स्मोलुचोव्स्की जमावट समीकरण: Difference between revisions

Revision as of 22:14, 21 May 2023

यह आरेख Smoluchowski एकत्रीकरण समीकरण के अनुसार असतत कणों के एकत्रीकरण कैनेटीक्स का वर्णन करता है।

सांख्यिकीय भौतिकी में, स्मोलुचोव्स्की जमावट समीकरण एक जनसंख्या संतुलन समीकरण है जो मैरियन स्मोलुचोव्स्की द्वारा 1916 के एक मौलिक प्रकाशन में पेश किया गया था,^[1] कणों की संख्या घनत्व के समय के विकास का वर्णन करते हुए वे जमावट करते हैं (इस संदर्भ में "एक साथ टकराते हुए") समय t पर x आकार में ।

बहुलकीकरण ,^[2] एयरोसौल्ज़ का सहसंयोजन,^[3] पायसीकरण,^[4] फ्लोकुलेशन ^[5] से जुड़ी प्रक्रियाओं में एक साथ जमावट (या एकत्रीकरण) का सामना करना पड़ता है

समीकरण

तंत्र के सभी कणों के परस्पर संबंध के अनुसार कण आकार का वितरण समय में बदलता है। इसलिए, स्मोलुचोव्स्की जमावट समीकरण कण-आकार के वितरण का एक पूर्णांक समीकरण है। कारको में जब जमा हुए कणों के आकार निरंतर चर होते हैं, तो समीकरण में एक अभिन्न अंग सम्मलित होता है:

यदि dy की व्याख्या असतत माप के रूप में की जाती है, अर्थात जब कण असतत आकारों में जुड़ते हैं, तो समीकरण का असतत रूप योग होता है:

{\frac {\partial n(x_{i},t)}{\partial t}}={\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{i-1}K(x_{i}-x_{j},x_{j})n(x_{i}-x_{j},t)n(x_{j},t)-\sum _{j=1}^{\infty }K(x_{i},x_{j})n(x_{i},t)n(x_{j},t).

चुने गए कर्नेल प्रकार्य के लिए एक अद्वितीय उपाय मौजूद है।^[6]

जमावट गिरी

रैखिक ऑपरेटर , K, को कोएग्युलेशन अभिन्न कर्नेल के रूप में जाना जाता है और उस दर का वर्णन करता है जिस पर आकार के कण होते हैं $x_{1}$ आकार के कणों के साथ जमना $x_{2}$ . समीकरण के लिए बंद रूप की अभिव्यक्ति तब मौजूद होती है जब कर्नेल तीन सरल रूपों में से एक लेता है:

K=1,\quad K=x_{1}+x_{2},\quad K=x_{1}x_{2},

स्थिरांक (गणित), योज्य मानचित्र, और गुणात्मक फलन गुठली के रूप में जाना जाता है।^[7] कारक के लिए $K=1$ यह गणितीय रूप से सिद्ध किया जा सकता है कि Smoluchowski जमावट समीकरणों के समाधान में विषम रूप से गतिशील स्केलिंग संपत्ति है।^[8] यह स्व-समान व्यवहार स्केल इनवेरियन से निकटता से संबंधित है जो एक चरण संक्रमण की एक विशेषता विशेषता हो सकती है।

हालांकि, अधिकांश व्यावहारिक अनुप्रयोगों में कर्नेल काफी अधिक जटिल रूप धारण कर लेता है। उदाहरण के लिए, मुक्त-आण्विक कर्नेल जो तनु गैस-चरण (पदार्थ) प्रणाली में टकराव का वर्णन करता है,

K={\sqrt {\frac {\pi k_{B}T}{2}}}\left({\frac {1}{m(x_{1})}}+{\frac {1}{m(x_{2})}}\right)^{1/2}\left(d(x_{1})+d(x_{2})\right)^{2}.

कुछ जमावट गुठली समूहों के एक विशिष्ट भग्न आयाम के लिए खाते हैं, जैसा कि प्रसार-सीमित एकत्रीकरण में है:

K={\frac {2}{3}}{\frac {k_{B}T}{\eta }}\left(x_{1}^{1/y_{1}}+x_{2}^{1/y_{2}}\right)\left(x_{1}^{-1/y_{1}}+x_{2}^{-1/y_{2}}\right),

या रिएक्शन-सीमित एकत्रीकरण:

K={\frac {2}{3}}{\frac {k_{B}T}{\eta }}{\frac {(x_{1}x_{2})^{\gamma }}{W}}\left(x_{1}^{1/y_{1}}+x_{2}^{1/y_{2}}\right)\left(x_{1}^{-1/y_{1}}+x_{2}^{-1/y_{2}}\right),

कहाँ $y_{1},y_{2}$ समूहों के भग्न आयाम हैं, $k_{B}$ बोल्ट्जमैन स्थिरांक है, $T$ तापमान है, $W$ फुच्स स्थिरता अनुपात है, $\eta$ निरंतर चरण चिपचिपाहट है, और $\gamma$ उत्पाद कर्नेल का प्रतिपादक है, जिसे आमतौर पर एक फिटिंग पैरामीटर माना जाता है।^[9] बादल के लिए, बादल कणों के जमाव के लिए कर्नेल को आमतौर पर इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

K=\pi [r(x_{1})+r(x_{2})]^{2}|v(x_{1})-v(x_{2})|E_{coll}(x_{1},x_{2}),

कहाँ

r(x)

और

v(x)

बादल के कणों की त्रिज्या और गिरने की गति को आमतौर पर शक्ति कानून का उपयोग करके व्यक्त किया जाता है।

समान्यता इस तरह के भौतिक यथार्थवादी गुठली से उत्पन्न जमावट समीकरण हल करने योग्य नहीं होते हैं, और इस तरह, संख्यात्मक विश्लेषण के लिए अपील करना आवश्यक है। अधिकांश नियतात्मक विधियों का उपयोग तब किया जा सकता है जब ब्याज की केवल एक कण संपत्ति (x) हो, दो प्रमुख हैं क्षणों की विधि (संभाव्यता सिद्धांत)^[10]^[11]^[12]^[13]^[14] और अनुभागीय तरीके।^[15] बहुभिन्नरूपी कैलकुलस | बहुभिन्नरूपी कारक में, हालांकि, जब दो या दो से अधिक गुण (जैसे आकार, आकार, संरचना, आदि) पेश किए जाते हैं, तो किसी को विशेष सन्निकटन विधियों की तलाश करनी होती है जो आयामीता के अभिशाप से कम पीड़ित होती हैं। गॉसियन रेडियल आधार कार्यों के आधार पर सन्निकटन को एक से अधिक आयामों में जमावट समीकरण पर सफलतापूर्वक लागू किया गया है।^[16]^[17] जब समाधान की सटीकता प्राथमिक महत्व की नहीं है, मोंटे कार्लो विधि | स्टोकेस्टिक कण (मोंटे कार्लो) विधियां एक आकर्षक विकल्प हैं।^{[citation needed]}

संक्षेपण-संचालित एकत्रीकरण

एकत्रीकरण के अलावा, कण संघनन, निक्षेपण या द्वारा आकार में भी बढ़ सकते हैं अभिवृद्धि। हसन और हसन ने हाल ही में एक संक्षेपण-संचालित एकत्रीकरण (सीडीए) मॉडल का प्रस्ताव किया है जिसमें एकत्रीकरण कण टकराव पर विलय के बीच लगातार बढ़ते रहते हैं।^[18]^[19] सीडीए मॉडल को निम्नलिखित प्रतिक्रिया योजना द्वारा समझा जा सकता है

A_{x}(t)+A_{y}(t){\stackrel {v(x,t)}{\longrightarrow }}A_{(\alpha +1)(x+y)}(t+\tau ),

कहाँ $A_{x}(t)$ आकार के योग को दर्शाता है $x$ समय पर $t$ और $\tau$ बीता हुआ समय है। इस प्रतिक्रिया योजना को निम्नलिखित सामान्यीकृत स्मोलुचोव्स्की समीकरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है

{\Big [}{{\partial } \over {\partial t}}+{{\partial } \over {\partial x}}v(x,t){\Big ]}n(x,t)=-n(x,t)\int _{0}^{\infty }K(x,y)n(y,t)dy+{{1} \over {2}}\int _{0}^{x}dyK(y,x-y)n(y,t)n(x-y,t).

आकार का एक कण मानते हुए $x$ टक्कर के समय के बीच संघनन के कारण बढ़ता है $\tau (x)$ के व्युत्क्रम के बराबर $\int _{0}^{\infty }K(x,y)n(y,t)dy$ एक राशि से $\alpha x$ अर्थात।

v(x,t)={{\alpha x} \over {\tau (x)}}=\alpha x\int _{0}^{\infty }dyK(x,y)n(y,t).

निरंतर कर्नेल देने के लिए कोई भी सामान्यीकृत स्मोलुचोव्स्की समीकरण को हल कर सकता है

n(x,t)\sim t^{-(2+2\alpha )}e^{-{{x} \over {t^{1+2\alpha }}}},

जो गतिशील स्केलिंग प्रदर्शित करता है। एक साधारण भग्न विश्लेषण से पता चलता है कि संक्षेपण-संचालित एकत्रीकरण को आयाम के भग्न का सबसे अच्छा वर्णन किया जा सकता है

d_{f}={{1} \over {1+2\alpha }}.

 $d_{f}$ वें> वें क्षण  $n(x,t)$  हमेशा एक संरक्षित मात्रा होती है जो डायनेमिक स्केलिंग के सभी घातांकों को ठीक करने के लिए जिम्मेदार होती है। ऐसा संरक्षण नियम कैंटर सेट में भी पाया गया है।

यह भी देखें

आइंस्टीन संबंध (गतिज सिद्धांत)|आइंस्टीन-स्मोलुचोव्स्की संबंध
फ्लोकुलेशन
स्मोलुचोव्स्की कारक
विलियम्स स्प्रे समीकरण

संदर्भ

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-|last1=Agranovski|first1=Igor|title=Aerosols: Science and Technology|publisher=John Wiley & Sons|year=2011|pages=492|isbn=978-3527632084}}</ref> पायस,<ref name="DanovIvanov1994">{{cite journal|last1=Danov|first1=Krassimir D.|last2=Ivanov|first2=Ivan B.|last3=Gurkov|first3=Theodor D.|last4=Borwankar|first4=Rajendra P.|title=इमल्शन सिस्टम्स में फ़्लोकुलेशन और कोलेसेंस की एक साथ होने वाली प्रक्रियाओं के लिए काइनेटिक मॉडल|journal=Journal of Colloid and Interface Science|volume=167|issue=1|year=1994|pages=8–17|issn=0021-9797|doi=10.1006/jcis.1994.1328|bibcode=1994JCIS..167....8D}}</ref> [[flocculation]]।<ref name="ThomasJudd1999">{{cite journal|last1=Thomas|first1=D.N.|last2=Judd|first2=S.J.|last3=Fawcett|first3=N.|title=Flocculation modelling: a review|journal=Water Research|volume=33|issue=7|year=1999|pages=1579–1592|issn=0043-1354|doi=10.1016/S0043-1354(98)00392-3}}</ref>
+[[बहुलकीकरण]] ,<ref name="BlatzTobolsky1945">{{cite journal|last1=Blatz|first1=P. J.|last2=Tobolsky|first2=A. V.|title=एक साथ पॉलीमराइज़ेशन-डिपॉलीमराइज़ेशन फेनोमेना को प्रकट करने वाले सिस्टम के कैनेटीक्स पर ध्यान दें|journal=The Journal of Physical Chemistry|volume=49|issue=2|year=1945|pages=77–80|issn=0092-7325|doi=10.1021/j150440a004}}</ref> [[एयरोसौल्ज़]] का सहसंयोजन,<ref>{{cite book
+|last1=Agranovski|first1=Igor|title=Aerosols: Science and Technology|publisher=John Wiley & Sons|year=2011|pages=492|isbn=978-3527632084}}</ref> पायसीकरण,<ref name="DanovIvanov1994">{{cite journal|last1=Danov|first1=Krassimir D.|last2=Ivanov|first2=Ivan B.|last3=Gurkov|first3=Theodor D.|last4=Borwankar|first4=Rajendra P.|title=इमल्शन सिस्टम्स में फ़्लोकुलेशन और कोलेसेंस की एक साथ होने वाली प्रक्रियाओं के लिए काइनेटिक मॉडल|journal=Journal of Colloid and Interface Science|volume=167|issue=1|year=1994|pages=8–17|issn=0021-9797|doi=10.1006/jcis.1994.1328|bibcode=1994JCIS..167....8D}}</ref> [[flocculation|फ्लोकुलेशन]] <ref name="ThomasJudd1999">{{cite journal|last1=Thomas|first1=D.N.|last2=Judd|first2=S.J.|last3=Fawcett|first3=N.|title=Flocculation modelling: a review|journal=Water Research|volume=33|issue=7|year=1999|pages=1579–1592|issn=0043-1354|doi=10.1016/S0043-1354(98)00392-3}}</ref> से जुड़ी प्रक्रियाओं में एक साथ जमावट (या एकत्रीकरण) का सामना करना पड़ता है
 == समीकरण ==
-सिस्टम के सभी कणों के परस्पर संबंध के अनुसार कण आकार का वितरण समय में बदलता है। इसलिए, Smoluchowski जमावट समीकरण कण-आकार के वितरण का एक पूर्णांक समीकरण है। मामले में जब जमा हुए कणों के आकार निरंतर चर होते हैं, तो समीकरण में एक [[अभिन्न]] शामिल होता है:
+तंत्र के सभी कणों के परस्पर संबंध के अनुसार कण आकार का वितरण समय में बदलता है। इसलिए, स्मोलुचोव्स्की जमावट समीकरण कण-आकार के वितरण का एक पूर्णांक समीकरण है। कारको में जब जमा हुए कणों के आकार निरंतर चर होते हैं, तो समीकरण में एक [[अभिन्न]] अंग सम्मलित होता है:
-: <math>\frac{\partial n(x,t)}{\partial t}=\frac{1}{2}\int^x_0K(x-y,y)n(x-y,t)n(y,t)\,dy - \int^\infty_0K(x,y)n(x,t)n(y,t)\,dy.</math>
+यदि dy की व्याख्या असतत माप के रूप में की जाती है, अर्थात जब कण असतत आकारों में जुड़ते हैं, तो समीकरण का असतत रूप योग होता है:
-यदि dy को एकीकरण की असतत सूची के रूप में व्याख्या की जाती है और सिद्धांत विषयों को मापता है # सहज नींव, यानी जब कण [[असतत चर]] आकार में जुड़ते हैं, तो समीकरण का असतत रूप एक [[योग]] है:
 : <math>\frac{\partial n(x_i,t)}{\partial t}=\frac{1}{2}\sum^{i-1}_{j=1}
 K(x_i-x_j,x_j)n(x_i-x_j,t)n(x_j,t) - \sum^\infty_{j=1}K(x_i,x_j)n(x_i,t)n(x_j,t).</math>
-चुने गए [[कर्नेल समारोह]] के लिए एक अनूठा समाधान मौजूद है।<ref name="Melzak1957">{{cite journal|last1=Melzak|first1=Z. A.|title=एक अदिश परिवहन समीकरण|journal=Transactions of the American Mathematical Society|volume=85|issue=2|year=1957|pages=547–560|issn=0002-9947|doi=10.1090/S0002-9947-1957-0087880-6|doi-access=free}}</ref>
+चुने गए [[कर्नेल समारोह|कर्नेल प्रकार्य]] के लिए एक अद्वितीय उपाय मौजूद है।<ref name="Melzak1957">{{cite journal|last1=Melzak|first1=Z. A.|title=एक अदिश परिवहन समीकरण|journal=Transactions of the American Mathematical Society|volume=85|issue=2|year=1957|pages=547–560|issn=0002-9947|doi=10.1090/S0002-9947-1957-0087880-6|doi-access=free}}</ref>
 == जमावट गिरी ==
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 : <math>K = 1,\quad K = x_1 + x_2, \quad K = x_1x_2,</math>
-स्थिरांक (गणित), योज्य मानचित्र, और गुणात्मक फलन गुठली के रूप में जाना जाता है।<ref>{{Cite journal | doi = 10.1016/j.physd.2006.07.024| title = An introduction to mathematical models of coagulation–fragmentation processes: A discrete deterministic mean-field approach| journal = Physica D: Nonlinear Phenomena| volume = 222| issue = 1–2| pages = 1–20| year = 2006| last1 = Wattis | first1 = J. A. D. |bibcode = 2006PhyD..222....1W | url = http://eprints.nottingham.ac.uk/934/1/tut11.pdf}}</ref> मामले के लिए <math>K = 1</math> यह गणितीय रूप से सिद्ध किया जा सकता है कि Smoluchowski जमावट समीकरणों के समाधान में विषम रूप से [[गतिशील स्केलिंग]] संपत्ति है।<ref name=constkernel>{{Cite journal | doi = 10.1007/BF02186868| title = स्मोलुचोव्स्की के जमावट समीकरण में निरंतर कर्नेल के साथ गतिशील स्केलिंग का प्रमाण| journal = Journal of Statistical Physics| volume = 75| issue = 3| pages = 389–407| year = 1994| last1 = Kreer | first1 = Markus | last2=Penrose | first2 = Oliver | bibcode = 1994JSP....75..389K| s2cid = 17392921}}</ref> यह स्व-समान व्यवहार [[स्केल इनवेरियन]] से निकटता से संबंधित है जो एक [[चरण संक्रमण]] की एक विशेषता विशेषता हो सकती है।
+स्थिरांक (गणित), योज्य मानचित्र, और गुणात्मक फलन गुठली के रूप में जाना जाता है।<ref>{{Cite journal | doi = 10.1016/j.physd.2006.07.024| title = An introduction to mathematical models of coagulation–fragmentation processes: A discrete deterministic mean-field approach| journal = Physica D: Nonlinear Phenomena| volume = 222| issue = 1–2| pages = 1–20| year = 2006| last1 = Wattis | first1 = J. A. D. |bibcode = 2006PhyD..222....1W | url = http://eprints.nottingham.ac.uk/934/1/tut11.pdf}}</ref> कारक के लिए <math>K = 1</math> यह गणितीय रूप से सिद्ध किया जा सकता है कि Smoluchowski जमावट समीकरणों के समाधान में विषम रूप से [[गतिशील स्केलिंग]] संपत्ति है।<ref name=constkernel>{{Cite journal | doi = 10.1007/BF02186868| title = स्मोलुचोव्स्की के जमावट समीकरण में निरंतर कर्नेल के साथ गतिशील स्केलिंग का प्रमाण| journal = Journal of Statistical Physics| volume = 75| issue = 3| pages = 389–407| year = 1994| last1 = Kreer | first1 = Markus | last2=Penrose | first2 = Oliver | bibcode = 1994JSP....75..389K| s2cid = 17392921}}</ref> यह स्व-समान व्यवहार [[स्केल इनवेरियन]] से निकटता से संबंधित है जो एक [[चरण संक्रमण]] की एक विशेषता विशेषता हो सकती है।
 हालांकि, अधिकांश व्यावहारिक अनुप्रयोगों में कर्नेल काफी अधिक जटिल रूप धारण कर लेता है। उदाहरण के लिए, मुक्त-आण्विक कर्नेल जो तनु [[गैस]]-[[चरण (पदार्थ)]] प्रणाली में टकराव का वर्णन करता है,
@@ Line 44: / Line 39: @@
 : <math>K = \pi [r(x_1)+r(x_2)]^2 |v(x_1)-v(x_2)| E_{coll}(x_1,x_2), </math> कहाँ <math> r(x)</math> और <math> v(x)</math> बादल के कणों की त्रिज्या और गिरने की गति को आमतौर पर शक्ति कानून का उपयोग करके व्यक्त किया जाता है।
-आम तौर पर इस तरह के भौतिक यथार्थवादी गुठली से उत्पन्न जमावट समीकरण हल करने योग्य नहीं होते हैं, और इस तरह, [[संख्यात्मक विश्लेषण]] के लिए अपील करना आवश्यक है। अधिकांश [[नियतात्मक]] विधियों का उपयोग तब किया जा सकता है जब ब्याज की केवल एक कण संपत्ति (x) हो, दो प्रमुख हैं [[क्षणों की विधि (संभाव्यता सिद्धांत)]]<ref>{{cite journal |last1=Marchisio |first1=D. L. |last2=Fox |first2=R. O. |year=2005 |title=क्षणों की प्रत्यक्ष चतुर्भुज विधि का उपयोग करके जनसंख्या संतुलन समीकरणों का समाधान|journal=J. Aerosol Sci. |volume=36 |issue=1 |pages=43–73 |doi=10.1016/j.jaerosci.2004.07.009 |bibcode=2005JAerS..36...43M }}</ref><ref>{{cite journal |last1=Yu |first1=M. |last2=Lin |first2=J. |last3=Chan |first3=T. |year=2008 |title=ब्राउनियन मोशन में कणों के लिए जमावट समीकरण को हल करने के लिए एक नई क्षण विधि|journal=Aerosol Sci. Technol. |volume=42 |issue=9 |pages=705–713 |doi=10.1080/02786820802232972 |bibcode=2008AerST..42..705Y |hdl=10397/9612 |s2cid=120582575 |hdl-access=free }}</ref><ref>{{cite journal |last=McGraw |first=R. |year=1997 |title=क्षणों की चतुर्भुज विधि द्वारा एरोसोल डायनेमिक्स का विवरण|journal=Aerosol Sci. Technol. |volume=27 |issue=2 |pages=255–265 |doi=10.1080/02786829708965471 |bibcode=1997AerST..27..255M |doi-access=free }}</ref><ref>{{cite journal |last=Frenklach |first=M. |year=2002 |title=इंटरपोलेटिव क्लोजर के साथ मोमेंट्स की विधि|journal=Chem. Eng. Sci. |volume=57 |issue=12 |pages=2229–2239 |doi=10.1016/S0009-2509(02)00113-6 }}</ref><ref>{{cite journal |last1=Lee |first1=K. W. |last2=Chen |first2=H. |last3=Gieseke |first3=J. A. |year=1984 |title=मुक्त-अणु व्यवस्था में ब्राउनियन जमावट के लिए लॉग-नॉर्मली प्रिजर्विंग साइज डिस्ट्रीब्यूशन|journal=Aerosol Sci. Technol. |volume=3 |issue=1 |pages=53–62 |doi=10.1080/02786828408958993 |bibcode=1984AerST...3...53L }}</ref> और अनुभागीय तरीके।<ref>{{cite journal |last1=Landgrebe |first1=J. D. |last2=Pratsinis |first2=S. E. |year=1990 |title=मुक्त-आणविक व्यवस्था में गैस-चरण रासायनिक प्रतिक्रिया और एरोसोल जमावट द्वारा कण उत्पादन के लिए एक असतत-अनुभागीय मॉडल|journal=J. Colloid Interface Sci. |volume=139 |issue=1 |pages=63–86 |doi=10.1016/0021-9797(90)90445-T |bibcode=1990JCIS..139...63L }}</ref> [[बहुभिन्नरूपी कैलकुलस]] | बहुभिन्नरूपी मामले में, हालांकि, जब दो या दो से अधिक गुण (जैसे आकार, आकार, संरचना, आदि) पेश किए जाते हैं, तो किसी को विशेष सन्निकटन विधियों की तलाश करनी होती है जो आयामीता के अभिशाप से कम पीड़ित होती हैं। गॉसियन रेडियल आधार कार्यों के आधार पर सन्निकटन को एक से अधिक आयामों में जमावट समीकरण पर सफलतापूर्वक लागू किया गया है।<ref name=Kryven2013>{{cite journal |last1=Kryven |first1=I. |last2=Iedema |first2=P. D. |title=Predicting multidimensional distributive properties of hyperbranched polymer resulting from AB2 polymerization with substitution, cyclization and shielding
+समान्यता इस तरह के भौतिक यथार्थवादी गुठली से उत्पन्न जमावट समीकरण हल करने योग्य नहीं होते हैं, और इस तरह, [[संख्यात्मक विश्लेषण]] के लिए अपील करना आवश्यक है। अधिकांश [[नियतात्मक]] विधियों का उपयोग तब किया जा सकता है जब ब्याज की केवल एक कण संपत्ति (x) हो, दो प्रमुख हैं [[क्षणों की विधि (संभाव्यता सिद्धांत)]]<ref>{{cite journal |last1=Marchisio |first1=D. L. |last2=Fox |first2=R. O. |year=2005 |title=क्षणों की प्रत्यक्ष चतुर्भुज विधि का उपयोग करके जनसंख्या संतुलन समीकरणों का समाधान|journal=J. Aerosol Sci. |volume=36 |issue=1 |pages=43–73 |doi=10.1016/j.jaerosci.2004.07.009 |bibcode=2005JAerS..36...43M }}</ref><ref>{{cite journal |last1=Yu |first1=M. |last2=Lin |first2=J. |last3=Chan |first3=T. |year=2008 |title=ब्राउनियन मोशन में कणों के लिए जमावट समीकरण को हल करने के लिए एक नई क्षण विधि|journal=Aerosol Sci. Technol. |volume=42 |issue=9 |pages=705–713 |doi=10.1080/02786820802232972 |bibcode=2008AerST..42..705Y |hdl=10397/9612 |s2cid=120582575 |hdl-access=free }}</ref><ref>{{cite journal |last=McGraw |first=R. |year=1997 |title=क्षणों की चतुर्भुज विधि द्वारा एरोसोल डायनेमिक्स का विवरण|journal=Aerosol Sci. Technol. |volume=27 |issue=2 |pages=255–265 |doi=10.1080/02786829708965471 |bibcode=1997AerST..27..255M |doi-access=free }}</ref><ref>{{cite journal |last=Frenklach |first=M. |year=2002 |title=इंटरपोलेटिव क्लोजर के साथ मोमेंट्स की विधि|journal=Chem. Eng. Sci. |volume=57 |issue=12 |pages=2229–2239 |doi=10.1016/S0009-2509(02)00113-6 }}</ref><ref>{{cite journal |last1=Lee |first1=K. W. |last2=Chen |first2=H. |last3=Gieseke |first3=J. A. |year=1984 |title=मुक्त-अणु व्यवस्था में ब्राउनियन जमावट के लिए लॉग-नॉर्मली प्रिजर्विंग साइज डिस्ट्रीब्यूशन|journal=Aerosol Sci. Technol. |volume=3 |issue=1 |pages=53–62 |doi=10.1080/02786828408958993 |bibcode=1984AerST...3...53L }}</ref> और अनुभागीय तरीके।<ref>{{cite journal |last1=Landgrebe |first1=J. D. |last2=Pratsinis |first2=S. E. |year=1990 |title=मुक्त-आणविक व्यवस्था में गैस-चरण रासायनिक प्रतिक्रिया और एरोसोल जमावट द्वारा कण उत्पादन के लिए एक असतत-अनुभागीय मॉडल|journal=J. Colloid Interface Sci. |volume=139 |issue=1 |pages=63–86 |doi=10.1016/0021-9797(90)90445-T |bibcode=1990JCIS..139...63L }}</ref> [[बहुभिन्नरूपी कैलकुलस]] | बहुभिन्नरूपी कारक में, हालांकि, जब दो या दो से अधिक गुण (जैसे आकार, आकार, संरचना, आदि) पेश किए जाते हैं, तो किसी को विशेष सन्निकटन विधियों की तलाश करनी होती है जो आयामीता के अभिशाप से कम पीड़ित होती हैं। गॉसियन रेडियल आधार कार्यों के आधार पर सन्निकटन को एक से अधिक आयामों में जमावट समीकरण पर सफलतापूर्वक लागू किया गया है।<ref name=Kryven2013>{{cite journal |last1=Kryven |first1=I. |last2=Iedema |first2=P. D. |title=Predicting multidimensional distributive properties of hyperbranched polymer resulting from AB2 polymerization with substitution, cyclization and shielding
 |journal=Polymer |year=2013 |volume=54 |issue=14 |pages=3472–3484 |doi=10.1016/j.polymer.2013.05.009|arxiv=1305.1034 |s2cid=96697123 }}</ref><ref>{{Cite journal | doi = 10.1002/mats.201300121| title = पॉलिमर संशोधन में टोपोलॉजी इवोल्यूशन| journal = Macromolecular Theory and Simulations| volume = 23| pages = 7–14| year = 2014| last1 = Kryven | first1 = I. | last2 = Iedema | first2 = P. D. }}</ref>
 जब समाधान की सटीकता प्राथमिक महत्व की नहीं है, [[मोंटे कार्लो विधि]] | स्टोकेस्टिक कण (मोंटे कार्लो) विधियां एक आकर्षक विकल्प हैं।{{citation needed|date=May 2016}}

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