दोलक शक्ति

स्पेक्ट्रोस्कोपी में ऑसिलेटर शक्ति आयाम रहित मात्रा होती है जो परमाणु या अणु के ऊर्जा स्तर के बीच संक्रमण में अवशोषण (विद्युत चुम्बकीय विकिरण) या विद्युत चुम्बकीय विकिरण के उत्सर्जन स्पेक्ट्रम की संभावना को व्यक्त करती है। उदाहरण के लिए यदि उत्सर्जक अवस्था में छोटी ऑसिलेटर शक्ति होती है, तो स्वतःस्फूर्त उत्सर्जन या विकिरण और गैर-विकिरण क्षय: क्वांटम दक्षता स्वतःस्फूर्त उत्सर्जन या विकिरण और गैर-विकिरण क्षय से आगे निकल जाती है इसके विपरीत क्वांटम दक्षता उज्ज्वल संक्रमणों में बड़ी दोलक शक्ति होती है । ऑसिलेटर शक्ति को क्वांटम यांत्रिक संक्रमण दर और संक्रमण के समान आवृत्ति वाले एकल इलेक्ट्रॉन ऑसिलेटर के मौलिक अवशोषण / उत्सर्जन दर के बीच के अनुपात के रूप में माना जा सकता है।

सिद्धांत

एक परमाणु या एक अणु प्रकाश को अवशोषित कर सकता है और एक क्वांटम स्थिति से दूसरे में संक्रमण से गुजर सकता है।

इसमें निचली स्थिति से संक्रमण की ऑसिलेटर शक्ति $f_{12}$, $|1\rangle$से ऊपरी स्थिति में $|2\rangle$ द्वारा परिभाषित किया जा सकता है

$f_{12}={\frac {2}{3}}{\frac {m_{e}}{\hbar ^{2}}}(E_{2}-E_{1})\sum _{\alpha =x,y,z}|\langle 1m_{1}|R_{\alpha }|2m_{2}\rangle |^{2},$

जहाँ $m_{e}$ एक इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है और $\hbar$ घटा हुआ प्लैंक स्थिरांक है। जिसमे क्वांटम स्थिति $|n\rangle ,n=$ 1,2, को कई पतित उप-स्थिति के रूप में माना जाता है, जिन्हें $m_{n}$ द्वारा स्थित किया जाता है। "पतित" का अर्थ है कि उन सभी में समान ऊर्जा $E_{n}$ है। ऑपरेटर $R_{x}$ प्रणाली आदि में सभी $N$ इलेक्ट्रॉनों के x-निर्देशांक $r_{i,x}$ का योग है।

$R_{\alpha }=\sum _{i=1}^{N}r_{i,\alpha }.$

प्रत्येक उप-स्थिति $|nm_{n}\rangle$ के लिए ऑसिलेटर शक्ति समान है।

रिडबर्ग ऊर्जा ${\text{Ry}}$ और बोह्र रेडियस $a_{0}$ के प्रभाव से परिभाषा को फिर से तैयार किया जा सकता है।

$f_{12}={\frac {E_{2}-E_{1}}{3\,{\text{Ry}}}}{\frac {\sum _{\alpha =x,y,z}|\langle 1m_{1}|R_{\alpha }|2m_{2}\rangle |^{2}}{a_{0}^{2}}}.$

यदि $R_{x},R_{y},R_{z}$ के आव्यूह तत्व समान हैं तो हम योग और 1/3 कारक से छुटकारा पा सकते हैं

$f_{12}=2{\frac {m_{e}}{\hbar ^{2}}}(E_{2}-E_{1})\,|\langle 1m_{1}|R_{x}|2m_{2}\rangle |^{2}.$

थॉमस-रीच-कुह्न योग नियम

सातत्य स्पेक्ट्रम से संबंधित स्थिति के लिए पिछले खंड के समीकरणों को प्रयुक्त करने के लिए उन्हें संवेग ${\boldsymbol {p}}$ के आव्यूह तत्वों के संदर्भ में फिर से लिखा जाना चाहिए। चुंबकीय क्षेत्र की अनुपस्थिति में, हैमिल्टनियन को $H={\frac {1}{2m}}{\boldsymbol {p}}^{2}+V({\boldsymbol {r}})$ के रूप में लिखा जा सकता है, और कम्यूटेटर की गणना $[H,x]$ $H$ के आइजनफलन के आधार पर आव्यूह तत्वों के बीच संबंध होता है

$x_{nk}=-{\frac {i\hbar /m}{E_{n}-E_{k}}}(p_{x})_{nk}.$.

एक कम्यूटेटर $[p_{x},x]$ के आव्यूह तत्वों की अगली गणना उसी आधार पर और $x$ के आव्यूह तत्वों को समाप्त करने पर हम पहुंचते हैं

$\langle n|[p_{x},x]|n\rangle ={\frac {2i\hbar }{m}}\sum _{k\neq n}{\frac {|\langle n|p_{x}|k\rangle |^{2}}{E_{n}-E_{k}}}.$

क्योंकि $[p_{x},x]=-i\hbar$ उपरोक्त अभिव्यक्ति का परिणाम योग सदैव नियम में होता है

$\sum _{k\neq n}f_{nk}=1,\,\,\,\,\,f_{nk}=-{\frac {2}{m}}{\frac {|\langle n|p_{x}|k\rangle |^{2}}{E_{n}-E_{k}}},$

जहां $f_{nk}$ स्थिति $n$ और $k$ के बीच क्वांटम संक्रमण के लिए ऑसिलेटर शक्ति हैं। यह थॉमस-रीच-कुह्न योग नियम है, और $k=n$ के साथ शब्द को छोड़ दिया गया है क्योंकि परमाणुओं या अणुओं जैसे सीमित प्रणालियों में विकर्ण आव्यूह तत्व $\langle n|p_{x}|n\rangle =0$ समय व्युत्क्रम के कारण हैमिल्टनियन एच की समरूपता इस शब्द को छोड़कर विलुप्त हो जाने वाले भाजक के कारण विचलन समाप्त हो जाता है।

योग नियम और क्रिस्टल में इलेक्ट्रॉन प्रभावी द्रव्यमान

क्रिस्टल में इलेक्ट्रॉनिक ऊर्जा स्पेक्ट्रम में एक बैंड संरचना $E_{n}({\boldsymbol {p}})$ होती है। आइसोटोपिक ऊर्जा बैंड के न्यूनतम के पास, इलेक्ट्रॉन ऊर्जा को ${\boldsymbol {p}}$ की शक्तियों में $E_{n}({\boldsymbol {p}})={\boldsymbol {p}}^{2}/2m^{*}$ जहां $m^{*}$ के रूप में विस्तारित किया जा सकता है इलेक्ट्रॉन प्रभावी द्रव्यमान है। यह दिखाया जा सकता है कि यह समीकरण को संतुष्ट करता है

${\frac {2}{m}}\sum _{k\neq n}{\frac {|\langle n|p_{x}|k\rangle |^{2}}{E_{k}-E_{n}}}+{\frac {m}{m^{*}}}=1.$

यहां योग सभी बैंडों के साथ चलता है $k\neq n$. इसलिए, अनुपात $m/m^{*}$ मुक्त इलेक्ट्रॉन द्रव्यमान का $m$ इसके प्रभावी द्रव्यमान के लिए $m^{*}$ क्रिस्टल में क्वांटम स्थिति से इलेक्ट्रॉन के संक्रमण के लिए दोलक शक्ति के रूप में माना जा सकता है $n$ उसी अवस्था में बैंड।

यहाँ योग $k\neq n$ के साथ सभी बैंडों पर चलता है। इसलिए, एक क्रिस्टल में मुक्त इलेक्ट्रॉन द्रव्यमान $m$ का इसके प्रभावी द्रव्यमान $m^{*}$ के अनुपात $m/m^{*}$ को $n$ के तल पर उसी अवस्था में बैंड क्वांटम स्थिति से इलेक्ट्रॉन के संक्रमण के लिए दोलक शक्ति के रूप में माना जा सकता है।

यह भी देखें

• परमाणु वर्णक्रमीय रेखा
• क्वांटम यांत्रिकी में योग नियम
• इलेक्ट्रॉनिक बैंड संरचना
• आइंस्टीन गुणांक