आव्यूह ज्यामितीय विधि: Difference between revisions

Revision as of 02:45, 12 June 2023

संभाव्यता सिद्धांत में, आव्यूह ज्यामितीय विधि अर्ध-जन्म-मृत्यु प्रक्रियाओं के विश्लेषण के लिए एक विधि होती है, निरंतर-समय मार्कोव श्रृंखला जिसका संक्रमण दर आव्यूह एक दोहरावदार संरचना के साथ होता है।^[1] इस पद्धति का विकास बड़े पैमाने पर मार्सेल एफ न्यूट्स और उनके छात्रों द्वारा 1975 के आसपास प्रारंभ किया गया था।^[2]

विधि विवरण

इस विधि को निम्न प्रकार से त्रिकोणीय आव्यूह संरचना के साथ एक संक्रमण दर आव्यूह की आवश्यकता होती है

Q={\begin{pmatrix}B_{00}&B_{01}\\B_{10}&A_{1}&A_{2}\\&A_{0}&A_{1}&A_{2}\\&&A_{0}&A_{1}&A_{2}\\&&&A_{0}&A_{1}&A_{2}\\&&&&\ddots &\ddots &\ddots \end{pmatrix}}

जहां प्रत्येक बी₀₀, बी₀₁, बी₁₀, ए₀, ए₁ और ए₂ आव्यूह है। स्थिर वितरण π लेखन π Q = 0 की गणना करने के लिए उप-वैक्टर π के लिए संतुलन समीकरणों पर विचार किया जाता है_i

{\begin{aligned}\pi _{0}B_{00}+\pi _{1}B_{10}&=0\\\pi _{0}B_{01}+\pi _{1}A_{1}+\pi _{2}A_{0}&=0\\\pi _{1}A_{2}+\pi _{2}A_{1}+\pi _{3}A_{0}&=0\\&\vdots \\\pi _{i-1}A_{2}+\pi _{i}A_{1}+\pi _{i+1}A_{0}&=0\\&\vdots \\\end{aligned}}

गौर कीजिए कि संबंध

\pi _{i}=\pi _{1}R^{i-1}

रखता है जहां आर न्यूट की दर आव्यूह है,^[3] जिसकी गणना संख्यात्मक रूप से की जा सकती है। इसका प्रयोग करके हम लिखते है

{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}\pi _{0}&\pi _{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B_{00}&B_{01}\\B_{10}&A_{1}+RA_{0}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\end{pmatrix}}\end{aligned}}

जिसे π खोजने के लिए हल किया जा सकता है₀ और π₁ और इसलिए क्रमिक रूप से सभी π_i.

== आर == की गणना

चक्रीय कमी का उपयोग करके आव्यूह आर की गणना की जा सकती है^[4] या लघुगणकीय कमी।^[5]^[6]

आव्यूह विश्लेषणात्मक विधि

आव्यूह विश्लेषणात्मक विधि आव्यूह ज्यामितीय समाधान विधि का एक अधिक जटिल संस्करण है जिसका उपयोग ब्लॉक M/G/1 क्यू | M/G/1 मैट्रिसेस के साथ मॉडल का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है।^[7] ऐसे मॉडल कठिन है क्योंकि π जैसा कोई संबंध नहीं है_i= पी₁आर^i – 1 उपरोक्त होल्ड का उपयोग किया गया है।^[8]

बाहरी संबंध

Performance Modelling and Markov Chains (part 2) by William J. Stewart at 7th International School on Formal Methods for the Design of Computer, Communication and Software Systems: Performance Evaluation

संदर्भ

↑ Harrison, Peter G.; Patel, Naresh M. (1992). संचार नेटवर्क और कंप्यूटर आर्किटेक्चर का प्रदर्शन मॉडलिंग. Addison-Wesley. pp. 317–322. ISBN 0-201-54419-9.
↑ Asmussen, S. R. (2003). "Random Walks". एप्लाइड संभावना और कतारें. Stochastic Modelling and Applied Probability. Vol. 51. pp. 220–243. doi:10.1007/0-387-21525-5_8. ISBN 978-0-387-00211-8.
↑ Ramaswami, V. (1990). "कतारबद्ध सिद्धांत में मैट्रिक्स प्रतिमानों के लिए एक द्वैत प्रमेय". Communications in Statistics. Stochastic Models. 6: 151–161. doi:10.1080/15326349908807141.
↑ Bini, D.; Meini, B. (1996). "पंक्तिबद्ध समस्याओं में उत्पन्न होने वाले अरैखिक मैट्रिक्स समीकरण के समाधान पर". SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications. 17 (4): 906. doi:10.1137/S0895479895284804.
↑ Latouche, Guy; Ramaswami, V. (1993). "अर्ध-जन्म-मृत्यु प्रक्रियाओं के लिए एक लघुगणक न्यूनीकरण एल्गोरिथम". Journal of Applied Probability. Applied Probability Trust. 30 (3): 650–674. JSTOR 3214773.
↑ Pérez, J. F.; Van Houdt, B. (2011). "अर्ध-जन्म-मृत्यु प्रक्रियाएं प्रतिबंधित संक्रमण और इसके अनुप्रयोगों के साथ" (PDF). Performance Evaluation. 68 (2): 126. doi:10.1016/j.peva.2010.04.003. hdl:10067/859850151162165141.
↑ Alfa, A. S.; Ramaswami, V. (2011). "Matrix Analytic Method: Overview and History". संचालन अनुसंधान और प्रबंधन विज्ञान का विली एनसाइक्लोपीडिया. doi:10.1002/9780470400531.eorms0631. ISBN 9780470400531.
↑ Bolch, Gunter; Greiner, Stefan; de Meer, Hermann; Trivedi, Kishor Shridharbhai (2006). Queueing Networks and Markov Chains: Modeling and Performance Evaluation with Computer Science Applications (2 ed.). John Wiley & Sons, Inc. p. 259. ISBN 0471565253.

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[1] Harrison, Peter G.; Patel, Naresh M. (1992). संचार नेटवर्क और कंप्यूटर आर्किटेक्चर का प्रदर्शन मॉडलिंग. Addison-Wesley. pp. 317–322. ISBN 0-201-54419-9.

[2] Asmussen, S. R. (2003). "Random Walks". एप्लाइड संभावना और कतारें. Stochastic Modelling and Applied Probability. Vol. 51. pp. 220–243. doi:10.1007/0-387-21525-5_8. ISBN 978-0-387-00211-8.

[3] Ramaswami, V. (1990). "कतारबद्ध सिद्धांत में मैट्रिक्स प्रतिमानों के लिए एक द्वैत प्रमेय". Communications in Statistics. Stochastic Models. 6: 151–161. doi:10.1080/15326349908807141.

[4] Bini, D.; Meini, B. (1996). "पंक्तिबद्ध समस्याओं में उत्पन्न होने वाले अरैखिक मैट्रिक्स समीकरण के समाधान पर". SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications. 17 (4): 906. doi:10.1137/S0895479895284804.

[5] Latouche, Guy; Ramaswami, V. (1993). "अर्ध-जन्म-मृत्यु प्रक्रियाओं के लिए एक लघुगणक न्यूनीकरण एल्गोरिथम". Journal of Applied Probability. Applied Probability Trust. 30 (3): 650–674. JSTOR 3214773.

[6] Pérez, J. F.; Van Houdt, B. (2011). "अर्ध-जन्म-मृत्यु प्रक्रियाएं प्रतिबंधित संक्रमण और इसके अनुप्रयोगों के साथ" (PDF). Performance Evaluation. 68 (2): 126. doi:10.1016/j.peva.2010.04.003. hdl:10067/859850151162165141.

[7] Alfa, A. S.; Ramaswami, V. (2011). "Matrix Analytic Method: Overview and History". संचालन अनुसंधान और प्रबंधन विज्ञान का विली एनसाइक्लोपीडिया. doi:10.1002/9780470400531.eorms0631. ISBN 9780470400531.

[8] Bolch, Gunter; Greiner, Stefan; de Meer, Hermann; Trivedi, Kishor Shridharbhai (2006). Queueing Networks and Markov Chains: Modeling and Performance Evaluation with Computer Science Applications (2 ed.). John Wiley & Sons, Inc. p. 259. ISBN 0471565253.

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-संभाव्यता सिद्धांत में, मैट्रिक्स ज्यामितीय विधि अर्ध-जन्म-मृत्यु प्रक्रियाओं के विश्लेषण के लिए एक विधि है, [[निरंतर-समय मार्कोव श्रृंखला]] जिसका संक्रमण दर आव्यूह एक दोहरावदार ब्लॉक संरचना के साथ होता है।<ref>{{cite book|first=Peter G.|last=Harrison|author-link=Peter G. Harrison|first2=Naresh M.|last2=Patel|title=संचार नेटवर्क और कंप्यूटर आर्किटेक्चर का प्रदर्शन मॉडलिंग|publisher=Addison-Wesley|year=1992|pages=[https://archive.org/details/performancemodel0000harr/page/317 317–322]|isbn=0-201-54419-9|url-access=registration|url=https://archive.org/details/performancemodel0000harr/page/317}}</ref> इस पद्धति का विकास बड़े पैमाने पर मार्सेल एफ. न्यूट्स और उनके छात्रों द्वारा 1975 के आसपास शुरू किया गया था।<ref>{{Cite book | first1 = S. R. | last1 = Asmussen| doi = 10.1007/0-387-21525-5_8 | chapter = Random Walks | title = एप्लाइड संभावना और कतारें| series = Stochastic Modelling and Applied Probability | volume = 51 | pages = 220–243 | year = 2003 | isbn = 978-0-387-00211-8 }}</ref>
+संभाव्यता सिद्धांत में, '''आव्यूह ज्यामितीय विधि''' अर्ध-जन्म-मृत्यु प्रक्रियाओं के विश्लेषण के लिए एक विधि होती है, [[निरंतर-समय मार्कोव श्रृंखला]] जिसका संक्रमण दर आव्यूह एक दोहरावदार संरचना के साथ होता है।<ref>{{cite book|first=Peter G.|last=Harrison|author-link=Peter G. Harrison|first2=Naresh M.|last2=Patel|title=संचार नेटवर्क और कंप्यूटर आर्किटेक्चर का प्रदर्शन मॉडलिंग|publisher=Addison-Wesley|year=1992|pages=[https://archive.org/details/performancemodel0000harr/page/317 317–322]|isbn=0-201-54419-9|url-access=registration|url=https://archive.org/details/performancemodel0000harr/page/317}}</ref> इस पद्धति का विकास बड़े पैमाने पर मार्सेल एफ न्यूट्स और उनके छात्रों द्वारा 1975 के आसपास प्रारंभ किया गया था।<ref>{{Cite book | first1 = S. R. | last1 = Asmussen| doi = 10.1007/0-387-21525-5_8 | chapter = Random Walks | title = एप्लाइड संभावना और कतारें| series = Stochastic Modelling and Applied Probability | volume = 51 | pages = 220–243 | year = 2003 | isbn = 978-0-387-00211-8 }}</ref>
 == विधि विवरण ==
-इस विधि को निम्न प्रकार से [[त्रिकोणीय मैट्रिक्स]] ब्लॉक संरचना के साथ एक संक्रमण दर मैट्रिक्स की आवश्यकता होती है
+इस विधि को निम्न प्रकार से [[त्रिकोणीय मैट्रिक्स|त्रिकोणीय आव्यूह]] संरचना के साथ एक संक्रमण दर आव्यूह की आवश्यकता होती है
 ::<math>Q=\begin{pmatrix}
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 &&&& \ddots & \ddots & \ddots
 \end{pmatrix}</math>
-जहां प्रत्येक बी<sub>00</sub>, बी<sub>01</sub>, बी<sub>10</sub>, ए<sub>0</sub>, ए<sub>1</sub> और ए<sub>2</sub> आव्यूह हैं। स्थिर वितरण π लेखन π Q = 0 की गणना करने के लिए उप-वैक्टर π के लिए [[संतुलन समीकरण]]ों पर विचार किया जाता है<sub>''i''</sub>
+जहां प्रत्येक बी<sub>00</sub>, बी<sub>01</sub>, बी<sub>10</sub>, ए<sub>0</sub>, ए<sub>1</sub> और ए<sub>2</sub> आव्यूह है। स्थिर वितरण π लेखन π Q = 0 की गणना करने के लिए उप-वैक्टर π के लिए [[संतुलन समीकरण|संतुलन समीकरणों]] पर विचार किया जाता है<sub>''i''</sub>
 ::<math>\begin{align}
 \pi_0 B_{00} + \pi_1 B_{10} &= 0\\
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 ::<math>\pi_i = \pi_1 R^{i-1}</math>
-रखता है जहां आर न्यूट की दर मैट्रिक्स है,<ref>{{Cite journal | last1 = Ramaswami | first1 = V. | doi = 10.1080/15326349908807141 | title = कतारबद्ध सिद्धांत में मैट्रिक्स प्रतिमानों के लिए एक द्वैत प्रमेय| journal = Communications in Statistics. Stochastic Models | volume = 6 | pages = 151–161 | year = 1990 }}</ref> जिसकी गणना संख्यात्मक रूप से की जा सकती है। इसका प्रयोग करके हम लिखते हैं
+रखता है जहां आर न्यूट की दर आव्यूह है,<ref>{{Cite journal | last1 = Ramaswami | first1 = V. | doi = 10.1080/15326349908807141 | title = कतारबद्ध सिद्धांत में मैट्रिक्स प्रतिमानों के लिए एक द्वैत प्रमेय| journal = Communications in Statistics. Stochastic Models | volume = 6 | pages = 151–161 | year = 1990 }}</ref> जिसकी गणना संख्यात्मक रूप से की जा सकती है। इसका प्रयोग करके हम लिखते है
 ::<math>\begin{align}
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 == आर == की गणना
-[[चक्रीय कमी]] का उपयोग करके मैट्रिक्स आर की गणना की जा सकती है<ref>{{Cite journal | last1 = Bini | first1 = D. | last2 = Meini | first2 = B.|author2-link=Beatrice Meini | doi = 10.1137/S0895479895284804 | title = पंक्तिबद्ध समस्याओं में उत्पन्न होने वाले अरैखिक मैट्रिक्स समीकरण के समाधान पर| journal = SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications | volume = 17 | issue = 4 | pages = 906 | year = 1996 }}</ref> या लघुगणकीय कमी।<ref>{{cite journal | year = 1993 | title = अर्ध-जन्म-मृत्यु प्रक्रियाओं के लिए एक लघुगणक न्यूनीकरण एल्गोरिथम| journal = Journal of Applied Probability | volume = 30 | issue = 3 | pages = 650–674 | publisher = Applied Probability Trust | jstor = 3214773 | first1 = Guy | last1 = Latouche | first2 = V. | last2 = Ramaswami}}</ref><ref>{{Cite journal | last1 = Pérez | first1 = J. F. | last2 = Van Houdt | first2 = B. | doi = 10.1016/j.peva.2010.04.003 | title = अर्ध-जन्म-मृत्यु प्रक्रियाएं प्रतिबंधित संक्रमण और इसके अनुप्रयोगों के साथ| journal = [[Performance Evaluation]]| volume = 68 | issue = 2 | pages = 126 | year = 2011 | url = http://www.doc.ic.ac.uk/~jperezbe/data/PerezVanHoudt_PEVA_2011.pdf| hdl = 10067/859850151162165141 | hdl-access = free }}</ref>
+[[चक्रीय कमी]] का उपयोग करके आव्यूह आर की गणना की जा सकती है<ref>{{Cite journal | last1 = Bini | first1 = D. | last2 = Meini | first2 = B.|author2-link=Beatrice Meini | doi = 10.1137/S0895479895284804 | title = पंक्तिबद्ध समस्याओं में उत्पन्न होने वाले अरैखिक मैट्रिक्स समीकरण के समाधान पर| journal = SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications | volume = 17 | issue = 4 | pages = 906 | year = 1996 }}</ref> या लघुगणकीय कमी।<ref>{{cite journal | year = 1993 | title = अर्ध-जन्म-मृत्यु प्रक्रियाओं के लिए एक लघुगणक न्यूनीकरण एल्गोरिथम| journal = Journal of Applied Probability | volume = 30 | issue = 3 | pages = 650–674 | publisher = Applied Probability Trust | jstor = 3214773 | first1 = Guy | last1 = Latouche | first2 = V. | last2 = Ramaswami}}</ref><ref>{{Cite journal | last1 = Pérez | first1 = J. F. | last2 = Van Houdt | first2 = B. | doi = 10.1016/j.peva.2010.04.003 | title = अर्ध-जन्म-मृत्यु प्रक्रियाएं प्रतिबंधित संक्रमण और इसके अनुप्रयोगों के साथ| journal = [[Performance Evaluation]]| volume = 68 | issue = 2 | pages = 126 | year = 2011 | url = http://www.doc.ic.ac.uk/~jperezbe/data/PerezVanHoudt_PEVA_2011.pdf| hdl = 10067/859850151162165141 | hdl-access = free }}</ref>
-== मैट्रिक्स विश्लेषणात्मक विधि ==
+== आव्यूह विश्लेषणात्मक विधि ==
 {{Main|Matrix analytic method}}
-मैट्रिक्स विश्लेषणात्मक विधि मैट्रिक्स ज्यामितीय समाधान विधि का एक अधिक जटिल संस्करण है जिसका उपयोग ब्लॉक M/G/1 क्यू | M/G/1 मैट्रिसेस के साथ मॉडल का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है।<ref>{{Cite book | last1 = Alfa | first1 = A. S. | last2 = Ramaswami | first2 = V. | doi = 10.1002/9780470400531.eorms0631 | chapter = Matrix Analytic Method: Overview and History | title = संचालन अनुसंधान और प्रबंधन विज्ञान का विली एनसाइक्लोपीडिया| year = 2011 | isbn = 9780470400531 }}</ref> ऐसे मॉडल कठिन हैं क्योंकि π जैसा कोई संबंध नहीं है<sub>''i''</sub>= पी<sub>1</sub>आर<sup>i – 1</sup> उपरोक्त होल्ड का उपयोग किया गया है।<ref>{{cite book|first1=Gunter|last1= Bolch|first2=Stefan |last2= Greiner |first3=Hermann  |last3=de Meer |author4-link=Kishor S. Trivedi|first4= Kishor Shridharbhai|last4=  Trivedi | year=2006| edition=2 | page=259| title=Queueing Networks and Markov Chains: Modeling and Performance Evaluation with Computer Science Applications |publisher= John Wiley & Sons, Inc|isbn=0471565253}}</ref>
+आव्यूह विश्लेषणात्मक विधि आव्यूह ज्यामितीय समाधान विधि का एक अधिक जटिल संस्करण है जिसका उपयोग ब्लॉक M/G/1 क्यू | M/G/1 मैट्रिसेस के साथ मॉडल का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है।<ref>{{Cite book | last1 = Alfa | first1 = A. S. | last2 = Ramaswami | first2 = V. | doi = 10.1002/9780470400531.eorms0631 | chapter = Matrix Analytic Method: Overview and History | title = संचालन अनुसंधान और प्रबंधन विज्ञान का विली एनसाइक्लोपीडिया| year = 2011 | isbn = 9780470400531 }}</ref> ऐसे मॉडल कठिन है क्योंकि π जैसा कोई संबंध नहीं है<sub>''i''</sub>= पी<sub>1</sub>आर<sup>i – 1</sup> उपरोक्त होल्ड का उपयोग किया गया है।<ref>{{cite book|first1=Gunter|last1= Bolch|first2=Stefan |last2= Greiner |first3=Hermann  |last3=de Meer |author4-link=Kishor S. Trivedi|first4= Kishor Shridharbhai|last4=  Trivedi | year=2006| edition=2 | page=259| title=Queueing Networks and Markov Chains: Modeling and Performance Evaluation with Computer Science Applications |publisher= John Wiley & Sons, Inc|isbn=0471565253}}</ref>

v t e Queueing theory
Single queueing nodes	D/M/1 queue M/D/1 queue M/D/c queue M/M/1 queue Burke's theorem M/M/c queue M/M/∞ queue M/G/1 queue Pollaczek–Khinchine formula Matrix analytic method M/G/k queue G/M/1 queue G/G/1 queue Kingman's formula Lindley equation Fork–join queue Bulk queue
Arrival processes	Poisson point process Markovian arrival process Rational arrival process
Queueing networks	Jackson network Traffic equations Gordon–Newell theorem Mean value analysis Buzen's algorithm Kelly network G-network BCMP network
Service policies	FIFO LIFO Processor sharing Round-robin Shortest job next Shortest remaining time
Key concepts	Continuous-time Markov chain Kendall's notation Little's law Product-form solution Balance equation Quasireversibility Flow-equivalent server method Arrival theorem Decomposition method Beneš method
Limit theorems	Fluid limit Mean-field theory Heavy traffic approximation Reflected Brownian motion
Extensions	Fluid queue Layered queueing network Polling system Adversarial queueing network Loss network Retrial queue
Information systems	Data buffer Erlang (unit) Erlang distribution Flow control (data) Message queue Network congestion Network scheduler Pipeline (software) Quality of service Scheduling (computing) Teletraffic engineering
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