एकपक्षीय संपर्क: Difference between revisions

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संपर्क यांत्रिकी में, एकपक्षीय संपर्क को एकपक्षीय बाधा भी कहा जाता है, जो यांत्रिक बाधा (शास्त्रीय यांत्रिकी) को दर्शाता है और यह दो कठोर/नम्य निकायों के मध्य प्रवेश को अवरोधित करता है।

इस प्रकार की बाधाएं गैर-चिकनी यांत्रिकी अनुप्रयोगों जैसे कणयुक्त प्रवाह^[1], लेग्ड रोबोट, वाहन की गतिशीलता, कण डंपिंग, अपूर्ण जोड़^[2] या रॉकेट लैंडिंग में सर्वव्यापी हैं। इन अनुप्रयोगों में, एकपक्षीय बाधाओं के परिणामस्वरूप प्रभाव दिखता है, इसलिए इस प्रकार की बाधाओं के समाधान हेतु उपयुक्त विधियों की आवश्यकता होती है।

एकपक्षीय बाधाओं की मॉडलिंग

एकपक्षीय बाधाओं को मॉडल करने के लिए मुख्य रूप से दो प्रकार की विधियाँ उपलब्ध हैं। प्रथम विधि सातत्य यांत्रिकी पर आधारित है, जिसमें हर्ट्ज़ के मॉडल, पेनल्टी विधियाँ और कुछ नियमितीकरण बल मॉडल का उपयोग करने वाली विधियाँ सम्मिलित हैं, यद्यपि द्वितीय विधि संपर्क गतिकी पर आधारित है, जो प्रणाली को एकपक्षीय संपर्कों के साथ परिवर्तनशील असमानताओं के रूप में प्रस्तुत करती है।

चिकनी संपर्क गतिकी

हर्ट्ज़ संपर्क मॉडल

इस पद्धति में, एकपक्षीय बाधाओं द्वारा उत्पन्न सामान्य बलों को निकायों के स्थानीय भौतिक गुणों के अनुसार प्रतिरूपित किया जाता है। विशेष रूप से, संपर्क बल मॉडल सातत्य यांत्रिकी से प्राप्त होते हैं, और अंतर के कार्यों और पिंडों के प्रभाव वेग के रूप में व्यक्त किए जाते हैं। उदाहरण के रूप में, क्लासिक हर्ट्ज संपर्क मॉडल का चित्र दाईं ओर की आकृति में दर्शाया गया है। ऐसे मॉडल में, संपर्क को निकायों के स्थानीय विरूपण द्वारा समझाया गया है। अधिकांश संपर्क मॉडल कुछ समीक्षा वैज्ञानिक कार्यों में या संपर्क यांत्रिकी को समर्पित लेखों में प्राप्त हो सकते हैं।^[3]^[4]^[5]

गैर-चिकनी संपर्क गतिकी

गैर-चिकनी विधि में, निकायों के मध्य एकपक्षीय परस्पर क्रिया को मूल रूप से गैर-प्रवेश के लिए सिग्नोरिनी समस्या द्वारा प्रतिरूपित किया जाता है^[6] और प्रभाव प्रक्रिया को परिभाषित करने के लिए प्रभाव नियमों का उपयोग किया जाता है।^[7] सिग्नोरिनी स्थिति को पूरकता समस्या के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

$g\geq 0,\quad \lambda \geq 0,\quad \lambda \perp g$ ,

जहाँ $g$ दो निकायों के मध्य की दूरी को दर्शाता है और $\lambda$ एकपक्षीय बाधाओं द्वारा उत्पन्न संपर्क बल को दर्शाता है, जिस प्रकार नीचे दी गई आकृति में दर्शाया गया है। इसके अतिरिक्त, उत्तल सिद्धांत के समीपस्थ बिंदु की अवधारणा के संदर्भ में, सिग्नोरिनी स्थिति को समान रूप से व्यक्त किया जा सकता है:^[6]^[8]

$\lambda ={\rm {proj}}_{\mathbb {R} ^{+}}(\lambda -\rho g)$ ,

जहाँ $\rho >0$ सहायक पैरामीटर को दर्शाता है, और ${\rm {proj}}_{\bf {C}}(x)$ , समुच्चय $C$ में समीपस्थ बिंदु को चर $x$ के रूप में परिभाषित करता है:^[9]

${\rm {proj}}_{\bf {C}}(x)={\rm {argmin}}_{y\in C}\|y-x\|$

उपरोक्त दोनों भाव एकपक्षीय बाधाओं के गतिशील व्यवहार का प्रतिनिधित्व करते हैं: एक ओर, जब सामान्य दूरी $g_{\rm {N}}$ शून्य से ऊपर है, संपर्क खुला है, जिसका अर्थ है कि पिंडों के मध्य कोई संपर्क बल नहीं है, $\lambda =0$ ; दूसरी ओर, जब सामान्य दूरी $g_{\rm {N}}$ शून्य के बराबर है, संपर्क बंद है, जिसके परिणामस्वरूप $\lambda \geq 0$ .

File:Contact dynamics unilateral.jpg

चित्र 2: ए) एकपक्षीय संपर्क, बी) सिग्नोरिनी ग्राफ, सी) निरंतर यांत्रिकी आधारित मॉडल

गैर-चिकनी सिद्धांत आधारित विधियों को लागू करते समय, ज्यादातर मामलों में वेग सिग्नोरिनी स्थिति या त्वरण सिग्नोरिनी स्थिति वास्तव में नियोजित होती है। वेग सिग्नोरिनी स्थिति को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:^[6]^[10]

$U_{\rm {N}}^{+}\geq 0,\quad \lambda \geq 0,\quad U^{+}\lambda =0$ ,

कहाँ $U_{\rm {N}}^{+}$ प्रभाव के बाद सापेक्ष सामान्य वेग को दर्शाता है। वेग सिग्नोरिनी स्थिति को पिछली शर्तों के साथ समझा जाना चाहिए $g\geq 0,\;\lambda \geq 0,\;\lambda \perp g$ . त्वरण सिग्नोरिनी स्थिति को बंद संपर्क के तहत माना जाता है ( $g=0,U_{\rm {N}}^{+}=0$ ), जैसा:^[8]

${\ddot {g}}\geq 0,\quad \lambda \geq 0,\quad {\ddot {g}}\lambda =0$ ,

जहां ओवरडॉट्स समय के संबंध में दूसरे क्रम के व्युत्पन्न को दर्शाता है।

दो कठोर निकायों के मध्य एकपक्षीय बाधाओं के लिए इस पद्धति का उपयोग करते समय, सिग्नोरिनी की स्थिति अकेले प्रभाव प्रक्रिया को मॉडल करने के लिए पर्याप्त नहीं है, इसलिए प्रभाव कानून, जो प्रभाव से पहले और बाद में राज्यों के बारे में जानकारी देते हैं,^[6]भी आवश्यक हैं। उदाहरण के लिए, जब न्यूटन बहाली कानून लागू होता है, तो बहाली के गुणांक को इस प्रकार परिभाषित किया जाएगा: $e=-{U_{\rm {N}}^{+}}/{U_{\rm {N}}^{-}}$ , कहाँ $U_{\rm {N}}^{-}$ प्रभाव से पहले सापेक्ष सामान्य वेग को दर्शाता है।

घर्षण एकपक्षीय बाधाएं

घर्षण एकपक्षीय बाधाओं के लिए, सामान्य संपर्क बलों को उपरोक्त तरीकों में से एक द्वारा तैयार किया जाता है, जबकि घर्षण बलों को आमतौर पर घर्षण के माध्यम से वर्णित किया जाता है। कूलम्ब का घर्षण कानून। कूलम्ब के घर्षण नियम को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: जब स्पर्शरेखा वेग $U_{\rm {T}}$ शून्य के बराबर नहीं है, अर्थात् जब दो पिंड फिसल रहे हों, घर्षण बल $\lambda _{\rm {T}}$ सामान्य संपर्क बल के समानुपाती होता है $\lambda$ ; जब इसके बजाय स्पर्शरेखा वेग $U_{\rm {T}}$ शून्य के बराबर है, अर्थात् जब दो शरीर अपेक्षाकृत स्थिर होते हैं, तो घर्षण बल $\lambda _{\rm {T}}$ अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल से अधिक नहीं है। अधिकतम अपव्यय सिद्धांत का उपयोग करके इस संबंध को संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सकता है,^[6]जैसा

$\lambda _{\rm {T}}\in D(\mu \lambda )~~~~~~\forall S\in D(\mu \lambda )~~~~~~(S-\lambda _{\rm {T}})U_{\rm {T}}\geq 0,$ कहाँ

$D(\mu \lambda )=\{\forall x|-\mu \lambda \leq \|x\|\leq \mu \lambda \}$ घर्षण शंकु का प्रतिनिधित्व करता है, और $\mu$ कीनेमेटिक घर्षण गुणांक को दर्शाता है। सामान्य संपर्क बल के समान, उपरोक्त सूत्रीकरण को समान रूप से समीपस्थ बिंदु की धारणा के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:^[6]

$\lambda _{\rm {T}}={\rm {proj}}_{D(\mu \lambda )}(\lambda _{T}-\rho U_{\rm {T}})$ ,

कहाँ $\rho >0$ एक सहायक पैरामीटर को दर्शाता है।

समाधान तकनीक

यदि एकपक्षीय बाधाओं को निरंतर यांत्रिकी आधारित संपर्क मॉडल द्वारा तैयार किया जाता है, तो संपर्क बलों की गणना सीधे एक स्पष्ट गणितीय सूत्र के माध्यम से की जा सकती है, जो पसंद के संपर्क मॉडल पर निर्भर करता है। यदि इसके बजाय गैर-चिकनी सिद्धांत आधारित पद्धति को नियोजित किया जाता है, तो सिग्नोरिनी स्थितियों के समाधान के लिए दो मुख्य सूत्रीकरण हैं: गैर-रैखिक पूरकता समस्या/रैखिक पूरकता समस्या (N/LCP) सूत्रीकरण और संवर्धित Lagrangian सूत्रीकरण। संपर्क मॉडल के समाधान के संबंध में, गैर-चिकनी विधि अधिक कठिन है, लेकिन कम्प्यूटेशनल दृष्टिकोण से कम खर्चीला है। पज़ौकी एट अल द्वारा संपर्क मॉडल और गैर-चिकनी सिद्धांत का उपयोग करके समाधान विधियों की अधिक विस्तृत तुलना की गई।^[11]

एन/एलसीपी योगों

इस दृष्टिकोण के बाद, एकपक्षीय बाधाओं के साथ गतिकी समीकरणों का समाधान N/LCPs के समाधान में बदल जाता है। विशेष रूप से, घर्षण रहित एकपक्षीय बाधाओं या समतलीय घर्षण के साथ एकपक्षीय बाधाओं के लिए, समस्या LCPs में बदल जाती है, जबकि घर्षण एकपक्षीय बाधाओं के लिए, समस्या NCPs में बदल जाती है। LCPs को हल करने के लिए, Lemek और Dantzig के एल्गोरिथम से उत्पन्न सिम्पलेक्स एल्गोरिथम सबसे लोकप्रिय तरीका है।^[8]दुर्भाग्य से, हालांकि, संख्यात्मक प्रयोगों से पता चलता है कि बड़ी संख्या में एकपक्षीय संपर्कों के साथ सिस्टम को संभालते समय धुरी एल्गोरिथ्म विफल हो सकता है, यहां तक कि सर्वोत्तम अनुकूलन का उपयोग भी कर सकता है।^[12] एनसीपी के लिए, पॉलीहेड्रल सन्निकटन का उपयोग एनसीपी को एलसीपी के एक सेट में बदल सकता है, जिसे एलसीपी सॉल्वर द्वारा हल किया जा सकता है।^[13] इन तरीकों से परे अन्य दृष्टिकोण, जैसे एनसीपी-फ़ंक्शंस^[14]^[15]^[16] या शंकु संपूरकता समस्याएँ (CCP) आधारित विधियाँ^[17]^[18] एनसीपी को हल करने के लिए भी कार्यरत हैं।

संवर्धित Lagrangian सूत्रीकरण

N/LCP योगों से भिन्न, संवर्धित Lagrangian सूत्रीकरण ऊपर वर्णित समीपस्थ कार्यों का उपयोग करता है, $\lambda ={\rm {proj}}_{\mathbb {R} ^{+}}(\lambda -\rho g)$ . डायनेमिक्स समीकरणों के साथ, यह फॉर्मूलेशन रूट-खोज एल्गोरिदम के माध्यम से हल किया जाता है। मशायेखी एट अल द्वारा एलसीपी योगों और संवर्धित लग्रांगियन सूत्रीकरण के मध्य एक तुलनात्मक अध्ययन किया गया था।^[9]

यह भी देखें

संदर्भ

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अग्रिम पठन

ओपन-सोर्स सॉफ्टवेयर

गैर-चिकनी आधारित पद्धति का उपयोग करते हुए ओपन-सोर्स कोड और गैर-वाणिज्यिक पैकेज:

Siconos
Chrono, एक ओपन सोर्स मल्टी-फिजिक्स सिमुलेशन इंजन, प्रोजेक्ट वेबसाइट भी देखें

किताबें और लेख

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श्रेणी:यांत्रिकी

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 {{See also|संपर्क गतिकी#नॉन-स्मूथ दृष्टिकोण}}
-गैर-चिकनी विधि में, निकायों के मध्य एकपक्षीय बातचीत मूल रूप से सिग्नोरिनी समस्या द्वारा प्रतिरूपित की जाती है<ref name="Jean-1999">{{cite journal |last1=Jean |first1=M. |title=गैर-चिकनी संपर्क गतिकी विधि|journal=Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering |date=July 1999 |volume=177 |issue=3–4 |pages=235–257 |doi=10.1016/S0045-7825(98)00383-1|bibcode=1999CMAME.177..235J |s2cid=120827881 |url=https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01390459/file/MJ.pdf }}</ref> गैर-प्रवेश के लिए, और प्रभाव प्रक्रिया को परिभाषित करने के लिए प्रभाव कानूनों का उपयोग किया जाता है।<ref name="Pfeiffer-2012">{{cite journal |last1=Pfeiffer |first1=Friedrich |title=नॉन-स्मूथ मल्टीबॉडी डायनामिक्स पर|journal=Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part K: Journal of Multi-body Dynamics |date=14 March 2012 |volume=226 |issue=2 |pages=147–177 |doi=10.1177/1464419312438487|s2cid=123605632 }}</ref> सिग्नोरिनी स्थिति को पूरकता समस्या के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
+गैर-चिकनी विधि में, निकायों के मध्य एकपक्षीय परस्पर क्रिया को मूल रूप से गैर-प्रवेश के लिए सिग्नोरिनी समस्या द्वारा प्रतिरूपित किया जाता है<ref name="Jean-1999">{{cite journal |last1=Jean |first1=M. |title=गैर-चिकनी संपर्क गतिकी विधि|journal=Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering |date=July 1999 |volume=177 |issue=3–4 |pages=235–257 |doi=10.1016/S0045-7825(98)00383-1|bibcode=1999CMAME.177..235J |s2cid=120827881 |url=https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01390459/file/MJ.pdf }}</ref> और प्रभाव प्रक्रिया को परिभाषित करने के लिए प्रभाव नियमों का उपयोग किया जाता है।<ref name="Pfeiffer-2012">{{cite journal |last1=Pfeiffer |first1=Friedrich |title=नॉन-स्मूथ मल्टीबॉडी डायनामिक्स पर|journal=Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part K: Journal of Multi-body Dynamics |date=14 March 2012 |volume=226 |issue=2 |pages=147–177 |doi=10.1177/1464419312438487|s2cid=123605632 }}</ref> सिग्नोरिनी स्थिति को पूरकता समस्या के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
 <math>g  \geq 0, \quad \lambda \geq 0, \quad \lambda \perp g   </math>,
-कहाँ <math>g </math> दो निकायों और के मध्य की दूरी को दर्शाता है <math>\lambda </math> एकपक्षीय बाधाओं द्वारा उत्पन्न संपर्क बल को दर्शाता है, जैसा कि नीचे की आकृति में दिखाया गया है। इसके अलावा, उत्तल सिद्धांत के समीपस्थ बिंदु की अवधारणा के संदर्भ में, सिग्नोरिनी स्थिति को समान रूप से व्यक्त किया जा सकता है<ref name="Jean-1999" /><ref name=":0">{{Cite journal|last1=Pfeiffer|first1=Friedrich|last2=Foerg|first2=Martin|last3=Ulbrich|first3=Heinz|date=October 2006|title=नॉन-स्मूथ मल्टीबॉडी डायनामिक्स के संख्यात्मक पहलू|url=https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S0045782505003646|journal=Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering|language=en|volume=195|issue=50–51|pages=6891–6908|doi=10.1016/j.cma.2005.08.012|bibcode=2006CMAME.195.6891P }}</ref> जैसा:
+जहाँ <math>g </math> दो निकायों के मध्य की दूरी को दर्शाता है और <math>\lambda </math> एकपक्षीय बाधाओं द्वारा उत्पन्न संपर्क बल को दर्शाता है, जिस प्रकार नीचे दी गई आकृति में दर्शाया गया है। इसके अतिरिक्त, उत्तल सिद्धांत के समीपस्थ बिंदु की अवधारणा के संदर्भ में, सिग्नोरिनी स्थिति को समान रूप से व्यक्त किया जा सकता है:<ref name="Jean-1999" /><ref name=":0">{{Cite journal|last1=Pfeiffer|first1=Friedrich|last2=Foerg|first2=Martin|last3=Ulbrich|first3=Heinz|date=October 2006|title=नॉन-स्मूथ मल्टीबॉडी डायनामिक्स के संख्यात्मक पहलू|url=https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S0045782505003646|journal=Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering|language=en|volume=195|issue=50–51|pages=6891–6908|doi=10.1016/j.cma.2005.08.012|bibcode=2006CMAME.195.6891P }}</ref>
 <math>\lambda ={\rm{proj}}_{\R^+}(\lambda -\rho g )</math>,
-कहाँ <math>\rho>0</math> एक सहायक पैरामीटर को दर्शाता है, और <math>{\rm proj}_{\bf C}(x)</math> सेट में समीपस्थ बिंदु का प्रतिनिधित्व करता है <math>C</math> चर के लिए <math>x</math>,<ref name="link.springer.com">{{Cite journal|last1=Jalali Mashayekhi|first1=Mohammad|last2=Kövecses|first2=József|date=August 2017|title=संवर्धित Lagrangian विधि और संपर्क समस्या मॉडलिंग के लिए पूरक दृष्टिकोण के बीच एक तुलनात्मक अध्ययन|url=http://link.springer.com/10.1007/s11044-016-9510-2|journal=Multibody System Dynamics|language=en|volume=40|issue=4|pages=327–345|doi=10.1007/s11044-016-9510-2|s2cid=123789094|issn=1384-5640}}</ref> के रूप में परिभाषित:
+जहाँ <math>\rho>0</math> सहायक पैरामीटर को दर्शाता है, और <math>{\rm proj}_{\bf C}(x)</math>, समुच्चय <math>C</math> में समीपस्थ बिंदु को चर <math>x</math> के रूप में परिभाषित करता है:<ref name="link.springer.com">{{Cite journal|last1=Jalali Mashayekhi|first1=Mohammad|last2=Kövecses|first2=József|date=August 2017|title=संवर्धित Lagrangian विधि और संपर्क समस्या मॉडलिंग के लिए पूरक दृष्टिकोण के बीच एक तुलनात्मक अध्ययन|url=http://link.springer.com/10.1007/s11044-016-9510-2|journal=Multibody System Dynamics|language=en|volume=40|issue=4|pages=327–345|doi=10.1007/s11044-016-9510-2|s2cid=123789094|issn=1384-5640}}</ref>
-<math>{\rm proj}_{\bf C}(x)={\rm argmin}_{y\in C}\|y-x\|</math>.
+<math>{\rm proj}_{\bf C}(x)={\rm argmin}_{y\in C}\|y-x\|</math>
 उपरोक्त दोनों भाव एकपक्षीय बाधाओं के गतिशील व्यवहार का प्रतिनिधित्व करते हैं: एक ओर, जब सामान्य दूरी <math>g_{\rm N} </math> शून्य से ऊपर है, संपर्क खुला है, जिसका अर्थ है कि पिंडों के मध्य कोई संपर्क बल नहीं है, <math>\lambda  =0 </math>; दूसरी ओर, जब सामान्य दूरी <math>g_{\rm N} </math> शून्य के बराबर है, संपर्क बंद है, जिसके परिणामस्वरूप <math>\lambda \geq0</math>.

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एकपक्षीय बाधाओं की मॉडलिंग

चिकनी संपर्क गतिकी

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घर्षण एकपक्षीय बाधाएं

समाधान तकनीक

एन/एलसीपी योगों

संवर्धित Lagrangian सूत्रीकरण

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