एकपक्षीय संपर्क: Difference between revisions

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संपर्क यांत्रिकी में, एकपक्षीय संपर्क को एकपक्षीय बाधा भी कहा जाता है, जो यांत्रिक बाधा (शास्त्रीय यांत्रिकी) को दर्शाता है और यह दो कठोर/नम्य निकायों के मध्य प्रवेश को अवरोधित करता है।

इस प्रकार की बाधाएं गैर-चिकनी यांत्रिकी अनुप्रयोगों जैसे कणयुक्त प्रवाह^[1], लेग्ड रोबोट, वाहन की गतिशीलता, कण डंपिंग, अपूर्ण जोड़^[2] या रॉकेट लैंडिंग में सर्वव्यापी हैं। इन अनुप्रयोगों में, एकपक्षीय बाधाओं के परिणामस्वरूप प्रभाव दिखता है, इसलिए इस प्रकार की बाधाओं के समाधान हेतु उपयुक्त विधियों की आवश्यकता होती है।

एकपक्षीय बाधाओं की मॉडलिंग

एकपक्षीय बाधाओं को मॉडल करने के लिए मुख्य रूप से दो प्रकार की विधियाँ उपलब्ध हैं। प्रथम विधि सातत्य यांत्रिकी पर आधारित है, जिसमें हर्ट्ज़ के मॉडल, पेनल्टी विधियाँ और कुछ नियमितीकरण बल मॉडल का उपयोग करने वाली विधियाँ सम्मिलित हैं, यद्यपि द्वितीय विधि संपर्क गतिकी पर आधारित है, जो प्रणाली को एकपक्षीय संपर्कों के साथ परिवर्तनशील असमानताओं के रूप में प्रस्तुत करती है।

चिकनी संपर्क गतिकी

हर्ट्ज़ संपर्क मॉडल

इस पद्धति में, एकपक्षीय बाधाओं द्वारा उत्पन्न सामान्य बलों को निकायों के स्थानीय भौतिक गुणों के अनुसार प्रतिरूपित किया जाता है। विशेष रूप से, संपर्क बल मॉडल सातत्य यांत्रिकी से प्राप्त होते हैं, और अंतर के कार्यों और पिंडों के प्रभाव वेग के रूप में व्यक्त किए जाते हैं। एक उदाहरण के रूप में, क्लासिक संपर्क यांत्रिकी का एक उदाहरण दाईं ओर की आकृति में दिखाया गया है। ऐसे मॉडल में, संपर्क को निकायों के स्थानीय विरूपण द्वारा समझाया गया है। कुछ समीक्षा वैज्ञानिक कार्यों में अधिक संपर्क मॉडल मिल सकते हैं^[3]^[4]^[5] या संपर्क यांत्रिकी को समर्पित लेख में।

गैर-चिकनी संपर्क गतिशीलता

गैर-चिकनी विधि में, निकायों के बीच एकपक्षीय बातचीत मूल रूप से सिग्नोरिनी समस्या द्वारा प्रतिरूपित की जाती है^[6] गैर-प्रवेश के लिए, और प्रभाव प्रक्रिया को परिभाषित करने के लिए प्रभाव कानूनों का उपयोग किया जाता है।^[7] सिग्नोरिनी स्थिति को पूरकता समस्या के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

$g\geq 0,\quad \lambda \geq 0,\quad \lambda \perp g$ ,

कहाँ $g$ दो निकायों और के बीच की दूरी को दर्शाता है $\lambda$ एकपक्षीय बाधाओं द्वारा उत्पन्न संपर्क बल को दर्शाता है, जैसा कि नीचे की आकृति में दिखाया गया है। इसके अलावा, उत्तल सिद्धांत के समीपस्थ बिंदु की अवधारणा के संदर्भ में, सिग्नोरिनी स्थिति को समान रूप से व्यक्त किया जा सकता है^[6]^[8] जैसा:

$\lambda ={\rm {proj}}_{\mathbb {R} ^{+}}(\lambda -\rho g)$ ,

कहाँ $\rho >0$ एक सहायक पैरामीटर को दर्शाता है, और ${\rm {proj}}_{\bf {C}}(x)$ सेट में समीपस्थ बिंदु का प्रतिनिधित्व करता है $C$ चर के लिए $x$ ,^[9] के रूप में परिभाषित:

${\rm {proj}}_{\bf {C}}(x)={\rm {argmin}}_{y\in C}\|y-x\|$ .

उपरोक्त दोनों भाव एकपक्षीय बाधाओं के गतिशील व्यवहार का प्रतिनिधित्व करते हैं: एक ओर, जब सामान्य दूरी $g_{\rm {N}}$ शून्य से ऊपर है, संपर्क खुला है, जिसका अर्थ है कि पिंडों के बीच कोई संपर्क बल नहीं है, $\lambda =0$ ; दूसरी ओर, जब सामान्य दूरी $g_{\rm {N}}$ शून्य के बराबर है, संपर्क बंद है, जिसके परिणामस्वरूप $\lambda \geq 0$ .

File:Contact dynamics unilateral.jpg

चित्र 2: ए) एकपक्षीय संपर्क, बी) सिग्नोरिनी ग्राफ, सी) निरंतर यांत्रिकी आधारित मॉडल

गैर-चिकनी सिद्धांत आधारित विधियों को लागू करते समय, ज्यादातर मामलों में वेग सिग्नोरिनी स्थिति या त्वरण सिग्नोरिनी स्थिति वास्तव में नियोजित होती है। वेग सिग्नोरिनी स्थिति को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:^[6]^[10]

$U_{\rm {N}}^{+}\geq 0,\quad \lambda \geq 0,\quad U^{+}\lambda =0$ ,

कहाँ $U_{\rm {N}}^{+}$ प्रभाव के बाद सापेक्ष सामान्य वेग को दर्शाता है। वेग सिग्नोरिनी स्थिति को पिछली शर्तों के साथ समझा जाना चाहिए $g\geq 0,\;\lambda \geq 0,\;\lambda \perp g$ . त्वरण सिग्नोरिनी स्थिति को बंद संपर्क के तहत माना जाता है ( $g=0,U_{\rm {N}}^{+}=0$ ), जैसा:^[8]

${\ddot {g}}\geq 0,\quad \lambda \geq 0,\quad {\ddot {g}}\lambda =0$ ,

जहां ओवरडॉट्स समय के संबंध में दूसरे क्रम के व्युत्पन्न को दर्शाता है।

दो कठोर निकायों के बीच एकपक्षीय बाधाओं के लिए इस पद्धति का उपयोग करते समय, सिग्नोरिनी की स्थिति अकेले प्रभाव प्रक्रिया को मॉडल करने के लिए पर्याप्त नहीं है, इसलिए प्रभाव कानून, जो प्रभाव से पहले और बाद में राज्यों के बारे में जानकारी देते हैं,^[6]भी आवश्यक हैं। उदाहरण के लिए, जब न्यूटन बहाली कानून लागू होता है, तो बहाली के गुणांक को इस प्रकार परिभाषित किया जाएगा: $e=-{U_{\rm {N}}^{+}}/{U_{\rm {N}}^{-}}$ , कहाँ $U_{\rm {N}}^{-}$ प्रभाव से पहले सापेक्ष सामान्य वेग को दर्शाता है।

घर्षण एकपक्षीय बाधाएं

घर्षण एकपक्षीय बाधाओं के लिए, सामान्य संपर्क बलों को उपरोक्त तरीकों में से एक द्वारा तैयार किया जाता है, जबकि घर्षण बलों को आमतौर पर घर्षण के माध्यम से वर्णित किया जाता है। कूलम्ब का घर्षण कानून। कूलम्ब के घर्षण नियम को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: जब स्पर्शरेखा वेग $U_{\rm {T}}$ शून्य के बराबर नहीं है, अर्थात् जब दो पिंड फिसल रहे हों, घर्षण बल $\lambda _{\rm {T}}$ सामान्य संपर्क बल के समानुपाती होता है $\lambda$ ; जब इसके बजाय स्पर्शरेखा वेग $U_{\rm {T}}$ शून्य के बराबर है, अर्थात् जब दो शरीर अपेक्षाकृत स्थिर होते हैं, तो घर्षण बल $\lambda _{\rm {T}}$ अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल से अधिक नहीं है। अधिकतम अपव्यय सिद्धांत का उपयोग करके इस संबंध को संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सकता है,^[6]जैसा

$\lambda _{\rm {T}}\in D(\mu \lambda )~~~~~~\forall S\in D(\mu \lambda )~~~~~~(S-\lambda _{\rm {T}})U_{\rm {T}}\geq 0,$ कहाँ

$D(\mu \lambda )=\{\forall x|-\mu \lambda \leq \|x\|\leq \mu \lambda \}$ घर्षण शंकु का प्रतिनिधित्व करता है, और $\mu$ कीनेमेटिक घर्षण गुणांक को दर्शाता है। सामान्य संपर्क बल के समान, उपरोक्त सूत्रीकरण को समान रूप से समीपस्थ बिंदु की धारणा के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:^[6]

$\lambda _{\rm {T}}={\rm {proj}}_{D(\mu \lambda )}(\lambda _{T}-\rho U_{\rm {T}})$ ,

कहाँ $\rho >0$ एक सहायक पैरामीटर को दर्शाता है।

समाधान तकनीक

यदि एकपक्षीय बाधाओं को निरंतर यांत्रिकी आधारित संपर्क मॉडल द्वारा तैयार किया जाता है, तो संपर्क बलों की गणना सीधे एक स्पष्ट गणितीय सूत्र के माध्यम से की जा सकती है, जो पसंद के संपर्क मॉडल पर निर्भर करता है। यदि इसके बजाय गैर-चिकनी सिद्धांत आधारित पद्धति को नियोजित किया जाता है, तो सिग्नोरिनी स्थितियों के समाधान के लिए दो मुख्य सूत्रीकरण हैं: गैर-रैखिक पूरकता समस्या/रैखिक पूरकता समस्या (N/LCP) सूत्रीकरण और संवर्धित Lagrangian सूत्रीकरण। संपर्क मॉडल के समाधान के संबंध में, गैर-चिकनी विधि अधिक कठिन है, लेकिन कम्प्यूटेशनल दृष्टिकोण से कम खर्चीला है। पज़ौकी एट अल द्वारा संपर्क मॉडल और गैर-चिकनी सिद्धांत का उपयोग करके समाधान विधियों की अधिक विस्तृत तुलना की गई।^[11]

एन/एलसीपी योगों

इस दृष्टिकोण के बाद, एकपक्षीय बाधाओं के साथ गतिकी समीकरणों का समाधान N/LCPs के समाधान में बदल जाता है। विशेष रूप से, घर्षण रहित एकपक्षीय बाधाओं या समतलीय घर्षण के साथ एकपक्षीय बाधाओं के लिए, समस्या LCPs में बदल जाती है, जबकि घर्षण एकपक्षीय बाधाओं के लिए, समस्या NCPs में बदल जाती है। LCPs को हल करने के लिए, Lemek और Dantzig के एल्गोरिथम से उत्पन्न सिम्पलेक्स एल्गोरिथम सबसे लोकप्रिय तरीका है।^[8]दुर्भाग्य से, हालांकि, संख्यात्मक प्रयोगों से पता चलता है कि बड़ी संख्या में एकपक्षीय संपर्कों के साथ सिस्टम को संभालते समय धुरी एल्गोरिथ्म विफल हो सकता है, यहां तक कि सर्वोत्तम अनुकूलन का उपयोग भी कर सकता है।^[12] एनसीपी के लिए, पॉलीहेड्रल सन्निकटन का उपयोग एनसीपी को एलसीपी के एक सेट में बदल सकता है, जिसे एलसीपी सॉल्वर द्वारा हल किया जा सकता है।^[13] इन तरीकों से परे अन्य दृष्टिकोण, जैसे एनसीपी-फ़ंक्शंस^[14]^[15]^[16] या शंकु संपूरकता समस्याएँ (CCP) आधारित विधियाँ^[17]^[18] एनसीपी को हल करने के लिए भी कार्यरत हैं।

संवर्धित Lagrangian सूत्रीकरण

N/LCP योगों से भिन्न, संवर्धित Lagrangian सूत्रीकरण ऊपर वर्णित समीपस्थ कार्यों का उपयोग करता है, $\lambda ={\rm {proj}}_{\mathbb {R} ^{+}}(\lambda -\rho g)$ . डायनेमिक्स समीकरणों के साथ, यह फॉर्मूलेशन रूट-खोज एल्गोरिदम के माध्यम से हल किया जाता है। मशायेखी एट अल द्वारा एलसीपी योगों और संवर्धित लग्रांगियन सूत्रीकरण के बीच एक तुलनात्मक अध्ययन किया गया था।^[9]

यह भी देखें

संदर्भ

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अग्रिम पठन

ओपन-सोर्स सॉफ्टवेयर

गैर-चिकनी आधारित पद्धति का उपयोग करते हुए ओपन-सोर्स कोड और गैर-वाणिज्यिक पैकेज:

Siconos
Chrono, एक ओपन सोर्स मल्टी-फिजिक्स सिमुलेशन इंजन, प्रोजेक्ट वेबसाइट भी देखें

किताबें और लेख

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श्रेणी:यांत्रिकी

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[13] Xu, Ziyao; Wang, Qi; Wang, Qingyun (December 2017). "द्वि-आयामी कूलम्ब शुष्क घर्षण और गैर-होलोनोमिक बाधाओं के साथ बहु-निकाय प्रणालियों की गतिशीलता के लिए संख्यात्मक विधि". Applied Mathematics and Mechanics (in English). 38 (12): 1733–1752. doi:10.1007/s10483-017-2285-8. ISSN 0253-4827. S2CID 125402414.

[14] Stavroulakis, G.E.; Antes, H. (2000). "Nonlinear equation approach for inequality elastostatics: a two-dimensional BEM implementation". Computers and Structures (in English). 75 (6): 631–646. doi:10.1016/S0045-7949(99)00111-X.

[15] Mangasarian, O. L. (July 1976). "अरेखीय समीकरणों की एक प्रणाली के लिए पूरक समस्या की समानता". SIAM Journal on Applied Mathematics (in English). 31 (1): 89–92. doi:10.1137/0131009. ISSN 0036-1399.

[16] Fischer, A. (January 1992). "एक विशेष न्यूटन-प्रकार अनुकूलन विधि". Optimization (in English). 24 (3–4): 269–284. doi:10.1080/02331939208843795. ISSN 0233-1934.

[17] Melanz, Daniel; Fang, Luning; Jayakumar, Paramsothy; Negrut, Dan (June 2017). "अंतर परिवर्तनशील असमानताओं के माध्यम से प्रतिरूपित घर्षण संपर्क के साथ मल्टीबॉडी गतिकी समस्याओं को हल करने के लिए संख्यात्मक तरीकों की तुलना". Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering (in English). 320: 668–693. Bibcode:2017CMAME.320..668M. doi:10.1016/j.cma.2017.03.010.

[18] Negrut, Dan; Serban, Radu; Tasora, Alessandro (2018-01-01). "एक विभेदक पूरक समस्या के रूप में घर्षण और संपर्क के साथ मल्टीबॉडी डायनेमिक्स प्रस्तुत करना". Journal of Computational and Nonlinear Dynamics (in English). 13 (1): 014503. doi:10.1115/1.4037415. ISSN 1555-1415.

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 इस प्रकार की बाधाएं [[गैर-चिकनी यांत्रिकी]] अनुप्रयोगों जैसे कणयुक्त प्रवाह<ref name="Flores-2010">{{cite journal |last1=Flores |first1=Paulo |title=मल्टीपल क्लीयरेंस जोड़ों के साथ प्लानर मल्टीबॉडी सिस्टम की गतिशील प्रतिक्रिया पर एक पैरामीट्रिक अध्ययन|journal=Nonlinear Dynamics |date=7 March 2010 |volume=61 |issue=4 |pages=633–653 |doi=10.1007/s11071-010-9676-8|hdl=1822/23520 |s2cid=92980088 |url=https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00574014/file/PEER_stage2_10.1007%252Fs11071-010-9676-8.pdf |hdl-access=free }}</ref>, [[पैर वाला रोबोट|लेग्ड रोबोट]], [[वाहन की गतिशीलता]], [[कण भिगोना|कण डंपिंग]], अपूर्ण जोड़<ref name="Anitescu-Tasora-2010">{{cite journal |last1=Anitescu |first1=Mihai |last2=Tasora |first2=Alessandro |title=नॉनस्मूथ डायनेमिक्स के लिए शंकु पूरकता समस्याओं के लिए एक पुनरावृत्त दृष्टिकोण|journal=Computational Optimization and Applications |date=26 November 2008 |volume=47 |issue=2 |pages=207–235 |doi=10.1007/s10589-008-9223-4|s2cid=1107494 |url=https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01631636/file/MAATA.pdf }}</ref> या रॉकेट लैंडिंग में सर्वव्यापी हैं। इन अनुप्रयोगों में, एकपक्षीय बाधाओं के परिणामस्वरूप प्रभाव दिखता है, इसलिए इस प्रकार की बाधाओं के समाधान हेतु उपयुक्त विधियों की आवश्यकता होती है।
-== एकतरफा बाधाओं की मॉडलिंग ==
+== एकपक्षीय बाधाओं की मॉडलिंग ==
-एकतरफा बाधाओं को मॉडल करने के लिए मुख्य रूप से दो प्रकार के तरीके हैं। पहला प्रकार सातत्य यांत्रिकी पर आधारित है, जिसमें हर्ट्ज़ के मॉडल, पेनल्टी विधियों और कुछ नियमितीकरण बल मॉडल का उपयोग करने के तरीके शामिल हैं, जबकि दूसरा प्रकार संपर्क गतिकी पर आधारित है। असमानता।
+एकपक्षीय बाधाओं को मॉडल करने के लिए मुख्य रूप से दो प्रकार की विधियाँ उपलब्ध हैं। प्रथम विधि सातत्य यांत्रिकी पर आधारित है, जिसमें हर्ट्ज़ के मॉडल, पेनल्टी विधियाँ और कुछ नियमितीकरण बल मॉडल का उपयोग करने वाली विधियाँ सम्मिलित हैं, यद्यपि द्वितीय विधि संपर्क गतिकी पर आधारित है, जो प्रणाली को एकपक्षीय संपर्कों के साथ परिवर्तनशील असमानताओं के रूप में प्रस्तुत करती है।
-=== चिकनी संपर्क गतिशीलता ===
+=== चिकनी संपर्क गतिकी ===
-{{See also|Contact mechanics}}[[File:Hertz_contact_animated.gif|thumb|upright|हर्ट्ज़ संपर्क मॉडल|alt=]]इस पद्धति में, एकतरफा बाधाओं द्वारा उत्पन्न सामान्य बलों को निकायों के स्थानीय भौतिक गुणों के अनुसार प्रतिरूपित किया जाता है। विशेष रूप से, संपर्क बल मॉडल सातत्य यांत्रिकी से प्राप्त होते हैं, और अंतर के कार्यों और पिंडों के प्रभाव वेग के रूप में व्यक्त किए जाते हैं। एक उदाहरण के रूप में, क्लासिक संपर्क यांत्रिकी का एक उदाहरण दाईं ओर की आकृति में दिखाया गया है। ऐसे मॉडल में, संपर्क को निकायों के स्थानीय विरूपण द्वारा समझाया गया है। कुछ समीक्षा वैज्ञानिक कार्यों में अधिक संपर्क मॉडल मिल सकते हैं<ref name="Machado-Moreira-Flores-Lankarani-2012">{{cite journal |last1=Machado |first1=Margarida |last2=Moreira |first2=Pedro |last3=Flores |first3=Paulo |last4=Lankarani |first4=Hamid M. |title=Compliant contact force models in multibody dynamics: Evolution of the Hertz contact theory |journal=Mechanism and Machine Theory |date=July 2012 |volume=53 |pages=99–121 |doi=10.1016/j.mechmachtheory.2012.02.010|hdl=1822/19623 |hdl-access=free }}</ref><ref name="Gilardi-Sharf-2002">{{cite journal |last1=Gilardi |first1=G. |last2=Sharf |first2=I. |title=संपर्क गतिकी मॉडलिंग का साहित्य सर्वेक्षण|journal=Mechanism and Machine Theory |date=October 2002 |volume=37 |issue=10 |pages=1213–1239 |doi=10.1016/S0094-114X(02)00045-9}}</ref><ref name="Alves-Peixinho-Silva-Flores-Lankarani-2015">{{cite journal |last1=Alves |first1=Janete |last2=Peixinho |first2=Nuno |last3=da Silva |first3=Miguel Tavares |last4=Flores |first4=Paulo |last5=Lankarani |first5=Hamid M. |title=ठोस पदार्थों में घर्षण रहित संपर्क इंटरफेस के लिए विस्कोइलास्टिक संवैधानिक मॉडल का तुलनात्मक अध्ययन|journal=Mechanism and Machine Theory |date=March 2015 |volume=85 |pages=172–188 |doi=10.1016/j.mechmachtheory.2014.11.020|hdl=1822/31823 |hdl-access=free }}</ref> या संपर्क यांत्रिकी को समर्पित लेख में।
+{{See also|संपर्क यांत्रिकी}}[[File:Hertz_contact_animated.gif|thumb|upright|हर्ट्ज़ संपर्क मॉडल|alt=]]इस पद्धति में, एकपक्षीय बाधाओं द्वारा उत्पन्न सामान्य बलों को निकायों के स्थानीय भौतिक गुणों के अनुसार प्रतिरूपित किया जाता है। विशेष रूप से, संपर्क बल मॉडल सातत्य यांत्रिकी से प्राप्त होते हैं, और अंतर के कार्यों और पिंडों के प्रभाव वेग के रूप में व्यक्त किए जाते हैं। एक उदाहरण के रूप में, क्लासिक संपर्क यांत्रिकी का एक उदाहरण दाईं ओर की आकृति में दिखाया गया है। ऐसे मॉडल में, संपर्क को निकायों के स्थानीय विरूपण द्वारा समझाया गया है। कुछ समीक्षा वैज्ञानिक कार्यों में अधिक संपर्क मॉडल मिल सकते हैं<ref name="Machado-Moreira-Flores-Lankarani-2012">{{cite journal |last1=Machado |first1=Margarida |last2=Moreira |first2=Pedro |last3=Flores |first3=Paulo |last4=Lankarani |first4=Hamid M. |title=Compliant contact force models in multibody dynamics: Evolution of the Hertz contact theory |journal=Mechanism and Machine Theory |date=July 2012 |volume=53 |pages=99–121 |doi=10.1016/j.mechmachtheory.2012.02.010|hdl=1822/19623 |hdl-access=free }}</ref><ref name="Gilardi-Sharf-2002">{{cite journal |last1=Gilardi |first1=G. |last2=Sharf |first2=I. |title=संपर्क गतिकी मॉडलिंग का साहित्य सर्वेक्षण|journal=Mechanism and Machine Theory |date=October 2002 |volume=37 |issue=10 |pages=1213–1239 |doi=10.1016/S0094-114X(02)00045-9}}</ref><ref name="Alves-Peixinho-Silva-Flores-Lankarani-2015">{{cite journal |last1=Alves |first1=Janete |last2=Peixinho |first2=Nuno |last3=da Silva |first3=Miguel Tavares |last4=Flores |first4=Paulo |last5=Lankarani |first5=Hamid M. |title=ठोस पदार्थों में घर्षण रहित संपर्क इंटरफेस के लिए विस्कोइलास्टिक संवैधानिक मॉडल का तुलनात्मक अध्ययन|journal=Mechanism and Machine Theory |date=March 2015 |volume=85 |pages=172–188 |doi=10.1016/j.mechmachtheory.2014.11.020|hdl=1822/31823 |hdl-access=free }}</ref> या संपर्क यांत्रिकी को समर्पित लेख में।
 === गैर-चिकनी संपर्क गतिशीलता ===
 {{See also|Contact dynamics#Non-smooth approach}}
-गैर-चिकनी विधि में, निकायों के बीच एकतरफा बातचीत मूल रूप से सिग्नोरिनी समस्या द्वारा प्रतिरूपित की जाती है<ref name="Jean-1999">{{cite journal |last1=Jean |first1=M. |title=गैर-चिकनी संपर्क गतिकी विधि|journal=Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering |date=July 1999 |volume=177 |issue=3–4 |pages=235–257 |doi=10.1016/S0045-7825(98)00383-1|bibcode=1999CMAME.177..235J |s2cid=120827881 |url=https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01390459/file/MJ.pdf }}</ref> गैर-प्रवेश के लिए, और प्रभाव प्रक्रिया को परिभाषित करने के लिए प्रभाव कानूनों का उपयोग किया जाता है।<ref name="Pfeiffer-2012">{{cite journal |last1=Pfeiffer |first1=Friedrich |title=नॉन-स्मूथ मल्टीबॉडी डायनामिक्स पर|journal=Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part K: Journal of Multi-body Dynamics |date=14 March 2012 |volume=226 |issue=2 |pages=147–177 |doi=10.1177/1464419312438487|s2cid=123605632 }}</ref> सिग्नोरिनी स्थिति को पूरकता समस्या के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
+गैर-चिकनी विधि में, निकायों के बीच एकपक्षीय बातचीत मूल रूप से सिग्नोरिनी समस्या द्वारा प्रतिरूपित की जाती है<ref name="Jean-1999">{{cite journal |last1=Jean |first1=M. |title=गैर-चिकनी संपर्क गतिकी विधि|journal=Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering |date=July 1999 |volume=177 |issue=3–4 |pages=235–257 |doi=10.1016/S0045-7825(98)00383-1|bibcode=1999CMAME.177..235J |s2cid=120827881 |url=https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01390459/file/MJ.pdf }}</ref> गैर-प्रवेश के लिए, और प्रभाव प्रक्रिया को परिभाषित करने के लिए प्रभाव कानूनों का उपयोग किया जाता है।<ref name="Pfeiffer-2012">{{cite journal |last1=Pfeiffer |first1=Friedrich |title=नॉन-स्मूथ मल्टीबॉडी डायनामिक्स पर|journal=Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part K: Journal of Multi-body Dynamics |date=14 March 2012 |volume=226 |issue=2 |pages=147–177 |doi=10.1177/1464419312438487|s2cid=123605632 }}</ref> सिग्नोरिनी स्थिति को पूरकता समस्या के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
 <math>g  \geq 0, \quad \lambda \geq 0, \quad \lambda \perp g   </math>,
-कहाँ <math>g </math> दो निकायों और के बीच की दूरी को दर्शाता है <math>\lambda </math> एकतरफा बाधाओं द्वारा उत्पन्न संपर्क बल को दर्शाता है, जैसा कि नीचे की आकृति में दिखाया गया है। इसके अलावा, उत्तल सिद्धांत के समीपस्थ बिंदु की अवधारणा के संदर्भ में, सिग्नोरिनी स्थिति को समान रूप से व्यक्त किया जा सकता है<ref name="Jean-1999" /><ref name=":0">{{Cite journal|last1=Pfeiffer|first1=Friedrich|last2=Foerg|first2=Martin|last3=Ulbrich|first3=Heinz|date=October 2006|title=नॉन-स्मूथ मल्टीबॉडी डायनामिक्स के संख्यात्मक पहलू|url=https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S0045782505003646|journal=Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering|language=en|volume=195|issue=50–51|pages=6891–6908|doi=10.1016/j.cma.2005.08.012|bibcode=2006CMAME.195.6891P }}</ref> जैसा:
+कहाँ <math>g </math> दो निकायों और के बीच की दूरी को दर्शाता है <math>\lambda </math> एकपक्षीय बाधाओं द्वारा उत्पन्न संपर्क बल को दर्शाता है, जैसा कि नीचे की आकृति में दिखाया गया है। इसके अलावा, उत्तल सिद्धांत के समीपस्थ बिंदु की अवधारणा के संदर्भ में, सिग्नोरिनी स्थिति को समान रूप से व्यक्त किया जा सकता है<ref name="Jean-1999" /><ref name=":0">{{Cite journal|last1=Pfeiffer|first1=Friedrich|last2=Foerg|first2=Martin|last3=Ulbrich|first3=Heinz|date=October 2006|title=नॉन-स्मूथ मल्टीबॉडी डायनामिक्स के संख्यात्मक पहलू|url=https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S0045782505003646|journal=Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering|language=en|volume=195|issue=50–51|pages=6891–6908|doi=10.1016/j.cma.2005.08.012|bibcode=2006CMAME.195.6891P }}</ref> जैसा:
 <math>\lambda ={\rm{proj}}_{\R^+}(\lambda -\rho g )</math>,
@@ Line 24: / Line 24: @@
 <math>{\rm proj}_{\bf C}(x)={\rm argmin}_{y\in C}\|y-x\|</math>.
-उपरोक्त दोनों भाव एकतरफा बाधाओं के गतिशील व्यवहार का प्रतिनिधित्व करते हैं: एक ओर, जब सामान्य दूरी <math>g_{\rm N} </math> शून्य से ऊपर है, संपर्क खुला है, जिसका अर्थ है कि पिंडों के बीच कोई संपर्क बल नहीं है, <math>\lambda  =0 </math>; दूसरी ओर, जब सामान्य दूरी <math>g_{\rm N} </math> शून्य के बराबर है, संपर्क बंद है, जिसके परिणामस्वरूप <math>\lambda \geq0</math>.
+उपरोक्त दोनों भाव एकपक्षीय बाधाओं के गतिशील व्यवहार का प्रतिनिधित्व करते हैं: एक ओर, जब सामान्य दूरी <math>g_{\rm N} </math> शून्य से ऊपर है, संपर्क खुला है, जिसका अर्थ है कि पिंडों के बीच कोई संपर्क बल नहीं है, <math>\lambda  =0 </math>; दूसरी ओर, जब सामान्य दूरी <math>g_{\rm N} </math> शून्य के बराबर है, संपर्क बंद है, जिसके परिणामस्वरूप <math>\lambda \geq0</math>.
-[[Image:contact dynamics unilateral.jpg|frame|center|चित्र 2: ए) एकतरफा संपर्क, बी) सिग्नोरिनी ग्राफ, सी) निरंतर यांत्रिकी आधारित मॉडल|alt=]]गैर-चिकनी सिद्धांत आधारित विधियों को लागू करते समय, ज्यादातर मामलों में वेग सिग्नोरिनी स्थिति या त्वरण सिग्नोरिनी स्थिति वास्तव में नियोजित होती है। वेग सिग्नोरिनी स्थिति को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:<ref name="Jean-1999" /><ref>{{Cite journal|last1=Tasora|first1=A.|last2=Anitescu|first2=M.|date=January 2011|title=बड़े पैमाने पर, चिकनी, कठोर शरीर की गतिशीलता को हल करने के लिए एक मैट्रिक्स-मुक्त शंकु पूरकता दृष्टिकोण|url=https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S0045782510001970|journal=Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering|language=en|volume=200|issue=5–8|pages=439–453|doi=10.1016/j.cma.2010.06.030|bibcode=2011CMAME.200..439T }}</ref>
+[[Image:contact dynamics unilateral.jpg|frame|center|चित्र 2: ए) एकपक्षीय संपर्क, बी) सिग्नोरिनी ग्राफ, सी) निरंतर यांत्रिकी आधारित मॉडल|alt=]]गैर-चिकनी सिद्धांत आधारित विधियों को लागू करते समय, ज्यादातर मामलों में वेग सिग्नोरिनी स्थिति या त्वरण सिग्नोरिनी स्थिति वास्तव में नियोजित होती है। वेग सिग्नोरिनी स्थिति को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:<ref name="Jean-1999" /><ref>{{Cite journal|last1=Tasora|first1=A.|last2=Anitescu|first2=M.|date=January 2011|title=बड़े पैमाने पर, चिकनी, कठोर शरीर की गतिशीलता को हल करने के लिए एक मैट्रिक्स-मुक्त शंकु पूरकता दृष्टिकोण|url=https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S0045782510001970|journal=Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering|language=en|volume=200|issue=5–8|pages=439–453|doi=10.1016/j.cma.2010.06.030|bibcode=2011CMAME.200..439T }}</ref>
 <math>U_{\rm N}^{+}\geq 0,\quad \lambda \geq0,\quad U^{+}\lambda =0</math>,
@@ Line 36: / Line 36: @@
 जहां ओवरडॉट्स समय के संबंध में दूसरे क्रम के व्युत्पन्न को दर्शाता है।
-दो कठोर निकायों के बीच एकतरफा बाधाओं के लिए इस पद्धति का उपयोग करते समय, सिग्नोरिनी की स्थिति अकेले प्रभाव प्रक्रिया को मॉडल करने के लिए पर्याप्त नहीं है, इसलिए प्रभाव कानून, जो प्रभाव से पहले और बाद में राज्यों के बारे में जानकारी देते हैं,<ref name="Jean-1999" />भी आवश्यक हैं। उदाहरण के लिए, जब न्यूटन बहाली कानून लागू होता है, तो बहाली के गुणांक को इस प्रकार परिभाषित किया जाएगा: <math>e=-{U_{\rm N}^{+}}/{U_{\rm N}^{-}}</math>,  कहाँ <math>U_{\rm N}^{-}</math>प्रभाव से पहले सापेक्ष सामान्य वेग को दर्शाता है।
+दो कठोर निकायों के बीच एकपक्षीय बाधाओं के लिए इस पद्धति का उपयोग करते समय, सिग्नोरिनी की स्थिति अकेले प्रभाव प्रक्रिया को मॉडल करने के लिए पर्याप्त नहीं है, इसलिए प्रभाव कानून, जो प्रभाव से पहले और बाद में राज्यों के बारे में जानकारी देते हैं,<ref name="Jean-1999" />भी आवश्यक हैं। उदाहरण के लिए, जब न्यूटन बहाली कानून लागू होता है, तो बहाली के गुणांक को इस प्रकार परिभाषित किया जाएगा: <math>e=-{U_{\rm N}^{+}}/{U_{\rm N}^{-}}</math>,  कहाँ <math>U_{\rm N}^{-}</math>प्रभाव से पहले सापेक्ष सामान्य वेग को दर्शाता है।
-=== घर्षण एकतरफा बाधाएं ===
+=== घर्षण एकपक्षीय बाधाएं ===
-घर्षण एकतरफा बाधाओं के लिए, सामान्य संपर्क बलों को उपरोक्त तरीकों में से एक द्वारा तैयार किया जाता है, जबकि घर्षण बलों को आमतौर पर घर्षण के माध्यम से वर्णित किया जाता है। कूलम्ब का घर्षण कानून। कूलम्ब के घर्षण नियम को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: जब स्पर्शरेखा वेग <math>U_{\rm T}</math> शून्य के बराबर नहीं है, अर्थात् जब दो पिंड फिसल रहे हों, घर्षण बल <math>\lambda_{\rm T}</math> सामान्य संपर्क बल के समानुपाती होता है <math>\lambda</math>; जब इसके बजाय स्पर्शरेखा वेग  <math>U_{\rm T}</math> शून्य के बराबर है, अर्थात् जब दो शरीर अपेक्षाकृत स्थिर होते हैं, तो घर्षण बल <math>\lambda_{\rm T}</math> अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल से अधिक नहीं है। अधिकतम अपव्यय सिद्धांत का उपयोग करके इस संबंध को संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सकता है,<ref name="Jean-1999" />जैसा
+घर्षण एकपक्षीय बाधाओं के लिए, सामान्य संपर्क बलों को उपरोक्त तरीकों में से एक द्वारा तैयार किया जाता है, जबकि घर्षण बलों को आमतौर पर घर्षण के माध्यम से वर्णित किया जाता है। कूलम्ब का घर्षण कानून। कूलम्ब के घर्षण नियम को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: जब स्पर्शरेखा वेग <math>U_{\rm T}</math> शून्य के बराबर नहीं है, अर्थात् जब दो पिंड फिसल रहे हों, घर्षण बल <math>\lambda_{\rm T}</math> सामान्य संपर्क बल के समानुपाती होता है <math>\lambda</math>; जब इसके बजाय स्पर्शरेखा वेग  <math>U_{\rm T}</math> शून्य के बराबर है, अर्थात् जब दो शरीर अपेक्षाकृत स्थिर होते हैं, तो घर्षण बल <math>\lambda_{\rm T}</math> अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल से अधिक नहीं है। अधिकतम अपव्यय सिद्धांत का उपयोग करके इस संबंध को संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सकता है,<ref name="Jean-1999" />जैसा
 <math>\lambda_{\rm T} \in D(\mu \lambda)~~~~~~\forall S\in D(\mu \lambda)~~~~~~(S-\lambda_{\rm T})U_{\rm T}\geq 0,</math>
@@ Line 52: / Line 52: @@
 == समाधान तकनीक ==
-यदि एकतरफा बाधाओं को निरंतर यांत्रिकी आधारित संपर्क मॉडल द्वारा तैयार किया जाता है, तो संपर्क बलों की गणना सीधे एक स्पष्ट गणितीय सूत्र के माध्यम से की जा सकती है, जो पसंद के संपर्क मॉडल पर निर्भर करता है। यदि इसके बजाय गैर-चिकनी सिद्धांत आधारित पद्धति को नियोजित किया जाता है, तो सिग्नोरिनी स्थितियों के समाधान के लिए दो मुख्य सूत्रीकरण हैं: गैर-[[रैखिक पूरकता समस्या]]/रैखिक पूरकता समस्या (N/LCP) सूत्रीकरण और संवर्धित Lagrangian सूत्रीकरण। संपर्क मॉडल के समाधान के संबंध में, गैर-चिकनी विधि अधिक कठिन है, लेकिन कम्प्यूटेशनल दृष्टिकोण से कम खर्चीला है। पज़ौकी एट अल द्वारा संपर्क मॉडल और गैर-चिकनी सिद्धांत का उपयोग करके समाधान विधियों की अधिक विस्तृत तुलना की गई।<ref>{{Cite journal|last1=Pazouki|first1=Arman|last2=Kwarta|first2=Michał|last3=Williams|first3=Kyle|last4=Likos|first4=William|last5=Serban|first5=Radu|last6=Jayakumar|first6=Paramsothy|last7=Negrut|first7=Dan|date=2017-10-13|title=Compliant contact versus rigid contact: A comparison in the context of granular dynamics|journal=Physical Review E|language=en|volume=96|issue=4|pages=042905|doi=10.1103/PhysRevE.96.042905|pmid=29347540|bibcode=2017PhRvE..96d2905P |issn=2470-0045|doi-access=free}}</ref>
+यदि एकपक्षीय बाधाओं को निरंतर यांत्रिकी आधारित संपर्क मॉडल द्वारा तैयार किया जाता है, तो संपर्क बलों की गणना सीधे एक स्पष्ट गणितीय सूत्र के माध्यम से की जा सकती है, जो पसंद के संपर्क मॉडल पर निर्भर करता है। यदि इसके बजाय गैर-चिकनी सिद्धांत आधारित पद्धति को नियोजित किया जाता है, तो सिग्नोरिनी स्थितियों के समाधान के लिए दो मुख्य सूत्रीकरण हैं: गैर-[[रैखिक पूरकता समस्या]]/रैखिक पूरकता समस्या (N/LCP) सूत्रीकरण और संवर्धित Lagrangian सूत्रीकरण। संपर्क मॉडल के समाधान के संबंध में, गैर-चिकनी विधि अधिक कठिन है, लेकिन कम्प्यूटेशनल दृष्टिकोण से कम खर्चीला है। पज़ौकी एट अल द्वारा संपर्क मॉडल और गैर-चिकनी सिद्धांत का उपयोग करके समाधान विधियों की अधिक विस्तृत तुलना की गई।<ref>{{Cite journal|last1=Pazouki|first1=Arman|last2=Kwarta|first2=Michał|last3=Williams|first3=Kyle|last4=Likos|first4=William|last5=Serban|first5=Radu|last6=Jayakumar|first6=Paramsothy|last7=Negrut|first7=Dan|date=2017-10-13|title=Compliant contact versus rigid contact: A comparison in the context of granular dynamics|journal=Physical Review E|language=en|volume=96|issue=4|pages=042905|doi=10.1103/PhysRevE.96.042905|pmid=29347540|bibcode=2017PhRvE..96d2905P |issn=2470-0045|doi-access=free}}</ref>
 === एन/एलसीपी योगों ===
-इस दृष्टिकोण के बाद, एकतरफा बाधाओं के साथ गतिकी समीकरणों का समाधान N/LCPs के समाधान में बदल जाता है। विशेष रूप से, घर्षण रहित एकतरफा बाधाओं या समतलीय घर्षण के साथ एकतरफा बाधाओं के लिए, समस्या LCPs में बदल जाती है, जबकि घर्षण एकतरफा बाधाओं के लिए, समस्या NCPs में बदल जाती है। LCPs को हल करने के लिए, Lemek और Dantzig के एल्गोरिथम से उत्पन्न [[सिम्पलेक्स एल्गोरिथम]] सबसे लोकप्रिय तरीका है।<ref name=":0" />दुर्भाग्य से, हालांकि, संख्यात्मक प्रयोगों से पता चलता है कि बड़ी संख्या में एकतरफा संपर्कों के साथ सिस्टम को संभालते समय धुरी एल्गोरिथ्म विफल हो सकता है, यहां तक कि सर्वोत्तम अनुकूलन का उपयोग भी कर सकता है।<ref name="Anitescu-Tasora-2008">{{cite journal|last1=Anitescu|first1=Mihai|last2=Tasora|first2=Alessandro|date=26 November 2008|title=नॉनस्मूथ डायनेमिक्स के लिए शंकु पूरकता समस्याओं के लिए एक पुनरावृत्त दृष्टिकोण|journal=Computational Optimization and Applications|volume=47|issue=2|pages=207–235|doi=10.1007/s10589-008-9223-4|s2cid=1107494|url=https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01631636/file/MAATA.pdf}}</ref> एनसीपी के लिए, पॉलीहेड्रल सन्निकटन का उपयोग एनसीपी को एलसीपी के एक सेट में बदल सकता है, जिसे एलसीपी सॉल्वर द्वारा हल किया जा सकता है।<ref>{{Cite journal|last1=Xu|first1=Ziyao|last2=Wang|first2=Qi|last3=Wang|first3=Qingyun|date=December 2017|title=द्वि-आयामी कूलम्ब शुष्क घर्षण और गैर-होलोनोमिक बाधाओं के साथ बहु-निकाय प्रणालियों की गतिशीलता के लिए संख्यात्मक विधि|url=http://link.springer.com/10.1007/s10483-017-2285-8|journal=Applied Mathematics and Mechanics|language=en|volume=38|issue=12|pages=1733–1752|doi=10.1007/s10483-017-2285-8|s2cid=125402414|issn=0253-4827}}</ref> इन तरीकों से परे अन्य दृष्टिकोण, जैसे एनसीपी-फ़ंक्शंस<ref>{{Cite journal|last1=Stavroulakis|first1=G.E.|last2=Antes|first2=H.|date=2000|title=Nonlinear equation approach for inequality elastostatics: a two-dimensional BEM implementation|url=http://epubs.siam.org/doi/10.1137/0131009|journal=Computers and Structures|language=en|volume=75|issue=6|pages=631–646|doi=10.1016/S0045-7949(99)00111-X}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Mangasarian|first=O. L.|date=July 1976|title=अरेखीय समीकरणों की एक प्रणाली के लिए पूरक समस्या की समानता|url=http://epubs.siam.org/doi/10.1137/0131009|journal=SIAM Journal on Applied Mathematics|language=en|volume=31|issue=1|pages=89–92|doi=10.1137/0131009|issn=0036-1399}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Fischer|first=A.|date=January 1992|title=एक विशेष न्यूटन-प्रकार अनुकूलन विधि|url=http://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/02331939208843795|journal=Optimization|language=en|volume=24|issue=3–4|pages=269–284|doi=10.1080/02331939208843795|issn=0233-1934}}</ref> या शंकु संपूरकता समस्याएँ (CCP) आधारित विधियाँ<ref>{{Cite journal|last1=Melanz|first1=Daniel|last2=Fang|first2=Luning|last3=Jayakumar|first3=Paramsothy|last4=Negrut|first4=Dan|date=June 2017|title=अंतर परिवर्तनशील असमानताओं के माध्यम से प्रतिरूपित घर्षण संपर्क के साथ मल्टीबॉडी गतिकी समस्याओं को हल करने के लिए संख्यात्मक तरीकों की तुलना|journal=Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering|language=en|volume=320|pages=668–693|doi=10.1016/j.cma.2017.03.010|bibcode=2017CMAME.320..668M |doi-access=free}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Negrut|first1=Dan|last2=Serban|first2=Radu|last3=Tasora|first3=Alessandro|date=2018-01-01|title=एक विभेदक पूरक समस्या के रूप में घर्षण और संपर्क के साथ मल्टीबॉडी डायनेमिक्स प्रस्तुत करना|journal=Journal of Computational and Nonlinear Dynamics|language=en|volume=13|issue=1|pages=014503|doi=10.1115/1.4037415|issn=1555-1415|doi-access=free}}</ref> एनसीपी को हल करने के लिए भी कार्यरत हैं।
+इस दृष्टिकोण के बाद, एकपक्षीय बाधाओं के साथ गतिकी समीकरणों का समाधान N/LCPs के समाधान में बदल जाता है। विशेष रूप से, घर्षण रहित एकपक्षीय बाधाओं या समतलीय घर्षण के साथ एकपक्षीय बाधाओं के लिए, समस्या LCPs में बदल जाती है, जबकि घर्षण एकपक्षीय बाधाओं के लिए, समस्या NCPs में बदल जाती है। LCPs को हल करने के लिए, Lemek और Dantzig के एल्गोरिथम से उत्पन्न [[सिम्पलेक्स एल्गोरिथम]] सबसे लोकप्रिय तरीका है।<ref name=":0" />दुर्भाग्य से, हालांकि, संख्यात्मक प्रयोगों से पता चलता है कि बड़ी संख्या में एकपक्षीय संपर्कों के साथ सिस्टम को संभालते समय धुरी एल्गोरिथ्म विफल हो सकता है, यहां तक कि सर्वोत्तम अनुकूलन का उपयोग भी कर सकता है।<ref name="Anitescu-Tasora-2008">{{cite journal|last1=Anitescu|first1=Mihai|last2=Tasora|first2=Alessandro|date=26 November 2008|title=नॉनस्मूथ डायनेमिक्स के लिए शंकु पूरकता समस्याओं के लिए एक पुनरावृत्त दृष्टिकोण|journal=Computational Optimization and Applications|volume=47|issue=2|pages=207–235|doi=10.1007/s10589-008-9223-4|s2cid=1107494|url=https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01631636/file/MAATA.pdf}}</ref> एनसीपी के लिए, पॉलीहेड्रल सन्निकटन का उपयोग एनसीपी को एलसीपी के एक सेट में बदल सकता है, जिसे एलसीपी सॉल्वर द्वारा हल किया जा सकता है।<ref>{{Cite journal|last1=Xu|first1=Ziyao|last2=Wang|first2=Qi|last3=Wang|first3=Qingyun|date=December 2017|title=द्वि-आयामी कूलम्ब शुष्क घर्षण और गैर-होलोनोमिक बाधाओं के साथ बहु-निकाय प्रणालियों की गतिशीलता के लिए संख्यात्मक विधि|url=http://link.springer.com/10.1007/s10483-017-2285-8|journal=Applied Mathematics and Mechanics|language=en|volume=38|issue=12|pages=1733–1752|doi=10.1007/s10483-017-2285-8|s2cid=125402414|issn=0253-4827}}</ref> इन तरीकों से परे अन्य दृष्टिकोण, जैसे एनसीपी-फ़ंक्शंस<ref>{{Cite journal|last1=Stavroulakis|first1=G.E.|last2=Antes|first2=H.|date=2000|title=Nonlinear equation approach for inequality elastostatics: a two-dimensional BEM implementation|url=http://epubs.siam.org/doi/10.1137/0131009|journal=Computers and Structures|language=en|volume=75|issue=6|pages=631–646|doi=10.1016/S0045-7949(99)00111-X}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Mangasarian|first=O. L.|date=July 1976|title=अरेखीय समीकरणों की एक प्रणाली के लिए पूरक समस्या की समानता|url=http://epubs.siam.org/doi/10.1137/0131009|journal=SIAM Journal on Applied Mathematics|language=en|volume=31|issue=1|pages=89–92|doi=10.1137/0131009|issn=0036-1399}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Fischer|first=A.|date=January 1992|title=एक विशेष न्यूटन-प्रकार अनुकूलन विधि|url=http://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/02331939208843795|journal=Optimization|language=en|volume=24|issue=3–4|pages=269–284|doi=10.1080/02331939208843795|issn=0233-1934}}</ref> या शंकु संपूरकता समस्याएँ (CCP) आधारित विधियाँ<ref>{{Cite journal|last1=Melanz|first1=Daniel|last2=Fang|first2=Luning|last3=Jayakumar|first3=Paramsothy|last4=Negrut|first4=Dan|date=June 2017|title=अंतर परिवर्तनशील असमानताओं के माध्यम से प्रतिरूपित घर्षण संपर्क के साथ मल्टीबॉडी गतिकी समस्याओं को हल करने के लिए संख्यात्मक तरीकों की तुलना|journal=Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering|language=en|volume=320|pages=668–693|doi=10.1016/j.cma.2017.03.010|bibcode=2017CMAME.320..668M |doi-access=free}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Negrut|first1=Dan|last2=Serban|first2=Radu|last3=Tasora|first3=Alessandro|date=2018-01-01|title=एक विभेदक पूरक समस्या के रूप में घर्षण और संपर्क के साथ मल्टीबॉडी डायनेमिक्स प्रस्तुत करना|journal=Journal of Computational and Nonlinear Dynamics|language=en|volume=13|issue=1|pages=014503|doi=10.1115/1.4037415|issn=1555-1415|doi-access=free}}</ref> एनसीपी को हल करने के लिए भी कार्यरत हैं।
 === संवर्धित Lagrangian सूत्रीकरण ===
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 *ग्लॉकर च. और स्टडर सी। सूत्रीकरण और रैखिक पूरकता प्रणालियों के संख्यात्मक मूल्यांकन के लिए तैयारी। मल्टीबॉडी सिस्टम डायनामिक्स 13(4):447-463, 2005
 *जीन एम। गैर-चिकनी संपर्क गतिकी विधि। अनुप्रयुक्त यांत्रिकी और इंजीनियरिंग में कंप्यूटर तरीके 177(3-4):235-257, 1999
-*मोरो जे.जे. परिमित स्वतंत्रता गतिशीलता में एकतरफा संपर्क और शुष्क घर्षण, गैर-चिकनी यांत्रिकी और अनुप्रयोग, CISM पाठ्यक्रम और व्याख्यान का खंड 302। स्प्रिंगर, वीन, 1988
+*मोरो जे.जे. परिमित स्वतंत्रता गतिशीलता में एकपक्षीय संपर्क और शुष्क घर्षण, गैर-चिकनी यांत्रिकी और अनुप्रयोग, CISM पाठ्यक्रम और व्याख्यान का खंड 302। स्प्रिंगर, वीन, 1988
 *फीफर एफ., फोर्ज एम. और अलब्रिच एच. नॉन-स्मूथ मल्टीबॉडी डायनामिक्स के संख्यात्मक पहलू। गणना। तरीके मेक। इंजीनियरिंग 195(50-51):6891-6908, 2006
 *पोट्रा एफ.ए., एनेटेस्कु एम., गेवरिया बी. और ट्रिंकल जे. संपर्क, जोड़ों और घर्षण के साथ कठोर मल्टीबॉडी गतिशीलता को एकीकृत करने के लिए एक रैखिक रूप से अंतर्निहित समलम्बाकार विधि। इंट। जे अंक। मेथ। इंजीनियरिंग 66(7):1079-1124, 2006

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एकपक्षीय बाधाओं की मॉडलिंग

चिकनी संपर्क गतिकी

गैर-चिकनी संपर्क गतिशीलता

घर्षण एकपक्षीय बाधाएं

समाधान तकनीक

एन/एलसीपी योगों

संवर्धित Lagrangian सूत्रीकरण

यह भी देखें

संदर्भ

अग्रिम पठन

ओपन-सोर्स सॉफ्टवेयर

किताबें और लेख

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चिकनी संपर्क गतिकी

गैर-चिकनी संपर्क गतिशीलता

घर्षण एकपक्षीय बाधाएं

समाधान तकनीक

एन/एलसीपी योगों

संवर्धित Lagrangian सूत्रीकरण

यह भी देखें

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