अनिसोट्रोपिक प्रसार: Difference between revisions

Revision as of 19:43, 12 June 2023

प्रतिबिंब प्रक्रमण और कंप्यूटर दृष्टि में, विषमदैशिक विसरण, जिसे पेरोना-मलिक विसरण भी कहा जाता है, प्रतिबिंब पदार्थ के महत्वपूर्ण भागों को हटाए बिना प्रतिबिंब रव को कम करने के उद्देश्य से एक तकनीक है, सामान्यतः किनारों, रेखाओं या अन्य विवरण जो प्रतिबिंब की व्याख्या के लिए महत्वपूर्ण हैं ।^[1]^[2]^[3] विषमदैशिक विसरण उस प्रक्रिया से मिलता-जुलता है जो एक माप समष्टि बनाता है, जहां एक प्रतिबिंब विसरण प्रक्रिया के आधार पर क्रमिक रूप से अधिक से अधिक अस्पष्ट प्रतिबिंबों का एक पैरामीटरयुक्त वर्ग उत्पन्न करती है। इस वर्ग में परिणामी प्रतिबिंबों में से प्रत्येक को प्रतिबिंब और एक 2डी समदैशिक गाऊसी निस्यंदक के बीच एक संवलन के रूप में दिया गया है, जहां पैरामीटर के साथ निस्यंदक की चौड़ाई बढ़ जाती है। यह विसरण प्रक्रिया मूल प्रतिबिंब का एक रैखिक और समष्टि-अपरिवर्तनीय परिवर्तन है। विषमदैशिक विसरण इस विसरण प्रक्रिया का एक सामान्यीकरण है: यह पैरामिट्रीकृत प्रतिबिंबों के एक वर्ग का उत्पादन करता है, परन्तु प्रत्येक परिणामी प्रतिबिंब मूल प्रतिबिंब और एक निस्यंदक के बीच एक संयोजन है जो मूल प्रतिबिंब की स्थानीय पदार्थ पर निर्भर करता है। परिणामस्वरूप, विषमदैशिक विसरण मूल प्रतिबिंब का एक गैर-रैखिक और समष्टि-भिन्न परिवर्तन है।

1987 में पीटर पेरोना और जितेंद्र मलिक द्वारा प्रस्तुत अपने मूल सूत्रीकरण में,^[1] समष्टि- परिवर्त निस्यंदक वस्तुतः समदैशिक है, परन्तु प्रतिबिंब पदार्थ पर निर्भर करता है जैसे कि यह किनारों और अन्य संरचनाओं के निकट एक आवेग फलन का अनुमान लगाता है जिसे परिणामी माप समष्टि के विभिन्न स्तरों पर प्रतिबिंब में संरक्षित किया जाना चाहिए। इस सूत्रीकरण को पेरोना और मलिक द्वारा विषमदैशिक विसरण के रूप में संदर्भित किया गया था, यद्यपि स्थानीय रूप से अनुकूलित निस्यंदक समदैशिक है, परन्तु इसे अन्य लेखकों द्वारा अमानवीय और गैर-रैखिक विसरण या पेरोना-मलिक विसरण के रूप में भी संदर्भित किया गया है।^[4]^[5] एक अधिक सामान्य सूत्रीकरण स्थानीय रूप से अनुकूलित निस्यंदक को किनारों या रेखाओं जैसे रैखिक संरचनाओं के निकट उचित रूप में विषमदैशिक होने की अनुमति देता है: इसकी संरचना द्वारा दिया गया एक अभिविन्यास है जैसे कि यह संरचना के साथ लम्बी और संकरी होती है। इस प्रकार की विधियों को सजातीय आकार अनुकूलन^[6]^[7] सुसंगतता बढ़ाने वाले प्रसार के रूप में संदर्भित किया जाता है।^[8] परिणामस्वरूप, परिणामी प्रतिबिंब रैखिक संरचनाओं को संरक्षित करती हैं जबकि एक ही समय में इन संरचनाओं के साथ मृदुलन की जाती है। इन दोनों स्थितियों को सामान्य विसरण समीकरण के सामान्यीकरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है जहां विसरण गुणांक, स्थिर अदिश होने के अतिरिक्त, प्रतिबिंब स्थिति का एक फलन है और एक आव्यूह (गणित) (या टेन्सर ) मान (संरचना टेंसर देखें) मानता है।

यद्यपि प्रतिबिंबों के परिणामी वर्ग को मूल प्रतिबिंब और समष्टि- परिवर्त निस्यंदक के बीच संयोजन के रूप में वर्णित किया जा सकता है, स्थानीय रूप से अनुकूलित निस्यंदक और प्रतिबिंब के साथ इसके संयोजन को अभ्यास में नहीं समझना चाहिए। विषमदैशिक विसरण सामान्य रूप से सामान्यीकृत विसरण समीकरण के सन्निकटन के माध्यम से कार्यान्वित किया जाता है: वर्ग में प्रत्येक नवीन प्रतिबिंब की गणना इस समीकरण को पिछली प्रतिबिंब पर लागू करके की जाती है। फलस्वरूप, विषमदैशिक विसरण एक पुनरावृत्त प्रक्रिया है जहां गणना का एक अपेक्षाकृत सरल समुच्चय वर्ग में प्रत्येक क्रमिक प्रतिबिंब की गणना करने के लिए उपयोग किया जाता है और यह प्रक्रिया तब तक जारी रहती है जब तक कि पर्याप्त मात्रा में मृदुलन प्राप्त नहीं हो जाती।

यादृच्छिक परिभाषा

यादृच्छिक रूप से, $\Omega \subset \mathbb {R} ^{2}$ तल के एक उपसमुच्चय को दर्शाता है और $I(\cdot ,t):\Omega \rightarrow \mathbb {R}$ धूसरता क्रम प्रतिबिंब का वर्ग है। $I(\cdot ,0)$ निवेश प्रतिबिंब है। फिर विषमदैशिक विसरण को

{\frac {\partial I}{\partial t}}=\operatorname {div} \left(c(x,y,t)\nabla I\right)=\nabla c\cdot \nabla I+c(x,y,t)\,\Delta I

के रूप में परिभाषित किया जाता है जहां $\Delta$ लाप्लासियन को दर्शाता है, $\nabla$ प्रवणता को दर्शाता है, $\operatorname {div} (\cdots )$ विचलन संक्रियक है और $c(x,y,t)$ विसरण गुणांक है।

$t>0$ के लिए, निर्गम प्रतिबिंब $I(\cdot ,t)$ के रूप में उपलब्ध है , जिसमें बड़ा $t$ अस्पष्ट प्रतिबिंब बनाता है।

$c(x,y,t)$ विसरण की दर को नियंत्रित करता है और सामान्यतः प्रतिबिंब प्रवणता के फलन के रूप में चुना जाता है ताकि प्रतिबिंब में किनारों को संरक्षित किया जा सके। पिएत्रो पेरोना और जितेंद्र मलिक ने 1990 में विषमदैशिक विसरण के विचार को आगे बढ़ाया और विसरण गुणांक के लिए दो फलनों का प्रस्ताव दिया:

c\left(\|\nabla I\|\right)=e^{-\left(\|\nabla I\|/K\right)^{2}}

और

c\left(\|\nabla I\|\right)={\frac {1}{1+\left({\frac {\|\nabla I\|}{K}}\right)^{2}}}

निरंतर K किनारों की संवेदनशीलता को नियंत्रित करता है और सामान्यतः प्रयोगात्मक रूप से या प्रतिबिंब में रव के फलन के रूप में चुना जाता है।

प्रेरणा

माना $M$ मृदु प्रतिबिंबों के बहुमुख को दर्शाता है, तो ऊपर प्रस्तुत विसरण समीकरणों को

E[I]={\frac {1}{2}}\int _{\Omega }g\left(\|\nabla I(x)\|^{2}\right)\,dx

द्वारा परिभाषित ऊर्जा फलनात्मकता $E:M\rightarrow \mathbb {R}$ के न्यूनतमकरण के लिए प्रवणता वंश समीकरणों के रूप में व्याख्या किया जा सकता है जहां $g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ एक वास्तविक-मानित फलन है जो विसरण गुणांक से घनिष्ठ रूप से संबंधित है। फिर किसी भी प्रकार से समर्थित अपरिमित भिन्न परीक्षण फलन $h$ ,

{\begin{aligned}\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}E[I+th]&={\frac {d}{dt}}{\big |}_{t=0}{\frac {1}{2}}\int _{\Omega }g\left(\|\nabla (I+th)(x)\|^{2}\right)\,dx\\[5pt]&=\int _{\Omega }g'\left(\|\nabla I(x)\|^{2}\right)\nabla I\cdot \nabla h\,dx\\[5pt]&=-\int _{\Omega }\operatorname {div} (g'\left(\|\nabla I(x)\|^{2}\right)\nabla I)h\,dx\end{aligned}}

के लिए जहां अंतिम पंक्ति भागों द्वारा बहुआयामी एकीकरण से होती है। दे $\nabla E_{I}$ के संबंध में E की प्रवणता निरूपित करें $L^{2}(\Omega ,\mathbb {R} )$ आंतरिक उत्पाद I पर मूल्यांकन किया गया, यह देता है

\nabla E_{I}=-\operatorname {div} (g'\left(\|\nabla I(x)\|^{2}\right)\nabla I)

इसलिए, कार्यात्मक ई पर ग्रेडिएंट डिसेंट समीकरण द्वारा दिए गए हैं

{\frac {\partial I}{\partial t}}=-\nabla E_{I}=\operatorname {div} (g'\left(\|\nabla I(x)\|^{2}\right)\nabla I)

इस प्रकार दे कर $c=g'$ विषमदैशिक विसरण समीकरण प्राप्त होते हैं।

नियमितीकरण

विसरण गुणांक, $c(x,y,t)$ , जैसा कि पेरोना और मलिक द्वारा प्रस्तावित किया गया है, जब अस्थिरता हो सकती है $\|\nabla I\|^{2}>K^{2}$ । यह सिद्ध किया जा सकता है कि यह स्थिति भौतिक विसरण गुणांक के समतुल्य है (जो पेरोना और मलिक द्वारा परिभाषित गणितीय विसरण गुणांक से भिन्न है) नकारात्मक हो रहा है और यह पिछड़े विसरण की ओर जाता है जो प्रतिबिंब की तीव्रता के विपरीत को बढ़ाता है अतिरिक्त उन्हें मृदु करने के। समस्या से बचने के लिए, नियमितीकरण आवश्यक है और लोगों ने दिखाया है कि स्थानिक नियमितीकरण अभिसरण और निरंतर स्थिर-राज्य समाधान की ओर ले जाता है।^[9]

इसके लिए संशोधित पेरोना-मलिक मॉडल में से एक^[10](जिसे पी-एम समीकरण के नियमितीकरण के रूप में भी जाना जाता है) पर चर्चा की जाएगी। इस दृष्टिकोण में, संशोधित पेरोना-मलिक समीकरण प्राप्त करने के लिए अज्ञात को गैर-रैखिकता के अंदर एक गॉसियन के साथ जोड़ा जाता है।

{\frac {\partial I}{\partial t}}=\operatorname {div} \left(c(|\nabla (G_{\sigma }*I)|^{2})\nabla I\right)

कहाँ $G_{\sigma }=C\sigma ^{-1/2}\exp \left(-|x|^{2}/4\sigma \right)$ ।

इस नियमितीकरण से समीकरण की अच्छी स्थिति प्राप्त की जा सकती है परन्तु यह अस्पष्ट प्रभाव भी पेश करता है, जो नियमितीकरण का मुख्य दोष है। रव के स्तर का पूर्व ज्ञान आवश्यक है क्योंकि नियमितीकरण पैरामीटर का चुनाव इस पर निर्भर करता है।

अनुप्रयोग

विषमदैशिक विसरण का उपयोग किनारों को अस्पष्ट किए बिना डिजिटल प्रतिबिंबों से रव को दूर करने के लिए किया जा सकता है। एक निरंतर विसरण गुणांक के साथ, विषमदैशिक विसरण समीकरण गर्मी समीकरण को कम करते हैं जो गॉसियन ब्लरिंग के बराबर है। यह रव को दूर करने के लिए आदर्श है, परन्तु अंधाधुंध रूप से किनारों को भी अस्पष्ट कर देता है। जब विसरण गुणांक को किनारे से बचने वाले फलन के रूप में चुना जाता है, जैसे कि पेरोना-मलिक में, परिणामी समीकरण मृदु प्रतिबिंब तीव्रता के क्षेत्रों के भीतर विसरण (इसलिए मृदुलन) को प्रोत्साहित करते हैं और इसे मजबूत किनारों पर दबा देते हैं। इसलिए प्रतिबिंब से रव को दूर करते हुए किनारों को संरक्षित किया जाता है।

रव हटाने के समान लाइनों के साथ, विषमदैशिक विसरण का उपयोग एज डिटेक्शन एल्गोरिदम में किया जा सकता है। पुनरावृत्तियों की एक निश्चित संख्या के लिए विसरण गुणांक की मांग करने वाले किनारे के साथ विसरण को चलाकर, प्रतिबिंब को किनारों के रूप में पहचाने जाने वाले निरंतर घटकों के बीच की सीमाओं के साथ एक टुकड़े की स्थिर प्रतिबिंब की ओर विकसित किया जा सकता है।

यह भी देखें

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 Pietro Perona and Jitendra Malik (November 1987). "Scale-space and edge detection using anisotropic diffusion". Proceedings of IEEE Computer Society Workshop on Computer Vision. pp. 16–22.
↑ Pietro Perona and Jitendra Malik (July 1990). "Scale-space and edge detection using anisotropic diffusion" (PDF). IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence. 12 (7): 629–639. doi:10.1109/34.56205. S2CID 14502908.
↑ Guillermo Sapiro (2001). Geometric partial differential equations and image analysis. Cambridge University Press. p. 223. ISBN 978-0-521-79075-8.
↑ Joachim Weickert (July 1997). "A Review of Nonlinear Diffusion Filtering". Scale-Space Theory in Computer Vision. Springer, LNCS 1252. pp. 1–28. doi:10.1007/3-540-63167-4.
↑ Bernd Jähne and Horst Haußecker (2000). Computer Vision and Applications, A Guide for Students and Practitioners. Academic Press. ISBN 978-0-13-085198-7.
↑ Lindeberg, T., Scale-Space Theory in Computer Vision, Kluwer Academic Publishers, 1994, ISBN 0-7923-9418-6, (chapter 15).
↑ Andres Almansa and Tony Lindeberg (2000). "Fingerprint Enhancement by Shape Adaptation of Scale-Space Operators with Automatic Scale-Selection". IEEE Transactions on Image Processing. 9 (12): 2027–2042. Bibcode:2000ITIP....9.2027L. doi:10.1109/83.887971. PMID 18262941.
↑ Weickert, J Anisotropic diffusion in image processing, Teuber Verlag, Stuttgart, 1998.
↑ Weickert, Joachim. "A review of nonlinear diffusion filtering." International Conference on Scale-Space Theories in Computer Vision. Springer, Berlin, Heidelberg, 1997
↑ Guidotti,P Some Anisotropic Diffusions,2009.

बाहरी संबंध

Mathematica PeronaMalikFilter function।
IDL nonlinear anisotropic diffusion package(edge enhancing and coherence enhancing): [1]

[Perona-Malik-1987-1] 1.0 ^1.1 Pietro Perona and Jitendra Malik (November 1987). "Scale-space and edge detection using anisotropic diffusion". Proceedings of IEEE Computer Society Workshop on Computer Vision. pp. 16–22.

[Perona-Malik-1990-2] Pietro Perona and Jitendra Malik (July 1990). "Scale-space and edge detection using anisotropic diffusion" (PDF). IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence. 12 (7): 629–639. doi:10.1109/34.56205. S2CID 14502908.

[Sapiro-2001-3] Guillermo Sapiro (2001). Geometric partial differential equations and image analysis. Cambridge University Press. p. 223. ISBN 978-0-521-79075-8.

[Weickert-review-4] Joachim Weickert (July 1997). "A Review of Nonlinear Diffusion Filtering". Scale-Space Theory in Computer Vision. Springer, LNCS 1252. pp. 1–28. doi:10.1007/3-540-63167-4.

[Jähne-Haußecker-2000-5] Bernd Jähne and Horst Haußecker (2000). Computer Vision and Applications, A Guide for Students and Practitioners. Academic Press. ISBN 978-0-13-085198-7.

[lin94-6] Lindeberg, T., Scale-Space Theory in Computer Vision, Kluwer Academic Publishers, 1994, ISBN 0-7923-9418-6, (chapter 15).

[AlmLin00-7] Andres Almansa and Tony Lindeberg (2000). "Fingerprint Enhancement by Shape Adaptation of Scale-Space Operators with Automatic Scale-Selection". IEEE Transactions on Image Processing. 9 (12): 2027–2042. Bibcode:2000ITIP....9.2027L. doi:10.1109/83.887971. PMID 18262941.

[Weickert-1998-8] Weickert, J Anisotropic diffusion in image processing, Teuber Verlag, Stuttgart, 1998.

[Weickert,Joachim-1997-9] Weickert, Joachim. "A review of nonlinear diffusion filtering." International Conference on Scale-Space Theories in Computer Vision. Springer, Berlin, Heidelberg, 1997

[Guidotti-2009-10] Guidotti,P Some Anisotropic Diffusions,2009.

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 {{confuse|विषमदैशिक निस्यंदन}}
-प्रतिबिंब प्रक्रमण और [[कंप्यूटर दृष्टि]] में, विषमदैशिक विसरण, जिसे पेरोना-मलिक विसरण भी कहा जाता है, प्रतिबिंब पदार्थ के महत्वपूर्ण भागों को हटाए बिना [[छवि शोर|प्रतिबिंब रव]] को कम करने के उद्देश्य से एक तकनीक है, सामान्यतः किनारों, रेखाओं या अन्य विवरण जो प्रतिबिंब की व्याख्या के लिए महत्वपूर्ण हैं ।<ref name="Perona-Malik-1987"/><ref name="Perona-Malik-1990"/><ref name="Sapiro-2001"/> [[एनिस्ट्रोपिक|विषमदैशिक]] विसरण उस प्रक्रिया से मिलता-जुलता है जो एक [[स्केल स्पेस|माप समष्टि]] बनाता है, जहां एक प्रतिबिंब [[प्रसार प्रक्रिया|विसरण प्रक्रिया]] के आधार पर क्रमिक रूप से अधिक से अधिक धुंधली प्रतिबिंबों का एक पैरामीटरयुक्त वर्ग उत्पन्न करती है। इस वर्ग में परिणामी प्रतिबिंबों में से प्रत्येक को प्रतिबिंब और एक 2डी [[ समदैशिक |समदैशिक]] [[ गाऊसी फिल्टर |गाऊसी निस्यंदक]] के बीच एक [[कनवल्शन|संवलन]] के रूप में दिया गया है, जहां पैरामीटर के साथ निस्यंदक की चौड़ाई बढ़ जाती है। यह विसरण प्रक्रिया मूल प्रतिबिंब का एक रैखिक और समष्टि-अपरिवर्तनीय परिवर्तन है। विषमदैशिक विसरण इस विसरण प्रक्रिया का एक सामान्यीकरण है: यह पैरामिट्रीकृत प्रतिबिंबों के एक वर्ग का उत्पादन करता है, परन्तु प्रत्येक परिणामी प्रतिबिंब मूल प्रतिबिंब और एक निस्यंदक के बीच एक संयोजन है जो मूल प्रतिबिंब की स्थानीय पदार्थ पर निर्भर करता है। परिणामस्वरूप, विषमदैशिक विसरण मूल प्रतिबिंब का एक गैर-रैखिक और समष्टि-भिन्न परिवर्तन है।
+प्रतिबिंब प्रक्रमण और [[कंप्यूटर दृष्टि]] में, विषमदैशिक विसरण, जिसे पेरोना-मलिक विसरण भी कहा जाता है, प्रतिबिंब पदार्थ के महत्वपूर्ण भागों को हटाए बिना [[छवि शोर|प्रतिबिंब रव]] को कम करने के उद्देश्य से एक तकनीक है, सामान्यतः किनारों, रेखाओं या अन्य विवरण जो प्रतिबिंब की व्याख्या के लिए महत्वपूर्ण हैं ।<ref name="Perona-Malik-1987"/><ref name="Perona-Malik-1990"/><ref name="Sapiro-2001"/> [[एनिस्ट्रोपिक|विषमदैशिक]] विसरण उस प्रक्रिया से मिलता-जुलता है जो एक [[स्केल स्पेस|माप समष्टि]] बनाता है, जहां एक प्रतिबिंब [[प्रसार प्रक्रिया|विसरण प्रक्रिया]] के आधार पर क्रमिक रूप से अधिक से अधिक अस्पष्ट प्रतिबिंबों का एक पैरामीटरयुक्त वर्ग उत्पन्न करती है। इस वर्ग में परिणामी प्रतिबिंबों में से प्रत्येक को प्रतिबिंब और एक 2डी [[ समदैशिक |समदैशिक]] [[ गाऊसी फिल्टर |गाऊसी निस्यंदक]] के बीच एक [[कनवल्शन|संवलन]] के रूप में दिया गया है, जहां पैरामीटर के साथ निस्यंदक की चौड़ाई बढ़ जाती है। यह विसरण प्रक्रिया मूल प्रतिबिंब का एक रैखिक और समष्टि-अपरिवर्तनीय परिवर्तन है। विषमदैशिक विसरण इस विसरण प्रक्रिया का एक सामान्यीकरण है: यह पैरामिट्रीकृत प्रतिबिंबों के एक वर्ग का उत्पादन करता है, परन्तु प्रत्येक परिणामी प्रतिबिंब मूल प्रतिबिंब और एक निस्यंदक के बीच एक संयोजन है जो मूल प्रतिबिंब की स्थानीय पदार्थ पर निर्भर करता है। परिणामस्वरूप, विषमदैशिक विसरण मूल प्रतिबिंब का एक गैर-रैखिक और समष्टि-भिन्न परिवर्तन है।
 में [[पीटर पेरोना]] और [[जितेंद्र मलिक]] द्वारा प्रस्तुत अपने मूल सूत्रीकरण में,<ref name="Perona-Malik-1987"/> समष्टि- परिवर्त निस्यंदक वस्तुतः समदैशिक है, परन्तु प्रतिबिंब पदार्थ पर निर्भर करता है जैसे कि यह किनारों और अन्य संरचनाओं के निकट एक आवेग फलन का अनुमान लगाता है जिसे परिणामी माप समष्टि के विभिन्न स्तरों पर प्रतिबिंब में संरक्षित किया जाना चाहिए। इस सूत्रीकरण को पेरोना और मलिक द्वारा विषमदैशिक विसरण के रूप में संदर्भित किया गया था, यद्यपि स्थानीय रूप से अनुकूलित निस्यंदक समदैशिक है, परन्तु इसे अन्य लेखकों द्वारा अमानवीय और गैर-रैखिक विसरण या पेरोना-मलिक विसरण के रूप में भी संदर्भित किया गया है।<ref name="Weickert-review"/><ref name="Jähne-Haußecker-2000"/> एक अधिक सामान्य सूत्रीकरण स्थानीय रूप से अनुकूलित निस्यंदक को किनारों या रेखाओं जैसे रैखिक संरचनाओं के निकट उचित रूप में विषमदैशिक होने की अनुमति देता है: इसकी संरचना द्वारा दिया गया एक अभिविन्यास है जैसे कि यह संरचना के साथ लम्बी और संकरी होती है। इस प्रकार की विधियों को [[affine आकार अनुकूलन|सजातीय आकार अनुकूलन]]<ref name="lin94"/><ref name="AlmLin00"/> सुसंगतता बढ़ाने वाले प्रसार के रूप में संदर्भित किया जाता है।<ref name="Weickert-1998"/> परिणामस्वरूप, परिणामी प्रतिबिंब रैखिक संरचनाओं को संरक्षित करती हैं जबकि एक ही समय में इन संरचनाओं के साथ मृदुलन की जाती है। इन दोनों स्थितियों को सामान्य [[प्रसार समीकरण|विसरण समीकरण]] के सामान्यीकरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है जहां विसरण गुणांक, स्थिर अदिश होने के अतिरिक्त, प्रतिबिंब स्थिति का एक फलन है और एक [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह (गणित)]] (या [[ टेन्सर |टेन्सर]] ) मान ([[संरचना टेंसर]] देखें) मानता है।
-यद्यपि प्रतिबिंबों के परिणामी वर्ग को मूल प्रतिबिंब और समष्टि- परिवर्त निस्यंदक के बीच संयोजन के रूप में वर्णित किया जा सकता है, स्थानीय रूप से अनुकूलित निस्यंदक और प्रतिबिंब के साथ इसके संयोजन को अभ्यास में महसूस नहीं किया जाना चाहिए। विषमदैशिक विसरण सामान्य रूप से सामान्यीकृत विसरण समीकरण के सन्निकटन के माध्यम से कार्यान्वित किया जाता है: वर्ग में प्रत्येक नई प्रतिबिंब की गणना इस समीकरण को पिछली प्रतिबिंब पर लागू करके की जाती है। नतीजतन, विषमदैशिक विसरण एक पुनरावृत्त प्रक्रिया है जहां गणना का एक अपेक्षाकृत सरल सेट वर्ग में प्रत्येक क्रमिक प्रतिबिंब की गणना करने के लिए उपयोग किया जाता है और यह प्रक्रिया तब तक जारी रहती है जब तक कि पर्याप्त मात्रा में मृदुलन प्राप्त नहीं हो जाती।
+यद्यपि प्रतिबिंबों के परिणामी वर्ग को मूल प्रतिबिंब और समष्टि- परिवर्त निस्यंदक के बीच संयोजन के रूप में वर्णित किया जा सकता है, स्थानीय रूप से अनुकूलित निस्यंदक और प्रतिबिंब के साथ इसके संयोजन को अभ्यास में नहीं समझना चाहिए। विषमदैशिक विसरण सामान्य रूप से सामान्यीकृत विसरण समीकरण के सन्निकटन के माध्यम से कार्यान्वित किया जाता है: वर्ग में प्रत्येक नवीन प्रतिबिंब की गणना इस समीकरण को पिछली प्रतिबिंब पर लागू करके की जाती है। फलस्वरूप, विषमदैशिक विसरण एक पुनरावृत्त प्रक्रिया है जहां गणना का एक अपेक्षाकृत सरल समुच्चय वर्ग में प्रत्येक क्रमिक प्रतिबिंब की गणना करने के लिए उपयोग किया जाता है और यह प्रक्रिया तब तक जारी रहती है जब तक कि पर्याप्त मात्रा में मृदुलन प्राप्त नहीं हो जाती।
-== औपचारिक परिभाषा ==
+== यादृच्छिक परिभाषा ==
-औपचारिक रूप से, चलो <math> \Omega \subset \mathbb{R}^2 </math> विमान के एक सबसेट को निरूपित करें और <math> I(\cdot,t): \Omega \rightarrow \mathbb{R} </math> ग्रे माप इमेज का वर्ग बनें। प्रारंभिक_शर्त |<math> I(\cdot, 0) </math>इनपुट प्रतिबिंब है। फिर विषमदैशिक विसरण को इस रूप में परिभाषित किया गया है
+यादृच्छिक रूप से, <math> \Omega \subset \mathbb{R}^2 </math> तल के एक उपसमुच्चय को दर्शाता है और <math> I(\cdot,t): \Omega \rightarrow \mathbb{R} </math> धूसरता क्रम प्रतिबिंब का वर्ग है। <math> I(\cdot, 0) </math> निवेश प्रतिबिंब है। फिर विषमदैशिक विसरण को
 : <math> \frac{\partial I}{\partial t} = \operatorname{div} \left( c(x,y,t) \nabla I \right)= \nabla c \cdot \nabla I + c(x,y,t) \, \Delta I </math>
-कहाँ <math> \Delta </math> [[लाप्लासियन]] को दर्शाता है, <math> \nabla </math> ढाल को दर्शाता है, <math> \operatorname{div}(\cdots) </math> [[विचलन]] ऑपरेटर है और <math> c(x,y,t) </math> विसरण गुणांक है।
+के रूप में परिभाषित किया जाता है जहां <math> \Delta </math> [[लाप्लासियन]] को दर्शाता है, <math> \nabla </math> प्रवणता को दर्शाता है, <math> \operatorname{div}(\cdots) </math> [[विचलन]] संक्रियक है और <math> c(x,y,t) </math> विसरण गुणांक है।
-के लिए <math> t > 0 </math>, आउटपुट प्रतिबिंब के रूप में उपलब्ध है <math> I(\cdot, t) </math>, बड़े के साथ <math> t </math> धुंधली प्रतिबिंब बनाना।
+<math> t > 0 </math> के लिए, निर्गम प्रतिबिंब <math> I(\cdot, t) </math> के रूप में उपलब्ध है , जिसमें बड़ा <math> t </math> अस्पष्ट प्रतिबिंब बनाता है।
-<math> c(x,y,t) </math> विसरण की दर को नियंत्रित करता है और सामान्यतः प्रतिबिंब ढाल के फलन के रूप में चुना जाता है ताकि प्रतिबिंब में किनारों को संरक्षित किया जा सके। पिएत्रो पेरोना और जितेंद्र मलिक ने 1990 में विषमदैशिक विसरण के विचार को आगे बढ़ाया और विसरण गुणांक के लिए दो फलन प्रस्तावित किए:
+<math> c(x,y,t) </math> विसरण की दर को नियंत्रित करता है और सामान्यतः प्रतिबिंब प्रवणता के फलन के रूप में चुना जाता है ताकि प्रतिबिंब में किनारों को संरक्षित किया जा सके। पिएत्रो पेरोना और जितेंद्र मलिक ने 1990 में विषमदैशिक विसरण के विचार को आगे बढ़ाया और विसरण गुणांक के लिए दो फलनों का प्रस्ताव दिया:
 : <math> c\left(\|\nabla I\|\right) = e^{-\left(\|\nabla I\| / K\right)^2} </math>
 और
@@ Line 24: / Line 24: @@
 == प्रेरणा ==
-होने देना <math> M </math> चिकनी प्रतिबिंबों के कई गुना निरूपित करें, तो ऊपर प्रस्तुत विसरण समीकरणों को ऊर्जा कार्यात्मकता को कम करने के लिए ढाल वंश समीकरणों के रूप में व्याख्या की जा सकती है <math> E: M \rightarrow \mathbb{R} </math> द्वारा परिभाषित
+माना <math> M </math> मृदु प्रतिबिंबों के बहुमुख को दर्शाता है, तो ऊपर प्रस्तुत विसरण समीकरणों को
 : <math> E[I] = \frac{1}{2} \int_{\Omega} g\left( \| \nabla I(x)\|^2 \right)\, dx </math>
-कहाँ <math> g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} </math> एक वास्तविक-मूल्यवान फलन है जो विसरण गुणांक से घनिष्ठ रूप से संबंधित है। फिर किसी भी प्रकार से समर्थित असीम रूप से भिन्न परीक्षण फलन के लिए <math> h </math>,
+द्वारा परिभाषित ऊर्जा फलनात्मकता <math> E: M \rightarrow \mathbb{R} </math> के न्यूनतमकरण के लिए प्रवणता वंश समीकरणों के रूप में व्याख्या किया जा सकता है जहां <math> g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} </math> एक वास्तविक-मानित फलन है जो विसरण गुणांक से घनिष्ठ रूप से संबंधित है। फिर किसी भी प्रकार से समर्थित अपरिमित भिन्न परीक्षण फलन <math> h </math>,
 : <math> \begin{align}
@@ Line 33: / Line 33: @@
                                     &= -\int_\Omega \operatorname{div}(g'\left( \| \nabla I(x)\|^2 \right) \nabla I)  h\, dx
 \end{align} </math>
-जहां अंतिम पंक्ति भागों द्वारा बहुआयामी एकीकरण से होती है। दे <math> \nabla E_I </math> के संबंध में E की प्रवणता निरूपित करें <math> L^2(\Omega, \mathbb{R})</math> आंतरिक उत्पाद I पर मूल्यांकन किया गया, यह देता है
+के लिए जहां अंतिम पंक्ति भागों द्वारा बहुआयामी एकीकरण से होती है। दे <math> \nabla E_I </math> के संबंध में E की प्रवणता निरूपित करें <math> L^2(\Omega, \mathbb{R})</math> आंतरिक उत्पाद I पर मूल्यांकन किया गया, यह देता है
 : <math> \nabla E_I = - \operatorname{div}(g'\left( \| \nabla I(x)\|^2 \right) \nabla I) </math>
 इसलिए, कार्यात्मक ई पर ग्रेडिएंट डिसेंट समीकरण द्वारा दिए गए हैं
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 == नियमितीकरण ==
-विसरण गुणांक, <math> c(x,y,t) </math>, जैसा कि पेरोना और मलिक द्वारा प्रस्तावित किया गया है, जब अस्थिरता हो सकती है <math> \| \nabla I\|^2 > K^2 </math>। यह सिद्ध किया जा सकता है कि यह स्थिति भौतिक विसरण गुणांक के समतुल्य है (जो पेरोना और मलिक द्वारा परिभाषित गणितीय विसरण गुणांक से भिन्न है) नकारात्मक हो रहा है और यह पिछड़े विसरण की ओर जाता है जो प्रतिबिंब की तीव्रता के विपरीत को बढ़ाता है अतिरिक्त उन्हें चिकना करने के। समस्या से बचने के लिए, नियमितीकरण आवश्यक है और लोगों ने दिखाया है कि स्थानिक नियमितीकरण अभिसरण और निरंतर स्थिर-राज्य समाधान की ओर ले जाता है।<ref name="Weickert,Joachim-1997"/>
+विसरण गुणांक, <math> c(x,y,t) </math>, जैसा कि पेरोना और मलिक द्वारा प्रस्तावित किया गया है, जब अस्थिरता हो सकती है <math> \| \nabla I\|^2 > K^2 </math>। यह सिद्ध किया जा सकता है कि यह स्थिति भौतिक विसरण गुणांक के समतुल्य है (जो पेरोना और मलिक द्वारा परिभाषित गणितीय विसरण गुणांक से भिन्न है) नकारात्मक हो रहा है और यह पिछड़े विसरण की ओर जाता है जो प्रतिबिंब की तीव्रता के विपरीत को बढ़ाता है अतिरिक्त उन्हें मृदु करने के। समस्या से बचने के लिए, नियमितीकरण आवश्यक है और लोगों ने दिखाया है कि स्थानिक नियमितीकरण अभिसरण और निरंतर स्थिर-राज्य समाधान की ओर ले जाता है।<ref name="Weickert,Joachim-1997"/>
 इसके लिए संशोधित पेरोना-मलिक मॉडल में से एक<ref name="Guidotti-2009"/>(जिसे पी-एम समीकरण के नियमितीकरण के रूप में भी जाना जाता है) पर चर्चा की जाएगी। इस दृष्टिकोण में, संशोधित पेरोना-मलिक समीकरण प्राप्त करने के लिए अज्ञात को गैर-रैखिकता के अंदर एक गॉसियन के साथ जोड़ा जाता है।
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 कहाँ <math> G_\sigma=C\sigma^{-1/2}\exp\left(-|x|^2/4\sigma\right)</math>।
-इस नियमितीकरण से समीकरण की अच्छी स्थिति प्राप्त की जा सकती है परन्तु यह धुंधला प्रभाव भी पेश करता है, जो नियमितीकरण का मुख्य दोष है। रव के स्तर का पूर्व ज्ञान आवश्यक है क्योंकि नियमितीकरण पैरामीटर का चुनाव इस पर निर्भर करता है।
+इस नियमितीकरण से समीकरण की अच्छी स्थिति प्राप्त की जा सकती है परन्तु यह अस्पष्ट प्रभाव भी पेश करता है, जो नियमितीकरण का मुख्य दोष है। रव के स्तर का पूर्व ज्ञान आवश्यक है क्योंकि नियमितीकरण पैरामीटर का चुनाव इस पर निर्भर करता है।
 == अनुप्रयोग ==
-विषमदैशिक विसरण का उपयोग किनारों को धुंधला किए बिना डिजिटल प्रतिबिंबों से रव को दूर करने के लिए किया जा सकता है। एक निरंतर विसरण गुणांक के साथ, विषमदैशिक विसरण समीकरण गर्मी समीकरण को कम करते हैं जो गॉसियन ब्लरिंग के बराबर है। यह रव को दूर करने के लिए आदर्श है, परन्तु अंधाधुंध रूप से किनारों को भी धुंधला कर देता है। जब विसरण गुणांक को किनारे से बचने वाले फलन के रूप में चुना जाता है, जैसे कि पेरोना-मलिक में, परिणामी समीकरण चिकनी प्रतिबिंब तीव्रता के क्षेत्रों के भीतर विसरण (इसलिए मृदुलन) को प्रोत्साहित करते हैं और इसे मजबूत किनारों पर दबा देते हैं। इसलिए प्रतिबिंब से रव को दूर करते हुए किनारों को संरक्षित किया जाता है।
+विषमदैशिक विसरण का उपयोग किनारों को अस्पष्ट किए बिना डिजिटल प्रतिबिंबों से रव को दूर करने के लिए किया जा सकता है। एक निरंतर विसरण गुणांक के साथ, विषमदैशिक विसरण समीकरण गर्मी समीकरण को कम करते हैं जो गॉसियन ब्लरिंग के बराबर है। यह रव को दूर करने के लिए आदर्श है, परन्तु अंधाधुंध रूप से किनारों को भी अस्पष्ट कर देता है। जब विसरण गुणांक को किनारे से बचने वाले फलन के रूप में चुना जाता है, जैसे कि पेरोना-मलिक में, परिणामी समीकरण मृदु प्रतिबिंब तीव्रता के क्षेत्रों के भीतर विसरण (इसलिए मृदुलन) को प्रोत्साहित करते हैं और इसे मजबूत किनारों पर दबा देते हैं। इसलिए प्रतिबिंब से रव को दूर करते हुए किनारों को संरक्षित किया जाता है।
 रव हटाने के समान लाइनों के साथ, विषमदैशिक विसरण का उपयोग एज डिटेक्शन एल्गोरिदम में किया जा सकता है। पुनरावृत्तियों की एक निश्चित संख्या के लिए विसरण गुणांक की मांग करने वाले किनारे के साथ विसरण को चलाकर, प्रतिबिंब को किनारों के रूप में पहचाने जाने वाले निरंतर घटकों के बीच की सीमाओं के साथ एक टुकड़े की स्थिर प्रतिबिंब की ओर विकसित किया जा सकता है।

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