अस्पष्ट समुच्चय (फजी सेट)

गणित में, अस्पष्ट समुच्चय (उर्फ अनिश्चित समुच्चय) समुच्चय (गणित) होते हैं जिनके तत्व (गणित) में सदस्यता की डिग्री होती है। 1965 में समुच्चय की चिरसम्मत धारणा के विस्तार के रूप में लोत्फी आस्कर ज़ादेह लोत्फी ए. ज़ादेह द्वारा स्वतंत्र रूप से अस्पष्ट समुच्चय पेश किए गए थे। एक ही समय पर, Salii (1965) ने L-रिलेशन, एल-रिलेशन नामक एक अधिक सामान्य प्रकार की संरचना को परिभाषित किया, जिसका अध्ययन उन्होंने एक सार बीजगणितीय संदर्भ में किया है। अस्पष्ट संबंध, जो अब अस्पष्ट गणित में उपयोग किए जाते हैं और भाषाविज्ञान जैसे क्षेत्रों में अनुप्रयोग हैं (De Cock, Bodenhofer & Kerre 2000), निर्णय लेना|निर्णय लेना| (Kuzmin 1982), और क्लस्टर विश्लेषण (Bezdek 1978), L-रिलेशन के विशेष परिस्त्थियाँ हैं जब L इकाई अंतराल [0, 1] है।

चिरसम्मत समुच्चय सिद्धान्त में, एक समुच्चय में तत्वों की सदस्यता का मूल्यांकन बायवैलेंस के सिद्धांत के अनुसार बाइनरी शब्दों में किया जाता है - एक तत्व या तो समुच्चय से संबंधित है या नहीं है। इसके विपरीत, अस्पष्ट समुच्चय सिद्धांत एक समुच्चय में तत्वों की सदस्यता के क्रमिक मूल्यांकन की अनुमति देता है; यह वास्तविक संख्या इकाई अंतराल [0, 1] में मूल्यवान सदस्यता फ़ंक्शन (गणित) की सहायता से वर्णित है। अस्पष्ट समुच्चय चिरसम्मत समुच्चय का सामान्यीकरण करते हैं, क्योंकि चिरसम्मत समुच्चय के सूचक समारोह (उर्फ विशेषता फ़ंक्शन) अस्पष्ट समुच्चय के सदस्यता फ़ंक्शन के विशेष परिस्थिति होते हैं, यदि बाद वाला केवल मान 0 या 1 लेता है। अस्पष्ट समुच्चय थ्योरी में, चिरसम्मत बाइवेलेंट समुच्चय को सामान्यतः क्रिस्प समुच्चय कहा जाता है। अस्पष्ट समुच्चय सिद्धांत का उपयोग डोमेन की एक विस्तृत श्रृंखला में किया जा सकता है जिसमें जानकारी अधूरी या गलत है, जैसे जैव सूचना विज्ञान।

परिभाषा

अस्पष्ट समुच्चय एक जोड़ी है $(U,m)$ जहाँ $U$ एक समुच्चय है (प्रायः खाली समुच्चय होना आवश्यक है | गैर-खाली) और $m\colon U\rightarrow [0,1]$ एक सदस्यता समारोह।संदर्भ समुच्चय $U$ (कभी-कभी द्वारा निरूपित किया जाता है $\Omega$ या $X$) प्रवचन का ब्रह्मांड कहा जाता है, और प्रत्येक के लिए $x\in U,$ मूल्य $m(x)$ की सदस्यता का ग्रेड कहा जाता है $x$ में $(U,m)$.कार्यक्रम $m=\mu _{A}$ अस्पष्ट समुच्चय का सदस्यता कार्य कहा जाता है $A=(U,m)$.

परिमित समुच्चय के लिए $U=\{x_{1},\dots ,x_{n}\},$ अस्पष्ट समुच्चय $(U,m)$ द्वारा प्रायः दर्शाया जाता है $\{m(x_{1})/x_{1},\dots ,m(x_{n})/x_{n}\}.$होने देना $x\in U$. तब $x$ कहा जाता है

• अस्पष्ट समुच्चय में सम्मिलित नहीं है $(U,m)$ अगर $m(x)=0$ (कोई सदस्य नहीं),
• अगर पूरी तरह से सम्मिलित है $m(x)=1$ (पूर्ण सदस्य),
• आंशिक रूप से सम्मिलित अगर $0<m(x)<1$ (fuzzy member).

एक ब्रह्मांड पर सभी अस्पष्ट समुच्चयों का (क्रिस्प) समुच्चय $U$ के साथ दर्शाया गया है $SF(U)$ (या कभी-कभी बस $F(U)$).

एक अस्पष्ट समुच्चय से संबंधित क्रिस्प समुच्चय

किसी अस्पष्ट समुच्चय के लिए $A=(U,m)$ और $\alpha \in [0,1]$ निम्नलिखित क्रिस्प समुच्चय परिभाषित हैं:

• $A^{\geq \alpha }=A_{\alpha }=\{x\in U\mid m(x)\geq \alpha \}$ इसका α-कट कहा जाता है (उर्फ α-लेवल समुच्चय)
• $A^{>\alpha }=A'_{\alpha }=\{x\in U\mid m(x)>\alpha \}$ इसका विशिष्ट α-कट कहा जाता है (उर्फ विशिष्ट α-स्तर समुच्चय)
• $S(A)=\operatorname {Supp} (A)=A^{>0}=\{x\in U\mid m(x)>0\}$ उसका सहारा कहा जाता है
• $C(A)=\operatorname {Core} (A)=A^{=1}=\{x\in U\mid m(x)=1\}$ इसका कोर कहा जाता है (या कभी-कभी कर्नेल $\operatorname {Kern} (A)$).

ध्यान दें कि कुछ लेखक कर्नेल को अलग तरीके से समझते हैं; नीचे देखें।

अन्य परिभाषाएं

• एक अस्पष्ट समुच्चय $A=(U,m)$ खाली है ($A=\varnothing$) iff (यदि और केवल यदि)

सार्वभौमिक परिमाणीकरण # संकेतन |$\forall$$x\in U:\mu _{A}(x)=m(x)=0$

• दो अस्पष्ट समुच्चय $A$ और $B$ बराबर हैं ($A=B$) अगर

$\forall x\in U:\mu _{A}(x)=\mu _{B}(x)$

• एक अस्पष्ट समुच्चय $A$ एक अस्पष्ट समुच्चय में सम्मिलित है $B$ ($A\subseteq B$) अगर

$\forall x\in U:\mu _{A}(x)\leq \mu _{B}(x)$

• किसी अस्पष्ट समुच्चय के लिए $A$, कोई तत्व $x\in U$ जो संतुष्ट करता है

$\mu _{A}(x)=0.5$ : को क्रॉसओवर पॉइंट कहा जाता है।

• अस्पष्ट समुच्चय दिया $A$, कोई $\alpha \in [0,1]$, जिसके लिए $A^{=\alpha }=\{x\in U\mid \mu _{A}(x)=\alpha \}$ खाली नहीं है, A का स्तर कहा जाता है।
• A का स्तर समुच्चय सभी स्तरों का समुच्चय है $\alpha \in [0,1]$ अलग-अलग कटौती का प्रतिनिधित्व करना। यह की छवि (गणित) है $\mu _{A}$:

$\Lambda _{A}=\{\alpha \in [0,1]:A^{=\alpha }\neq \varnothing \}=\{\alpha \in [0,1]:{}$अस्तित्वगत मात्रा का ठहराव |$\exists$$x\in U(\mu _{A}(x)=\alpha )\}=\mu _{A}(U)$

• अस्पष्ट समुच्चय के लिए $A$, इसकी ऊंचाई द्वारा दी गई है

$\operatorname {Hgt} (A)=\sup\{\mu _{A}(x)\mid x\in U\}=\sup(\mu _{A}(U))$

जहाँ $\sup$ Infimum और supremum को दर्शाता है, जो उपस्थित है क्योंकि $\mu _{A}(U)$ गैर-खाली है और ऊपर 1 से घिरा है। यदि U परिमित है, तो हम सर्वोच्चता को अधिकतम से बदल सकते हैं।

• एक अस्पष्ट समुच्चय $A$ सामान्यीकृत iff कहा जाता है

$\operatorname {Hgt} (A)=1$

परिमित परिस्थिति में, जहां सुप्रीम अधिकतम है, इसका मतलब है कि अस्पष्ट समुच्चय के कम से कम एक तत्व की पूर्ण सदस्यता है। एक गैर-खाली अस्पष्ट समुच्चय $A$ परिणाम के साथ सामान्य किया जा सकता है ${\tilde {A}}$ अस्पष्ट समुच्चय के सदस्यता समारोह को उसकी ऊँचाई से विभाजित करके:

$\forall x\in U:\mu _{\tilde {A}}(x)=\mu _{A}(x)/\operatorname {Hgt} (A)$

समानताओं के अलावा यह सामान्य सामान्यीकरण स्थिरांक से भिन्न होता है जिसमें सामान्यीकरण स्थिरांक योग नहीं होता है।

• अस्पष्ट समुच्चय के लिए $A$ वास्तविक संख्या (यू ⊆ ℝ) की सीमाबद्ध समुच्चय समर्थन के साथ, 'चौड़ाई' के रूप में परिभाषित किया गया है

$\operatorname {Width} (A)=\sup(\operatorname {Supp} (A))-\inf(\operatorname {Supp} (A))$

परिस्थिति में जब $\operatorname {Supp} (A)$ एक परिमित समुच्चय है, या अधिक सामान्यतः एक बंद समुच्चय है, चौड़ाई न्यायसंगत है

$\operatorname {Width} (A)=\max(\operatorname {Supp} (A))-\min(\operatorname {Supp} (A))$

एन-आयामी परिस्थिति में (यू ⊆ ℝⁿ) उपरोक्त को n-आयामी मात्रा द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है $\operatorname {Supp} (A)$.

सामान्य तौर पर, इसे यू पर किसी भी माप (गणित) को देखते हुए परिभाषित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए एकीकरण (उदाहरण के लिए लेबेस्ग्यू एकीकरण) द्वारा $\operatorname {Supp} (A)$.

• एक वास्तविक अस्पष्ट समुच्चय $A$ (यू ⊆ ℝ) को 'उत्तल' कहा जाता है (अस्पष्ट अर्थ में, एक कुरकुरा उत्तल समुच्चय के साथ भ्रमित नहीं होना), iff

$\forall x,y\in U,\forall \lambda \in [0,1]:\mu _{A}(\lambda {x}+(1-\lambda )y)\geq \min(\mu _{A}(x),\mu _{A}(y))$.

व्यापकता के नुकसान के बिना, हम x ≤ y ले सकते हैं, जो समकक्ष सूत्रीकरण देता है

$\forall z\in [x,y]:\mu _{A}(z)\geq \min(\mu _{A}(x),\mu _{A}(y))$.

इस परिभाषा को एक सामान्य टोपोलॉजिकल स्पेस यू के लिए एक तक बढ़ाया जा सकता है: हम अस्पष्ट समुच्चय कहते हैं $A$ उत्तल है जब, U के किसी उपसमुच्चय Z के लिए स्थिति

$\forall z\in Z:\mu _{A}(z)\geq \inf(\mu _{A}(\partial Z))$

रखता है, जहाँ $\partial Z$ Z और की सीमा (टोपोलॉजी) को दर्शाता है $f(X)=\{f(x)\mid x\in X\}$ एक समुच्चय एक्स की छवि (गणित) को दर्शाता है (यहाँ $\partial Z$) एक फलन f के तहत (यहाँ $\mu _{A}$).

अस्पष्ट समुच्चय ऑपरेशन

Main article: अस्पष्‍ट समुच्चय संचालन

हालांकि अस्पष्ट समुच्चय के पूरक की एक सबसे सामान्य परिभाषा है, अन्य मुख्य संक्रियाओं, संघ और प्रतिच्छेदन में कुछ अस्पष्टता होती है।

• दिए गए अस्पष्ट समुच्चय के लिए $A$, इसका पूरक $\neg {A}$ (कभी-कभी के रूप में दर्शाया जाता है $A^{c}$ या $cA$) निम्नलिखित सदस्यता समारोह द्वारा परिभाषित किया गया है:

$\forall x\in U:\mu _{\neg {A}}(x)=1-\mu _{A}(x)$.

• मान लीजिए कि टी एक टी-मानदंड है, और संबंधित एस-मानदंड (उर्फ टी-अनुरूप) है। अस्पष्ट समुच्चय की एक जोड़ी दी $A,B$, उनका चौराहा $A\cap {B}$ द्वारा परिभाषित किया गया है:

$\forall x\in U:\mu _{A\cap {B}}(x)=t(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))$,

और उनका संघ $A\cup {B}$ द्वारा परिभाषित किया गया है:

$\forall x\in U:\mu _{A\cup {B}}(x)=s(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))$.

टी-मानदंड की परिभाषा से, हम देखते हैं कि संघ और प्रतिच्छेदन क्रमविनिमेय, मोनोटोनिक, साहचर्य हैं, और दोनों में एक अवशोषक तत्व और एक पहचान तत्व है। चौराहे के लिए, ये क्रमशः ∅ और U हैं, जबकि संघ के लिए, ये उलटे हैं। हालांकि, एक अस्पष्ट समुच्चय और उसके पूरक के मिलन का परिणाम पूर्ण ब्रह्मांड U नहीं हो सकता है, और उनका प्रतिच्छेदन खाली समुच्चय ∅ नहीं दे सकता है। चूंकि प्रतिच्छेदन और संघ साहचर्य हैं, इसलिए यह स्वाभाविक है कि प्रतिच्छेदन और अस्पष्ट समुच्चयों के परिमित अनुक्रमित परिवार के मिलन को पुनरावर्ती रूप से परिभाषित किया जाए।

• यदि मानक नकारात्मक $n(\alpha )=1-\alpha ,\alpha \in [0,1]$ एक अन्य टी-मानक # गैर-मानक नकारात्मक द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, अस्पष्ट समुच्चय अंतर को इसके द्वारा सामान्यीकृत किया जा सकता है

$\forall x\in U:\mu _{\neg {A}}(x)=n(\mu _{A}(x)).$

• अस्पष्ट इंटरसेक्शन, संघ और पूरक का ट्रिपल डी मॉर्गन ट्रिपलेट बनाता है। यही है, डी मॉर्गन के नियम इस ट्रिपल तक विस्तारित होते हैं।

मानक नकारात्मक के साथ अस्पष्ट चौराहे/संघ जोड़े के उदाहरण टी-मानदंडों के बारे में लेख में प्रदान किए गए नमूने से प्राप्त किए जा सकते हैं।

अस्पष्ट चौराहा सामान्य रूप से Idempotence नहीं है, क्योंकि मानक टी-मानदंड min ही एकमात्र ऐसा गुण है जिसके पास यह गुण है। वास्तव में, यदि अंकगणित गुणन का उपयोग टी-मानदंड के रूप में किया जाता है, तो परिणामी अस्पष्ट इंटरसेक्शन ऑपरेशन निष्क्रिय नहीं है। यही है, एक अस्पष्ट समुच्चय के प्रतिच्छेदन को पुनरावृत्त रूप से अपने साथ ले जाना तुच्छ नहीं है। इसके बजाय यह एक अस्पष्ट समुच्चय की m-th शक्ति को परिभाषित करता है, जिसे निम्नलिखित तरीके से गैर-पूर्णांक घातांकों के लिए विहित रूप से सामान्यीकृत किया जा सकता है:

• किसी अस्पष्ट समुच्चय के लिए $A$ और $\nu \in \mathbb {R} ^{+}$ ν-वें की शक्ति $A$ सदस्यता समारोह द्वारा परिभाषित किया गया है:

$\forall x\in U:\mu _{A^{\nu }}(x)=\mu _{A}(x)^{\nu }.$

प्रतिपादक दो का मामला विशेष रूप से एक नाम देने के लिए पर्याप्त है।

• किसी अस्पष्ट समुच्चय के लिए $A$ एकाग्रचित्त होना $CON(A)=A^{2}$ परिभाषित किया गया

$\forall x\in U:\mu _{CON(A)}(x)=\mu _{A^{2}}(x)=\mu _{A}(x)^{2}.$

ले रहा $0^{0}=1$, अपने पास $A^{0}=U$ और $A^{1}=A.$

• अस्पष्ट समुच्चय दिए गए $A,B$, अस्पष्ट समुच्चय अंतर $A\setminus B$, भी निरूपित $A-B$, सीधे सदस्यता समारोह के माध्यम से परिभाषित किया जा सकता है:

$\forall x\in U:\mu _{A\setminus {B}}(x)=t(\mu _{A}(x),n(\mu _{B}(x))),$

मतलब $A\setminus B=A\cap \neg {B}$, उदाहरण:

$\forall x\in U:\mu _{A\setminus {B}}(x)=\min(\mu _{A}(x),1-\mu _{B}(x)).$

एक समुच्चय अंतर के लिए एक और प्रस्ताव हो सकता है:

$\forall x\in U:\mu _{A-{B}}(x)=\mu _{A}(x)-t(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x)).$

• डुबोइस और प्रेड (1980) द्वारा सममित अस्पष्ट समुच्चय अंतर के लिए प्रस्ताव किए गए हैं, या तो पूर्ण मूल्य लेकर, दे रहे हैं

$\forall x\in U:\mu _{A\triangle B}(x)=|\mu _{A}(x)-\mu _{B}(x)|,$

या Just max, min, और मानक निषेध, देना

$\forall x\in U:\mu _{A\triangle B}(x)=\max(\min(\mu _{A}(x),1-\mu _{B}(x)),\min(\mu _{B}(x),1-\mu _{A}(x))).$

वेमूर एट अल द्वारा टी-मानदंडों, टी-कॉनोर्म्स और नकारात्मकताओं के अनुरूप सामान्यीकृत सममित अंतरों की परिभाषा के लिए अभिगृहीत प्रस्तावित किए गए हैं। (2014) अलसीना एट अल द्वारा पूर्ववर्तियों के साथ। (2005) और बेडरेगल एट अल। (2009)।

• क्रिस्प समुच्चय के विपरीत, औसत संचालन को अस्पष्ट समुच्चय के लिए भी परिभाषित किया जा सकता है।

अस्पष्ट समुच्चयों को अलग करना

चौराहे और संघ संचालन की सामान्य अस्पष्टता के विपरीत, अस्पष्ट अस्पष्ट समुच्चयों के लिए स्पष्टता है: दो अस्पष्ट समुच्चय $A,B$ असंयुक्त iff हैं

$\forall x\in U:\mu _{A}(x)=0\lor \mu _{B}(x)=0$

जो बराबर है

अस्तित्वगत परिमाणीकरण#निषेध|$\nexists$ $x\in U:\mu _{A}(x)>0\land \mu _{B}(x)>0$

और इसके समकक्ष भी

$\forall x\in U:\min(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))=0$

हम इसे ध्यान में रखते हैं min/max एक टी/एस-नॉर्म जोड़ी है, और कोई अन्य यहां भी काम करेगा।

अस्पष्ट समुच्चय असंयुक्त हैं यदि और केवल यदि उनके समर्थन क्रिस्प समुच्चय के लिए मानक परिभाषा के अनुसार असंयुक्त समुच्चय हैं।

असम्बद्ध अस्पष्ट समुच्चय के लिए $A,B$ कोई भी चौराहा ∅ देगा, और कोई भी संघ वही परिणाम देगा, जिसे निरूपित किया जाता है

$A\,{\dot {\cup }}\,B=A\cup B$ द्वारा दिए गए इसके सदस्यता समारोह के साथ

$\forall x\in U:\mu _{A{\dot {\cup }}B}(x)=\mu _{A}(x)+\mu _{B}(x)$

ध्यान दें कि दोनों योगों में से केवल एक ही शून्य से बड़ा है।

असम्बद्ध अस्पष्ट समुच्चय के लिए $A,B$ निम्नलिखित सत्य है:

$\operatorname {Supp} (A\,{\dot {\cup }}\,B)=\operatorname {Supp} (A)\cup \operatorname {Supp} (B)$

इसे अस्पष्ट समुच्चय के परिमित परिवारों के लिए निम्नानुसार सामान्यीकृत किया जा सकता है: एक परिवार दिया $A=(A_{i})_{i\in I}$ इंडेक्स समुच्चय I के साथ अस्पष्ट समुच्चयों की संख्या (उदाहरण I = {1,2,3,...,n})। यह परिवार '(जोड़ीवार) असंयुक्त' है, यदि

${\text{for all }}x\in U{\text{ there exists at most one }}i\in I{\text{ such that }}\mu _{A_{i}}(x)>0.$

अस्पष्ट समुच्चय का परिवार $A=(A_{i})_{i\in I}$ असंयुक्त है, अगर अंतर्निहित समर्थन का परिवार $\operatorname {Supp} \circ A=(\operatorname {Supp} (A_{i}))_{i\in I}$ कुरकुरा समुच्चय के परिवारों के लिए मानक अर्थों में अलग है।

टी/एस-मानदंड जोड़ी से स्वतंत्र, अस्पष्ट समुच्चय के एक अलग परिवार का प्रतिच्छेदन ∅ फिर से देगा, जबकि संघ में कोई अस्पष्टता नहीं है:

${\dot {\bigcup \limits _{i\in I}}}\,A_{i}=\bigcup _{i\in I}A_{i}$ द्वारा दिए गए इसके सदस्यता समारोह के साथ

$\forall x\in U:\mu _{{\dot {\bigcup \limits _{i\in I}}}A_{i}}(x)=\sum _{i\in I}\mu _{A_{i}}(x)$

फिर से केवल एक योग शून्य से अधिक है।

अस्पष्ट समुच्चय के असंबद्ध परिवारों के लिए $A=(A_{i})_{i\in I}$ निम्नलिखित सत्य है:

$\operatorname {Supp} \left({\dot {\bigcup \limits _{i\in I}}}\,A_{i}\right)=\bigcup \limits _{i\in I}\operatorname {Supp} (A_{i})$

स्केलर कार्डिनैलिटी

अस्पष्ट समुच्चय के लिए $A$ परिमित समर्थन के साथ $\operatorname {Supp} (A)$ (यानी एक परिमित अस्पष्ट समुच्चय), इसकी कार्डिनैलिटी (उर्फ स्केलर कार्डिनैलिटी या सिग्मा-काउंट) द्वारा दी गई है

$\operatorname {Card} (A)=\operatorname {sc} (A)=|A|=\sum _{x\in U}\mu _{A}(x)$.

इस परिस्थिति में कि यू स्वयं एक सीमित समुच्चय है, 'सापेक्ष कार्डिनैलिटी' द्वारा दिया जाता है

$\operatorname {RelCard} (A)=\|A\|=\operatorname {sc} (A)/|U|=|A|/|U|$.

यह विभाजक के लिए गैर-खाली अस्पष्ट समुच्चय होने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है: अस्पष्ट समुच्चय के लिए $A,G$ G ≠ ∅ के साथ, हम 'रिलेटिव कार्डिनैलिटी' को इसके द्वारा परिभाषित कर सकते हैं:

$\operatorname {RelCard} (A,G)=\operatorname {sc} (A|G)=\operatorname {sc} (A\cap {G})/\operatorname {sc} (G)$,

जो सशर्त संभाव्यता के लिए अभिव्यक्ति के समान दिखता हैl टिप्पणी:

• $\operatorname {sc} (G)>0$ यहाँ।
• परिणाम चुने गए विशिष्ट चौराहे (टी-मानदंड) पर निर्भर हो सकता है।
• के लिए $G=U$ परिणाम स्पष्ट है और पूर्व परिभाषा जैसा दिखता है।

दूरी और समानता

किसी अस्पष्ट समुच्चय के लिए $A$ सदस्यता समारोह $\mu _{A}:U\to [0,1]$ एक परिवार के रूप में माना जा सकता है $\mu _{A}=(\mu _{A}(x))_{x\in U}\in [0,1]^{U}$. उत्तरार्द्ध एक मीट्रिक स्थान है जिसमें कई मीट्रिक हैं $d$ ज्ञात। एक मानदंड (गणित) (वेक्टर मानदंड) से एक मीट्रिक प्राप्त किया जा सकता है $\|\,\|$ के जरिए

$d(\alpha ,\beta )=\|\alpha -\beta \|$.

उदाहरण के लिए, अगर $U$ परिमित है, अर्थात् $U=\{x_{1},x_{2},...x_{n}\}$, ऐसे मीट्रिक को इसके द्वारा परिभाषित किया जा सकता है:

$d(\alpha ,\beta ):=\max\{|\alpha (x_{i})-\beta (x_{i})|:i=1,...,n\}$ कहाँ $\alpha$ और $\beta$ 0 और 1 के बीच वास्तविक संख्याओं के अनुक्रम हैं।

अनंत के लिए $U$, अधिकतम को सर्वोच्च द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। क्योंकि अस्पष्ट समुच्चय उनके सदस्यता फ़ंक्शन द्वारा स्पष्ट रूप से परिभाषित होते हैं, इस मीट्रिक का उपयोग उसी ब्रह्मांड पर अस्पष्ट समुच्चय के बीच की दूरी को मापने के लिए किया जा सकता है:

$d(A,B):=d(\mu _{A},\mu _{B})$,

जो उपरोक्त नमूने में बन जाता है:

$d(A,B)=\max\{|\mu _{A}(x_{i})-\mu _{B}(x_{i})|:i=1,...,n\}$.

फिर से अनंत के लिए $U$ अधिकतम को एक सर्वोच्च द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए। अन्य दूरियां (जैसे विहित 2-मानदंड) अलग हो सकती हैं, यदि अनंत अस्पष्ट समुच्चय बहुत अलग हैं, उदाहरण के लिए, $\varnothing$ और $U$.

समानता उपायों (यहाँ द्वारा निरूपित $S$) तब दूरी से प्राप्त किया जा सकता है, उदा. कोज़ी के एक प्रस्ताव के बाद:

$S=1/(1+d(A,B))$ अगर $d(A,B)$ परिमित है, $0$ अन्य,

या विलियम्स और स्टील के बाद:

$S=\exp(-\alpha {d(A,B)})$ अगर $d(A,B)$ परिमित है, $0$ अन्य

जहाँ $\alpha >0$ एक स्टीपनेस पैरामीटर है और $\exp(x)=e^{x}$. अंतराल मूल्यवान (बल्कि 'अस्पष्ट') समानता उपायों के लिए एक और परिभाषा $\zeta$ बेग और अशरफ द्वारा भी प्रदान किया जाता है।

L-अस्पष्ट समुच्चय

कभी-कभी, अस्पष्ट समुच्चय की धारणा के अधिक सामान्य रूपों का उपयोग किया जाता है, सदस्यता कार्यों के साथ (निश्चित या चर) बीजगणितीय संरचना या संरचना (गणितीय तर्क) में मान लेते हैं। $L$ किसी दिए गए प्रकार का; सामान्यतः इसकी आवश्यकता होती है $L$ कम से कम एक poset या जाली (आदेश) हो। इन्हें सामान्यतः L'-फज़ी समुच्चय कहा जाता है, ताकि उन्हें यूनिट अंतराल पर मूल्यवान से अलग किया जा सके। [0, 1] में मान वाले सामान्य सदस्यता फ़ंक्शन को [0, 1]-मूल्यवान सदस्यता फ़ंक्शन कहा जाता है। इस प्रकार के सामान्यीकरणों पर सबसे पहले 1967 में जोसेफ गोगुएन ने विचार किया था, जो कि ज़ादेह के छात्र थे। चिरसम्मत परिणाम' {0,-1} के बजाय {f, t} द्वारा सत्य और सदस्यता मूल्यों का संकेत दे सकता है।

कसीमिर अटानासोव द्वारा अस्पष्ट समुच्चय का विस्तार प्रदान किया गया है। एक अंतर्ज्ञानी अस्पष्ट समुच्चय (आईएफएस) $A$ दो कार्यों की विशेषता है:

1. $\mu _{A}(x)$ - एक्स की सदस्यता की डिग्री

2. $\nu _{A}(x)$ - एक्स की गैर-सदस्यता की डिग्री

कार्यों के साथ $\mu _{A},\nu _{A}:U\to [0,1]$ साथ $\forall x\in U:\mu _{A}(x)+\nu _{A}(x)\leq 1$.

यह किसी व्यक्ति द्वारा निरूपित जैसी स्थिति जैसा दिखता है $x$ मतदान

• प्रस्ताव के लिए $A$: ($\mu _{A}(x)=1,\nu _{A}(x)=0$),
• उसके खिलाफ: ($\mu _{A}(x)=0,\nu _{A}(x)=1$),
• या मतदान से दूर रहें: ($\mu _{A}(x)=\nu _{A}(x)=0$).

आखिरकार, हमारे पास स्वीकृतियों का प्रतिशत, इनकारों का प्रतिशत और परिहार का प्रतिशत है।

इस स्थिति के लिए, विशेष सहज ज्ञान युक्त नकारात्मक नकारात्मक, टी- और एस-मानदंड परिभाषित किए जा सकते हैं। साथ $D^{*}=\{(\alpha ,\beta )\in [0,1]^{2}:\alpha +\beta =1\}$ और दोनों कार्यों को मिलाकर $(\mu _{A},\nu _{A}):U\to D^{*}$ यह स्थिति एक विशेष प्रकार के L-अस्पष्ट समुच्चय के समान होती है।

एक बार फिर, इसे 'पिक्चर अस्पष्ट समुच्चय्स' (PFS) को निम्नानुसार परिभाषित करके विस्तारित किया गया है: एक PFS A को U से [0, 1] मैप करने वाले तीन फ़ंक्शन द्वारा चित्रित किया गया है: $\mu _{A},\eta _{A},\nu _{A}$, सकारात्मक सदस्यता की डिग्री, तटस्थ सदस्यता की डिग्री और नकारात्मक सदस्यता की डिग्री क्रमशः और अतिरिक्त शर्त $\forall x\in U:\mu _{A}(x)+\eta _{A}(x)+\nu _{A}(x)\leq 1$ यह वोट देने से इनकार करने की एक अतिरिक्त संभावना से उपरोक्त वोटिंग नमूने का विस्तार करता है।

साथ $D^{*}=\{(\alpha ,\beta ,\gamma )\in [0,1]^{3}:\alpha +\beta +\gamma =1\}$ और विशेष चित्र अस्पष्ट नेगेटर्स, टी- और एस-मानदंड यह एक अन्य प्रकार के एल-अस्पष्ट समुच्चय जैसा दिखता है।

न्यूट्रोसोफिक अस्पष्ट समुच्चय

अस्पष्ट समुच्चय अवधारणाओं के परिचय में कुछ प्रमुख विकास।

आईएफएस की अवधारणा को दो प्रमुख मॉडलों में विस्तारित किया गया है। आईएफएस के दो विस्तार न्यूट्रोसोफिक अस्पष्ट समुच्चय और पायथागॉरियन अस्पष्ट समुच्चय हैं।

1998 में स्मारंदचे द्वारा न्यूट्रोसोफिक अस्पष्ट समुच्चय पेश किए गए थे। आईएफएस की तरह, न्यूट्रोसोफिक अस्पष्ट समुच्चय के पिछले दो कार्य हैं: एक सदस्यता के लिए $\mu _{A}(x)$ और दूसरा गैर-सदस्यता के लिए $\nu _{A}(x)$. प्रमुख अंतर यह है कि न्यूट्रोसोफिक अस्पष्ट समुच्चय का एक और कार्य है: अनिश्चित के लिए $i_{A}(x)$. यह मान इंगित करता है कि इकाई x समुच्चय से संबंधित अनिश्चितता की डिग्री है। अनिश्चित होने की यह अवधारणा $i_{A}(x)$ मूल्य विशेष रूप से तब उपयोगी हो सकता है जब कोई आइटम x के लिए सदस्यता या गैर-सदस्यता मूल्यों पर बहुत आश्वस्त नहीं हो सकता है। संक्षेप में, न्यूट्रोसोफिक अस्पष्ट समुच्चय निम्नलिखित कार्यों से जुड़े हैं:

1. $\mu _{A}(x)$-x की सदस्यता की डिग्री

2. $\nu _{A}(x)$-x की गैर-सदस्यता की डिग्री

3. $i_{A}(x)$- x के अनिश्चित मान की डिग्री

पायथागॉरियन अस्पष्ट समुच्चय

आईएफएस का दूसरा विस्तार पायथागॉरियन अस्पष्ट समुच्चय के रूप में जाना जाता है। पायथागॉरियन अस्पष्ट समुच्चय आईएफएस की तुलना में अधिक लचीले होते हैं। आईएफएस बाधा पर आधारित हैं $\mu _{A}(x)+\nu _{A}(x)\leq 1$, जिसे कुछ अवसरों पर बहुत अधिक प्रतिबंधात्मक माना जा सकता है। यही कारण है कि यागर ने पाइथोगोरियन अस्पष्ट समुच्चय की अवधारणा का प्रस्ताव रखा। इस तरह के समुच्चय बाधा को संतुष्ट करते हैं $\mu _{A}(x)^{2}+\nu _{A}(x)^{2}\leq 1$, जो पाइथागोरस प्रमेय की याद दिलाता है। पायथागॉरियन अस्पष्ट समुच्चय वास्तविक जीवन अनुप्रयोगों पर लागू हो सकते हैं जिनमें पिछली स्थिति $\mu _{A}(x)+\nu _{A}(x)\leq 1$ मान्य नहीं है। हालांकि, की कम प्रतिबंधात्मक स्थिति $\mu _{A}(x)^{2}+\nu _{A}(x)^{2}\leq 1$ अधिक डोमेन में उपयुक्त हो सकता है।

अस्पष्ट लॉजिक

Main article: अस्पष्ट लॉजिक

बहु-मूल्यवान तर्क के परिस्थिति के विस्तार के रूप में, मूल्यांकन ($\mu :{\mathit {V}}_{o}\to {\mathit {W}}$) प्रस्तावपरक चर के (${\mathit {V}}_{o}$) सदस्यता डिग्री के एक समुच्चय में (${\mathit {W}}$) को सदस्यता फलन (गणित) मैपिंग प्रेडिकेट (गणितीय तर्क) के रूप में अस्पष्ट समुच्चय में (या अधिक औपचारिक रूप से, अस्पष्ट जोड़े के एक ऑर्डर किए गए समुच्चय में, अस्पष्ट संबंध कहा जाता है) के रूप में सोचा जा सकता है। इन मूल्यांकनों के साथ, अस्पष्ट परिसरों की अनुमति देने के लिए कई-मूल्यवान तर्कों को बढ़ाया जा सकता है जिससे श्रेणीबद्ध निष्कर्ष निकाले जा सकते हैं। इस विस्तार को कभी-कभी व्यापक अर्थों में अस्पष्ट लॉजिक के विपरीत संकीर्ण अर्थ में अस्पष्ट लॉजिक कहा जाता है, जो स्वचालन नियंत्रण और ज्ञान अभियांत्रिकी ज्ञान इंजीनियरिंग क्षेत्रों में उत्पन्न हुआ था, और जिसमें अस्पष्ट समुच्चय और अनुमानित तर्क सम्मिलित कई विषय सम्मिलित हैं।अस्पष्ट लॉजिक के संदर्भ में अस्पष्ट लॉजिक के व्यापक अर्थों में अस्पष्ट लॉजिक के औद्योगिक अनुप्रयोगों को अस्पष्ट लॉजिक में पाया जा सकता है।

अस्पष्ट संख्या और केवल संख्या

Main article: अस्पष्ट संख्या

अस्पष्ट संख्या एक अस्पष्ट समुच्चय है जो निम्नलिखित सभी शर्तों को पूरा करता है:

• A सामान्यीकृत है;
• A एक उत्तल समुच्चय है;
• $\exists !x^{*}\in A,\mu _{A}(x^{*})=1$;
• सदस्यता समारोह $\mu _{A}(x)$ कम से कम खंड रूप से निरंतर है।

यदि ये शर्तें पूरी नहीं होती हैं, तो A एक अस्पष्ट संख्या नहीं है। इस अस्पष्ट संख्या का मूल एक सिंगलटन (गणित) है; इसका स्थान है:

$\,C(A)=x^{*}:\mu _{A}(x^{*})=1$

जब की विशिष्टता के बारे में स्थिति ${x^{*}}$ पूरा नहीं होता है, तो अस्पष्ट समुच्चय को अस्पष्ट इंटरवल के रूप में चित्रित किया जाता है।इस अस्पष्ट इंटरवल का मूल एक क्रिस्प इंटरवल है:

$\,C(A)=\left[\min\{x\in \mathbb {R} \mid \mu _{A}(x)=1\};\max\{x\in \mathbb {R} \mid \mu _{A}(x)=1\}\right]$.

अस्पष्ट नंबरों की तुलना funfair गेम से की जा सकती है, अपने वजन का अनुमान लगाएं, जहां कोई प्रतियोगी के वजन का अनुमान लगाता है, करीब अनुमान अधिक सही होने के साथ, और जहां अनुमान लगाने वाला जीतता है यदि वह प्रतियोगी के वजन के करीब अनुमान लगाता है, वास्तविक वजन पूरी तरह से होने के साथ सही (सदस्यता फ़ंक्शन द्वारा 1 पर मैपिंग)।

गिरी $K(A)=\operatorname {Kern} (A)$ एक अस्पष्ट अंतराल का $A$ 'आउटबाउंड' भागों के बिना 'आंतरिक' भाग के रूप में परिभाषित किया गया है, जहां सदस्यता मूल्य निरंतर विज्ञापन अनंत है। दूसरे शब्दों में, का सबसे छोटा उपसमुच्चय $\mathbb {R}$ कहाँ $\mu _{A}(x)$ इसके बाहर स्थिर है, इसे कर्नेल के रूप में परिभाषित किया गया है।

हालांकि, अस्पष्ट संख्या और अंतराल की अन्य अवधारणाएं हैं क्योंकि कुछ लेखक उत्तलता पर जोर नहीं देते हैं।

अस्पष्ट श्रेणियां

श्रेणी सिद्धांत के एक प्रमुख घटक के रूप में समुच्चय सिद्धांत का उपयोग अस्पष्ट समुच्चय के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। यह दृष्टिकोण, जो 1968 में अस्पष्ट समुच्चय सिद्धांत की शुरुआत के तुरंत बाद शुरू हुआ, गोगुएन श्रेणियों के विकास के लिए नेतृत्व किया 21 वीं सदी में। इन श्रेणियों में, दो मूल्यवान समुच्चय सदस्यता का उपयोग करने के बजाय, अधिक सामान्य अंतराल का उपयोग किया जाता है, और एल-अस्पष्ट समुच्चय के रूप में जाली हो सकती है।

अस्पष्ट रिलेशन समीकरण

अस्पष्ट संबंध समीकरण रूप का एक समीकरण है A · R = B, जहां A और B अस्पष्ट समुच्चय हैं, R एक अस्पष्ट संबंध है, और A · R, R के साथ A के समारोह रचना के लिए है .

एंट्रॉपी

ब्रह्मांड के अस्पष्ट समुच्चय के लिए अस्पष्टनेस का माप d $U$ सभी के लिए निम्नलिखित शर्तों को पूरा करना चाहिए $x\in U$:

1. $d(A)=0$ अगर $A$ एक कुरकुरा समुच्चय है: $\mu _{A}(x)\in \{0,\,1\}$
2. $d(A)$ एक अद्वितीय अधिकतम आईएफ़ है $\forall x\in U:\mu _{A}(x)=0.5$
3. $\mu _{A}\leq \mu _{B}\iff$

$\mu _{A}\leq \mu _{B}\leq 0.5$

$\mu _{A}\geq \mu _{B}\geq 0.5$

जिसका मतलब है कि बी A की तुलना में कुरकुरा है।

1. $d(\neg {A})=d(A)$ इस परिस्थिति में $d(A)$ अस्पष्ट समुच्चय 'ए' की एंट्रॉपी कहलाती है।

परिमित के लिए $U=\{x_{1},x_{2},...x_{n}\}$ एक अस्पष्ट समुच्चय की एन्ट्रापी $A$ द्वारा दिया गया है

$d(A)=H(A)+H(\neg {A})$,

$H(A)=-k\sum _{i=1}^{n}\mu _{A}(x_{i})\ln \mu _{A}(x_{i})$

या केवल

$d(A)=-k\sum _{i=1}^{n}S(\mu _{A}(x_{i}))$

कहाँ $S(x)=H_{e}(x)$ बाइनरी एंट्रॉपी फ़ंक्शन है | शैनन का फ़ंक्शन (प्राकृतिक एन्ट्रॉपी फ़ंक्शन)

$S(\alpha )=-\alpha \ln \alpha -(1-\alpha )\ln(1-\alpha ),\ \alpha \in [0,1]$

और $k$ माप इकाई और प्रयुक्त लघुगणक आधार के आधार पर एक स्थिरांक है (यहाँ हमने प्राकृतिक आधार e (गणितीय स्थिरांक) का उपयोग किया है)। K की भौतिक व्याख्या Boltzmann स्थिरांक k है^{बी</सुप>.}

होने देना $A$ निरंतर सदस्यता फ़ंक्शन (अस्पष्ट वैरिएबल) के साथ अस्पष्ट समुच्चय बनें। तब

$H(A)=-k\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {Cr} \lbrace A\geq t\rbrace \ln \operatorname {Cr} \lbrace A\geq t\rbrace \,dt$

और इसकी एन्ट्रापी है

$d(A)=-k\int _{-\infty }^{\infty }S(\operatorname {Cr} \lbrace A\geq t\rbrace )\,dt.$

एक्सटेंशन

अस्पष्ट समुच्चय के समान या उससे अधिक सामान्य कई गणितीय निर्माण हैं। चूंकि 1965 में अस्पष्ट समुच्चय पेश किए गए थे, कई नए गणितीय निर्माण और अशुद्धता, अशुद्धता, अस्पष्टता और अनिश्चितता का इलाज करने वाले सिद्धांत विकसित किए गए हैं। इन निर्माणों और सिद्धांतों में से कुछ अस्पष्ट समुच्चय सिद्धांत के विस्तार हैं, जबकि अन्य गणितीय रूप से अशुद्धता और अनिश्चितता को एक अलग तरीके से मॉडल करने का प्रयास करते हैं।

यह भी देखें

• वैकल्पिक समुच्चय सिद्धांत
• अस्पष्टीकरण
• अस्पष्ट अवधारणा
• अस्पष्ट गणित
• अस्पष्ट समुच्चय ऑपरेशन
• अस्पष्ट सबलजेब्रा
• अंतराल परिमित तत्व
• रैखिक आंशिक जानकारी
• बहु समुच्चय
• न्यूरो अस्पष्ट
• किसी न किसी अस्पष्ट संकरण
• मोटा समुच्चय
• सोरेनसेन समानता सूचकांक
• टाइप -2 फ़ज़ी सेट और सिस्टम
• अनिश्चितता

संदर्भ

ग्रन्थसूची

• Alkhazaleh, S. and Salleh, A.R. Fuzzy Soft Multiset Theory, Abstract and Applied Analysis, 2012, article ID 350600, 20 p.
• Atanassov, K. T. (1983) Intuitionistic fuzzy sets, VII ITKR's Session, Sofia (deposited in Central Sci.-Technical Library of Bulg. Acad. of Sci., 1697/84) (in Bulgarian)
• Atanassov, K. (1986) Intuitionistic Fuzzy Sets, Fuzzy Sets and Systems, v. 20, No. 1, pp. 87–96
• Baruah, Hemanta K. (2011) The Theory of Fuzzy Sets: Beliefs and Realities, International Journal of Energy, Information and Communications, Vol, 2, Issue 2, 1 – 22.
• Baruah, Hemanta K. (2012) An Introduction to the Theory of Imprecise Sets: the Mathematics of Partial Presence, International Journal of Computational and Mathematical Sciences, Vol. 2, No. 2, 110 – 124.
• Bezdek, J.C. (1978). "Fuzzy partitions and relations and axiomatic basis for clustering". Fuzzy Sets and Systems. 1 (2): 111–127. doi:10.1016/0165-0114(78)90012-X.
• Blizard, W.D. (1989) Real-valued Multisets and Fuzzy Sets, Fuzzy Sets and Systems, v. 33, pp. 77–97
• Brown, J.G. (1971) A Note on Fuzzy Sets, Information and Control, v. 18, pp. 32–39
• Brutoczki Kornelia: Fuzzy Logic (Diploma) – Although this script has a lot of oddities and intracies due to its incompleteness, it may be used a template for exercise in removing these issues.
• Burgin, M. Theory of Named Sets as a Foundational Basis for Mathematics, in Structures in Mathematical Theories, San Sebastian, 1990, pp.  417–420
• Burgin, M.; Chunihin, A. (1997). "Named Sets in the Analysis of Uncertainty". Methodological and Theoretical Problems of Mathematics and Information Sciences. Kiev: 72–85.
• Gianpiero Cattaneo and Davide Ciucci, "Heyting Wajsberg Algebras as an Abstract Environment Linking Fuzzy and Rough Sets" in J.J. Alpigini et al. (Eds.): RSCTC 2002, LNAI 2475, pp. 77–84, 2002. doi:10.1007/3-540-45813-1_10
• Chamorro-Martínez, J. et al.: A discussion on fuzzy cardinality and quantification. Some applications in image processing, SciVerse ScienceDirect: Fuzzy Sets and Systems 257 (2014) 85–101, 30 May 2013
• Chapin, E.W. (1974) Set-valued Set Theory, I, Notre Dame J. Formal Logic, v. 15, pp. 619–634
• Chapin, E.W. (1975) Set-valued Set Theory, II, Notre Dame J. Formal Logic, v. 16, pp. 255–267
• Chris Cornelis, Martine De Cock and Etienne E. Kerre, [Intuitionistic fuzzy rough sets: at the crossroads of imperfect knowledge], Expert Systems, v. 20, issue 5, pp. 260–270, 2003
• Cornelis, C., Deschrijver, C., and Kerre, E. E. (2004) Implication in intuitionistic and interval-valued fuzzy set theory: construction, classification, application, International Journal of Approximate Reasoning, v. 35, pp. 55–95
• De Cock, Martine; Bodenhofer, Ulrich; Kerre, Etienne E. (1–4 October 2000). Modelling Linguistic Expressions Using Fuzzy Relations. Proceedings of the 6th International Conference on Soft Computing. Iizuka, Japan. pp. 353–360. CiteSeerX 10.1.1.32.8117.
• Demirci, M. (1999) Genuine Sets, Fuzzy Sets and Systems, v. 105, pp. 377–384
• Deschrijver, G.; Kerre, E.E. (2003). "On the relationship between some extensions of fuzzy set theory". Fuzzy Sets and Systems. 133 (2): 227–235. doi:10.1016/S0165-0114(02)00127-6.
• Didier Dubois, Henri M. Prade, ed. (2000). Fundamentals of fuzzy sets. The Handbooks of Fuzzy Sets Series. Vol. 7. Springer. ISBN 978-0-7923-7732-0.
• Feng F. Generalized Rough Fuzzy Sets Based on Soft Sets, Soft Computing, July 2010, Volume 14, Issue 9, pp 899–911
• Gentilhomme, Y. (1968) Les ensembles flous en linguistique, Cahiers Linguistique Theoretique Appliqee, 5, pp. 47–63
• Gogen, J.A. (1967) L-fuzzy Sets, Journal Math. Analysis Appl., v. 18, pp. 145–174
• Gottwald, S. (2006). "Universes of Fuzzy Sets and Axiomatizations of Fuzzy Set Theory. Part I: Model-Based and Axiomatic Approaches". Studia Logica. 82 (2): 211–244. doi:10.1007/s11225-006-7197-8. S2CID 11931230.. Gottwald, S. (2006). "Universes of Fuzzy Sets and Axiomatizations of Fuzzy Set Theory. Part II: Category Theoretic Approaches". Studia Logica. 84: 23–50. doi:10.1007/s11225-006-9001-1. S2CID 10453751. preprint..
• Grattan-Guinness, I. (1975) Fuzzy membership mapped onto interval and many-valued quantities. Z. Math. Logik. Grundladen Math. 22, pp. 149–160.
• Grzymala-Busse, J. Learning from examples based on rough multisets, in Proceedings of the 2nd International Symposium on Methodologies for Intelligent Systems, Charlotte, NC, USA, 1987, pp. 325–332
• Gylys, R. P. (1994) Quantal sets and sheaves over quantales, Liet. Matem. Rink., v. 34, No. 1, pp. 9–31.
• Ulrich Höhle, Stephen Ernest Rodabaugh, ed. (1999). Mathematics of fuzzy sets: logic, topology, and measure theory. The Handbooks of Fuzzy Sets Series. Vol. 3. Springer. ISBN 978-0-7923-8388-8.
• Jahn, K. U. (1975) Intervall-wertige Mengen, Math.Nach. 68, pp. 115–132
• Kaufmann, Arnold. Introduction to the theory of fuzzy subsets. Vol. 2. Academic Pr, 1975.
• Kerre, E.E. (2001). "A first view on the alternatives of fuzzy set theory". In B. Reusch; K-H. Temme (eds.). Computational Intelligence in Theory and Practice. Heidelberg: Physica-Verlag. pp. 55–72. doi:10.1007/978-3-7908-1831-4_4. ISBN 978-3-7908-1357-9.
• George J. Klir; Bo Yuan (1995). Fuzzy sets and fuzzy logic: theory and applications. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-101171-7.
• Kuzmin, V.B. (1982). "Building Group Decisions in Spaces of Strict and Fuzzy Binary Relations" (in русский). Nauka, Moscow.
• Lake, J. (1976) Sets, fuzzy sets, multisets and functions, J. London Math. Soc., II Ser., v. 12, pp. 323–326
• Meng, D., Zhang, X. and Qin, K. Soft rough fuzzy sets and soft fuzzy rough sets, 'Computers & Mathematics with Applications', v. 62, issue 12, 2011, pp. 4635–4645
• Miyamoto, S. Fuzzy Multisets and their Generalizations, in 'Multiset Processing', LNCS 2235, pp. 225–235, 2001
• Molodtsov, O. (1999) Soft set theory – first results, Computers & Mathematics with Applications, v. 37, No. 4/5, pp. 19–31
• Moore, R.E. Interval Analysis, New York, Prentice-Hall, 1966
• Nakamura, A. (1988) Fuzzy rough sets, 'Notes on Multiple-valued Logic in Japan', v. 9, pp. 1–8
• Narinyani, A.S. Underdetermined Sets – A new datatype for knowledge representation, Preprint 232, Project VOSTOK, issue 4, Novosibirsk, Computing Center, USSR Academy of Sciences, 1980
• Pedrycz, W. Shadowed sets: representing and processing fuzzy sets, IEEE Transactions on System, Man, and Cybernetics, Part B, 28, 103–109, 1998.
• Radecki, T. Level Fuzzy Sets, 'Journal of Cybernetics', Volume 7, Issue 3–4, 1977
• Radzikowska, A.M. and Etienne E. Kerre, E.E. On L-Fuzzy Rough Sets, Artificial Intelligence and Soft Computing – ICAISC 2004, 7th International Conference, Zakopane, Poland, June 7–11, 2004, Proceedings; 01/2004
• Salii, V.N. (1965). "Binary L-relations" (PDF). Izv. Vysh. Uchebn. Zaved. Matematika (in русский). 44 (1): 133–145.
• Ramakrishnan, T.V., and Sabu Sebastian (2010) 'A study on multi-fuzzy sets', Int. J. Appl. Math. 23, 713–721.
• Sabu Sebastian and Ramakrishnan, T. V.(2010) Multi-fuzzy sets, Int. Math. Forum 50, 2471–2476.
• Sabu Sebastian and Ramakrishnan, T. V.(2011) Multi-fuzzy sets: an extension of fuzzy sets, Fuzzy Inf.Eng. 1, 35–43.
• Sabu Sebastian and Ramakrishnan, T. V.(2011) Multi-fuzzy extensions of functions, Advance in Adaptive Data Analysis 3, 339–350.
• Sabu Sebastian and Ramakrishnan, T. V.(2011) Multi-fuzzy extension of crisp functions using bridge functions, Ann. Fuzzy Math. Inform. 2 (1), 1–8
• Sambuc, R. Fonctions φ-floues: Application a l'aide au diagnostic en pathologie thyroidienne, Ph.D. Thesis Univ. Marseille, France, 1975.
• Seising, Rudolf: The Fuzzification of Systems. The Genesis of Fuzzy Set Theory and Its Initial Applications—Developments up to the 1970s (Studies in Fuzziness and Soft Computing, Vol. 216) Berlin, New York, [et al.]: Springer 2007.
• Smith, N.J.J. (2004) Vagueness and blurry sets, 'J. of Phil. Logic', 33, pp. 165–235
• Werro, Nicolas: Fuzzy Classification of Online Customers, University of Fribourg, Switzerland, 2008, Chapter 2
• Yager, R. R. (1986) On the Theory of Bags, International Journal of General Systems, v. 13, pp. 23–37
• Yao, Y.Y., Combination of rough and fuzzy sets based on α-level sets, in: Rough Sets and Data Mining: Analysis for Imprecise Data, Lin, T.Y. and Cercone, N. (Eds.), Kluwer Academic Publishers, Boston, pp. 301–321, 1997.
• Y. Y. Yao, A comparative study of fuzzy sets and rough sets, Information Sciences, v. 109, Issue 1–4, 1998, pp. 227 – 242
• Zadeh, L. (1975) The concept of a linguistic variable and its application to approximate reasoning–I, Inform. Sci., v. 8, pp. 199–249
• Hans-Jürgen Zimmermann (2001). Fuzzy set theory—and its applications (4th ed.). Kluwer. ISBN 978-0-7923-7435-0.