मापने योग्य स्थान

गणित में, मापने योग्य स्थान या बोरेल स्थानमाप सिद्धांत में एक मूल वस्तु है। इसमें समुच्चय (गणित) और सिग्मा-बीजगणित σ-बीजगणित होता है, जो मापे जाने वाले उपसमुच्चय को परिभाषित करता है।

परिभाषा

समुच्चय पर ध्यान करें $X$ और सिग्मा-बीजगणित σ-बीजगणित ${\mathcal {A}}$ पर $X.$ फिर टपल $(X,{\mathcal {A}})$ मापने योग्य स्थान कहा जाता है।

ध्यान दें कि एक माप स्थान के विपरीत, मापने योग्य स्थान के लिए कोई माप (गणित) की आवश्यकता नहीं है।

उदाहरण

समुच्चय पर नजर:

$$X=\{1,2,3\}.$$

एक संभव $\sigma$-बीजगणित होगा:

$${\mathcal {A}}_{1}=\{X,\varnothing \}.$$

तब $\left(X,{\mathcal {A}}_{1}\right)$ मापने योग्य स्थान है। एक और संभव $\sigma$-बीजगणित पर स्थापित घात समुच्चय होगी $X$:

$${\mathcal {A}}_{2}={\mathcal {P}}(X).$$

इसके साथ ही समुच्चय पर दूसरा मापनीय स्थान $X$ द्वारा दिया गया है $\left(X,{\mathcal {A}}_{2}\right).$

सामान्य मापने योग्य स्थान

अगर $X$ परिमित या गणनीय रूप से अनंत है, $\sigma$-बीजगणित सबसे अधिक बार होता है घात समुच्चय है $X,$ इसलिए ${\mathcal {A}}={\mathcal {P}}(X).$ यह मापने योग्य स्थान की ओर जाता है $(X,{\mathcal {P}}(X)).$

अगर $X$ टोपोलॉजिकल स्पेस है, द $\sigma$-बीजगणित सामान्यतः बोरेल सिग्मा बीजगणित है| बोरेल $\sigma$-बीजगणित ${\mathcal {B}},$ इसलिए ${\mathcal {A}}={\mathcal {B}}(X).$ यह मापने योग्य स्थान की ओर जाता है $(X,{\mathcal {B}}(X))$ यह सभी टोपोलॉजिकल स्पेस जैसे कि वास्तविक संख्या के लिए सामान्य है $\mathbb {R} .$

बोरेल रिक्त स्थान के साथ अस्पष्टता

बोरेल स्पेस शब्द का प्रयोग विभिन्न प्रकार के मापने योग्य स्थानों के लिए किया जाता है। यह संदर्भित कर सकता है

• कोई भी मापने योग्य स्थान, इसलिए यह ऊपर परिभाषित अनुसार मापने योग्य स्थान का पर्याय है * एक औसत दर्जे का स्थान जो बोरेल समरूपता है वास्तविक संख्याओं के एक औसत दर्जे का उपसमुच्चय (फिर से बोरेल के साथ) $\sigma$-बीजगणित)

यह भी देखें

• बोरेल समुच्चय – Mathematical process
• मापनीय समुच्चय
• मानक बोरेल स्थान/मानक बोरेल स्थान