तविक संख्या]]ओं के तुल्यता वर्ग हैं जो <math>P</math> से विभाजित होने पर समान भिन्नात्मक भाग साझा करते हैं।
 == उद्धरण ==
 {{reflist}}
+'''<br />के अंतराल पर वह तत्समक प्वासों योग सूत्र का एक रूप है<ref name=":0" /><ref name=":1" />। इसी तरह, एक फूरियर श्रृंखला जिसका गुणांक निरंतर अंतरा'''
-== यह भी देखें ==
+== यह भी देखें                                                            ==
 *डायराक कॉम्ब
 * वृत्ताकार कनवल्शन
 * असतत-समय फूरियर रूपांतरण
-श्रेणी:कार्य और मानचित्रण  <!-- category of periodic function -->
+श्रेणी:कार्य और मानचित्रण
 श्रेणी:सिग्नल प्रोसेसिंग  <!-- category of a typical area of application -->

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